Nội dung chương này nhằm giải quyết hai vấn đề: Xác định mô hình toán học cho các phần tử, và xác lập mối liên kết giữa các mô hình toán học riêng thành một mô hình toán học chung cho toàn bộ hệ thống. Mời các bạn cùng tham khảo để nắm bắt các nội dung chi tiết.
Chương MÔ TẢ TOÁN HỌC PHẦN TỬ VÀ HỆ THỐNG LIÊN TỤC Nội dung chương nhằm giải hai vấn đề: - Xác định mô hình toán học cho phần tử Xác lập mối liên kết mô hình toán học riêng thành mô hình toán học chung cho toàn hệ thống Hệ thống điều khiển thực tế đa dạng Các phần tử hệ thống cơ, điện, nhiệt, thuỷ lực, khí nén, Để nghiên cứu hệ thống có chất vật lý khác cần dựa sở chung toán học Khi nghiên cứu hệ thống trước hết cần biết hệ thống gồm thiết bị gì, có phần tử tìm cách mô tả chúng mô hình toán học Mô hình cần phải đảm bảo độ xác định, phản ánh tính chất đặc trưng hệ thống thực, đồng thời phải đơn giản cho việc biểu diễn, phân tích Trong nhiều trường hợp, để có mô hình toán tương đối đơn giản, phải xem xét bỏ qua vài thuộc tính vật lý quan trọng hệ thống lý tưởng hoá số tượng vật lý thực tế Để mô tả phần tử hệ thống tuyến tính bất biến liên tục người ta thường dùng dạng mô hình toán học sau : - Phương trình vi phân tuyến tính hệ số - Hàm truyền - Phương trình trạng thái Hai dạng mô hình phương trình vi phân hàm truyền thích hợp với hệ SISO Mô hình phương trình trạng thái đặc biệt thích hợp với hệ MIMO 2.1 Mô hình phương trình vi phân Tổng quát, mối quan hệ tín hiệu vào r(t) tín hiệu y(t) hệ thống tuyến tính bất biến liên tục mô tả phương trình vi phân : d n y(t) d n −1 y(t) d m r(t) d m −1 r(t) + a + + a y(t) = b + b + + b r(t) n −1 m m −1 dt n dt n −1 dt m dt m −1 (2-1) Trong đó: , bi số, xác định từ thông số phần tử Số mũ n bậc hệ thống Hệ thống có m ≤n gọi hệ thống hợp thức Chỉ có hệ thống hợp thức tồn thực tế an Mô hình phương trình vi phân xây dựng theo phương pháp lý thuyết, tức thiết lập dựa định luật vật lý biểu diễn trình động học xảy bên quan hệ giao tiếp với môi trường bên hệ thống 13 - Các định luật chi phối phần tử khí định luật II Newton, quan hệ lực biến dạng, quan hệ ma sát vận tốc - Các định luật chi phối phần tử điện định luật Kirchhoff, quan hệ dòng điện- điện áp điện trở, điện cảm, tụ điện - Các định luật chi phối phần tử nhiệt định luật truyền nhiệt định luật bảo toàn lượng - Ví dụ 2.1 Xác định phương trình vi phân mô tả hệ khí gồm lò xo - khối lượng giảm chấn có sơ đồ hình 2.1a F(t) v m k y(t) Fd b (a) (b) (c) (d) Hình 2.1 Bộ giảm chấn (hình 2.1b) gồm xylanh dầu piston, hai thành phần lắp cố định phần di động Khi có chuyển động tương đối piston xylanh, dầu chảy từ buồng sang buồng xylanh qua khe hở piston xylanh qua lỗ nhỏ piston Lực đẩy dầu qua khe hở có tác dụng cản trở chuyển động, ta gọi lực ma sát nhớt hay lực giảm chấn Lực giảm chấn F d ngược chiều tỉ lệ với vận tốc v: Fd = b.v với b hệ số ma sát nhớt, [N.s/m ] Bộ giảm chấn biểu diễn đơn giản hình 2.1c 2.1d Giả sử t=0 hệ trạng thái cân Theo định luật II Newton, ta có phương trình cân lực: m d2 y dy = ∑ Fi = F(t) − b − k.y(t) dt dt Trong : - Tín hiệu vào : lực F(t) tác dụng từ bên ngoài, [N] - Tín hiệu : lượng di động y(t) khối lượng m, [m] m : khối lượng [kg] b : hệ số ma sát nhớt (hệ số giảm chấn), [N.s/m] k : độ cứng lò xo, [N/m] d2 y dy m : lực quán tính ; b = Fd : lực giảm chấn dt dt k.y(t) : lực lò xo 14 ⇒ Phương trình vi phân bậc hai mô tả quan hệ vào-ra : d2 y dy m + b + k y(t) = F(t) dt dt Ví dụ 2.2 Xác định phương trình vi phân mạch điện RC nối tiếp u i R C uc - Tín hiệu vào : điện áp ngõ vào u , [Volt] - Tín hiệu : điện áp u c hai tụ điện, [Volt] Theo định luật Kirchhoff, ta có: u = u R + u c = Ri + u c du maø : u c = ∫ idt ⇒ i=C c C dt ⇒ Phương trình vi phân bậc mô tả quan hệ vào-ra : du u = RC c + u c dt 2.2 Phép biến đổi Laplace Để xác định hàm tín hiệu hệ thống biết hàm tín hiệu vào, ta cần phải giải phương trình vi phân mô tả hệ thống Phép biến đổi Laplace giúp ta giải phương trình vi phân cách đơn giản, thuận lợi so với cách giải thông thường 2.2.1 Định nghóa • Cho hàm thời gian f(t) xác định với t ≥ 0, biến đổi Laplace f(t) là: ∞ F(s) = L[f (t)] = ∫ f (t)e−st dt (2-2) Trong đó: L -là ký hiệu phép biến đổi Laplace (toán tử Laplace) F(s) -gọi ảnh Laplace hay biến đổi Laplace hàm f(t) s -là biến phức, gọi biến Laplace Điều kiện để f(t) có biến đổi Laplace tích phân công thức định nghóa (2-2) hội tụ • Quá trình toán học ngược lại -Tìm hàm gốc f(t) từ hàm ảnh F(s)- gọi phép biến đổi Laplace ngược ký hiệu L -1 Cho hàm phức F(s), biến đổi Laplace ngược F(s) là: f (t) = L−1[F(s)] = F(s)ets ds Ñ ∫ 2πj (t ≥ 0) (2-3) C với C đường cong kín lựa chọn miền s; j số ảo đơn vị 15 2.2.2 Tính chất § Tính đơn ánh Biến đổi Laplace phép biến đổi một-một, tức ứng với hàm f(t) cho trước có ảnh F(s) ngược lại § Tính tuyến tính Nếu F(s), F1(s), F2(s) ảnh Laplace f(t), f 1(t), f2(t) k số : L [f 1(t) ± f2(t)] = F 1(s) ± F2(s) vaø L[kf(t)] = kF(s) L-1[F1(s) ± F2(s)] = f 1(t) ± f2(t) L-1[kF(s)] = kf(t) Tính chất xuất phát từ tính tuyến tính phép tích phân công thức định nghóa biến đổi Laplace Laplace ngược § Ảnh đạo hàm Lấy tích phân phần ∫ udv = uv − ∫ vdu với u = e −st ; v = f (t) ta coù: ∞ df (t) L = L[f& (t)] = ∫ f& (t)e−st dt = f (t)e−st dt ∞ + ∞ s ∫ f (t)e− st dt = sF(s) − f (0) đó: f(0) giá trị hàm f(t) thời điểm t = Với hàm f(t) cho trước, giá trị f(0+) f(0-) khác Khi có phân biệt: L+ [f& (t)] = sF(0) − f (0+ ) L− [f& (t)] = sF(0) − f (0− ) Từ kết ta suy ảnh đạo hàm bậc cao sau: & & (t)]} = sL[f& (t)] − f& (0) = s2 F(s) − sf (0) − f& (0) L[f&&(t)] = L{f[f L[f (3) (t)] = s3 F(s) − s2 f (0) − sf& (0) − && f (0) n L[ f ( n ) (t )] = sn F (s) − ∑ sn −i f (i −1) (0) (2-4) i =1 f (0), , f (n −1) (0) laø giá trị hàm f(t) đạo hàm thời với f (0), f& (0), && điểm t= 0, gọi điều kiện đầu Nếu xét khác L + L– thay t=0 ta dùng t=0+ t=0- Nếu điều kiện đầu 0, ta có công thức đơn giản: L[f ( n ) (t)] = sn F(s) (2-5) t F(s) L ∫ f (t)dt = s 0 (2-6) § Ảnh tích phân 16 § Ảnh hàm trễ Hàm trễ (hay hàm chuyển dịch) định nghóa: f(t-T) = f(t) t ≥ T = t0 định lý giá trị cuối không áp dụng 17 2.2.3 Biến đổi Laplace hàm Trong mục tìm biến đổi Laplace hàm thường dùng phân tích hệ thống điều khiển Ta giả thiết xét