Động lực học kết cấu là một lĩnh vực của cơ học, nghiên cứu các phương pháp phân tích phản ứng (nội lực, ứng suất hoặc chuyển vị, vận tốc, gia tốc…) trong kết cấu khi chịu tác dụng của c
Trang 1MỞ ĐẦU1.1 Nhiệm vụ môn học
Động lực học kết cấu là một lĩnh vực của cơ học, nghiên cứu các phươngpháp phân tích phản ứng (nội lực, ứng suất hoặc chuyển vị, vận tốc, gia tốc…) trongkết cấu khi chịu tác dụng của tải trọng động.
1.2 Tải trọng động
kỳ, xung…được mô tả theo qui luật cho trước.
- Tải trọng ngẫu nhiên (Random, Stochastic Loads): là tải trọng biết trước
được qui luật xác suất và các đặc trưng xác suất như giá trị trung bình, độ lệchchuẩn… Thí dụ: lực gió, lực sóng, lực động đất…
Bài toán động lực học kết cấu chịu tải trọng ngẫu nhiên được giải quyết
bằng lý thuyết dao động ngẫu nhiên (Random Vibration Theory) Các thông tin cần
tìm bao gồm ứng suất, chuyển vị, phản lực cũng mang tính ngẫu nhiên với các đặctrưng xác suất trị trung bình, độ lệch chuẩn…
Nói chung, các tải trọng trong thực tế đều mang tính chất ngẫu nhiên ở mứcđộ khác nhau, và được xác định bằng phương pháp thống kê toán học.
Các quan điểm phân tích động lực học:
Phân tích tiền định, phân tích ngẫu nhiên và phân tích mờ (Fuzzy Analysis).
1.3 Đặc thù của bài toán động
Trang 2Bài toán tĩnh: nội lực được xác định từ sự cân bằng với ngoại lực, không cần
dùng phương trình đường đàn hồi nên mang tính chất đơn giản Do đó, ứng suất vàchuyển vị không phụ thuộc thời gian.
Bài toán động: ngoại lực bao gồm lực quán tính phụ thuộc vào phương trình
đường đàn hồi y = y(x,t) Vì vậy, dẫn tới phương trình vi phân đạo hàm riêng, phứctạp về toán học, khối lượng tính toán lớn, phải bắt đầu từ việc xác định y(x,t).
Bài toán tĩnh (bao gồm cả bài toán ổn định) là trường hợp đặc biệt của bàitoán động khi lực quán tính được bỏ qua
1.4 Bậc tự do của kết cấu
Bậc tự do động lực học (Number of dynamics degrees of freedom) của kết cấulà số thành phần chuyển vị phải xét để thể hiện được ảnh hưởng của tất cả các lựcquán tính.
Bậc tự do được định nghĩa trong sự liên quan đến lực quán tính và do đó liênquan đến khối lượng Số khối lượng càng nhiều thì càng chính xác nhưng cũng càngphức tạp.
Chú ý: Bậc tự do động lực học khác với bậc tự do
trong bài toán tĩnh (số chuyển vị nút của kết cấu)
Thí dụ: cho kết cấu như hình bên, nếu P làtải trọng tĩnh thì số bậc tự do là 3, nếu P là tải trọng
động thì số bậc tự do là vô cùng.
Trong thực tế, các kết cấu đều có khối lượngphân bố nên có vô hạn bậc tự do, việc giải bài toánrất phức tạp nên tìm cách rời rạc hóa hệ.
Bài toán tĩnh
Bài toán động
q(t)= y(t)
P
Trang 31.5 Các phương pháp rời rạc hóa
1.5.1 Phương pháp khối lượng thu gọn (Lumped Mass)
Thay thế hệ có khối lượng phân bố (a) thành các khối lượng tập trung (b)theo nguyên tắc tương đương tĩnh học Đây là phương pháp thường được dùng tronghệ kết cấu phức tạp Khối lượng thường được thu gọn về điểm nút (thí dụ như hệdàn).
Số bậc tự do của hệ tùy thuộc vào giả thiết về tính chất chuyển vị của hệ và
tính chất quán tính của các khối lượng mi Chẳng hạn, xét hệ (b) là hệ phẳng:
Nếu biến dạng dọc trục và mi có quán tính xoay: 9 BTD (3BTD/mass).
Nếu coi mi là một điểm (không có quán tính xoay): 6 BTD (2 chuyển vị
Bỏ qua biến dạng dọc trục nên chỉ có chuyển vị đứng: 3 BTD (1 chuyển vịđứng/mass).
Chú ý: Độ phức tạp của bài toán động lực học phụ thuộc vào số bậc tự do.
