Bài giảng động lực học - Chương 1

Bài giảng động lực học

CHƯƠNG MỞ ĐẦU 1.1 NHIỆM VỤ MÔN HỌC Động lực học kết cấu lĩnh vực học, nghiên cứu phương pháp phân tích phản ứng (nội lực, ứng suất chuyển vị, vận tốc, gia tốc…) kết cấu chịu tác dụng nguyên nhân động 1.2 TẢI TRỌNG ĐỘNG Khái niệm: Tải trọng động tải trọng thay đổi theo thời gian trị số, phương, vị trí, gây ứng suất, chuyển vị… thay đổi theo thời gian Phân loại: - Tải trọng tiền định (Deterministic Loads): tải trọng biết trước qui luật biến đổi theo thời gian P = P(t) Thí dụ: Tải trọng điều hịa, chu kỳ, không chu kỳ, xung…được mô tả theo qui luật cho trước - Tải trọng ngẫu nhiên (Random, Stochastic Loads): tải trọng biết trước qui luật xác suất đặc trưng xác suất giá trị trung bình, độ lệch chuẩn… Thí dụ: tải trọng gió, sóng biển, lực động đất… Bài toán ĐLHKC chịu tải trọng ngẫu nhiên giải lý thuyết dao động ngẫu nhiên (Random Vibration Theory) Các thơng tin cần tìm bao gồm ứng suất, chuyển vị, mang tính ngẫu nhiên với đặc trưng xác suất giá trị trung bình, độ lệch chuẩn… Nói chung, tải trọng thực tế mang tính chất ngẫu nhiên mức độ khác nhau, xác định phương pháp thống kê tốn học Các quan điểm phân tích động lực học: Phân tích tiền định, phân tích ngẫu nhiên phân tích mờ (Fuzzy Analysis) 1.3 ĐẶC THÙ CỦA BÀI TỐN ĐỘNG Bài tốn tĩnh: nội lực xác định từ cân với ngoại lực, không P Tĩnh P(t) Động q(t)= r y(t) cần dùng đường đàn hồi nên mang tính chất đơn giản Ứng suất chuyển vị khơng phụ thuộc thời gian Bài tốn động: ngoại lực bao gồm lực quán tính phụ thuộc vào đường đàn hồi y = y(x,t) Vì vậy, dẫn tới phương trình vi phân, phức tạp tốn học, khối lượng tính lớn, phải việc xác định y(x,t) Nhận xét: Bài toán tĩnh (bao gồm toán ổn định) trường hợp đặc biệt tốn động lực qn tính bỏ qua 1.4 BẬC TỰ DO CỦA KẾT CẤU Bậc tự động lực học (Number of dynamics degrees of freedom) kết cấu số thành phần chuyển vị phải xét để thể ảnh hưởng tất lực quán tính Bậc tự định nghĩa liên quan đến lực qn tính liên quan đến khối lượng Số khối lượng nhiều xác phức tạp Chú ý: Bậc tự động lực học khác với bậc tự toán tĩnh (số chuyển vị nút kết cấu) Thí dụ: cho kết cấu P hình bên, P tải trọng tĩnh số bậc tự 3, P tải trọng động số bậc tự vơ Trong thực tế, kết cấu có khối lượng phân bố nên có vơ hạn bậc tự do, việc giải tốn phức tạp nên tìm cách rời rạc hóa hệ 1.5 CÁC PHƯƠNG PHÁP RỜI RẠC HÓA P(t) m(z) P(t) m1 m2 m3 (a) (b) 1.5.1 Phương pháp khối lượng thu gọn (Lumped Mass) Thay hệ có khối lượng phân bố (a) thành khối lượng tập trung (b) theo nguyên tắc tương đương tĩnh học Đây phương pháp thường dùng hệ kết cấu phức tạp Khối lượng thường thu gọn điểm nút (thí dụ hệ dàn) Số bậc tự hệ tùy thuộc vào giả thiết tính chất chuyển vị hệ tính chất quán tính khối lượng mi Chẳng hạn, xét hệ (b) hệ phẳng: Nếu biến dạng dọc trục mi có quán tính