Bài giảng điều khiển tự động chương 2 mô tả toán học phần tử và hệ thống liên tục

a i , b i : thông số của hệ thống khối lượng, ma sát, R,L,C,…hệ thống liên tục tuyến tính bất biến SISO có thể mô tả bằng phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng:...  Cho hàm thời gi

a i , b i : thông số của hệ thống (khối lượng, ma sát, R,L,C,…)

hệ thống liên tục tuyến tính bất biến SISO có thể mô tả bằng

phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng:

m (+)

Theo định luật Kirchhoff :



Tín hiệu vào: điện áp u

Tín hiệu ra: điện áp uc

 d uCLC

dt

Theo định luật Kirchhoff :



Tín hiệu vào: điện áp u

Tín hiệu ra: dòng điện i

 

dv

m bv(t) f(t)dt

m : khối lượng, [kg]

b : hệ số ma sát nhớt, [N.s/m]

k : độ cứng lo xo, [N/m]

 Tín hiệu vào: lượng di động r(t), [m]

 Tín hiệu ra: lượng di động y(t), [m]

2 2

Nghieäm y(t)

Nghieäm Y(s)

 Cho hàm thời gian f(t) xác định với mọi t0, biến đổi

Laplace của f(t) là:

s : biến Laplace (biến số phức)

L : toán tử biến đổi Laplace F(s): biến đổi Laplce hay ảnh Laplace của f(t)

Biến đổi Laplace tồn tại khi tích phân trong biểu thức

định nghĩa trên là hội tụ (hữu hạn)

st 0

F(s) [f (t)] f (t)e dt





 L  

 Cho hàm phức F(s), biến đổi Laplace ngược của F(s) là một hàm thời gian f(t) xác định bởi:

y(0) là vị trí ban đầu (tại t=0)

300y(t)  5y(t) 20y(t) 100

Ví dụ : Giải ph.trình vi phân mô tả chuyển động bậc hai:



Tổng quát: Giải PTVP bậc n cần n điều kiện đầu:

2 điều kiện đầu:

2a) Nếu các điều kiện đầu khác 0

300y(t)  5y(t)  20y(t) 100r(t)

Biến đổi Laplace 2 vế với ĐKĐ =0 ta được:

Ví dụ, xét ptvp:

( )[ n ( )]  n ( )

f t s F s L

2b) Nếu các điều kiện đầu = 0

( )( )

1) Hàm bậc thang (hàm bước) đơn vị

st 0

1(t).e dt







2) Hàm xung đơn vị (xung Dirac)

st 0

t0

1



a  0

ah



 

t r(t) t.1(t)

5) Hàm lượng giác sint, cost, …

j t

j t

cos t jsin t ecos t jsin t e

Bài toán : Biết hàm Y(s) , tìm hàm thời gian y(t)=?

Y(s) thường có dạng tỉ số của hai đa thức:

 PP giải: Phân tích Y(s) thành tổng các phân thức

đơn giản, sau đó áp dụng các công thức cơ bản.

 Cách phân tích Y(s) phụ thuộc vào loại nghiệm của

mẫu số Q(s) ( nghiệm đơn/ bội/ phức ).

2) Mẫu số của Y(s) có nghiệm bội

Ví dụ : Tìm y(t) biết

2 2

5s 24Y(s)

Giải. Mẫu số của Y(s) có 2 nghiệm đơn s 1 =0 ; s 2 =-4

và một nghiệm kép s k =-3 nên có thể phân tích :

2

5s 24Y(s)

2 1

3) Mẫu số của Y(s) có nghiệm phức

Nhận xét : Có thể đưa kết quả về dạng hàm sin hay cos

Giải. Mẫu số của Y(s) có một nghiệm đơn s=0 và hai

nghiệm phức p 1,2 =-34j nên có thể phân tích :

2s(s  6s  25)

18s 126Y(s)

ảnh Laplace của tín hiệu ra và ảnh Laplace của tín hiệu vào khi các điều kiện đầu bằng 0.