1.5.2 Phương pháp dùng tọa độ suy rộng (Generalised Coordinates)
Giả sử đường đàn hồi là tổ hợp tuyến tính của các hàm xác định i(x) có biên
độ Zi như sau:
trong đó:
i(x): Hàm dạng (Shape Functions)
Z(t): Tọa độ suy rộng (Generalised Coordinates)
P(t)m(z)P(t)m1 m2 m3
(a)(b)
Trang 4Hàm dạng i(x) được tìm từ việc giải phương trình vi phân đạo hàm riêng,
hoặc do giả thiết phù hợp với điều kiện biên Khi tính toán thường giữ lại một số số
hạng đầu tiên của chuỗi (*) và hệ trở thành hữu hạn bậc tự do (Zi đóng vai trò bậctự do).
1.5.3 Phương pháp phần tữ hữu hạn (Finite Element Method - FEM)
Đây là trường hợp đặc biệt của phương pháp tọa độ suy rộng, trong đó:
- Zi là các chuyển vị nút (Tọa độ suy rộng).
Thường các hàm nội suy
các phần tử (ứng với cùng mộtbậc tự do) và là hàm đa thứcnên việc tính toán được đơngiản Đặc biệt, do tính chất cụcbộ của các hàm nội suy nên cácphương trình ít liên kết
(uncoupled) với nhau làm giảm
nhiều khối lượng tính toán.
1(x)Z1
Trang 51.6 Các phương pháp thiết lập phương trình vi phân của chuyển động
1.6.1 Nguyên lý D’Alembert
Xét khối lượng mi (i=1,n) chịu tác động của lực Pi(t) có chuyển vị vi(t) và gia
tốc vi(t) Nếu đặt thêm lực quán tính thì khối lượng mi sẽ cân bằng:
Pi(t) mivi(t)0 (1.1)
Nếu hệ có n bậc tự do thì sẽ có n phương trình vi phân chuyển động.
1.6.2 Nguyên lý công khả dĩ
Cho khối lượng mi (i=1,n) một chuyển vị khả dĩ vi , công khã dĩ W của các
lực tác dụng lên mi (cân bằng) trên chuyển vị vi phải triệt tiêu:
[Pi(t) mivi(t)]vi 0 (1.2) Nguyên lí công khả dĩ thích hợp cho hệ phức tạp gồm các khối lượng điểmvà khối lượng có quán tính xoay Các số hạng trong phương trình là các vô hướng(scalar) nên lập phương trình đơn giản so với phương trình vector.
Nếu cho hệ các chuyển vị khả dĩ vi lần lượt theo các bậc tự do sẽ thu được
n phương trình vi phân của chuyển động.
Ký hiệu công khả dĩ của ngoại lực Pi(t) là W, từ (1.2) ta có biến phân công
1.6.3 Nguyên lý Hamilton (page 344, [1])
Xét hệ gồm các khối lượng mi (i=1, n) có các chuyển vị vi(t) ở hai thời điểmt1 và t2, chuyển vị có các trị số vi(t1) và vi(t2) tương ứng với hai đường biến dạng (b)
và (c) Đường biến dạng (d) ứng với t = t1 + t < t2 Đường biến dạng thật tuân theo
định luật II Newton Đường lệch trùng với đường thật tại hai thời điểm t1 và t2:
v1(t1) =v1(t2) =0 (1.4)
Động năng của hệ tại thời điểm t:
v
Trang 6Mặt khác, ta có đồng nhất thức:
mvvTWdt
t=t +t < t1 2
v(t +1 1 t)
v v4thật
1 1
v(t +t) v (t )121
Trang 7( ) 0
với V là biến phân của thế năng
Thế (1.9) vào (1.8):
W = -V + Wnc (1.10) Thế vào (1.7):
Đây là nguyên lý biến phân của Hamilton, trong đó:
T: Động năng của hệ.
V: Thế năng của hệ, gồm thế năng biến dạng đàn hồi và thế năng củalực bảo toàn.
Như vậy, trong tất cả các đường chuyển động trong khoảng thời gian từ t1
đến t2 thì đường làm cho tích phân 2( ) 0
T có giá trị dừng (cực tiểu) làđường chuyển động tuân theo định luật Newton.
Bài toán tĩnh T = 0 thì (1.7) trở thành:
Trang 8Chú ý: Nguyên lý Hamilton cũng là một phương pháp năng lượng, trong đó
không dùng trực tiếp đến lực quán tính và lực bảo toàn Dùng thích hợp cho hệphức tạp, khối lượng phân bố.
Nhận xét: Cả 3 phương pháp D’Alembert, Virtual Work và Hamilton đều dẫn đến
phương trình chuyển động giống nhau (đều cùng mang bản chất định luật IINewton).
(1.14)Thế vào biểu thức (*):
Vì qi là tùy ý nên:
Đây là phương trình Larange, dùng được cho hệ tuyến tính và phi tuyến