Động lực học kết cấu - Chương 2

Động lực học kết cấu là một lĩnh vực của cơ học, nghiên cứu các phương pháp phân tích phản ứng (nội lực, ứng suất hoặc chuyển vị, vận tốc, gia tốc…) trong kết cấu khi chịu tác dụng của c

CHƯƠNG 2HỆ MỘT BẬC TỰ DO

2.1 THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG

2.1.1 Mô hình hệ một bậc tự do

Mô hình đơn giản nhất của hệ một bậc tự do (Single Degree of Freedom system

- SDOFs), gồm các đặc trưng vật lý tập trung (Concentrated Properties):

Khối lượng: m

Độ cứng: k

Hệ số cản: c

Lực kích động: p(t)

Chú ý: Hệ một bậc tự do có các đặc trưng phân bố về m, k, c, p(t) đều có thể đưa

về mô hình có các đặc trưng vật lý tập trung (hệ một bậc tự do suy rộng).

2.1.2 Các phương pháp thiết lập phương trình chuyển động

2.1.2.1 Nguyên lý D’Alembert

p(t) + f S + f I + f D =0

p(t) f

f f

D

Các lực tác dụng

c k

v(t) p(t) m

Mô hình SDOFs

2.1.2.2 Nguyên lý công khả dĩ

Cho khối lượng chuyển vị khả dĩ v Công khả dĩ:

W = p(t)v + f Sv + f I  v + f Dv = 0

hay [ m v  v  kv p(t)] v 0

vì v  0 nên thu được phương trình chuyển động giống như (2.1).

2.1.2.3 Nguyên lý Hamilton

Động năng của hệ: 2

2

1

v m

T   , biến phân động năng T m v v

Thế năng biến dạng đàn hồi của lò xo: 2

2

1

kv

V  , biến phân V kvv Biến phân công của lực không bảo toàn p(t) và f D (tức là công khả dĩ củahai lực này trên chuyển vị khả dĩ v): W nc p(t) v v v

Theo nguyên lý Hamilton: [ ( ) ] 0

nc dt W V



0])([

dt v t p v v v kv v v

m    (2.2) tích phân từng phần số hạng thứ nhất:

1

0

t t

t t t

t

vdt v m v

v m dt v v

(2.4)

f = kvsLực

Chuyển vị

vì v tùy ý nên biểu thức:  m v  v  kv p( t) 0 có dạng giống với (2.1)

Nhận xét: Cả 3 phương pháp cho cùng kết qủa vì cùng dựa trên định luật

quán tính của Newton Trong trường hợp cụ thể này nguyên lý D’Alembert là đơn

giản nhất

2.1.3 Ảnh hưởng của trọng lực

Hệ ở trên hình có phương trình chuyển động:

W ) t ( p kv v v

m     

trong đó W là trọng lượng của khối cứng.

Chuyển vị v gồm tổng của chuyển vị tĩnh (Static Displacement) st gây bởi

trọng lượng W và chuyển vị động v

v

v st 

Thay biểu thức của lực đàn hồi f s kvkst  v

vào phương trình chuyển động:

W t p v k

v v

m    st   ( ) Mặt khác W kst nên phương trình cuối cùng thu được:

)

(t

p v v v

m    

Kết luận:

Nếu lấy vị trí cân bằng tĩnh học do trọng lượng P = mg gây ra làm mốc để

tính chuyển vị thì phương trình vi phân chuyển động vẫn có dạng (2.1)

c k

m

v(t) p(t)

(t)

2.1.4 Ảnh hưởng của sự rung động gối tựa

Dựa vào hình vẽ, ta có phương trình cân bằng lực:

m      g  eff (2.5)

Kết luận: Trong phương trình trên P eff(t)  m vg là tải trọng do rung động gối tựa.Như vậy sự rung động của mặt đất tương đương như lực kích động P eff tác dụng tạivật nặng

2.1.5 Hệ một bậc tự do suy rộng (Generalised SDOF System)

Xét hệ có đặc trưng vật lý phân bố (m, EI…), thực chất có vô hạn bậc tự do.

