Bài giảng Lý thiết điều khiển tự động: Chương 7 - Mô tả toán toán học hệ thống điều khiển rời rạc

Bài giảng Lý thiết điều khiển tự động: Chương 7 - Mô tả toán toán học hệ thống điều khiển rời rạc giới thiệu tới các bạn về hệ thống điều khiển rời rạc, phép biến đổi Z, mô tả hệ thống rời rạc bằng hàm truyền, mô tả hệ thống rời rạc bằng phương trình trạng thái.

Trang 1

LÝ THIẾTĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

Thạc sĩ VÕ THANH VIỆT

NĂM 2009

Trang 2

KHIỂN RỜI RẠC7.1 Hệ thống điều khiển rời rạc

7.2 Phép biến đổi Z

7.3 Mô tả hệ thống rời rạc bằng hàm truyền

7.4 Mô tả hệ thống rời rạc bằng phương trình trạng thái

Trang 3

Chương này đề cập đến một loại hệ thống điều khiển có hồi tiếp, trong đó tại một hay nhiều điểm là một chuỗi xung, không phải là hàm liên tục theo thời gian.

7.1.1 Khái niệm

Tùy thuộc vào phương pháp lượng tử hóa tinq hiệu mà ta có các loại hệ thống xử lý tín hiệu khác nhau

Phương pháp lượng tử hóa theo thời gian cho tín hiệu có biên

độ liên tục, thời gian rời rạc Hệ thống xử lý loại tín hiệu này gọi là hệ thống rời rạc

Trang 4

Nếu phép lượng tử hóa được tiến hành theo thời gian và cảtheo biên độ là kết quả nhận được là tín hiệu số Hệ thống xử

lý tín hiệu số là hệ thống số

Trong hệ thống rời rạc và hệ thống số, thông số điều khiển –biên độ của tín hiệu chỉ xuất hiện tại các thời điểm rời rạc cách đều nhau đúng bằng một chu kỳ lấy mẫu

Vì có thời gian trể tất yếu do lấy mẫu, việc ổn định hệ thống phức tạp hơn so với liên tục, do đó đòi hỏi những kỹ thuậtphân tích và thiết kế đặc biệt

7.1.1 Khái niệm

Trang 5

Sự phát triển mạnh mẽ của kỷ thuật số, kỹ thuật vi xử lý và kỹ thuật máy tính làm cho ngày càng có nhiều hệ thống điều khiển

số được sử dụng để điều khiển

Hệ thống điều khiển số có nhiều ưu điểm so với hệ thống điều khiển liên tục như uyển chuyển, linh hoạt, dễ dàng đổi thuật toán điều khiển, dễ dàng áp dụng các thuật toán điều khiển phức tạp bằng cáh lập trình

7.1.1 Khái niệm

Trang 6

Hiện nay các hệ thống điều khiển số được sử dụng rất rộng rãi,

từ các bộ điều khiển đơn giản như điêu khiển nhiệt độ, điều khiển động cơ DC, AC… đến các hệ thống điều khiển phức tạpnhư điều khiển robot, máy bay, tàu vũ trụ, các hệ thống điều khiển quá trình công nghệ hóa học và các hệ thống tự động cho những ứng dụng khác nhau

7.1.1 Khái niệm

Trang 7

Đây là sơ đồ khối của hệ thống điều khiền số thường gặp,trong hệ thống có hai loại tín hiệu:

Trang 8

Trung tâm của hệ thống là máy tính số, máy tính có chức năng

xử lý thông tin phản hồi từ cảm biến và xuất ra tín hiệu điều khiển đối tượng

Vì cảm biến và đối tượng là hệ thống liên tục nên cần sử dụng

bộ chuyển đổi A/D và D/A để giao tiếp với máy tính

Do đó để phân tích và thiết kế hệ thống điều khiển số trướctiên ta phải mô tả toán học được quá trình chuyển đổi A/D vàD/A

7.1.1 Khái niệm

Trang 9

Tuy nhiên, hiện nay không có phương pháp nào cho phép mô

tả chính xác quá trình chuyển đổi A/D và D/A do sai số lượng

Trang 10

Trong chương này, chúng ta phát triển phương pháp phân tích

và thiết kế hệ thống điều khiển liên tục cho hệ thống điều khiển rời rạc

Nếu độ phân giải của phép lượng tử hóa biên độ đủ nhỏ để có thể bỏ qua sai số thì ta có thể xem tín hiệu số là tín hiệu rời rạc, điều đó có nghĩa là lý thuyết điều khiển rời rạc trình bày trong phần này hoàn toàn có thể áp dụng để phân tích và thiết kế các

hệ thống điều khiển số

7.1.1 Khái niệm

Trang 11

7.1.2 Đặc điểm lấy mẫu

Lấy mẫu là biến đổi tín hiệu liên tục theo thời gian thành tín hiệu rời rạc theo thời gian