xoay: BTD (3BTD/mass) Nếu coi mi điểm (khơng có qn tính xoay): BTD (2 chuyển vị thẳng/mass) Bỏ qua biến dạng dọc trục nên có chuyển vị đứng: BTD (1 chuyển vị đứng/mass) Chú ý: Độ phức tạp toán động lực học phụ thuộc vào số bậc tự 1.5.2 Phương pháp dùng tọa độ suy rộng (Generalised Coordinates) Giả sử đường đàn hồi tổ hợp tuyến tính hàm xác định i(x) có biên độ Zi sau: y ( x, t )   Z  ( x ) (*) đó: i(x) : Hàm dạng (Shape Functions)  i 1 i i y(x) ZI(t) : Tọa độ suy rộng L (Generalised  (x) Coordinates) Z Hàm dạng i(x) ip x tìm từ việc giải phương  (x) =sin i=1,2, ,n Z L trình vi phân đạo hàm  (x) riêng, giả thiết Z phù hợp với điều kiện  (x) biên Khi tính toán thường giữ lại số số hạng chuỗi (*) hệ trở thành hữu hạn bậc tự (Zi đóng vai trị bậc tự do) 1 i 2 3 1.5.3 Phương pháp phần tữ hữu hạn (Finite Element Method - FEM) Đây trường hợp đặc biệt phương pháp tọa độ suy rộng, đó: - Zi chuyển vị nút (Tọa độ suy rộng) - i(x) hàm nội suy (Interpolation Functions) phần tử - Hàm dạng a Thường hàm nội suy i(x) chọn giống b c 3v(c) 3v(b) v3=1 3(c) 3(b) 3=1 d cho phần tử (ứng với bậc tự do) hàm đa thức nên việc tính tốn đơn giản Đặc biệt, tính chất cục hàm nội suy nên phương trình liên kết (uncoupled) với làm giảm nhiều khối lượng tính tốn 1.6 CÁC PHƯƠNG PHÁP THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG 1.6.1 Nguyên lý D’Alembert Xét khối lượng mi (i=1,n) chịu tác động lực Pi(t) có chuyển vị vi(t) gia tốc v (t ) Nếu đặt thêm lực quán tính khối lượng mi cân bằng:    (t ) 0 P (t )  m v (1.1) Nếu hệ có n bậc tự có n phương trình vi phân chuyển động i i i i 1.6.2 Nguyên lý công Cho khối lượng mi (i=1,n) chuyển vị vi , công khã dĩ W lực tác dụng lên mi (cân bằng) chuyển vị vi phải triệt tiêu:     (t )]v 0  [ P (t )  m v (1.2) Ngun lí cơng thích hợp cho hệ phức tạp gồm khối lượng điểm khối lượng có qn tính xoay Các số hạng phương trình i i i i vơ hướng (scalar) nên lập phương trình đơn giản so với phương trình vector Nếu cho hệ chuyển vị v theo bậc tự thu n phương trình vi phân chuyển động Ký hiệu công ngoại lực Pi(t) W, từ (1.2) ta có biến phân cơng khả dĩ: W  P (t )v  mv (t )]v (1.3) i i i i i 1.6.3 Nguyên lý Hamilton (page 344, [1]) Xét hệ gồm khối lượng mi (i=1, n) có chuyển vị vi(t) hai thời điểm t1 t2, chuyển vị có trị số vi(t1) vi(t2) tương ứng với hai đường biến dạng (b) (c) Đường biến dạng (d) ứng với t = t1 + t < t2 Đường biến dạng thật tuân theo định luật II Newton Đường lệch trùng với đường thật hai thời điểm t1 t2: v1(t1) =v1(t2) =0 (1.4) Động hệ thời điểm t: T n i i  m v T (v i ) i 1 Biến phân động T tương ứng với biến phân chuyển vị vi: T dv d v  m v  v  m v   m v v        T = V = dt dt (1.5) n i 1 n i i i 1 i i i i i i i i i i i m v3 v2 v1 m m v4 m (a) t=t1 v1 1(t1 ) (b) Mặt khác, ta có đồng thức: t=t2 v1 (t 2) (c) d v1 thật t=t1 +Dt < t2 