Từ PTVP mô tả hệ thống tuyến tính bất biến liên tục :

Ví dụ: Tìm hàm truyền hệ lò xo-khối lượng-giảm chấn

2 2

 Khái niệm hàm truyền chỉ dùng cho hệ thống

(hay phần tử) tuyến tính bất biến

 Hàm truyền chỉ phụ thuộc vào các thông số và bậc của

hệ thống mà không phụ thuộc vào loại và giá trị của tín hiệu vào, tín hiệu ra

 Giả thiết các ĐKĐ =0 nhằm mục đích dùng hàm truyền

để nghiên cứu bản chất động học của hệ thống

 Dùng hàm truyền để mô tả và phân tích hệ thống thuận

lợi hơn PTVP vì hàm truyền là phân thức đại số.

Quan hệ vào-ra sẽ đơn giản là phương trình đại số:

G(s)  Y(s) / R(s)  Y(s)  R(s).G(s)

3) Đa thức đặc tính, Phương trình đặc tính

- Đa thức ở mẫu số của hàm truyền gọi là đa thức đặc tính:

Dựa vào các nghiệm hoặc hệ số của phương trình đặc tính có thể xét tính ổn định của hệ thống (chương 4)

Để mô tả hệ MIMO phải dùng ma trận các hàm truyền

Mỗi hàm truyền chỉ ứng với một cặp tín hiệu vào, ra

Hệ MIMO Y11

R

Trong đó:

zi (i=1,2,…,m) _ là nghiệm đa thức tử số, gọi là các zero

pi (i=1,2,…,n)_ là nghiệm đa thức mẫu số, gọi là các cực

(pole); pi cũng chính là nghiệm của phương trình đặc tính

 Đại số sơ đồ khối là thuật toán biến đổi tương đương để rút gọn các sơ đồ khối

 Hai sơ đồ khối là tương đương nếu chúng có cùng quan

hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra

 Với hệ thống có cấu trúc phức tạp, ta tìm cách:

1) Biến đổi SĐK để làm xuất hiện các kết nối cơ bản.

2) Lần lượt tính các hàm truyền tương đương theo

nguyên tắc rút gọn dần từ trong ra ngoài

 Sau đây là một số quy tắc biến đổi cơ bản:

YU.G G G Y G G G G

 Hệ hồi tiếp âm

 Hệ hồi tiếp dương:

G

YhtE

YR

k

G

k

GG

 Hệ hồi tiếp có nhiễu

 Hệ hồi tiếp âm đơn vị (hàm truyền hồi tiếp H(s)=1 )

 Xét riêng tác động của tín hiệu vào R (coi Z 1 & Z 2 =0):

 Xét riêng tác động của nhiễu Z 2 :

 Xét riêng tác động của nhiễu Z 1 :

Gc

H

G

4) Chuyển điểm rẽ ra trước một khối: => Thêm khối G

YY

U

GY

U

5) Chuyển điểm rẽ ra sau một khối: => Thêm khối (1/G)

YG

U

U

YG

U

Y

8) Đảo vị trí, tách , nhập hai bộ tổng liền nhau: được phép

U1

U3 U2

Y

 Không được đảo vị trí điểm rẽ và bộ tổng.

2 3

G G G

A





B

Cách 1:

1 G G G G G G H G G H G Htd





1 2 3 4

1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 1 td

G G G G G

2.5.1 Phần tử cơ khí

 Hệ lò xo-khối lượng-giảm chấn

2 2

Phương trình vi phân:

Biến đổi Laplace 2 vế với ĐKĐ =0 :

U(s)  (Ls R)I(s)Hàm truyền bậc nhất:

I(s) 1G(s)

U(s) Ls R



2.5.2 Phần tử điện

 Mạch RL nối tiếp -Tín hiệu vào: điện áp u(t)

-Tín hiệu ra: dòng điện i(t)

Tín hiệu vào: điện áp u(t)

Tín hiệu ra: điện áp uc(t)

2 2

 Mạch RLC nối tiếp & //

0 2 1 1 2

u  K(u  u )  K(u  u )

- Op-amp thường được ghép nối thành các mạch khuếch

- Tín hiệu ngõ ra u0 tỉ lệ với hiệu của hai tín hiệu vào

- Hệ số khuếch đại K105106

 Cảm biến

Các cảm biến thường có tín hiệu ra yht(t) tỉ lệ với tín hiệu vào y(t) Ví dụ:

- Một cảm biến đo áp suất trong tầm 010 bar và

chuyển thành điện áp trong tầm 010V sẽ có hàm truyền

Biến đổi Laplace 2 vế:  Sơ đồ khối (1):

1

Ls  R

2) Phương trình mômen điện từ :

mM(t)  K i(t)  M(s)  K I(s)m

3) Phương trình cân bằng mômen cơ :

tM(s) M (s)  (Js B) (s) 

và tải quy về trục động cơ

Dùng đại số SĐK tìm hàm truyền động cơ (coi nhiễu Mt=0):

G(s)

K K

1(Ls R)(Js B)



 Nhận xét : Tổng quát, động cơ DC điều khiển vận tốc được

mô tả bằng hàm truyền bậc hai , nếu bỏ qua điện cảm thì có thể mô tả bằng hàm truyền bậc nhất.