Xét bộ lấy mẫu có đầu vào là tín hiệu liên tục x(t) đầu ra là tín hiệu rời rạc x*(t) như hình

Trang 12

x(t) x*(t)

T

t

x(t)0

t

x*(t)

ts(t)

1

Trang 13

Quá trình lấy mẫu có thể mô tả bởi biểu thức toán học sau:

(7.1)

) ( ).

( )

) (

Trang 14

Thay (7.2) vào (7.1), đồng thời giả sử x(t) = 0 khi t < 0, ta được:

) ( )

(

k

kT t

t x t

(7.3)

) (

kT x

t

Biến đổi Laplace hai vế phương trình (7.3) ta được:

(7.4)

) (

s X

Biểu thức (7.4) chính là biểu thức toán học mô tả quá trình lấy mẫu

Trang 15

Định lý Shannon: Để có thể phục hồi dữ liệu sau khi lấy mẫu

mà không bị méo dạng thì tần số lấy mẫu phải thỏa mãn điều kiện:

(7.5)

2

1

c

f T

Trong đó fc là tần số cắt của tín hiệu cần lấy mẫu

Trong các hệ thống điều khiển thực tế, nếu có thể bỏ qua đượcsai số lượng tử hóa thì các khâu chuyển đổi A/D chính là cáckhâu lấy mẫu

Trang 16

Khâu giữ dữ liệu là khâu chuyển tín hiệu rời rạc theo thời gian thành tín hiệu liên tục theo thời gian.

Khâu giữ dữ liệu có nhiều dạng khác nhau, đơn giản nhất và được sử dụng nhiều nhất trong các hệ thống điều khiển rời rạc

là khâu giữ bậc 0 (Zero – Order Hold – ZOH) như hình sau

7.1.3 Khâu giữ dữ liệu

Trang 17

Khâu giữ bậc 0 (ZOH)

0 T

Trang 18

Ta tìm hàm truyền của ZOH Để ý rằng nếu tín hiệu vào củakhâu ZOH là xung dirac thì tín hiệu ra là xung vuông có độ rộng bằng T ta có:

s e

e s s

T t

u t

u

t c s

1

1 )

( )

(

) ( )

(

L L

R(s) = 1 (vì r(t) là hàm dirac)

Trang 19

Theo định nghĩa:

) (

)

( )

(

s R

s

C s

GZOH 

(7.6)

1

1 )

(

s

e s

G

z Ts

Trang 20

Nhận xét:

Bằng các sử dụng pháp biến đổi Laplace ta có thể mô tả quá trình lấy mẫu và giữ dữ liệu bằng các biểu thức toán học (7.4)

và (7.6)

Tuy nhiên, các biểu thức toán học (7.4) và (7.6) lại chứa hàm

ex nếu ta sử dụng để mô tả hệ rời rạc thì khi phân tích, thiết kế

hệ thống sẽ gặp nhiều khó khăn Ta cần mô tả toán học khác giúp khảo sát hệ thống rời rạc dễ dàng hơn, nhờ phép biến đổi

Z trình bày ở mục 7.2

Trang 21

x z

Trang 22

7.2.1 Định nghĩa

• Miền hội tụ (Region of Convergence – ROC)

ROC là tập hợp tất cả các giá trị z sao cho X(z) hữu hạn

Trang 23

• Ý nghĩa của việc biến đổi Z

Giả sử x(t) là tín hiệu liên tục trong miền thời gian, lấy mẫux(t) với chu kỳ lấy mẫu T ta được chuỗi rời rạc x(k) = x(kT).Biểu thức lấy mẫu:

(7.9)

) (

z X

Biểu thức biến đổi Z:

(7.10)

) ( )

X

Vì z = eTs nên vế phải của hai biểu thức (7.9) và (7.10) là nhưnhau, do đó bản chất của việc biến đổi Z một tín hiệu chính là rời rạc tín hiệu đó

Trang 24

• Phép biến đổi Z ngược

Cho X(z) là hàm theo biến phức z Biến đổi Z ngược của X(z) là:





