Bài giảng Lý thiết điều khiển tự động: Chương 4 - Khảo sát tính ổn định của hệ thống - Trường Đại Học Quốc Tế Hồng Bàng

Tính ổn định của hệ tuyến tính không phụ thuộc vào thể loại và giá trị của tín hiệu vào và trong hệ tuyến tính chỉ tồn tại một trạng thái cân bằng.. Phân biệt ba trạng thái cân bằng: -[r]

BÀI GIẢNG

LÝ THIẾT

ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

Thạc sĩ VÕ VĂN ĐỊNH

4.1 Khái niệm ổn định

4.2 Tiêu chuẩn ổn định đại số

4.1.1 Định nghĩa

Hệ thống gọi trạng thái ổn định, với tín hiệu vào bị chặn đáp ứng hệ thống bị chặn (Bounded Input Bounded Output = BIBO)

Yêu cầu hệ thống ĐKTĐ hệ thống phải giữ trạng thái ổn định chịu tác động tín hiệu vào chịu ảnh hưởng nhiễu lên hệ thống

4.1.1 Định nghĩa

Đối với hệ tuyến tính đặc tính trình q độ khơng phụ thuộc vào giá trị tác động kích thích Tính ổn định hệ tuyến tính không phụ thuộc vào thể loại giá trị tín hiệu vào hệ tuyến tính tồn trạng thái cân

Phân biệt ba trạng thái cân bằng: - Biên giới ổn định

- ổn định

4.1.1 Định nghĩa

Trên hình vẽ ta thấy thay đổi nhỏ trạng thái cân cầu, chẳn hạn cho vận tốc nhỏ ban đầu đủ bé cầu tiến tới trạng thái cân vị trí a, dao động quanh vị trí cân vị trí b vị trí d, khơng trạng thái ban đầu vị trí c Trong trường hợp đầu, ta có vị trí cân biên giới ổn định, trường hợp sau ổn định trường hợp thứ ba không ổn định

a

4.1.1 Định nghĩa

Cũng vị trí b vị trí d, cầu với độ lệch ban đầu lớn không trở vể trạng thái ban đầu - hai trạng thái b d ổn định phạm vi hẹp mà không ổn định phạm vi rộng

a

b d

4.1.2 Ổn định hệ thống tuyến tính

Một hệ thống ĐKTĐ biểu diễn phương trình vi phân dạng tổng quát:

(4.1) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 1 1 t r b dt t dr b dt t r d b dt t r d b t c a dt t dc a dt t c d a dt t c d a m m m m m m n n n n n n                 (4.2) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 1 s A s B a s a s a s a b s b s b s b s R s C s G n n n n m m m m               

4.1.2 Ổn định hệ thống tuyến tính

Nghiệm (4.1) gồm hai thành phần:

(4.3)

) ( )

( )

(t c0 t c t

c   qđ

Trong đó:

- c0(t) : nghiệm riêng (4.1) có vế phải, đặc trưng cho q trình xác lập

4.1.2 Ổn định hệ thống tuyến tính

Dạng nghiệm đặc trưng cho q trình độ hệ thống:

(4.4)

) (

1

 



n

i

t p i qđ

i

e t

c 

Trong pi nghiệm phương trình đặc tính:

(4.5)

0

)

(s  a0sn  a1sn1   an1s an 

A

pi nghiệm thực nghiệm phức liên hợp gọi nghiệm cực hệ thống Đa thức mẫu số hàm truyền đạt A(s) bậc n hệ thống có n nghiệm cực pi

4.1.2 Ổn định hệ thống tuyến tính

Zero nghiệm phương trinh B(s) = Tử số hàm truyền đạt G(s) đa thức bậc m (m < n) nên hệ thống có m nghiệm zero - zj với j = 1, 2, …, m.