hàm f(t) miền t ≥ coi f(t)=0 t0 hoàn toàn xác định biết điều kiện ban đầu hàm tác động (tín hiệu vào) thời điểm t=0 - Hàm bậc thang đơn vị Hàm bậc thang đơn vị định nghóa: 1 t ≥ 1(t) = 0 t < AÛnh Laplace: 1(t) t ∞ F(s) = L[1(t)] = ∫ e − st dt = − e s −st ∞ 1 = − (0 −1) = s s Xét trường hợp hàm bậc thang K(t)=K.1(t) ta có: F(s) = L[K.1(t)] = K.L[1(t)] = K.1(t) K K s t Hàm bậc thang tác động t=0 tương ứng với tín hiệu số đưa đột ngột vào hệ thống thời điểm t=0 - Hàm xung đơn vị (xung Dirac) Xét hàm xung chữ nhật f(t): h f ( t) = h [1(t) − 1(t − t ) ] = 0 f(t) h 0≤t ≤t0 t t< & t > t 0 t0 Nếu lấy diện tích ht đơn vị, h=1/ t Khi t0→0 chiều cao h→∞ diện tích Trường hợp đặc biệt hàm xung gọi hàm xung đơn vị, hay hàm xung Dirac, ký hiệu δ(t) d1(t) 0 t ≠ δ ( t) = = dt ∞ t = δ(t) Haøm δ(t) có tính chất: +∞ 0+ ∫ δ(t)dt = ∫ δ(t)dt = −∞ AÛnh Laplace: ∞ F(s) = L[δ(t)] = ∫ δ(t)e dt = − st 0 0+ ∫ δ(t)e −0 dt = 0+ ∫ δ(t)dt t =1 Hàm xung Dirac có độ rộng độ lớn vô nên hàm toán học tuý, thực tế tồn tín hiệu gần với xung Dirac 18 Hàm xung Dirac thường dùng để mô tả nhiễu tác động khoảng thời gian ngắn (tức thời) Ngoài ra, khái niệm xung Dirac hữu ích để mô tả trình rời rạc hoá tín hiệu liên tục đề cập đến sau - Hàm mũ e -αt (α > 0) F(s) = L[e −αt ∞ ]= ∫ e ∞ e dt = ∫ e − (s +α )t dt = − −αt −st 0 e − (s+α )t s+α - Hàm dốc đơn vị t r(t) = t.1(t) = 0 ∞ = s+α r(t) t ≥ t t < 0 Lấy tích phân phần ∫ udv = uv − ∫ vdu với u = t v = ∞ te −st F(s) = L[t] = ∫ te dt = −s e − st ta coù: −s ∞ e −st 1 +∫ dt = + = s s s ∞ − st Cuõng dùng tính chất ảnh tích phân : t L[1(t)] F(s) = L[t] = L ∫ 1(t)dt = = s s Theo cách tương tự ta tính ảnh hàm t , t , , t n - Hàm lượng giác Sử dụng công thức Euler : cos ωt ± jsin ω t = e ± jωt , ta biến đổi : sin ωt = Suy ra: ∞ e jωt − e− jω t 2j L[sin ωt] = ∫ (sin ω t)e dt = −st ∞ ; cos ω t = e jω t + e − jω t ∞ e jωt − e − jω t − st 1 1 ω ∫ j e dt = j s − jω − s + jω = s2 + ω2 ∞ e jω t + e − jω t −st 1 1 s L[cosω t] = ∫ (cos ω t)e dt = ∫ e dt = + = 2 s − jω s + jω s + ω2 0 L[e -α t −st ∞ sin ω t] = ∫ e −αt L[e -α t ∞ cos ωt] = ∫ e −αt ∞ e jωt − e − jω t −st e − (s+α− jω )t − e − (s+α+ jω )t ω e dt = ∫ dt = 2j 2j (s + α) + ω2 ∞ e jωt + e − jω t − st e − (s+α− jω )t + e − (s+α+ jω )t s+α e dt = ∫ dt = 2 (s + α) + ω2 Nhận xét: Các ảnh L[e−αt sin ω t] L[e−αt cos ω t] tính công thức (2-9) 19 - Bảng tóm tắt biến đổi Laplace thường dùng: STT f(t) F(s) 1(t) s δ(t) e -αt (α >0) α s(s + α ) – e-αt s+α K (1 − e − t T K s (Ts + 1) ) t tn t e-αt t n −1 −αt e (n − 1)! 10 e − at − e− bt b−a 11 − − T1 T2 1− e T1 + e T2 T1 − T2 T1 − T2 ( s2 n! s n +1 (s + α) (s + α)n ) (s + a)(s + b) t 12 t e − at e − bt + + ab a(a − b) b(b − a) ( 13 1 − e− at − ate − at a 14 at − + e − at a 15 cos ωt 16 sin ω t 17 e−αt cos ωt 18 e −αt sin ω t ( ) ) s (T1s + 1)(T2 s + 1) s (s + a )(s + b) s(s + a)2 s (s + a) s s + ω2 ω s + ω2 s+α (s + α ) + ω ω (s + α ) + ω 20 2.2.4 Tìm biến đổi Laplace ngược Bài toán đặt tìm hàm thời gian y(t) biết ảnh Laplace Y(s) Thông thường, ảnh Laplace Y(s) có dạng hàm hữu tỉ : m m −1 + + b P(s) b m s + b m −1s Y(s) = = (m