C

1 - k

X(z)z 2

1 )

Trang 25

7.2.2 Tính chất của phép biến đổi Z

Trang 26

2 Dời trong miềm hội tụ

Nếu trong miềm Z ta nhân X(z) với z-k 0 thì tương đương vớitrong miền thời gian là trễ tín hiệu x(k) k0 chu kỳ lấy mẫu

Nhận xét:

Vì: x(k – 1) Z z-1 X(z)Nên z-1 được gọi là toán tử hàm trễ một chu kỳ lấy mẫu

Trang 27

2 Dời trong miềm hội tụ

Trang 28

thì:

Trang 29

thì:

Trang 30

7.2.3 Biến đổi Z của các hàm cơ bản

Trang 31

…

Trang 32

z z

z k u z

k u k

u

k

k k

k

1

) ( )

( )

(

2 1

1 )

k u

Z

Vậy: u(k) Z (ROC: Z > 1

1 1

Trang 33

r(k)

k0

…

 r(k) = kTu(k)

Trang 34

dz

d z

Tz

(ROC: Z > 1)Vậy: r(k) = kTu(k) Z

Tz

Trang 35

1

) ( )

( )

(

2 1

2 2

z e

z k x z

k x k

x

aT aT

k

k k

k

Z

Trang 36

at

e t

x

nếu t  0nếu t < 0Hàm mũ (liên tục trong miền thời gian)

nếu k  0nếu k < 0

 x(k) = e -kaT u(k)

x(t)

t

10

x(k)

k

10

akT

e k

x

Trang 37

4 Hàm mũ

Nếu (eaTz)-1 < 1 thì biểu thức trên là tổng của cấp số nhân lùi

vô hạn Áp dụng công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn, ta dễ dàng suy ra:

e z

z z

Vậy: e-kaTu(k) Z

Kết quả trên ta dễ dàng suy ra:

a z

z

 11

1

Z

aku(k)

Trang 38

7.2.4 Các phương pháp tìm biến đổi Z ngược

Cho hàm X(z), bài toán đặt ra là tìm x(k) Theo công thức biến đổi Z ngược ta có:

z

X j

k

2

1 )

Trang 39

Cách 1: Phân tích X(z) thành tổng các hàm cơ bản, sau đó tra bản biến đổi Z

) 3 )(

2 (

z z

X

Ví dụ: Cho tìm x(k)

Giải: Phân tích X(z) ta được:

) 3 (

) 2 (

z z

X

Tra bảng biến đổi Z ta được:

a z

z



Z

aku(k)Suy ra: x(k) = (-2k + 3k)u(k)

Trang 40

Cách 2: Phân tích X(z) thành chuỗi lũy thừa

) 3 ( )

2 ( )

1 ( )

0 (

) ( )

(

3 2

1 0

k x

z k x z

X

k

Theo định nghĩa biến đổi Z:

Do đó nếu phân tích X(z) thành tổng của chuỗi lũy thừa ta sẽ được giá trị x(k) chính là hệ số của thành phần z-k

Trang 41

Cách 2: Phân tích X(z) thành chuỗi lũy thừa

) 3 )(

2 (

z z

X

Ví dụ: Cho tìm x(k)

Giải: Phân tích X(z) ta được:

6 5

) 3 )(

2 (

z z

z

z z

X

Chia đa thức ta được:

65 19

5 )

( z  z1  z2  z3  z4 

X

Suy ra: x(0) = 0; x(1) = 1; x(2) = 5; x(3) = 19; x(4) = 65 …

Trang 42

Cách 3: Tính x(k) bằng công thức đệ quy

) 3 )(

2 (

z z

X

Ví dụ: Cho tìm x(k)Giải: Ta có:

2 1

1

6 5

1 )

3 )(

2 (

z z

z

z z

X

1 2

1

) ( )

6 5

1

1 2

1

) ( 6

) ( 5

)

Trang 43

Cách 3: Tính x(k) bằng công thức đệ quy

Biến đổi Z ngược hai vế phương trình trên (để ý tính chất dờitrong miền thời gian), ta được:

) 1 (

) 2 (

6 )

1 (

5 )

( k  x k   x k   k 

) 1 (

) 2 (

6 )

1 (

5 )

Với điều kiện đầu: x ( k  1 )  0 ; x ( k  2 )  0

Thay vào công thức trên ta được:

x(0) = 0; x(1) = 1; x(2) = 5; x(3) = 19; x(4) = 65 …

Trang 44

1 )

