Động lực học kết cấu - Chương 4

Động lực học kết cấu là một lĩnh vực của cơ học, nghiên cứu các phương pháp phân tích phản ứng (nội lực, ứng suất hoặc chuyển vị, vận tốc, gia tốc…) trong kết cấu khi chịu tác dụng của c

Chương 4

HỆ VÔ HẠN BẬC TỰ DO

4.1 Thiết lập phương trình chuyển động

4.1.1 Dao động uốn của dầm

Xét dầm thẳng như hình H.4.1 Tách phân tố xét cân bằng:

với lực quán tính phân bố

(4.2)Thế (4.2) vào (4.1) ta được:

MO 0 bỏ qua vô cùng bé bậc cao của p và fi:

Đạo hàm riêng 2 vế với x dẫn tới:

trong đó các đại lượng EI và m thay đổi theo x.

Nếu uốn dầm xét đến ảnh hưởng lực dọc:

EI(x), m(x)

H.4.1 Dao động uốn dầm

dx

4.1.2 Dao động dọc của thanh

Thanh có các đặc trưng thay đổi, chịu lực kích động q(x,t) Xét cân bằng lực

của phân tố:

Ta có:

Thế vào (4.9) ta được:

4.2 Phân tích dao động tự do

4.2.1 Dao động uốn tự do của dầm

Xét các đại lượng EI, m = const, p(x,t) = 0 Phương trình (4.7) trở thành:

(4.13)Nghiệm chọn dạng phân ly biến số như sau:

2

0 (x)Y(t)

Chia hai vế bởi (x)Y(t), (4.15) trở thành:

(4.16)hay IV((xx))  EImYY((tt))

(4.18)Từ đây dẫn tới 2 phương trình vi phân thường:

(4.20)Phương trình (4.19a) có nghiệm:

hay biểu diễn theo điều kiện ban đầu Y 0() và Y 0() thì

Nghiệm tổng quát của (4.19b) có dạng:

với G1, G2, G3, G4 là các hằng số phức.

Phương trình (4.26) có thể viết lại dạng thực cho các số hạng:

(x A1 ax A2 ax A3 ax A4 ax

các hằng số Ai được tìm từ điều kiện biên của dầm.

Thí dụ:E18.1, p 379-381.

4.2.2 Dao động dọc tự do của thanh

Xét thanh có đặc trưng EA, m hằng số Khi q(x,t) = 0 thì phương trình (4.11) có

Tách biến:

Phương trình (4.28) viết lại dưới dạng:

(4.30)Từ đó dẫn tới hai phương trình:

Phương trình (4.31a) có nghiệm giống (4.21) Phương trình (4.31b) có nghiệm nhưsau:

Trong chương 3 đã dùng hàm đa thức Hecmit để xấp xỉ đường đàn hồi và

dẫn tới phương pháp độ cứng tĩnh học (Static dirrect Stiffness Method) Phương

pháp này kém chính xác vì hàm dạng không kể đến lực quán tính.

Trên cơ sở hàm dạng (4.27) là nghiệm chính xác của dầm khi dao động, cóthể dùng để làm hàm dạng, từ đó dẫn tới phương pháp độ cứng động lực học, đượccoi là chính xác Đặc điểm của phương pháp này là các hệ số cứng phụ thuộc vào

tần số, phương pháp này hiện nay được dùng trong bài toán ngược chẩn đoán côngtrình.

4.3.2 Ma trận độ cứng uốn động lực

Xét dầm tiết diện đều, không chịu lực tác dụng, phương trình chuyển động của nó cho bởi (4.13):

0 v(xt)

Chuyển vị cưỡng bức có dạng:

với vi0 là biên độ chuyển vị biên vi Chuyển vị tại một điểm bất kỳ của dầm có

trong đó: a4 mEI2

(4.38)Nghiệm của phương trình (4.37) có dạng:

Biểu diễn chuyển vị thẳng và xoay hai đầu thanh, ta có:

trong đó: cs sincosaLaL CS sinhcoshaLaL

Phương trình ma trận (4.41) có thể viết dưới dạng kí hiệu ngắn gọn:

Chuyển vị và nội lực hai đầu thanh được minh họa trên H.4.3

Mặt khác, nội lực và đường đàn hồi đầu thanh có quan hệ:

(4.44)Từ (4.42) ta có: W1v

Thế (4.45) vào (4.44) nhận được:

Độ cứng là hàm của tham số tần số a vì cả U và W đều phụ thuộc vào a Thực hiện

phép tính theo (4.47) ta thu được:

H.4.3 chuyểnvị và lực nút

trong đó:

ds S

c SsC

(4.49)Trong trường hợp tĩnh học 0 ta có các hệ số cứng sau:



Hai điều kiện biên của dầm công son là:

Tại x = 0 (0)0 Chuyển vị bằng khôngTại x = LN(0)AE(L)0 Lực dọc bằng không

Thay vào phương trình trên, nhận được:

Do đó phương trình dao động được viết như sau:

EA, m = constO

Mode 1

Mode 2

Mode 3

(x A1 ax A2 ax A3 ax A4 ax

Bốn điều kiện biên của dầm đơn giản là:

Tại x = 0 (0)0 Chuyển vị bằng không

Tại x = L (L)0 Chuyển vị bằng không

Aùp dụng điều kiện biên tại x = 0 vào phương trình trên, nhận được:

31A 

Tương tự, tại x = L

Tần số dao động là 2 4

Mode 1

Mode 2

Mode 3

Thí dụ 3:

Xét hệ khung chịu mô men tác dụng tại nút, các đặc trưng về độ cứng và

khối lượng của từng thanh a, b, c như trên hình vẽ Bỏ qua ảnh hưởng dọc trục (xem

hệ có một bậc tự do là chuyển vị xoay tại nút) Dùng phương pháp độ cứng độnglực học xác định chuyển vị xoay tại nút của hệ.

Độ cứng động của hệ:

với a,b,c được xác định bởi phương trình (4.49) thông qua tần số của lực kíchthích 

dcSsC 

EImLaLa 

Cho từng phần tử a, b, c ta xác định được:

2.4)( ;5.3)( 2.8;)

Từ H.4.4 suy ra được a 3.338;b 2.00 ;c 2.90 (Có thể áp dụng công thức (4.49) để tính)

Thay vào phương trình trên, xác định được độ cứng động của hệ: k 2.68EIL

 (tần số lực kích thích bằng tần số riêng của hệ) thì

EI, m O

c16EI/25 25m/16

EI, m M(t)