(2-49)(2-48 tr.46)

 Nếu động cơ được điều khiển góc quay  (định vị); Do  =d  /dt

  (s)=s  (s) nên sơ đồ khối có thêm khâu tích phân 1/s.

Hàm truyền:

m e m

 Đường tiến (path, P) : gồm các nhánh liên tiếp nối từ nút

nguồn đến nút đích và chỉ đi qua mỗi nút một lần Hàm truyền của đường tiến bằng tích các hàm truyền của các nhánh trên đường tiến đó.

 Nút, nhánh:

- Mỗi nút là một điểm, biểu diễn một tín hiệu trong hệ thống

- Nhánh là đường nối trực tiếp hai nút Trên mỗi nhánh có vẽ

mũi tên chỉ hướng tín hiệu và ghi hàm truyền giữa hai nút.

- Nút nguồn chỉ có nhánh đi ra Nút đích chỉ có nhánh đi vào

X2=G.X1G

 Vòng kín (loop, L): là đường khép kín gồm các nhánh liên tiếp và chỉ đi qua mỗi nút một lần Hàm truyền của vòng kín bằng tích các hàm truyền của các nhánh trong vòng kín đó.

1

 Dính (touching)= có ít nhất một nút chung

 Không dính (none-touching)= không có nút nào chung

:Tổng hàm truyền của các vòng kín có trong graph.

:Tổng các tích hàm truyền của các cặp vòng kín không dính

:Tổng các tích hàm truyền của các bộ ba vòng kín không dính.: Định thức con thứ k, suy ra từ  bằng cách bỏ đi các vòng kín có dính với đường tiến thứ k

1

G : Hàm truyền của hệ thống;

Pk : Hàm truyền của đường tiến thứ k;

 : Định thức của graph tín hiệu

i i j i j m

i i, j i, j,m

 Nhận xét

 Nếu các vòng kín và đường tiến có chung một nhánh Gi thì chúng sẽ dính nhau Trường hợp này chỉ cần kiểm tra các

hàm truyền L và P, không cần phải kiểm tra trên sơ đồ graph

 Các vòng kín và đường tiến không có nhánh Gi nào chung vẫn có thể dính nhau, hoặc không dính Khi đó phải kiểm tra

cụ thể trên sơ đồ graph.

- Nếu hệ thống cho ở dạng sơ đồ khối, muốn áp dụng được công thức Mason ta phải chuyển SĐK thành sơ đồ graph Khi chuyển cần lưu ý:

- Có thể gộp 2 bộ tổng hoặc 2 điểm rẽ liền nhau thành 1 nút

- Có thể gộp 1 bộ tổng và 1 điểm rẽ liền sau nó thành 1 nút.

Không thể gộp 1 điểm rẽ và 1 bộ tổng liền sau nó thành 1 nút.

Sơ đồ khối

Graph tín hiệu

Cả 3 vòng kín đều dính với P1 nên:  1 1

Áp dụng công thức Mason ta có hàm truyền của hệ :

L1 không dính với L3 nên:   1 (L1  L2  L )3  L1L3

Graph tín hiệu

Sơ đồ khối

L1 không dính với L2 nên  = 1- (L1+L2 +L3+L4) +L1L2

Cả 4 vòng kín đều dính với P1 và P2 nên 1= 2 =1

L1 không dính với P3 nên 3= 1- L1

 Mô hình hàm truyền có một số điểm hạn chế:

- Chỉ áp dụng được với điều kiện đầu bằng 0

- Chỉ mô tả được quan hệ tuyến tính một vào, một ra (SISO).

- Chỉ áp dụng được cho hệ tuyến tính bất biến, không dùng được cho hệ phi tuyến hay hệ có thông số biến đổi theo thời gian.