(

1 1

z z

k p p

p z

z

k

z X z

z

z dz

d p

z X z

Trang 45

) 3 )(

2 (

z z

) ( Re

) ( k  s zk X z z  s zk X z zx

Mà:

k z

k

z k

z

k z

k

z

z z

z

z z

z

z X z

z z

X z

s k

x

2 )

3 (

) 3 )(

2 (

) 2 (

) ( )

2 (

) ( Re

) (

3 2

1

2

1 2

Trang 46

Cách 4: Áp dụng công thức thặng dư

k z

k

z k

z

k z

k

z

z z

z

z z

z

z X z

z z

X z

s k

x

3 )

2 (

) 3 )(

2 (

) 3 (

) ( )

3 (

) ( Re

) (

3 3

1

3

1 3

Trang 47

7.3.1 Hàm truyền của hệ rời rạc

Quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra của hệ thống rời rạc

được mô ta bằng phương trình sai phân:

Hệ thống rời rạc

(7.17)

) ( )

1 (

) 1 (

) (

) ( )

1 (

) 1 (

) (

1 1

0

1 1

0

k r b k

r b

m k

r b m

k r

b

k c a k

c a

n k

c a n

k

c

a

m m

n n

Trang 48

Biến đổi Z hai vế phương trình (7.17) ta được:

) ( )

(

) ( )

(

) ( )

(

) ( )

(

1

1 1

0

1

1 1

0

z R b z

zR b

z R z

b z

R z

b

z C a z

zC a

z C z

a z

C z

a

m m

n n

m m

a z

a

b z

R

z C

0

1

1 1

0

) (

) ( )

(

) ( )

(

1

1 1

0

1

1 1

0

z R b

z b

z b z

b

z C a

z a

z a z

a

m m

n n

Trang 49

Đặt:

(7.18)

) (

)

( )

(

1

1 1

0

1

1 1

0

n n

m m

a z

a

b z

R

z

C z

G(z) được gọi là hàm truyền của hệ thống rời rạc

Hàm truyền (7.18) có thể biến đổi tương đương vầ dạng

(7.19)

1 1

1 1 0

) (

n n

m m

m n

z a z

a z

a a

z b z

b z

b b

z z

Trang 50

Ví dụ: Cho hệ thống rời rạc mô tả bởi bởi phương trình sai

phân sau:

) ( )

2 (

2 )

( 3 )

1 (

5 )

2 (

2 )

( 2

) ( 3 )

( 5

) ( 2

)

3

z R z

R z z

C z

zC z

C z z

C

3 2

1

2 1

2 3

2

3 5

2 1

) 2

( 3

5 2

1 2

) (

)

( )

z

z z

z

z z

R

z

C z

G

Trang 51

7.3.2 Tính hàm truyền hệ rời rạc từ sơ đồ khối

Khi thêm vào hệ thống liên tục các khâu lấy mẫu, khâu giữ dữ liệu (và bộ điều khiển số) ta được hệ thống điều khiển rời rạc

Bài toán đặt ra là tìm hàm truyền hệ rời rạc theo biến z từ sơ đồ khối có các khâu lấy mẫu

Xét một số sơ đồ khối thường gặp sau đây:

Trang 52

1 Hai khâu nối tiếp cách nhau bởi khâu lấy mẫu

Hàm truyền:

G1(s) G1(s)

C*(s) = C(z)

R*(s)R(s)

Trong đó:

(7.20)

) ( ).

( )

(

)

( )

z R

z

C z

Trang 53

Ví dụ: Cho sơ đồ khối hệ thống như hình vẽ Tìm hàm truyền

tương đương của hệ thống

G1(s) G1(s)

C*(s) = C(z)

R*(s)R(s)

b s

s

G a

1

Trang 54

Giải: Tra bảng biến đổi Z ta có:

e z

z a

s

s G z

z b

s

s G z

(

) ( )

( )

(

2 2

e z

z z

G z G z

Trang 55

2 Hai khâu nối tiếp không cách nhau bởi khâu lấy mẫu

Hàm truyền:

Trong đó:

(7.21)

)

( )

(

)

( )

z R

z

C z

Cần chú ý là:

) ( )

Trang 56

tương đương của hệ thống

b s

s

G a

Trang 57

Giải: Tra bảng biến đổi Z ta có:

1 )