Hệ thống ổn định nếu:

(4.6)

0 )

(

lim 



 cqđ t

t

Hệ thống không ổn định nếu:

(4.7)

) (

lim  



 cqđ t

4.1.2 Ổn định hệ thống tuyến tính

Trong phương trình (4.4) hệ số i số phụ thuộc vào thông số hệ trạng thái ban đầu

Nghiệm cực pi viết dạng:

(4.8)

i i

i j

p   

            i i i t t p i t t Me e i i      ) cos( 2 0 lim

Nếu i < Hệ ổn định

Nếu i =

Nếu i > Hệ không ổn định

nếu pi nghiệm phức pi nghiệm thực

4.1.2 Ổn định hệ thống tuyến tính

Phân biệt ba trường hợp phân bố cực mặt phẳng phức số: Phần thực nghiệm cực dương i >

2 Phần thực nghiệm cực dương Phần thực nghiệm cực âm i <

Mặt phẳng S Re Im

0

4.1.2 Ổn định hệ thống tuyến tính

Ổn định hệ thống phụ thuộc vào nghiệm cực mà khơng phụ thuộc vào nhiệm zero, mẫu số hàm truyền đạt

A(s) = gọi phương trình đặc tính hay phương trình đặc trưng hệ thống

1 – Hệ thống ổn định tất nghiệm phương trình đặc tính có phần thực âm: Re[pi] < 0, i < nghiệm nằm bê trái mặt phẳng phức:

2 – Hệ thống khơng ổn định có dù nghiệm phương trình đặc tính (4.9) có phần thực dương (một nghiệm phải) cịn lại nghiệm có phần thực âm (nghiệm trái) Kết luận:

(4.9)

0

)

(s  a0sn  a1sn1   an1s an 

4.1.2 Ổn định hệ thống tuyến tính

3 – Hệ thống biên giới ổn định có dù nghiệm có phần thực khơng cịn lại nghiệm có phần thực âm (một nghiệm cặp nghiệm phức liên hợp nằm trục ảo)

4.1.2 Ổn định hệ thống tuyến tính

Tất phương pháp khảo sát ổn định xét đến phương trình đặc tính (4.9) theo Tổng quát, ba cách đánh giá sau thường dùng để xét ổn định:

1- Tiêu chuẩn ổn định đại số Routh - Hurwitz

2- Tiêu chuẩn ổn định tần số Mikailov - Nyquist - Bode

4.2.1 Điều kiện cần

Điều kiện cần để hệ thống ổn định tất hệ số phương trình đặc trưng phải khác dấu

Ví dụ: hệ thống có phương trình đặc trưng:

0 1

2 3

3

  

 s s

s không ổn định

0 3

5 2

4

 

  s s

s không ổn định

0 1

2 5

4

4

  



 s s s

4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh

Cho hệ thống có phương trình đặc trưng:

0

)

(s  a0sn  a1sn1   an1s an 

A

Muốn xét tính ổn định tính ổn định hệ thống thei tiêu chuẩn Routh, trước tiên ta thành lập bảng Routh theo quy tắc: - Bảng Routh có (n + 1) hàng

- Hàng bảng Routh gồm hệ số có số chẵn - Hàng bảng Routh gồm hệ số có số lẽ

- Phần hàng i cột j bảng Routh (i > 3) tính theo cơng thức:

1 , 1

,

2  .  

 

 i j i i j

ij c c

c 

1 ,

1 ,

 



i i i

c c



4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh

Bảng Routh:

sn c

11= a0 c12=a2 c13=a4 c14=a6

-sn-1 c

21=a1 c22=a3 c23=a5 c24=a7

-sn-2 c

31=c12-3c22 c32=c13-3c23 c33=c14-3c24 c34=c15-3c25

-sn-3 c

41=c22-4c32 c42=c23-4c33 c43=c24-4c34 c44=c25-4c35

- -

-s0 c

n1=cn-2,2-ncn-1,2 11

3

21

c c

 

21

31

c c

 

2 ,1 1,1

n n

n c c

 

4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh

Phát biểu tiêu chuẩn Routh

Điều kiện cần đủ để tất nghiệm phương trình đặc trưng nằm bên trái mặt phẳng phức tất phần tử

nằm cột bảng Routh đều dương Số lần đổi dấu

4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh

Ví dụ 1: Hãy xét tính ổn định hệ thống có phương trình đặc trưng là:

0 1

2 5

4

4

  



 s s s

s

s4 1 5 1

S3 4 2 0

S2 1

S1 0

S0 1

Giải: Bảng Routh