Bài tập lớn môn động lực học

Theo sơ đồ khối l-ợng của tải trọng và của hệ ta có các mô hình tính cơ bản sau: Ph-ơng trình vi phân biểu thị dao động của dầm không có khối l-ợng chịu tải trọng di động có khối l-ợng đ

Tiểu Luận Động Lực Học Công Trình

phần 1 Đề tài tiểu luận

Đề tài: Dao động của dầm chịu tải trọng di động Các ví dụ

Ngày nay, cùng với sự phát triển nhanh chóng của khoa học kỹ thuật nói chung, giá trị

của tải trọng di động cũng nh- vận tốc di động ngày càng lớn Do đó việc nghiên cứu quá

trình phát triển biến dạng, chuyển vị, nội lực động trong kết cấu chịu tải trọng di động cần

đ-ợc quan tâm, ngiên cứu với các mô hình ngày càng hoàn thiện chặt chẽ hơn

Theo sơ đồ khối l-ợng của tải trọng và của hệ ta có các mô hình tính cơ bản sau:

Ph-ơng trình vi phân biểu thị dao động của dầm

không có khối l-ợng chịu tải trọng di động có khối

l-ợng đ-ợc F.Willis thiết lập đầu tiên năm 1849

Sau đó Stockes đã nghiên cứu đề xuất cách giải

Cách giải chính xác bài toán dao động của dầm

chịu tải trọng di động không có khối l-ợng đ-ợc

viện sỹ ng-ời Nga A.N Kr-lôv công bố đầu tiên vào năm 1905 Tiếp đó là những nghiên

cứu của nhiều nha khoa học khác đã đề xuất các ph-ơng pháp khác nhau xung quanh vấn đề

lập và tích phân ph-ơng trình vi phân của dao động

Với sự phát triển của máy tính điện tử việc áp dụng của ph-ơng pháp số giải ph-ơng trình

vi phân của bài toán trên mô hình tính càng sát với thực tế đang đ-ợc quan tâm hoàn thiện

nhằm đạt kết quả với độ chính xác cao hơn Tuy nhiên do ảnh h-ởng của nhiều yếu tố thực

tế đến tính chất tác dụng của tải trọng nh-: vận tốc di chuyển của tải trọng thay đổi, độ

không bằng phẳng của tải trọng công trình, chất l-ợng của các thiết bị gây ra và truyền tải

trọng di động lên côg trình, ảnh h-ởng của các nguyên nhân gây cản…, nên h-ớng nghiên

cứu kết hợp giữa nghiên cứu lí thuyết và nghiên cứu thực nghiệm là rất cần thiết và đ-ợc

nhiều nhà khoa học quan tâm vận dụng có hiệu quả

Trong phần này chỉ nghiên cứu một vài ph-ơng pháp cơ bản để giải bài toán dao động

của dầm đơn giản chịu tải trọng di động

I Ph-ơng trình vi phân tổng quát của dao động khi tải trọng có khối l-ợng di

động với vận tốc xác định trên dầm có khối l-ợng phân bố

Xét dầm có khối l-ợng phân bố m(z) và chịu tải trọng P(t) có khối l-ợng Mp di động

với vận tốc v (hình 2) áp lực tổng cộng của tải trọng di động tác dụng lên dầm bằng:

Tiểu Luận Động Lực Học Công Trình

Đặt:z   v t, độ võng của dầm xác định bằng ph-ơng trình y(z, t), còn quỹ đạo di

động của tải trọng đ-ợc xác định bằng ph-ơng trình y z t ,  y ,t  y vt t , , do đó theo

qui tắc hàm hợp, gia tốc toàn phần của tải trọng di động bằng:

Thay tải trọng tập trung di động R(t) bằng tải trọng phân bố t-ơng đ-ơng q(z, t) và

bằng phân tích tải trọng theo dạng dao động riêng chính của dầm, ta có:

Trong đó: y k z - dạng dao động riêng chính thứ k của dầm

Nh- vậy ph-ơng trình vi phân biểu thị dao động của dầm lúc này có dạng:

Tr-ờng hợp dầm đơn giản có 2 đầu khớp, tiết diện không đổi, mang khối l-ợng phân

bố m, các dạng chính của dao động riêng của dầm có dạng:

2,2

Giải ph-ơng trình (6) với tr-ờng hợp tải trọng di động có khối l-ợng trên dầm có khối

l-ợng là bài toán phức tạp, cần sử dụng các ph-ơng pháp số và thực hiện tính trên máy tính

Vì bỏ qua khối l-ợng của dầm tức là không xét đến lực quán tính phân bố của khối

l-ợng cho nên ta chỉ quan tâm đến vị trí tiết diện d-ới tải trọng có toạ độ z Độ võng của

dầm tại tiết diện này là hàm phụ thuộc vị trí của tiết diện, nghĩa là phụ thuộc vị trí tải trọng

Đây là ph-ơng trình Stockes là ph-ơng trình vi phân cấp 2 có hệ số thay đổi, có thể

giải bằng cách đổi biến số để đ-a về ph-ơng trình vi phân có hệ số không đổi hoặc áp dụng

ph-ơng pháp tích phân số

* Cách tìm nghiệm gần đúng của ph-ơng trình Stockes

Giả thiết khi lấy đạo hàm bậc hai của hàm y(z) theo biểu thức (a), ta xem áp lực động

Nh- vậy áp lực động là một đại l-ợng phụ thuộc zvt, tức là phụ thuộc thời gian t

Giá trị lớn nhất của áp lực động xẩy ra khi tải trọng di động đến vị trí giữa dầm zl/ 2:

1 3

p

M v l EI





(13)

Tiểu Luận Động Lực Học Công Trình

Giá trị thực tế của hệ số động th-ờng nằm trong khoảng giữa hai giá trị tính theo (11)

và (13)

Trong thực tế khối l-ợng không thể bỏ qua đ-ợc so với khối l-ợng của tải trọng, do đó

ý nghĩa thực tiễn của bài toán này cũng rất hạn chế

III Dao động của dầm có khối l-ợng phân bố đều chịu tải trọng di động không

có khối l-ợng

Xét dầm có khối l-ợng phân bố m và chịu tải trọng có giá trị không đổi P di động với

vận tốc đều v Khối l-ợng của tải trọng là nhỏ so với dầm, có thể bỏ qua (hình 4) Nếu không

kể đến lực cản theo (6) ph-ơng trình vi phân của dao động trong tr-ờng hợp này có dạng:

  - tần số dao động riêng ứng với dạng dao động chính thứ k

của dao động riêng

Ph-ơng trình (17) có dạng giống nh- ph-ơng trình vi phân biểu thị dao động c-ỡng

bức của hệ có một bậc tự do chịu lực kích thích tuần hoàn P(t) = sint nh- đã biết, do đó

nghiệm của ph-ơng này có dạng:

k k

Tần số cơ bản 1 có thể xác định gần đúng nh- đối với hệ có bậc tự do bằng một mang

khối l-ợng tập trung M ml/ 2 đặt ở giữa dầm:

Ký hiệu: k

k k

Ph-ơng trình (21) cho phép xác định độ võng của dầm tại tiết diện có hoành độ z bất

kỳ ở thời điểm tải trọng di động đặt ở vi trí  vt

Tần số dao động riêng k tăng nhanh theo chỉ số k, nên chuỗi nghiệm (21) hội tụ

Tiểu Luận Động Lực Học Công Trình

Ta thấy độ võng của dầm tăng lên vô hạn theo thời gian t, trong dầm sẽ xẩy ra hiện

t-ợng cộng h-ởng Từ điều kiện hình thành cộng h-ởng là k k hay k  1, ta sẽ tìm

đ-ợc vận tốc tới hạn của tải trọng:

 

1

k th k

Trong đó:  - tọa độ của tải trọng di động,

z - tọa độ tiết diện của dầm

Từ (24), ta thấy khi  l, nghĩa là khi tải trọng đặt ở gối tựa bên phải dầm, độ võng

của dầm vẫn tồn tại vì số hạng ksin

Trong tr-ờng hợp này khi  l độ võng tại tiết diện ứng d-ới tải trọng bằng không

Khi tải trọng di động ra ngoài dầm  l, dầm sẽ dao động tự do, ph-ơng trình dao động tự

do của dầm lúc này đ-ợc xác định với điều kiện ban đầu ở thời điểm t t1 l v/

Từ (25), nếu cho zl/ 2 và chỉ giữ lại số hạng đầu của chuỗi, ta có công thức xác định