Nếu coi hệ chỉ dao động với một hàm dạng nào đó thì hệ trở thành 1 bậc tự do Cầntìm các đặc trưng vật lý tập trung cho hệ 1 bậc tự do đó

l x

v (x,t) e(t)

z(t)

m(x) EI(x) v(x,t)

Giả sử hệ chịu rung động ngang v g (t) của gối tựa (do động đất chẳng hạn).

Dùng nguyên lý Hamilton để thiết lập phương trình chuyển động Đặt:

v(x,t) = (x) Z(t) (2.6)

trong đó:

(x) - Hàm dạng (Shape Function)

Z(t) - Tọa độ suy rộng (Generalised Coordinate)

Động năng của hệ:

v x t  dx x

m

0

),()(2

T l t t

0

 (2.7) Thế năng uốn:

x EI

0

) , (

"

) ( 2

e t l v x t 2dx

0

),('2

1)(   (2.9)

Thế năng lực dọc (chọn vị trí ban đầu của N có thế năng bằng 0 ):

N Ne

0

) , ( '

t t

dt V T

 (*), với V = V f + V N

Thế (2.7), (2.8) và (2.10) vào (*):

Dùng các liên hệ:

l

dx x f

0

)( không phụ thuộc t, nên đóng vai trò là các hằng số khi thực hiện tích phân theo biến t Để làm xuất hiện các thừa số Z trong

2 số hạng đầu, ta tiến hành tích phân từng phần:

1 2 1 2

1

2 1 2

1

) (

t

t

t

t t

Z Z Z

Z dt Z dt

d Z dt dt

dZ Z dt Z

1

) ( )

( )

(

t t g t

trong đó: 

l

dx x m m

EI k

Vì Z bất kỳ nên lượng trong dấu ngoặc triệt tiêu Ta thu được phương trình

vi phân chuyển động của hệ một bậc tự do suy rộng:

m*Z(t) k*Z(t) p t* (t) (2.18)

với * * *

G

k k

k   : Độ cứng suy rộng kết hợp (2.19)

Khi lực dọc N đạt trị số tới hạn N = N cr thì * 0

dx

dx x

EI N

0

2 0

2

) '

Nếu thanh chịu lực kích thích phân bố p(x,t) và lực dọc N(x) thì công thức tính

lực kích thích suy rộng (lực tập trung) p * (t) và độ cứng hình học k *

G lần lượt là:



l

dx x t x p t

0

2

p(x,t)

Thí dụ: Example E8.3, page 144, [1]

Thiết lập phương trình vi phân dao động của hệ một bậc tự do suy rộng vớicác đặt trưng vật lý (khối lượng, độ cứng ) phân bố đều theo chiều cao như trênhình vẽ Cho biết phương trình đường đàn hồi (hàm dạng ) được chọn như sau:

2 cos 1 )

dx m

2 cos 1

2 2 2 0

2

*

32 2

cos 4

"

L

EI dx L

x L EI dx EI

0 2

cos 1 ) ( )

(

)

(

0 0

L

x t

v m dx m t v

chuyển vị

O

t

4

t v L m t

Z L

EI t

Z L

x L N dx N

k

0

2 0

2 2

*

8 2

sin 2

EI k

k

8 32

2 3

cr

N L

0 ) ( 1

32 ) ( 228

.

4

t v L m t

Z N

N L

EI t

Z L

2 2

L

EI dx L EI

x N

k G L

3

4 2

0

2 2

3 4

3 4

L

EI L L

EI

giá trị này lớn hơn 21% so với giá trị từ (h)

2.2 DAO ĐỘNG TỰ DO

2.2.1 Nghiệm của phương trình chuyển động

Phương trình chuyển động của hệ 1 bậc tự do (kể cả suy rộng) có dạng:

) ( )

( ) (t v t kv p t v

m    

Nếu không có lực kích thích p(t) = 0 thì:

m v (t)  v (t) kv 0 (a)

Nghiệm có dạng: v(t) = Ge st

Thế vào (a) ta được:

Đặt 2 m k thì (b) dẫn tới:

(c) là phương trình đặc trưng, nghiệm s của (c) tùy thuộc vào hệ số cản c.

2.2.2 Dao động tự do không cản - c = 0

Khi đó (c) có nghiệm: s =  i do đó nghiệm của (a) là:

v

sint + v(0)cost (2.24) Có thể viết (2.24) dưới dạng khác:

e = cost isintCông thức Euler:  it

v(t) =  cos(t - ) (2.24') Với biên độ 2 ( 0 ) 2

)]

0 ( [  

c

(2.27)

Dạng dao động phụ thuộc vào trị số của hệ số cản c (vào biểu thức dưới dấu

căn có dấu dương, âm hay bằng không)

- Cản tới hạn (Critical damping) c = c cr

c cr = 2m thì 0

2

2 2

t

O

) 0 ( )

0 ( ) 0

) 0 ( ) 0 (

v

v v

Đồ thị chuyển động với v(0)  0, v( 0 ) = 0 như hình vẽ

Xác định tỉ số cản :

Phương trình dao động tự do theo điều kiện ban đầu:

v(t) = e -t (

D

v v





) 0 ( ) 0 ( 

Chu kỳ dao động có cản: T =

exp(

) exp(

) 2 ( 2 1

2 2

v

v v



(2.32) Chính xác hơn:  =

m n

m n n

v m

v v

Hệ số cản c được xác định theo công thức:

c = 2m (2.34)

- Cản nhiều (Overdamping)

Khi  > 1 (c > c cr ) thì không có dao động, tương tự khi c = c cr

 càng lớn thì chuyển động về vị trí cân bằng càng chậm

2.3 PHẢN ỨNG VỚI TẢI TRỌNG ĐIỀU HOÀ

2.3.1 Hệ không cản

Lực kích thích: p(t) p0 sin t

Phương trình dao động: m v (t) kv(t) p osint (a)

Nghiệm thuần nhất (quá độ): v h(t) AsintBcost

Nghiệm riêng dạng (ổn định): v p(t) Gsin t

Thế vào (a) rút ra: 1 2

t k

p t B t A t v t v t

sin )

( ) ( )

k

p t

t v v

t v t R

o st

Trong thực tế, lực cản làm cho số hạng sau biến mất sau một khoảng thời

gian ngắn Khi đó hệ số động (Manification Factor) sẽ là:

2 ) 1

1 ) (

t v

2.3.2 Hệ có cản

m

p t v t

v t

Nghiệm tổng quát: v t e t A D t B D t

h( )   ( sin   cos  )Nghiệm riêng: v p(t) G1sin tG2cos t

Thế vào (2.39) và đồng nhất 2 vế, thu được:

2 2

2 2

2 2

2

2 1

) 2 ( ) 1 (

2

) 2 ( ) 1 ( 1

p G

o

o

(2.40)

Vì nghiệm quá độ tắt rất nhanh, nên hệ chỉ dao động theo nghiệm riêng

Dùng vector quay trên giản đồ Argrand, ta tìm được:

2 1 2

2 2

2

1

2 ]

) 2 ( ) 1 [(

) (t   t  

- Hệ số động (Dynamic Magnification Factor):

2 2

2) (2 )1

3

4

D

2.3.3 Sự cộng hưởng (Resonance)

Nếu hệ không cản, tức là  = 0 thì D=1  

Đối với hệ có cản  khác 0, thì Dmax xảy ra khi:

2 max

2

1 2 1

2 1 0

dD

dinh

(2.45)

Như vậy: Dmax khác D=1

Tuy nhiên, với hệ có tỉ số cản  bé thì có thể coi:



1 1 max D  

2.3.4 Sự cô lập dao động (Vibration Isolation)

Sự cô lập dao động cần thiết trong 2 trường hợp:

- Thiết bị máy móc truyền rung động có hại xuống kết cấu đỡ

- Kết cấu đỡ (bị rung) truyền dao động có hại cho thiết bị ở trên

1 Xét motor quay, tạo ra lực kích động:

t p

)

k

p t

p(t) = p0 sint

f v

Phản lực nền

Vận tốc: ( )  Dcos(t )

k

p t



Lực đàn hồi: f s kv(t) p o Dsin(  t  )

Lực cản:  ( )   cos(t  )  2p Dcos(t )

k

D cp t v

2 max

2 max  f  f  p D 1  2 

21

2 2 2

2 max

f TR

o TR = D nếu  = 0 (không cản) (2.47)

Đồ thị cho thấy các đường cong đều:

Đạt cực đại tại  =1

Cùng đi qua điểm có  = 2

Với  > 2thì TR < 1

Tỷ số cản  làm giảm hiệu

quả của việc cô lập dao động khi 

> 2 ==> Không nên dùng damper

2 Xét khối lượng m, chịu kích động

của gối tựa

Chuyển động tương đối của m so với gối tựa cho bởi phương trình:

) sin(

) (t v   2D t 

v t go

Tỷ số truyền:

Tỷ số truyền dao động Vibra Transmi Ratio

v g (t)=v g sin t

 2

max  1  2 

TR v

v

go

t

(2.48)

Tỷ số truyền dao động giống nhau cho cả 2 trường hợp

Chú ý: Nếu không có damper thì:

Giải

cm

kG in

lb

203 0

4 45 08

0

1816 2

.

g k

2 12

s v

L

Tỷ số chu kỳ:

Biên độ dao động đứng của ôtô là:

3 2

1

2

2 2

2 2

2 2

572 0

1,2in=3,05cm

mặt cầu

Neâu xe khođng coù damper ( = 0) thì:

)(69.27944

.01

05.31

1

2 2

Baøi taôp 4-3, page-77, [1]

Xeùt lái baøi toaùn tređn, nhöng nhòp L = 36 ft = 10.97 m Xaùc ñònh:

a.Toẫc ñoô gađy coông höôûng cho xe: T p = T = 0.572 s

0 2

4 0 2 1 05 3 2

2 1 2

2 1

2 1

2 1 1

2 2

2 2 2

2 2 2

2

2 max

cm TR

T T

v v

v v

v

go go

go go

1

2 1

) ( 048 1 546 0

572 0

) ( 546 0 1 20

97 10

2 1 2 2

2 2

1 2 2

2

2 2

T

s v

L T

p p

) ( 72 4 546 1 05 3

2.4 PHẢN ỨNG VỚI TẢI TRỌNG CHU KỲ

2.4.1 Khai triển tải trọng thành chuỗi Fourier

Tải trọng p(t) có chu kỳ T p được khai triển chuỗi Fourier:

t T

n a

a t

n t

p T b

dt t T

n t

p T

a

dt t p T a

p T

p p

n

p T

p p

n

p T

p o

)

2 sin(

) ( 2

)

2 cos(

) ( 2

) ( 1

0 0 0

2.4.2 Phản ứng với tải trọng chu kỳ

Khi một tải trọng chu kỳ được phân tích ra chuỗi Fourier (2.50) thì phản ứng

của hệ được xác định theo nguyên lý chồng chất Bỏ qua nghiệm quá độ, trongtrường hợp hệ không cản, phản ứng như sau:

- Với số hạng tải trọng t dt

T

n b

p

nsin(2 ) thì phản ứng của hệ theo (2.37) là:

)sin(

1

1)

k

b t v

p n



2 cos , phản ứng được xác định tương tự:

v(t)

t

O

t n k

a t v

1

1 1

) (

a k t

nx i nx

e inx  cos  sin , inx  cos  sin

Suy ra:

2 cos

inx inx e e nx

inx inx

2 sin





Tải trọng:

2 2

( sin

cos )

(

1

e e b e

e a a

t b

t n a a

t

p

inx inx

n n

inx inx

n o

n inx o

ib a e ib a e a

T p

n n

T dt t t

n t

p T

ib a

c

0 0

1

cos ) (

1 2

p o

T

t

i n p

n n

n n

a dt

t p T

c n

dt e

t p T

ib a

c c

p p

:

0

) ( 1

t in

t in

o

e c t

p hay

e c e

c c

t p

1

1 1

) (

) (

1 1

c   1 cũng là hai số

phức liên hợp, và có tổng là thực (Real).

Dạng phức của nghiệm:

Khi phân tích tải trọng ra chuỗi Fourier phức (2.53), phương trình chuyển động ứng với một số hạng - hàm lực phức đơn vị (Unit complex forcing function)

dưới dạng:

t in

e t kv t v t v

t in

12

1)

(

in n

k n

n e c n H t

v( ) ( 1)  1

Chú ý:

- H(n1)và H ( n1) là số phức liên hợp

- H(n1) gọi là hàm truyền - Complex frequency response function hay là

Transfer function.

2.5 PHẢN ỨNG VỚI TẢI TRỌNG DẠNG XUNG

2.5.1 Khái niệm tải trọng xung (Impulsive Loads)

- Là tải trọng tác dụng trong thời gian tương đối

ngắn, đột ngột

- Phản ứng (chuyển vị chẳng hạn ) lớn nhất của

hệ đạt được trong thời gian rất ngắn

- Lực cản có vai trò nhỏ, hấp thụ ít năng lượng

của kết cấu Vì vậy chỉ xét hệ không có cản để

đơn giản hóa

2.5.2 Xung hình sin

Xét tải trọng nửa sóng hình sin Phản

ứng của hệ được chia ra 2 pha: Cưỡng bức và

tự do

+ Phase I: 0 t  t1

Kết cấu chịu tác dụng của tải trọng điều

hòa

Điều kiện ban đầu: v(o) = v(o) = 0

(trạng thái nghỉ) Phản ứng gồm 2 số

hạng (quá độ và ổn định) cho bởi

(2.37) :

) sin (sin

1

1 )

k

p t

v t t

v t

 )sin ( ) cos

( )



Tùy thuộc vào tỷ số t 1 / T mà phản ứng cực đại thuộc vào Phase I hoặc Phase II.

- Nếu v max thuộc Phase I :tt1 

Hay cost cost t  2 n t   ,n 0 ,  1 ,  2 ,

(a)

Thế (a) vào (2.59) tìm được v max

Đặc biệt: khi  , trong (a) lấy dấu (-) và n=1 ta có :

Tải trọng đặt đột ngột và giữ nguyên

không đổi trong phase I Nghiệm riêng cho tải

trọng bậc thang (Step loads) là chuyển vị tĩnh:

t t

v t t

v t

)sin ( ) cos

( )

- v max thuộc Phase II: t t t1  0

1

2 1 max v(t ) v(t )

T k

p t k

cos 1 2

T k

2 cos 1

V D

o

1 max 2sin



T t

(

t

t k

P t

p

Ứng với điều kiện ban đầu nghỉ, nghiệm tổng

quát có dạng:

1

t t t

t k

p t





(2.65) + Phase II: t  0

Điều kiện ban đầu tại t  0, hay t = t 1 từ (2.65)

1 1

1 1

1

1 sin

cos )

(

cos

sin )

(

t

t t

t k

p t v

t t

t k

p t v

o o

Dao động tự do của Phase II thu được bằng cách thế (2.66) vào (2.60) v max

tìm từ điều kiện v (t) = 0 Với 1 0.4

T

t

thì v max thuộc Phase I

Hệ số động D cho ở bảng:

T

t1 0.20 0.40 0.50 0.75 1.00 1.50 2.00

D 0.66 1.05 1.20 1.42 1.55 1.69 1.76

2.5.5 Phổ phản ứng (Response Spectra)

Khái niệm: Phổ phản ứng là đồ thị của hệ số động D theo tỷ số chiều dài xung T

Ý nghĩa: Dùng tính chuyển vị của kết cấu chiụ tác dụng của xung lực.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 0.4

Chú ý:

Nếu kết cấu chịu chuyển động của gối đỡ v g (t), thì sẽ tương đương với chịu

lực xung p t (t) = -m v g (t), với trị số lớn nhất p o = - m v g0 Khi này hệ số động đượcđịnh nghĩa : D m v v k



max



Vì v g0 đo được nên sẽ tính được gia tốc cực đại của kết cấu vmaxt

2.5.6 Tính toán gần đúng phản ứng do lực xung

Giả xử p(t) là lực xung trong thời gian t 1 rất bé Hệ có chuyển vị v(t), cân

bằng lực:

kv t p dt

v d m

v

m    ( ) 

p kvdt v

)(

1 t p t dt v t v v t m

v(t 1) = 0 và v (t1) đóng vai trò điều kiện ban đầu của Phase II.

Dao động tự do sau khi lực thôi tác dụng có phương trình:

v t v t t v t t

 )sin ( ) cos

( )

 ( ( ) ) sin

1 )

Thí dụ: Xem E6-3, page 97-98 và Bài Tập 6-5, page 99

Dùng công thức gần đúng, phân tích phản ứng của hệ kết cấu một bậc tự do

chịu tải trọng dạng xung p(t) như hình vẽ Biết các đặc trưng vật lý của hệ kết cấu như sau: độ cứng k = 51.1 k/in, trọng lượng W = 2000 k.

(

t

s kip dt

) 14 3 ( 000 , 2

) 386 ( 10 )

trong đó gia tốc trọng trường cho bởi g 386in/s2

Phản ứng đạt cực đại khi sin t  1, nghĩa là: v max = 0.614 in.

Lực đàn hồi cực đại: f S,max kvmax  51 1 ( 06 14 )  31 4kips

p(t)

t

p 0 = 50k

Giá trị chính xác của chuyển vị cực đại được xác định từ phương pháp tích

phân trực tiếp là 0.604 in

Nhận xét: Nghiệm thu được từ phương pháp xấp xỉ khá thích hợp, sai số nhỏ hơn 2%.

2.6 PHẢN ỨNG VỚI TẢI TRỌNG TỔNG QUÁT

2.6.1 Tích phân Duhamel cho hệ không cản

Xét tải trọng bất kỳ p(t) Xét thời điểm t  , theo (2.67) ta có :

) ( sin ) ( )



t

d t p

m t v

0

) ( sin ) ( 1 )

(2.69)Ký hiệu:

) ( sin 1 )

 



t

d t h p t

v

0

) ( ) ( )

(    - Tích phân cuộn (Convolution Integral)

(2.71)Hàm h(t  ) được coi như phản ứng với xung lực đơn vị

Nếu ở thời điểm t = 0 (lực bắt đầu tác dụng), kết cấu có điều kiện ban đầu

khác không: v( 0 )  0 ,v ( 0 )  0 thì (2.69) phải kể thêm dao động tự do:

v t o

v t

0

) ( sin ) ( 1 cos

) ( sin

) ( )

2.6.2 Tích phân bằng phương pháp số cho Duhamel Integral

Dùng công thức lượng giác: sin( t  )  sin tcos   cos tsin 

Phương trình (2.69) viết lại:





t t

d p

m t d

p m t t

v

0 0

sin)(

1coscos

)(

1sin)





t t

y

d y m d p

1 cos

) (

1 )

Phương pháp Simpson

Chia t ra n phần (n chẵn)

y y y y d

y

0

4 3 2 1

3 )

t