(

1 )

(

1 )

( 1

) (

1 )

(

1 )

(

1 )

(

1

1 )

( )

(

2 1

2

1

b s

b a

a s

a b

b s

b a

a s

a b

b s

a s

s G s G z

G

Z Z

Z

Z Z

2 Hai khâu nối tiếp không cách nhau bởi khâu lấy mẫu

Trang 58

) )(

)(

(

)

(

) (

1 )

( ) (

1 )

(

2 1

bT aT

aT bT

bT aT

e z

a b

e e

z

e z

z b

a e

z

z a

b

z G

Trang 59

3 Hệ thống hồi tiếp có khâu lấy mẫu trong kênh sai số

Hàm truyền:

(7.22)

)

( 1

) ( )

(

)

( )

(

z GH

z G z

R

z

C z

H(s)

C(s) T

Trang 60

Trong đó: G ( z )  Z  G ( s )  ; GH ( z )  Z  G ( s ) H ( s ) 

Trong trường hợp H(s) = 1(hệ thống hồi tiếp âm đơn vị) ta có:

(7.23)

)

( 1

) ( )

(

)

( )

(

z G

z G z

R

z

C z

Gk





Trang 61

tương đương của hệ thống?

b s

s a

(

G(s) R(s)

H(s)

C(s) T

Trang 62

e z

z a

s

s G z

)(

(

)

(

1

1 )

( )

(

bT aT

aT bT

e z

a b

e e

z

b s

a s

s H s G z

Trang 63

Thay vào công thức (7.22) ta được:

) )(

)(

(

)

( 1

) (

) ( 1

) ( )

(

)

( )

(

bT aT

aT bT

aT k

e z

a b

e e

z

e z

z

z GH

z G z

R

z

C z

) )(

)(

(

) )(

( )

(

)

( )

bT

k

e e

z e

z a b

z e

z a b

z R

z

C z

Trang 64

4 Hệ thống hồi tiếp có khâu lấy mẫu trong vòng hồi tiếp

Trường hợp này không tìm được biểu thức hàm truyền, quan

hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra như sau:

G(s) R(s)

( 1

)

( )

(

z GH

z

RG z

C





Trong đó: RG ( z )  Z  R ( s ) G ( s )  ; GH ( z )  Z  G ( s ) H ( s ) 

Trang 65

5 Hệ thống hồi tiếp có các khâu lấy mẫu đồng bộ trong nhánh thuận

G(s) R(s)

( )

( 1

) ( )

(

)

( )

(

z H z G

z G z

R

z

C z

Gk





Trang 66

5 Hệ thống hồi tiếp có các khâu lấy mẫu đồng bộ trong nhánh thuận

Trong đó: G ( z )  Z  G ( s )  ; H ( z )  Z  H ( s ) 

Trong trường hợp H(s) = 1(hệ thống hồi tiếp âm đơn vị) ta có:

(7.23)

)

( 1

) ( )

(

)

( )

(

z G

z G z

R

z

C z

Gk





Trang 67

6 Hệ thống hồi tiếp có các khâu lấy mẫu đồng bộ và khâu nối tiếp ở nhánh thuận

Hàm truyền:

(7.26)

)

( )

( 1

) ( )

( )

(

)

( )

(

2 1

z H G z G

z G

z G z

R

z

C z

H(s)

C(s)

G2(s )

 ( ) ( ) 

) (

) ( )

(

; ) ( )

(

2 2

1 1

s H s G z

H G

s G z

G s

G z

G

Z

Z Z



Trang 68

7 Sơ đồ tín hiệu - công thức Mason cho hệ rời rạc

Có thể mở khái niệm sơ đồ dòng tín hiệu đã trình bày trongchương hai cho hệ thống liên tục để áp dụng vào hệ rời rạc với một vài thay đổi nhỏ

Để sử dụng công thức Mason cho hệ rời rạc cần để ý cácnguyên tắc sau đây:

 Nếu không có bộ lấy mẫu giữa đầu vào R(s) và khâu đầu tiêntrong vòng thuận (ví dụ G(s) ) thì không thể tách biệt biến đổi

Z của đầu vào và khâu đầu tiên và ta luôn có số hạng RG(z)

Do đó trong trường hợp này không thể tính được hàm truyền bằng tỉ lệ giữa biến đổi Z tín hiệu ra và tín hiệu vào của hệ thống

Định dạng
Số trang	138
Dung lượng	483,29 KB