d v2 v(t1 +D t) (d) d v4 d v3 d d (v iv i ) vivi  v i vi dt dt Nhân hai vế với mi lấy tổng cho toàn hệ: Đường Newton (thật) dv1 (t1+Dt) v1 (t) Đường lệch v(t)+ dv1 v1 (t1) t1 v(t +Dt) 1 t1 +Dt v1(t 2) t2 t d d  (m i v v i )  m i vi v i   m i v i v i i i dt i dt d  ( mi v ivi ) T  W dt i (1.6) Nhân hai vế với dt lấy tích phân từ t1 đến t2:  mi v i v i t2 t1 t2  (T  W )dt t1 Theo vi(t1) = vi(t2) = với i nên vế trái triệt tiêu: t2 (1.7) Nếu ngoại lực tác dụng hệ gồm lực bảo toàn (lực thế) lực khơng bảo tồn (thí dụ lực ma sát) biến phân cơng ngoại lực W tách hai thành phần: W = Wc + Wnc (1.8) Đối với lực bảo tồn cơng lực độ giảm hệ nên:  Wc = -  V (1.9) với V biến phân Thế (1.9) vào (1.8): W = -V + Wnc (1.10) Thế vào (1.7):  (T  V )dt  W dt 0 (1.11) Đây nguyên lý biến phân Hamilton, đó: T: Động hệ V: Thế hệ, gồm biến dạng đàn hồi lực bảo toàn Wnc : Cơng lực khơng bảo tồn (lực cản, ma sát, ngoại lực ) (T  W )dt 0 t1  t2 t2 t1 t1 nc Ý nghĩa Công thức (1.7) viết lại: t2  (T  W )dt 0 t1 (1.12) Như vậy, tất đường chuyển động khoảng thời gian từ t1 đến t2 đường làm cho tích phân (T  W )dt 0 có giá trị dừng (cực tiểu) đường chuyển động tuân theo định luật Newton t2 t1 Bài toán tĩnh T = (1.7) trở thành: Wdt 0 suy W 0 hay  (V  W ) 0 (1.13) Đây nguyên lý cực tiểu toán tĩnh (Nếu hệ cân ổn định hệ cực tiểu) Chú ý: Nguyên lý Hamilton phương pháp lượng, khơng dùng trực tiếp đến lực qn tính lực bảo tồn Dùng thích hợp cho hệ phức tạp, khối lượng phân bố t2 nc t1 Nhận xét: Cả phương pháp D’Alembert, Virtual Work Hamilton dẫn đến phương trình chuyển động giống (đều mang chất định luật II Newton) Phương trình Lagrange Gọi q1, q2, , qn tọa độ suy rộng Trong cơng thức (1.11) ta có: T T (q1 , q2 , , qn , q1 , q , , q n ) V V ( q1 , q , , q n ) Wnc Q1 q  Q2  q   Qn  q n , với Qi lực suy rộng không bảo toàn Thế vào (1.11): t2 T ( q q1   t1 T T T V V q n  q   q n  q1   q n  Q1q1  Qnq n )dt 0 q n q q n q1 q n (*) Tích phân số hạng chứa vận tốc q phần: T T  T q dt  q  ( ( )q dt (1.14) ( q q t q Thế vào biểu thức (*):    T   T V ( )   Q  q dt 0 (1.15)    q q     T q Vì qi tùy ý nên:  T T V ( )  Q (1.16) T q q q Đây phương trình Larange, dùng cho hệ tuyến tính i t2 t2 t1 t2 n t1 i 1 i i i 1 i i i i i i t1 t2 t1 i ... = V = dt dt (1. 5) n i ? ?1 n i i i ? ?1 i i i i i i i i i i i m v3 v2 v1 m m v4 m (a) t=t1 v1 1( t1 ) (b) Mặt khác, ta có đồng thức: t=t2 v1 (t 2) (c) d v1 thật t=t1 +Dt < t2 d v2 v(t1 +D t) (d) d... (thật) dv1 (t1+Dt) v1 (t) Đường lệch v(t)+ dv1 v1 (t1) t1 v(t +Dt) 1 t1 +Dt v1(t 2) t2 t d d  (m i v v i )  m i vi v i   m i v i v i i i dt i dt d  ( mi v ivi ) T  W dt i (1. 6)... lực ma sát) biến phân công ngoại lực W tách hai thành phần: W = Wc + Wnc (1. 8) Đối với lực bảo tồn cơng lực độ giảm hệ nên:  Wc = -  V (1. 9) với V biến phân Thế (1. 9) vào (1. 8): W = -? ??V