Bài giảng động lực học - Chương 1

Bài giảng động lực học

CHƯƠNG 1 MỞ ĐẦU

1.1 NHIỆM VỤ MÔN HỌC

Động lực học kết cấu là một lĩnh vực của cơ học, nghiên cứu các phương pháp phân tích phản

ứng (nội lực, ứng suất hoặc chuyển vị, vận tốc, gia tốc…) trong kết cấu khi chịu tác dụng của các

nguyên nhân động

1.2 TẢI TRỌNG ĐỘNG

Khái niệm:

Tải trọng động là tải trọng thay đổi theo thời gian về trị số, phương, vị trí, gây ra ứng suất, chuyển vị… cũng thay đổi theo thời gian

Phân loại:

- Tải trọng tiền định (Deterministic Loads): là tải trọng biết trước được qui luật biến đổi theo

thời gian P = P(t) Thí dụ: Tải trọng điều hòa,

chu kỳ, không chu kỳ, xung…được mô tả theo qui luật cho trước

- Tải trọng ngẫu nhiên (Random, Stochastic

Loads): là tải trọng biết trước được qui luật xác

suất và các đặc trưng xác suất như giá trị trung

biển, lực động đất…

Bài toán ĐLHKC chịu tải trọng ngẫu nhiên được giải quyết bằng lý thuyết dao động ngẫu nhiên (Random Vibration Theory) Các thông tin cần tìm bao gồm ứng suất, chuyển vị, cũng mang tính ngẫu nhiên với các đặc trưng xác suất giá trị trung bình, độ lệch chuẩn…

Nói chung, các tải trọng trong thực tế đều mang tính chất ngẫu nhiên ở mức độ khác nhau,

và được xác định bằng phương pháp thống kê toán học

Các quan điểm phân tích động lực học:

Phân tích tiền định, phân tích ngẫu nhiên và phân tích mờ (Fuzzy Analysis)

1.3 ĐẶC THÙ CỦA BÀI

TOÁN ĐỘNG

Bài toán tĩnh: nội lực

được xác định từ sự cân

bằng với ngoại lực, không

Tĩnh

Động q(t)= r y(t)

P(t) P

cần dùng đường đàn hồi nên mang tính chất đơn giản Ứng suất và chuyển vị không phụ thuộc thời gian

tính phụ thuộc vào đường đàn hồi y = y(x,t) Vì vậy, dẫn tới phương trình vi phân, phức tạp về toán học, khối lượng tính lớn, phải bắt đầu từ việc

xác định y(x,t).

Nhận xét:

Bài toán tĩnh (bao gồm cả bài toán ổn định) là trường hợp đặc biệt của bài toán động khi lực quán tính được bỏ qua

1.4 BẬC TỰ DO CỦA KẾT CẤU

Bậc tự do động lực học ( Number of dynamics

chuyển vị phải xét để thể hiện được ảnh hưởng của tất cả các lực quán tính.

Bậc tự do được định nghĩa trong sự liên quan đến lực quán tính và do đó liên quan đến khối

xác nhưng cũng càng phức tạp

Chú ý: Bậc tự do động lực học khác với bậc tự

do trong bài toán tĩnh (số chuyển vị nút của kết cấu)

Thí dụ: cho kết cấu như

hình bên, nếu P là tải trọng tĩnh

thì số bậc tự do là 3, nếu P là tải

trọng động thì số bậc tự do là vô

cùng

Trong thực tế, các kết cấu đều có khối lượng

toán rất phức tạp nên tìm cách rời rạc hóa hệ

1.5 CÁC PHƯƠNG PHÁP RỜI RẠC HÓA

1.5.1 Phương pháp khối lượng thu gọn (Lumped Mass)

Thay thế hệ có khối lượng phân bố (a) thành các khối lượng tập trung (b) theo nguyên tắc tương đương tĩnh học Đây là phương pháp

P(t)

m(z) P(t)

m1 m2 m3

(a) (b)

P

thường được dùng trong hệ kết cấu phức tạp Khối lượng thường được thu gọn về điểm nút (thí

dụ như hệ dàn)

Số bậc tự do của hệ tùy thuộc vào giả thiết về tính chất chuyển vị của hệ và tính chất quán tính

của các khối lượng m i Chẳng hạn, xét hệ (b) là hệ phẳng:

Nếu biến dạng dọc trục và m i có quán tính xoay: 9 BTD (3BTD/mass)

Nếu coi m i là một điểm (không có quán tính

xoay): 6 BTD (2 chuyển vị thẳng/mass)

Bỏ qua biến dạng dọc trục nên chỉ có chuyển

vị đứng: 3 BTD (1 chuyển vị đứng/mass)

Chú ý: Độ phức tạp của bài toán động lực học

phụ thuộc vào số bậc tự do

1.5.2 Phương pháp dùng tọa độ suy rộng

(Generalised Coordinates)

Giả sử đường đàn hồi là tổ hợp tuyến tính của các hàm xác định i (x) có biên độ Z i như sau:





 1

) ( )

, (

x Z t

x

trong đó: i (x) : Hàm dạng (Shape Functions)

Z I (t) : Tọa độ suy rộng

(Generalised

Coordinates)

Hàm dạng i (x) được

tìm từ việc giải phương

trình vi phân đạo hàm

riêng, hoặc do giả thiết

phù hợp với điều kiện

biên Khi tính toán

thường giữ lại một số số

hạng đầu tiên của chuỗi (*) và hệ trở thành hữu

hạn bậc tự do (Z i đóng vai trò bậc tự do)

1.5.3 Phương pháp phần tữ hữu hạn

(Finite Element Method - FEM)

Đây là trường hợp đặc biệt của phương pháp

tọa độ suy rộng, trong đó:

- Z i là các chuyển vị nút (Tọa độ suy rộng).

- i (x) là các hàm nội suy (Interpolation

Functions) các phần tử - Hàm dạng.

Thường các

hàm nội suy i (x)

được chọn giống

L

Z 2

Z 3

y(x)

1 (x)

Z 1

3 (x)

2 (x)

ip x

L i=1,2, ,n

i (x) =sin

3 2

v 3 =1

3v (c)

3v (b)

3 =1

3 (c)

3 (b)

nhau cho các phần tử (ứng với cùng một bậc tự do) và là hàm đa thức nên việc tính toán được đơn giản Đặc biệt, do tính chất cục bộ của các hàm nội suy nên các phương trình ít liên kết

(uncoupled) với nhau làm giảm nhiều khối lượng

tính toán

1.6 CÁC PHƯƠNG PHÁP THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG

1.6.1 Nguyên lý D’Alembert

Xét khối lượng m i (i=1,n) chịu tác động của lực P i (t) có chuyển vị v i (t) và gia tốc vi (t) Nếu đặt

thêm lực quán tính thì khối lượng m i sẽ cân bằng:

0 ) ( )

Nếu hệ có n bậc tự do thì sẽ có n phương trình

vi phân chuyển động

1.6.2 Nguyên lý công khả dĩ

Cho khối lượng mi (i=1,n) một chuyển vị khả

dĩ v i , công khã dĩ W của các lực tác dụng lên

mi (cân bằng) trên chuyển vị v i phải triệt tiêu:

 [Pi(t)  m i vi(t)] vi  0 (1.2) Nguyên lí công khả dĩ thích hợp cho hệ phức tạp gồm các khối lượng điểm và khối lượng có quán tính xoay Các số hạng trong phương trình

là các vô hướng (scalar) nên lập phương trình đơn giản so với phương trình vector

Nếu cho hệ các chuyển vị khả dĩ v i lần lượt

theo các bậc tự do sẽ thu được n phương trình vi

phân của chuyển động

Ký hiệu công khả dĩ của ngoại lực P i (t) là W,

từ (1.2) ta có biến phân công khả dĩ:

 P i t v i m v i t v i

 ( )  ( )] (1.3)

1.6.3 Nguyên lý Hamilton (page 344, [1])

Xét hệ gồm các khối lượng mi (i=1, n) có các chuyển vị v i (t) ở hai thời điểm t 1 và t 2, chuyển vị

có các trị số v i (t 1 ) và v i (t 2 ) tương ứng với hai

đường biến dạng (b) và (c) Đường biến dạng (d)

ứng với t = t 1 + t < t 2 Đường biến dạng thật tuân theo định luật II Newton Đường lệch trùng

với đường thật tại hai thời điểm t 1 và t 2:

v 1 (t 1 ) =v 1 (t 2 ) =0 (1.4)

Động năng của hệ tại thời điểm t:

) ( 2

1

1

2

i n

i i

m

T     



Biến phân của động năng T tương ứng với

biến phân của chuyển vị v i:

T = 







n

v V

T

1



 =     

i i i n

i i i i

v dt

d v m dt

dv v m v

v

(1.5)

Mặt khác, ta có đồng nhất thức:

i i

i i i

dt

d v v

v v

v dt

d





(

Nhân cả hai vế với m i và lấy tổng cho toàn hệ:

dt

d v m v

v m v

v

m dt

d





(

m v v T W

dt

d

 (  ) (1.6)

Nhân hai vế với dt và lấy tích phân từ t 1 đến t 2:

 





2 1

2

1 t ( )

t

t t i i

i v v T W dt

Theo trên vì v i (t 1 ) = v i (t 2 ) = 0 với mọi i nên vế

trái triệt tiêu:

v

v (t )1

v (t )1 2

t=t1

t=t2

t=t +Dt < t1 2 v(t +Dt)1 1

d v 1

2

d v

3

d v d v4

thật

(a)

(b)

(c)

(d)

1

1

t t +Dt1 t2

1 1

v(t +Dt) v (t )1 2 1

v (t )1

v (t)1

t

dv (t +Dt)1 1

Đường lệch

v(t)+dv1 1

Đường Newton (thật)

2( ) 0

1



 

t t

dt W

T 

Nếu ngoại lực tác dụng trên hệ gồm lực bảo toàn (lực thế) và lực không bảo toàn (thí dụ lực

ma sát) thì biến phân của công ngoại lực W được

tách ra hai thành phần:

W = W c + W nc (1.8) Đối với lực bảo toàn thì công của lực bằng độ giảm thế năng của hệ nên:

W c = -V (1.9) với V là biến phân của thế năng

Thế (1.9) vào (1.8):

W = -V + W nc (1.10) Thế vào (1.7):

2 ( ) 0

1

2 1



  

t t

t

t nc

dt W dt

V

Đây là nguyên lý biến phân của Hamilton, trong đó:

T: Động năng của hệ.

V: Thế năng của hệ, gồm thế năng biến dạng

đàn hồi và thế năng của lực bảo toàn

W nc : Công của lực không bảo toàn (lực cản,

ma sát, ngoại lực )

 Ý nghĩa

Công thức (1.7) được viết lại:

 2( )  0

t t

dt W T

Như vậy, trong tất cả các đường chuyển động

trong khoảng thời gian từ t 1 đến t 2 thì đường làm cho tích phân 2( ) 0

1



 

t t

dt W

là đường chuyển động tuân theo định luật Newton

Bài toán tĩnh T = 0 thì (1.7) trở thành:

0

2

1





t

t

Wdt

 suy ra W  0 hay  (V W nc)  0 (1.13)

Đây là nguyên lý thế năng cực tiểu trong bài toán tĩnh (Nếu một hệ cân bằng ổn định thì thế năng của hệ cực tiểu)

Chú ý: Nguyên lý Hamilton cũng là một

phương pháp năng lượng, trong đó không dùng trực tiếp đến lực quán tính và lực bảo toàn Dùng thích hợp cho hệ phức tạp, khối lượng phân bố

Virtual Work và Hamilton đều dẫn đến phương

trình chuyển động giống nhau (đều cùng mang bản chất định luật II Newton)

Phương trình Lagrange

Gọi q 1 , q 2 , , q n là các tọa độ suy rộng Trong công thức (1.11) ta có:

T T(q1,q2, ,q n,q1,q2, ,qn)

V  V(q1,q2, ,q n)

W nc Qq Q q  Q nq n

2

1 2

1 , với Qi là lực suy rộng không bảo toàn

Thế vào (1.11):

0 )

(

2

1

1 1 1

1

1 1

1

1

















































t

t

n n n

n

n n

n n

dt q Q q

Q q q

V q

q

V q q

T q

q

T q q

T q

q

T





















(*)

Tích phân các số hạng chứa vận tốc q itừng phần:





















1 2

1

2

1

1 1

1

1 1

) ( (

t

t

t t

dt q q

T t

q q

T dt q q

T







Thế vào biểu thức (*):

















































2

1

0 )

(

1

t

t

n

q

V q

T q

T

Vì q i là tùy ý nên:

i i i i

Q q

V q

T q

T



















) (

Đây là phương trình Larange, dùng được cho hệ tuyến tính