Phương pháp hàm truyền đạt chuyển quan hệ phương trình vi phân thành quan hệ phân thức đại số nhờ phép biến đổi Laplace, trong khi đó phương pháp không gian trạng thái biến đổi phương[r]
(1)LÝ THIẾT
ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG
GVTH: Võ Văn Định
(2)CHƯƠNG 2: MƠ TẢ TỐN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN LIÊN TỤC
2.1 Khái niệm
2.2 Hàm truyền đạt đại số sơ đồ khối
2.3 Sơ đồ dịng tín hiệu
2.4 Phương pháp khơng gian trạng thái
(3)dạng có chất vật lý khác hệ thống điều khiển động cơ, lị nhiệt, máy bay, phản ứng hóa học …
Tổng quát quan hệ tín hiệu vào tín hiệu hệ thống tuyến tính biểu diễn phương trình vi phân bậc cao Việc khảo xác hệ thống dựa vào phương trình vi phân bậc cao thường gặp nhiều khó khắn
(4)2.1 KHÁI NIỆM
Có hai phương pháp mơ tả toán học hệ thống tự động giúp cho việc khảo sát hệ thống dễ dàng là:
- Phương pháp hàm truyền đạt
- Phương pháp không gian trạng thái
(5)Cho f(t) hàm xác định với t 0, biến đổi Laplace f(t) là:
( ) ( ) (2.1) )
(
0
f t f t e dt s
F L st
Trong đó:
s: biến phức (biến Laplace) s = + j
L : toán tử biến đổi Laplace
F(s): ảnh hàm f(t) qua phép biến đổi laplace
Biến đổi Laplace tồn tích phân biểu thức biểu thức định nghĩa (2.1) hội tụ
(6) Tính tuyến tính
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.1 Phép biến đổi Laplace
a1 f1(t) a2 f2(t) a1 F1(s) a 2 F2(s) (2.2)
L
b Tính chất phép biến đổi Laplace
Nếu hàm f1(t) có biến đổi Laplace L{f1(t)} = F1(s) hàm f2(t)
(7) Ảnh đạo hàm
(2.3)
) 0 ( )
( )
(
f s
sF dt
t df
L
b Tính chất phép biến đổi Laplace
Nếu hàm f(t) có biến đổi Laplace L{f(t)} = F(s) thì:
Trong f(o+) điều kiện đầu Nếu điều kiện đầu thì:
(2.4)
) ( )
(
s sF dt
t df
(8) Ảnh tích phân
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.1 Phép biến đổi Laplace
(2.5)
) ( )
(
0 s
s F d
f
t
L
b Tính chất phép biến đổi Laplace
(9) Định lý chậm trễ
f (t T) eTs Lf (t) eTs.F(s) (2.6)
L
b Tính chất phép biến đổi Laplace
Nếu f(t) làm trễ khoảng thời gian T, ta có f(t-T), đó:
f(t)
t
f(t-T)
T
(10) Định lý giá trị cuối
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.1 Phép biến đổi Laplace
(2.7)
) ( lim
) ( lim
0 sF s t
f
s t
b Tính chất phép biến đổi Laplace
(11)c Biến đổi Laplace số hàm bản
Khi khảo sát hệ thống tự động người ta thường đặt tín hiệu vào tín hiệu
(12)2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.1 Phép biến đổi Laplace
c Biến đổi Laplace số hàm bản
Hàm xung đơn vị (hàm dirac)
Hàm xung đơn vị thường sử dụng để mô tả nhiễu tác động vào hệ thống
0 khi t 0
( ) 1
dt t
(t)
0
(13)c Biến đổi Laplace số hàm bản
Hàm xung đơn vị (hàm dirac)
Hàm xung đơn vị thường sử dụng để mô tả nhiễu tác động vào hệ thống
) ( t khi t khi t
( ) (2.8)
dt t thỏa (t) 0 t
Theo định nghĩa:
( ) ( ). ( ). ( ). 1 (2.9)
0 0 0 dt e t dt e t dt e t
t st st
L
( )1
(14)2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.1 Phép biến đổi Laplace
c Biến đổi Laplace số hàm bản
Hàm nấc đơn vị
Trong hệ thống điều khiển ổn định hóa, tín hiệu vào có dạng hàm nấc đơn vị
(2.10)
0
0
)
(
t khi
t khi t
u
Theo định nghĩa phép biến đổi Laplace:
u(t)
1
(15)15
c Biến đổi Laplace số hàm bản
Hàm dốc đơn vị
Hàm dốc đơn vị thường sử dụng làm tín hiệu vào để khảo sát hệ thống điều khiển theo dõi
(2.12) 0 ) ( ) ( t khi t khi t t u t t f
Theo định nghĩa phép biến đổi Laplace:
2
0 0 1 . . ). ( ) ( s s e s e t dt e t dt e t f t f st st st st L
12 (2.13)
(16)2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.1 Phép biến đổi Laplace
c Biến đổi Laplace số hàm bản
Hàm mũ
(2.15) 0 ) ( ) ( t khi t khi e t u e t f at at
Theo định nghĩa phép biến đổi Laplace:
f t e e dt e dt e
t s a t s a st at
. 1
(17)17
c Biến đổi Laplace số hàm bản
Hàm sin
(2.17) 0 t sin ) ( ) (sin ) ( t khi t khi t u t t
f
Theo định nghĩa ta có:
2 2
0 1 1 2 1 . 2 ) ( ). (sin s j s j s j dt e j e e t u t st t j t j L
2 2 (2.18)
s f(t) L
Từ công thức Euler ta có:
(18)2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.2 Hàm truyền đạt
a Định nghĩa:
1
( ) ( ) ( )
( )
n n
d c t d c t dc t
a a a a c t
Quan hệ tín hiệu vào tín hiệu hệ thống tuyến tính bất biến lên tục mơ tả phương trình vi phân hệ số hằng:
Hệ thống
r(t) c(t)
(19)a Định nghĩa:
Hệ thống gọi hợp thức n m, hệ thống gọi không hợp thức n < m có hệ thống tồn thực tế
Trong hệ số ai = (0n) bj= (0m) thông số hệ thống (a0 0; b0 0); n bậc hệ thống
(20)2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.2 Hàm truyền đạt
a Định nghĩa:
) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 1 s R b s b s b s b s C a s a s a s a m m m m n n n n
Giả sử điều kiện đầu 0, biến đổi Laplace hai vế phương trình (2.19) ta được:
m m b s b s b s b s