 Để khắc phục, người ta dùng mô hình phương trình trạng thái

 Trạng thái của hệ thống là tập hợp nhỏ nhất các biến (gọi là

biến trạng thái) mà nếu biết giá trị các biến này tại thời điểm

t=t0 và biết các tín hiệu vào ở t  t0, ta hoàn toàn có thể xác định được đáp ứng của hệ thống tại mọi thời điểm t  t0 Với hệ tuyến tính bất biến, thời điểm đầu thường được chọn là t0=0.

 Để mô tả hệ thống bậc n cần dùng n biến trạng thái, hợp thành

véctơ cột gọi là véctơ trạng thái, ký hiệu là:

x  x x x

 Sử dụng biến trạng thái ta có thể chuyển ph trình vi phân bậc n

mô tả hệ thống thành hệ gồm n phương trình vi phân bậc nhất

viết dưới dạng ma trận như sau :

x(t) Ax(t) Br(t)y(t) Cx(t) Dr(t)



Trong đó: x(t) là véctơ trạng thái

r(t) là tín hiệu vào, y(t) là tín hiệu ra của hệ.

 Với hệ tuyến tính bất biến MIMO thì A, B, C, D là các ma trận hệ số

 Với hệ tuyến tính bất biến SISO thì A là ma trận, B là vectơ cột, C là vectơ hàng, D là một hằng số

: Phương trình trạng thái : Phương trình ngõ ra

 Nếu hệ tuyến tính bất biến SISO có hàm truyền với bậc tử số

nhỏ hơn bậc mẫu số (gọi là hệ hợp thức chặt) thì D = 0.

 Biến trạng thái không nhất thiết phải là các thông số đo được

( biến vật lý ) Các biến không đại diện cho các đại lượng vật lý (chỉ là biến toán học) cũng có thể chọn làm biến trạng thái.

 Việc chọn biến trạng thái không phải chỉ theo một cánh duy nhất.

Do đó: Một hệ thống có thể mô tả bằng nhiều phương trình trạng

-Phương trình cân bằng mômen cơ:

(để đơn giản, xem mômen tải =0)

 Xét hệ thống tuyến tính SISO có ph.trình vi phân:

Áp dụng cách đặt biến như trên, ta sẽ tìm được phương trình trạng thái mô tả hệ thống (trường hợp này có D=0):

(Nếu an≠ 1 ta chia hai vế cho an để đưa về dạng trên)

Quy tắc đặt biến trạng thái:

-Biến thứ nhất bằng tín hiệu ra: x1 =y

-Biến sau bằng đạo hàm của biến trước: xi= xi-1 (i=2, ,n)



 

2) Ph.trình vi phân có chứa đạo hàm tín hiệu vào

 Xét hệ thống tuyến tính SISO có ph.trình vi phân:

Áp dụng cách đặt biến như trên, ta sẽ xác định được các hệ số 

Từ đó lập được ph.trình trạng thái mô tả hệ thống, trong đó:

(Nếu an≠ 1 ta chia hai vế cho an để đưa về dạng trên)

Quy tắc đặt biến trạng thái:

- Nếu bậc vế phải < vế trái (tức bn=0), đặt x1 =y

Nếu bậc vế phải = vế trái (tức bn≠0), đặt x1 =y- 0r

- Đặt biến thứ i (i=2,3,…,n):

- Và đặt xn   an 1 n x  an 2 n 1 xxi  x i a x1 i11 2r  a x0 1  nr

Giải. Đặt hai biến trạng thái:

5y(t) 2y(t) 7y(t)   r(t)

Ví dụ 2: Lập phương trình trạng thái của hệ có ph.trình vi phân:

Giải. Đặt các biến trạng thái:

Hệ phương trình trạng thái của hệ thống là:

So sánh ph.trình trên với ph.trình đã cho, ta được:

Ví dụ 3: Lập phương trình trạng thái của hệ có ph.trình vi phân:

Hệ phương trình trạng thái của hệ thống là:

Cách 1: Hàm truyền  ph.trình vi phân  ph.trình trạng thái

(tiếp tục giải như ở ví dụ 2 mục 2.7.2 )

Lấy Laplace ngược 2 vế 

- Để tránh phải tính ma trận nghịch đảo, có thể dùng công thức:

s 5s 1

 

Ph.trình vi phân, hàm truyền và ph.trình trạng thái

 Ba dạng mô hình này có thể chuyển đổi qua lại

Ph.trình

vi phân

Hàm truyền

Ph.trình trạng thái

L -1