Bài giảng điều khiển tự động chương 2 mô tả toán học phần tử và hệ thống liên tục

Mô tả toán học Phần tử hệ thống liên tục Chương 2: 2.1 Phương trình vi phân 2.2 Phép biến đổi Laplace 2.3 Hàm truyền 2.4 Sơ đồ khối 2.5 Hàm truyền khâu vật lý điển hình 2.6 Graph tín hiệu 2.7 Phương trình trạng thái 9/4/2014 2.1 Phương trình vi phân Tổng quát, quan hệ tín hiệu vào, tín hiệu hệ thống liên tục tuyến tính bất biến SISO mô tả phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng: dn y dn1y dmr dm1r an n  an1 n1   a0 y(t)  bm m  bm1 m1   b0r(t) dt dt dt dt , bi : thông số hệ thống (khối lượng, ma sát, R,L,C,…) r(t) : tín hiệu vào y(t) : tín hiệu n = bậc hệ thống = bậc ph.trình vi phân Với hệ thống thực tế : m  n (nguyên lý nhân quả) 9/4/2014 Ví dụ 2.1: Hệ khối lượng – lò xo – giảm chấn m : khối lượng, [kg] b : hệ số ma sát nhớt, [N.s/m] k : độ cứng lo xo, [N/m]  Tín hiệu vào: lực tác dụng F(t), [N]  Tín hiệu ra: lượng di động y(t), [m] Lực lò xo : Flx  ky(t) Lực giảm chấn : F(t) (+) Áp dụng Định luật II Newton : d2 y m   Fi  F(t)  Fms  Flx dt m Flx 9/4/2014 Fms dy b dt Fms  d2 y dy m b  ky(t)  F(t) dt dt Ví dụ 2.2: Mạch điện RLC nối tiếp Theo định luật Kirchhoff : uR  uL  uC  u Trong đó: uC   idt C duC iC dt duC uR  Ri  RC dt di d2uC uL  L  LC dt dt Tín hiệu vào: điện áp u Tín hiệu ra: điện áp uc  9/4/2014 d2uC du LC  RC C  uC  u dt dt Ví dụ 2.2b: Mạch điện RLC nối tiếp Theo định luật Kirchhoff : uR  uL  uC  u Tín hiệu vào: điện áp u Tín hiệu ra: dòng điện i  di Ri  L   idt  u dt C  di RCi  LC   idt  Cu dt Lấy đạo hàm hai vế:  9/4/2014 d2i di du LC  RC  i  C dt dt dt Ví dụ 2.3: Đặc tính động học vận tốc xe ôtô v(t) b f(t) m dv  bv(t)  f(t) dt m : khối lượng xe b : hệ số cản (ma sát nhớt)  Tín hiệu vào: Lực đẩy động cơ, f(t)  Tín hiệu ra: vận tốc xe , v(t) 9/4/2014 Ví dụ 2.4: Bộ giảm chấn xe ôtô/ máy móc m : khối lượng, [kg] b : hệ số ma sát nhớt, [N.s/m] k : độ cứng lo xo, [N/m]  Tín hiệu vào: lượng di động r(t), [m]  Tín hiệu ra: lượng di động y(t), [m] d2 y dy dr m b  ky(t)  b  kr(t) dt dt dt 9/4/2014 Bài tập: Viết ptvp mô tả mạch RLC Tín hiệu vào: điện áp u Tín hiệu ra: điện áp uc i i 9/4/2014 d2uC duC RLC  L  RuC  Ru dt dt d2uC du du RLC  L C  RuC  L dt dt dt 2.2 Phép biến đổi Laplace Nghieäm y(t) Nghieäm Y(s) 9/4/2014 2.2 Phép biến đổi Laplace 2.2.1 Định nghĩa  Cho hàm thời gian f(t) xác định với t0, biến đổi Laplace f(t) là:  F(s)  L [f (t)]   f (t)e st dt s : biến Laplace (biến số phức) L : toán tử biến đổi Laplace F(s): biến đổi Laplce hay ảnh Laplace f(t) Biến đổi Laplace tồn tích phân biểu thức định nghĩa hội tụ (hữu hạn) 9/4/2014 10 Ví dụ 2.15 (trang 63) x1  x x2  x4 k2 b1  b b2 x  y1   (k1  k )x1  x2  x3  x4 m1 m1 m1 m1 k2 k2 b2 b2 x  y2  x1  x2  x3  x4  F(t) m2 m2 m2 m2 m2   x1    x   k1  k      m1  x3    x   k   m2 x 9/4/2014 0 k2 m1 k  m2 b1  b  m1 b2 m2 A      x1     b2   x         F m1   x     b  x     m2    m2  x B r 92 Ví dụ 2.15 (trang 63)  x1     y1  1 0   x   x1   y   0 0   x    x    2   2   x4  y C Dạng tổng quát : x  x(t)  Ax(t)  B.F(t)   y(t)  Cx(t)  D.F(t) Trong A, B, C xác định Hằng số D=0 9/4/2014 93 2.7.2 Lập ph.trình trạng thái từ ph.trình vi phân 1) Ph.trình vi phân không chứa đạo hàm tín hiệu vào  Xét hệ thống tuyến tính SISO có ph.trình vi phân: dn y d n 1y  a n 1 n 1   a y(t)  b r(t) n dt dt (Nếu an≠ ta chia hai vế cho an để đưa dạng trên) Quy tắc đặt biến trạng thái: -Biến thứ tín hiệu ra: x1 =y -Biến sau đạo hàm biến trước: xi= xi-1 (i=2, ,n) Áp dụng cách đặt biến trên, ta tìm phương trình trạng thái mô tả hệ thống (trường hợp có D=0):  x  Ax  Br   y  Cx 9/4/2014 94 2.7.2 Lập ph.trình trạng thái từ ph.trình vi phân 2) Ph.trình vi phân có chứa đạo hàm tín hiệu vào  Xét hệ thống tuyến tính SISO có ph.trình vi phân: dn y d n 1y dn r d n 1r  a n 1 n 1   a y(t)  b n n  b n 1 n 1   b0 r(t) n dt dt dt dt (Nếu an≠ ta chia hai vế cho an để đưa dạng trên) Quy tắc đặt biến trạng thái: - Nếu bậc vế phải < vế trái (tức bn=0), đặt x1 =y Nếu bậc vế phải = vế trái (tức bn≠0), đặt x1 =y- 0r xi  xi1  i1r - Đặt biến thứ i (i=2,3,…,n): - Và đặt x n  a n 1x n  a n 2 x n 1   a1x  a x1  n r Áp dụng cách đặt biến trên, ta xác định hệ số  Từ lập ph.trình trạng thái mô tả hệ thống, đó: B  [1 2 n ]T ; D  0  bn 9/4/2014 95 2.7.2 Lập ph.trình trạng thái từ ph.trình vi phân Ví dụ 1: Lập phương trình trạng thái hệ có ph.trình vi phân: 5y(t)  2y(t)  7y(t)  r(t) Giải Đặt hai biến trạng thái: x1  y ; x  x1 x2  y  x  x2 Phương trình trạng thái:   x   x  x  r  5 Viết theo dạng ma trận:   x1     x1     x   7 / 2 / 5  x   1/ 5 r x1   y  1 0   x2  9/4/2014   x  Ax  Br   y  Cx 96 2.7.2 Lập ph.trình trạng thái từ ph.trình vi phân Ví dụ 2: Lập phương trình trạng thái hệ có ph.trình vi phân: y  5y  6y  8y  8r  24r Giải Đặt biến trạng thái: Ta được:  x1  y   x  x1  1r  x  x  2 r y  x1 y  x1  x  1r y  x  1r  x  2 r  1r y  x  2 r  1r2 y  5y  6y  8y  (x  2r  1r) (5x  52 r  51r) (6x  61r)  8x1 Đặt x  5x  6x  8x1  3r (Chọn đặt x cho triệt tiêu thành phần xi )  9/4/2014 97 2.7.2 Lập ph.trình trạng thái từ ph.trình vi phân y  5y  6y  8y  1r  (2  51 )r  (3  52  61 )r  So sánh ph.trình với ph.trình cho, ta được: 1   2  51   2  3  52  61  24  3  24  52  61  16 Hệ phương trình trạng thái hệ thống là:  x1  x  1r  x   x  x  2 r  x  8r  x  5x  6x  8x   r  8x  6x  5x  16r  3 3 Dạng ma trận: 9/4/2014  x1     x1    x2    0  x     r  x   8 6 5  x   16   3    3  98 2.7.2 Lập ph.trình trạng thái từ ph.trình vi phân Đáp ứng ngõ ra:  x1  y  x1  1 0  x  x   3 Ví dụ 3: Lập phương trình trạng thái hệ có ph.trình vi phân: y  7y  4y  2r  8r  3r Giải Đặt biến trạng thái sau: x1  y  0 r x  x1  1r  x  a1x  a x1  2 r  7x  4x1  2 r y  x1   r Ta được:    y  x1  0 r  x  1r  0 r  y  x  1r  0 r  7x  4x1  2 r  1r  0 r y  7y  4y  (7x  4x1  2 r  1r  0 r)  Và đặt: (7x  71r  70 r)  (4x1  40 r) 9/4/2014 99 2.7.2 Lập ph.trình trạng thái từ ph.trình vi phân  y  7y  4y  0 r  (1  70 )r  (2  71  40 )r So sánh ph.trình với ph.trình cho, ta được: 0   1  70   1  6 2  71  40   2   71  40  37 Hệ phương trình trạng thái hệ thống là:  x1  x1  0 r  x  x  7x  4x1  2 r  4x1  7x  37r Dạng ma trận: 9/4/2014  x1      x1    6 r  x   4 7   x  37  x1   y   1    2r x2  100 2.7.3 Lập ph.trình trạng thái từ hàm truyền, sơ đồ khối Cách 1: Hàm truyền  ph.trình vi phân  ph.trình trạng thái Ví dụ:  Y(s) 8s  24 G(s)   R(s) s  5s  6s  (s3  5s  6s  8).Y(s)  (8s  24).R(s) Lấy Laplace ngược vế  y  5y  6y  8y  8r  24r (tiếp tục giải ví dụ mục 2.7.2 ) Cách 2: Đặt biến trạng thái trực tiếp sơ đồ khối Ví dụ: (Xem cách giải ví dụ 2.19 trang 69 sách ĐKTĐ ) 9/4/2014 101 2.7.4 Tìm hàm truyền từ phương trình trạng thái  Xét hệ thống tuyến tính SISO có ph.trình trạng thái:  x  Ax  Br   y  Cx  Dr Hệ thống có hàm truyền: G(s)  Y(s)  C(sI  A) 1 B  D R(s) (xem chứng minh tr 71_sách ĐKTĐ) - Để tránh phải tính ma trận nghịch đảo, dùng công thức: G(s)  C(sI  A) 1 B  D  det(sI  A  BC) 1  D det(sI  A) - Phương trình đặc tính hệ thống: det(sI  A)  9/4/2014 102 2.7.4 Tìm hàm truyền từ phương trình trạng thái Ví dụ 2.21 (trang 71) Xét hệ thống có ph.trình trạng thái:  x1 (t)   5 1  x1     x (t)      x     r(t)  2       x1 (t)  y(t)  1 0,5   x (t)   Cách 1: Hàm truyền  Hàm truyền hệ thống =? G(s)  C(sI  A) 1 B  D 1   5 1 s  1 (sI  A)  s       0     1 s  1  d b   det(M)  c a  s 1  s 1  1 1 (sI  A)     det(sI  A) 1 s  5 s  5s  1 s  5 a b  1 M   c d   9/4/2014 103 2.7.4 Tìm hàm truyền từ phương trình trạng thái (sI  A) 1 s 1  s 1  1     det(sI  A) 1 s  5 s  5s  1 s  5 s 1     2s  1 (sI  A) B       s  5s  1 s  5   s  5s    1  2s  2s  C(sI  A) B  1 0,5    s  5s    s  5s  1 2s  G(s)  C(sI  A) B  D  s  5s  1 9/4/2014 104 2.7.4 Tìm hàm truyền từ phương trình trạng thái Cách 2: Hàm truyền det(sI  A  BC) G(s)  C(sI  A) B  1 det(sI  A) 1 1   5 1 s  1 sI  A  s       1  s       s  1   sI  A  BC      1 0,5   1 s    s  1   s          1 s   0   1 s   9/4/2014 s  7s  2s  G(s)  1  s  5s  s  5s  105 Tổng kết chương   Một hệ thống mô tả dạng mô hình: Ph.trình vi phân, hàm truyền ph.trình trạng thái Ba dạng mô hình chuyển đổi qua lại Ph.trình vi phân L Hàm truyền L -1 Đặt x Ph.trình trạng thái G (s)  C(sI  A) 1 B  D 9/4/2014 106 [...]... A 2es2 t   A n esn t i 1 9/4 /20 14 22 2. 2.4 Tìm biến đổi Laplace ngược 5s  3 Y(s)  s(2s 2  14s  20 ) Giải Mẫu số của Y(s) có 3 nghiệm đơn s1 =0, s2 = -2 , s3 =-5 và hệ số an=a3 =2 Do đó có thể phân tích : A3 A1 A 2 5s  3 Y(s)     2s(s  2) (s  5) s s  2 s  5 5s  3 3  A1  lim [s.Y(s)]  lim s0 2( s  2) (s  5) s0 20 Ví dụ : Tìm y(t) biết 5s  3 7  A 2  lim [(s  2) Y(s)]  lim s 2 2s(s...  2  2 sin(t  ) Trong đó :   arccos 9/4 /20 14    2 2  arcsin   2  2 31 2. 2.4 Tìm biến đổi Laplace ngược Ví dụ: Tìm y(t) biết 2s  5 Y(s)  2 s(s  6s  25 ) Giải Mẫu số của Y(s) có một nghiệm đơn s=0 và hai nghiệm phức p1 ,2 =-34j nên có thể phân tích : Y(s)  2s  5 A C1 (s  3)  4C2   2 2 s(s  6s  25 ) s s  6s  25 (A  C1 )s 2  (6A  3C1  4C2 )s  25 A Y(s)  s(s 2  6s  25 )... C2  9/4 /20 14 1  1  7  7 Re D        4  5  20 34 Bài tập: Cho Y(s), tìm y(t)=? 18s  126 (1) Y(s)  2 s(s  23 s  126 ) (2) Y(s)  s  20 s(2s 2  16s  30) (3) Y(s)  3s  40 s(s  5)(s  3) 2 (4) Y(s)  6s  15 s(s  1)(s 2  8s  16) s5 (5) Y(s)  2 s(s  4s  5) (6) Y(s)  9/4 /20 14 15s  22 5 s(s 2  18s  22 5) 4 9 y(t)  1  e 9t  e 14t 5 5 2 17 3t 3 5t y(t)   e  e 3 12. .. 2) Y(s)]  lim s 2 2s(s  5) s 2 12 5s  3 22 11   A3  lim [(s  5)Y(s)]  lim s5 2s(s  2) s5 30 15 9/4 /20 14 23 2. 2.4 Tìm biến đổi Laplace ngược 3 7 11 Y(s)    20 s 12( s  2) 15(s  5)  3 7 2t 11 5t 3 7 2t 11 5t y(t)  L [Y(s)]  1(t)  e  e   e  e 20 12 15 20 12 15 1 Nhận xét: Tìm giá trị xác lập y() ? Cách 1: y()  lim[y(t)]  3 / 20 t  Cách 2: Dùng định lý giá trị cuối y()... (2s  4)(5s  24 )   B1  lim 2 2 s 3 9 3 s (s  4) 2 1 3 1    3s  s  4   s  3 2 3(s  3)  Y(s)   y(t)  L 1[Y(s)]  9/4 /20 14 2 4t 1  e  3te 3t  e 3t 3 3 28 2. 2.4 Tìm biến đổi Laplace ngược 3) Mẫu số của Y(s) có nghiệm phức Giả sử Q(s) có (n -2) nghiệm đơn s1 , s2 ,…, sn -2 và 2 nghiệm phức p1 ,2 = a  j Khi đó có thể phân tích : Q(s)  a n (s  s1 ) (s  s n 2 )(s  p1 )(s  p 2. .. sánh với Y(s) đã cho, ta được: A  1/ 5 25 A  5 C1  1/ 5 A  C1  0  C2  7 / 20 6A  3C1  4C 2  2 9/4 /20 14 32 2 .2. 4 Tìm biến đổi Laplace ngược 1 7 1 7  (s  3)  (4)  (s  3) ( 4) 1 1 20 20 Y(s)   5 2   5 2  5s s  6s  25 5s (s  3)  4 2 (s  3) 2  42 y(t)  L 1[Y(s)]  1 1 3t 7  e cos 4t  e 3t sin 4t 5 5 20 1 1 3t   e (7sin 4t  4cos 4t) 5 20 1 65 3t  7 4  1 65 3t   e ...  s n 2 )[(s  a) 2  2 ] A1 A n 2 C1 (s  a)  C2 Y(s)     2 s  s1 s  s n 2  s  a   2 Các hệ số Ai , C1 ,C2 xác định bằng : - Phương pháp đồng nhất hệ số đa thức, - hoặc Tính theo công thức: 9/4 /20 14 29 2. 2.4 Tìm biến đổi Laplace ngược A i  lim [(s  si )Y(s)] s si 1 C1  Im  1 C2  Re  Y(s)  (i=1,…,n -2)  (s  p )(s  p )Y(s)   (s  p )(s  p )Y(s)  1 2 s p1 1 2 s p1... A1 A C (s  a)  C2   n 2  1 2 s  s1 s  s n 2  s  a   2 Biến đổi Laplace ngược hàm ảnh Y(s) ta được : n 2 y(t)   A i esi t  C1e at cos t  C 2e at sin t i 1 9/4 /20 14 30 2. 2.4 Tìm biến đổi Laplace ngược Nhận xét : Có thể đưa kết quả về dạng hàm sin hay cos của tổng/hiệu      sin t   cos t      sin t  cos t  2 2 2 2          2 2   2  2  sin t cos ...     2  2  s  j s  j  s  2  1 1 1   2 L [sin t ]      2 j  s  j s  j  s  2 9/4 /20 14 19 Một số biến đổi Laplace thường dùng (trang 20 ) TT f(t) F(s) 1 1(t) 1/ s 2 (t) 1 3 t 1 s e 8 te t t 17 e 18 e t sin t 9/4 /20 14 cos t 1 (s   )2 s (s   )2  2  (s   )2  2 20 2. 2.4 Tìm biến đổi Laplace ngược Bài toán : Biết hàm Y(s) , tìm hàm thời gian y(t)=? Y(s)... 5s  24 24 2 A1  lim [s.Y(s)]  lim   2 s 0 s 0 (s  4)(s  3) 36 3 4 5s  24  1 A 2  lim [(s  4)Y(s)]  lim  2 s 4 s 4 s(s  3) 4 9 5s  24  3  s3 s(s  4) 3 B2  lim [(s  3 )2 Y(s)]  lim s3 9/4 /20 14 27 2. 2.4 Tìm biến đổi Laplace ngược  d  5s  24   d  2 B1  lim  [(s  3) Y(s)]  lim     s3  ds s  3   ds  s(s  4)    u  ' u v  vu Lưu ý:    v2 v ... s5 2s(s  2) s5 30 15 9/4 /20 14 23 2. 2.4 Tìm biến đổi Laplace ngược 11 Y(s)    20 s 12( s  2) 15(s  5)  2t 11 5t 2t 11 5t y(t)  L [Y(s)]  1(t)  e  e   e  e 20 12 15 20 12 15... cos12t  e sin12t 2t 35 2. 3 Hàm truyền 1) Định nghĩa: Hàm truyền hệ thống tỉ số ảnh Laplace tín hiệu ảnh Laplace tín hiệu vào điều kiện đầu Từ PTVP mô tả hệ thống tuyến tính bất biến liên tục. ..  A1es1t  A 2es2 t   A n esn t i 1 9/4 /20 14 22 2. 2.4 Tìm biến đổi Laplace ngược 5s  Y(s)  s(2s  14s  20 ) Giải Mẫu số Y(s) có nghiệm đơn s1 =0, s2 = -2 , s3 =-5 hệ số an=a3 =2 Do phân tích