Tiểu Luận Động Lực Học Công Trình

1

cos2

Cách giải bài toán trên đ-ợc xem là cách giải chính xác

* Công thức hệ số động theo độ võng, theo mômen uốn và theo lực cắt

Để tìm độ võng tĩnh và nội lực tĩnh trong dầm, ta có thể sử dụng biểu thức (21), (27),

(28) và xem tải trọng di động từ từ, ở mọi thời điểm với vận tốc bằng không Khi v 0, ta

sin

11

1sin sin

sin

11

1sin sin

1cos sin

Nếu chỉ giữ lại số hạng đầu tiên của chuỗi trong các công thức hệ số động theo độ

võng và theo nội lực sẽ nh- nhau và bằng:

IV Dao động của dầm chịu tải trọng phân bố di động

Xét đoàn tải trọng phân bố đều với c-ờng độ q, khối l-ợng q/g có chiều dài vô hạn di

động trên dầm với vận tốc không đổi Kết quả nghiên cứu cho thấy, khi đoàn tải trọng bắt

đầu di động trên dầm thì độ võng của dầm tăng dần lên, khi đoàn tải trọng chất đầy trên toàn

nhịp dầm thì dao động giảm dần và sau một khoảng thời gian thì dao động sẽ bình ổn Lúc

này ta thấy đ-ờng đàn hồi của dầm không thay đổi thời gian Qỹ đạo chuyển động của tải

trọng chính là trục võng của dầm Ph-ơng trình vi phân của trục dầm có dạng:

4 4

2

y y l

l qv

Khi l  ,3 ,5 , , độ võng tăng lên vô cùng, lúc này dầm ở trạng thái tới hạn Vận

tốc tới hạn nhỏ nhỏ nhất của đoàn tải trọng đ-ợc xác định từ điều kiện l:

,min

th

EIg v

l q





Ví dụ:

Xác định hệ số động của tải trọng di động trên dầm đơn giản có nhịp l = 10m, mang

khối l-ợng phân bố đều m Tần số dao động riêng của dầm  = 40 1/s, vận tốc di động của



Nếu tải trọng di động có khối l-ợng đáng kể so với khối l-ợng của dầm thì hệ số động

tính theo công thức trên không phù hợp Lúc này hệ số động cần đ-ợc xác định theo vận tốc

giới hạn của tải trọng theo (23), khi trong dầm xẩy ra hiện t-ợng cộng h-ởng:

10

40 127 / 455 / 3.14

Nếu khối l-ợng của dầm xem là không đáng kể so với khối l-ợng của tải trọng di động

M, hệ số động sẽ thay đổi và đạt giá trị lớn nhất khi tải trọng di động đến tiết diện giữa dầm

Đây là hệ đối xứng mang các khối l-ợng đ-ợc bố trí

đối xứng nên hệ sẽ dao động riêng theo 2 dạng: dạng dao

động riêng đối xứng và dạng dao động riêng phản xứng

1 Dạng dao động riêng đối xứng:

Trong đó: KQ- là chuyển vị tại tiết diện đặt khối

l-ợng khái quát do lực quán tính J =1 đặt theo ph-ơng

chuyển động gây ra:

2

px

EI l

m EI

11

1.0220.693

14.671

dx d

1

1.56250.693

11.155

px d

M

0 3 0 6 6 q0l2

0 2 0 4 4 q0l2

 d P

M

0 3 0 6 6 q0l2

0 2 0 4 4 q0l2 0 2 0 4 4 q0l2

 d P

M

px d

M

0 1 9 5 q0l2

0 1 9 5 q0l2

 d P

Tiểu Luận Động Lực Học Công Trình

Học viờn: Phaùm Thũ Lan Trang 15

Giải:

Đây là hệ đối xứng mang các khối l-ợng đ-ợc bố trí

đối xứng nên hệ sẽ dao động riêng theo 2 dạng: dạng dao

động riêng đối xứng và dạng dao động riêng phản xứng

1 Dạng dao động riêng đối xứng:

KQ là chuyển vị tại điểm đặt khối l-ợng

MKQ do lực quán tính J =1 đặt tại m2 gây ra:

16

l Z

3 E I l

3 E I l

Z1 = 1

J = 1

l 2

l 2

- Hệ có bậc tự do n = 2, là chuyển vị ngang của khối

l-ợng m3 và chuyển vị ngang của các khối l-ợng m1, m2

Trong đó: ki - là chuyển vị của khối l-ợng mk do lực

quán tính Zi = 1tác dụng tĩnh tại vị trí khối l-ợng mi gây ra

TiÓu LuËn §éng Lùc Häc C«ng Tr×nh

Chän:

3 0

43

l EI

1

m m m

1 2 2

0

2

m m m

1.5933

l

m EI

0.1573

l

m EI

Z2 = 1 l l

TiÓu LuËn §éng Lùc Häc C«ng Tr×nh

3 3 0

0 11 0 12 1

3

P P

0 21 0 22 2

3

P P

l l P

EI EI

P l

0.41163

M

Đây là hệ đối xứng mang các khối l-ợng

đ-ợc bố trí đối xứng nên hệ sẽ dao động riêng theo

2 dạng: dạng dao động riêng đối xứng và dạng dao

động riêng phản xứng

1 Dạng dao động riêng phản xứng:

- Sơ đồ tính nửa hệ nh- hình vẽ:

- Từ sơ đồ nửa hệ nh- trên ta thấy rằng các khối m1, m2 và lực kích thích P(t) đều đ-ợc

đặt trên gối tựa nên không xuất hiện nội lực trong hệ Hay nói cách khác là không gây ra

dạng dao động riêng phản xứng Ta chỉ cần xét dạng dao động riêng đối xứng

2 Dạng dao động riêng đối xứng:

2 41 3 2 41 3 2 41 41 41 4117

14123

l EI

171.214314

1

m m m

2 0

1

m m m

1.2587123

l

m EI

0.9556123

l

m EI

 y21 2.4155

- T-¬ng øng víi 2dx ta cã u2 0.9556 vµ ph-¬ng tr×nh:

m1 11 u2y12m2 12 y22 0Chän y12 1, ta cã: 1 0.9556 0.1071y22 0

0 11 1

P P

P

l EI

0 21 2

P P

P

EI

P l

2.1136123

+ Xác định các tần số dao động riêng, các dạng dao động riêng t-ơng ứng

+ Xác định lực động đất cấp 7, 8; Đất d-ới đế móng: loại 1

2 Tính toán các tần số dao động riêng và các dạng dao động chính:

- Đây là hệ đối xứng mang các khối l-ợng đ-ợc bố trí đối xứng nên hệ sẽ dao động

riêng theo 2 dạng: dạng dao động riêng đối xứng và dạng dao động riêng phản xứng

Dao động đối xứng Dao động phản xứng

* Dạng dao động riêng đối xứng:

8.651 10

6.33771.365 10

0

13.135 10

9.62271.365 10

795

0.8893894

m m m

 Ph-¬ng tr×nh tÇn sè:

y y y

y y y

1.430910.255981-1.35746

y y y

2.548123.855334.66606

y y y

2 ji j

n 1 j ji j ki ki

ym

ymyη

i- Hệ số động đất kể đến sự phụ thuộc của gia tốc và lực động đất vào chu

kỳ Ti của dao động riêng, thông th-ờng lấy i trong khoảng 0,8 < i = a/Ti ≤ max

a- Hệ số phụ thuộc vào loại đất nền d-ới móng Với đất loại I thì a = 1.0,

* Thực hiện t-ơng tự nh- đối với dạng dao động thứ nhất, ta xác định lực động đất

t-ơng ứng với các dạng dao động thứ hai, thứ ba, thứ t- Kết quả cho trong bảng sau:

2 43.2196 0.1453 6.8821 0.015

17540.28 0.27702 734.3178 17540.28 0.00066 1.752635 17540.28 -0.1271 -337.0397 15597.9 0.08529 201.0379

3 22.8915 0.27434 3.64514 0.015

17540.28 0.31142 825.5005 17540.28 0.19249 510.2467 17540.28 0.03444 91.27999 15597.9 -0.1826 -430.4518

4 6.9205 0.90745 1.10199 0.015

17540.28 0.27693 734.0779 17540.28 0.34278 908.6314 17540.28 0.51863 1374.768 15597.9 0.62769 1479.612

Các lực động đất có ph-ơng nằm ngang và có điểm đặt tại các nút nh- hình vẽ sau: