chuong 2 MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

Chương Mơ tả tóan học I Hàm truyền đáp ứng Hàm Truyền d nc( t ) d n1c( t ) dc( t ) an  a n1   a1  a0c( t ) dt dt dt d m r(t ) d m 1 r ( t ) dr ( t )  bm  bm 1   b1  b0 r ( t ) dt dt dt Biến đổi Laplace: a s  a s   a s  a C(s)  b s  b s   b s  b  R(s) n1 n n1 n m1 m m m1 Hàm truyền đạt: C ( s) bm s m  bm1s m1   b1s  b0 M (s)   R( s) an s n  an1s n1   a1s  a0 Điều khiển tự động Chương Mơ tả tóan học Khi biết hàm truyền đạt xác định đáp ứng c(t) kích thích r(t) cách lấy Laplace ngược c(t)  L1C(s)  L1R(s).M (s) Tìm hàm truyền đạt mạch điện sau R U i I  Z ( s )  R  Ls  Z (s) Cs Ui Ví dụ: U0  I U  i Cs Z ( s ) Cs G (s)  L C Uo U0  Ui Z ( s ) Cs Đáp ứng + Đáp ứng xung: đáp ứng hệ thống tín hiệu vào tín hiệu xung  r ( t )  ( t )   0 Điều khiển tự động t0 t0 Chương Mơ tả tóan học Biến đổi Laplace r(t) : R(p) = Đáp ứng xung : ci (t )  L1C ( s )  L1M ( s ) + Đáp ứng bước: đáp ứng hệ thống tín hiệu vào tín hiệu bước 1 r ( t )  1( t )   0 t0 t0 khi Biến đổi Laplace r(t) : R(p) = 1/p Đáp ứng bước : 1  cs (t )  L1C ( s )  L1  M ( s )  s  Áp dụng tính chất biến đổi Laplace: Ta có Điều khiển tự động L   fdt  F (s) s dc s ( t ) ci ( t )  hay c s ( t )   ci ( t )dt dt Chương Mơ tả tóan học II.Sơ đồ khối Graph tín hiệu Sơ đồ khối Sơ đồ khối hệ thống kín có hồi tiếp: R(s) C(s) E(s) + B(s) G(s) H(s) Hàm truyền đường thuận C ( s)  G(s) E ( s) Hàm truyền vòng kín C ( s) G( s)  R( s )  G( s ) H ( s ) Hàm truyền vòng hở E ( s)  G ( s ) H ( s) B( s ) Điều khiển tự động Chương Mơ tả tóan học Các phép biến đổi khối bản: + Phép giao hóan khối nối tiếp G1 Gn Gn G1 G(s)=G1(s).G2(s)….Gn(s) + Phép giao hóan khối song song G1 Gn Gn G1 G(s)=G1(s) + G2(s) + …+ Gn(s) Điều khiển tự động Chương Mơ tả tóan học + Phép chuyển khối đằng sau đằng trước tổng R1  G C R1 R2 R2 G G C  C(s) = G(s) (R1(s)  R2(s)) + Phép chuyển tín hiệu từ trước sau R1 G R1 Điều khiển tự động C R1 R1 G C 1/G Chương Mơ tả tóan học + Đổi hệ có hồi tiếp H thành hồi tiếp đơn vị R  G C R 1/H  G H C H C ( s)  G( s)  G ( s) H ( s) + Hồi tiếp vùng R  G C R C (s)  G ( s)  G ( s) H ( s) C H Điều khiển tự động Chương Mơ tả tóan học Ví dụ: tìm hàm truyền: G1 R + + - + + - G2 C G3 G4 GA : G3 G4 mắc song song GB : G1 mắc song song đường truyền đơn vị GC : Vòng hồi tiếp G2 với GA Hàm truyền tổng qt : GB nối tiếp với GC Điều khiển tự động Chương Mơ tả tóan học Graph tín hiệu + Nút nguồn : Nút có nhánh + Nút đích : Nút có nhánh vào + Đường thuận : Đường từ nút nguồn đến nút đích mà khơng qua nút q lần + Vòng kín : Đường bắt đầu kết thúc nút mà khơng gặp nút q lần + Truyền đạt đường : tích cách truyền đạt nhánh dọc theo đuờng Các qui tắc biến đổi Graph tương tự biến đổi sơ đồ khối gồm nhánh mắc nối tiếp, song song, hồi tiếp… Ví dụ: G1 x1 Điều khiển tự động G1G3  G2 G2 G3 x2 x3 x1 x3 Chương Mơ tả tóan học + Cơng thức Mason M C  R  Mk  k k  Mk : truyền đạt đường thuận thứ k  = - Pm1 + Pm2 - Pm3 +…+ (-1)i Pmi Pm1 : truyền đạt vòng kín có Graph Pmr (r ≥ 2) : tích truyền đạt r vòng kín khơng dính k : Được suy từ  cách cho vòng kín có dính đến đường thuận thứ k Điều khiển tự động 10 Chương Mơ tả tóan học + G = (s+a) (khâu vi phân) 90o ω=a 45o + Khâu bậc 2: n2 G( s)  s  2n s  n2 Tần số gãy : ωn 0o dec dec Khâu vi phân ω = ωn -90o Điều khiển tự động 18 Chương Mơ tả tóan học + Khâu trễ : G(s) = e-Ts Biên độ : |G(s)| =  20 lg|G(jω)| = Pha : Arg(G(s)) = - Tω 20lg|G(jω)| Arg (G(jω) lg ω Giản đồ Bode biên độ Điều khiển tự động lg ω Giản đồ Bode pha 19 Chương Mơ tả tóan học 105 (s  100) Ví dụ: Vẽ giản đồ Bode G( s)  ( s  1)(s  10)(s  1000) Tần số gãy : 1, 10, 100, 1000 Giản đồ Bode biên độ: Điều khiển tự động 20 Chương Mơ tả tóan học Góc pha : Điều khiển tự động 21 Chương Mơ tả tóan học Một số lệnh Matlab sử dụng để mơ tả hệ thống Hàm tf2zp(num,den): Tìm zero, nghiệm, độ lợi hàm truyền Hàm zp2tf(z,p,k): Từ zero, nghiệm , độ lợi cho trước tìm hàm truyền Hàm FEEDBACK: Kết nối hồi tiếp hai hệ thống >> numg = [nhập hệ số tử số G1(p)]; >> deng = [nhập hệ số mẫu số G1(p)]; >> sys1 = tf(numg, deng); >> numh = [nhập hệ số tử số G2(p)]; >> denh = [nhập hệ số mẫu số G2(p)]; >> sys2 = tf(numh, denh); >> sys = feedback(sys1, sys2); Hàm SERIES: Kết nối hệ thống nối tiếp Hàm PARALLEL: Kết nối hệ thống song song Vẽ giản đồ bode, biểu đồ cực: ltiview('bode',sys_tf) Điều khiển tự động 22 Chương Mơ tả tóan học III Mơ tả hệ thống phương trình trạng thái Khái niệm D B + x + r(t)  x C + + c(t) A Hệ phương trình vi phân viết dạng ma trận sau:  x  A x (t )  B r (t )  c (t )  C x (t )  D r (t ) Trong đó: A (n x n): Ma trận hệ thống C (1 x n): Ma trận ngõ Điều khiển tự động x (t) (n x 1): Biến trạng thái B (n x 1): Ma trận ngõ vào D (1 x 1): Ma trận liên hệ trực tiếp ngõ – ngõ vào 23 Chương Mơ tả tóan học Ngõ vào ue tác động đến ngõ ua thơng qua biến trạng thái: du u1, u2, u3.và ic  C c dt   1     R C R C 1 1  u (t )    u1        1 1 u           u (t )   u e (t )    R1C2 C2  R1 R2  R2C2  u (t )   u3         1 1  R3 C3       R2C3 C2  R2 R3   u a ( t )  1 Điều khiển tự động  u1 ( t )  0 u ( t )   0.u e ( t )   u ( t )  24 Chương Mơ tả tóan học Thành lập hệ phương trình trạng thái từ PTVP Từ PT: d n c(t ) d n 1c(t ) dc(t ) an  an 1   a1  a0c(t ) dt dt dt d m r (t ) d m 1r (t ) dr (t )  bm  bm 1   b1  b0 r (t ) dt dt dt Hàm truyền đạt: C(s) bmsm  bm1sm1   b1s  b0 M (s)   n R(s) ans  an1sn1   a1s  a0 Điều khiển tự động 25 Chương Mơ tả tóan học Mơ tả biến trạng thái theo hình thức điều khiển  0  0  x (t )   0   a  a n  b0 bn c     an an Điều khiển tự động 0 0 a1  an a2  an a0   an   b1 bn    an an    0   0     .x(t )   .r (t )  1     an 1   an   bn 1 bn an 1  a1      x(t )  an   an an an  26 Chương Mơ tả tóan học Mơ tả biến trạng thái theo hình thức quan sát  0  1   x (t )  0     0   c  0 Điều khiển tự động a0   an    b0 bn a0   a a a a    n n  n  an   b1  bn a1  a2  .r (t )  x(t )   an an an   an      b  b a n  n n     an 1    an an an   an   1  x(t ) 27 Chương Mơ tả tóan học Thành lập hệ phương trình trạng thái từ sơ đồ khối a Biến đổi hàm truyền thành PTVP Dùng biến đổi Laplace ngược để biến đổi sơ đồ khối thành PTVP dùng Phương pháp phần trước để thành lập mơ tả trạng thái b Phương pháp tọa độ pha Từ hàm truyền: C( s) bm sm  bm1s m1   b1s  b0 M ( s)   R( s) an sn  an1s n1   a1s  a0 Đặt biến phụ Y(s) cho: C(s)=(bm sm + bm-1 sm-1 + …+ b1 s + b0).Y(s) R(s)=(an sn + an-1 sn-1 + …+ a1 s + a0).Y(s) Biến đổi Laplace ngược đặt x1(t) = y(t), x2(t) = dx1(t)/dt… Điều khiển tự động 28 Chương Mơ tả tóan học c Phương pháp đặt biến trực tiếp sơ đồ khối R(s) + Ta có: s2 X 1(s)  X ( s) s5 sX1(s)= -5X1(s) + 2X2(s) + sX2(s) X ( s)  - X2(s) s  s5 s4 X1(s)= C(s) X3(s) s  s R( s )  X ( s )  s4 sX2(s)= -4X2(s) - 3X3(s) + 3R(s) X 3(s)  s1 X 1(s) s sX3(s)= X1(s) - 6X3 (s) + sX1(s) Thế sX2(s) PT2 vào PT1 ta có hệ phương trình mơ tả trạng thái Điều khiển tự động 29 Chương Mơ tả tóan học Tính hàm truyền từ hệ phương trình trạng thái  x  A x ( t )  B r ( t )  c ( t )  C x ( t ) L-1  s X ( s )  A X ( s )  B R ( s )  C ( s )  C X ( s ) (s.I – A) X(s) = B R(s) X(s) = (s.I – A)-1 B R(s) C(s) = C X(s) = C (s.I – A)-1 B R(s) Hàm truyền : G(s) = C (s.I – A)-1 B Ví dụ: Tìm hàm truyền 1 0 0 x ( t )   x ( t )    r ( t )   3  1  Điều khiển tự động c  1 3 x (t ) 30 Chương Mơ tả tóan học Nghiệm phương trình trạng thái  x  A x ( t )  B r ( t ) L-1  c ( t )  C x ( t ) s X ( s)  x(0)  A X ( s)  B.R( s)  C( s)  C X ( s) X(s) = (s.I – A)-1 B R(s) + (s.I – A)-1x(0) Đặt Φ(p) = (s.I – A)-1 biến đối Laplace ngược ta Φ(t) ma trận q độ hệ thống Tính theo biến đổi Laplace ngược tương đối khó  sử dụng định lý Caley – Hamilton: Φ(t) = eλt = C0I + C1λ + C2λ2 + … + Cn-1 λn-1 Với λ vectơ riêng ma trận A (là vectơ nghiệm phương trình det(λI – A) = t Đáp ứng hệ thống: x( t )   ( t   ).B R( )d Điều khiển tự động 31 Chương Mơ tả tóan học IV Một số ví dụ Chuyển động với lo xo M: Khối lượng vật K: Độ cứng lò xo K B M x B: Hệ số ma sát nhớt (Hệ số giảm chấn) f (t )  M d x(t ) dt B dx( t )  K x( t ) dt Biến đổi Laplace: F(s)=(Ms2 + Bs + K) X(s) Hàm truyền: X ( s )  F (s) Ms  Bs  K Ví dụ mơ Matlab với hệ số M, B, K khác Điều khiển tự động 32 ... khiển tự động 10 Chương Mơ tả tóan học Ví dụ: Tìm hàm truyền hệ thống Điều khiển tự động 11 Chương Mơ tả tóan học Các đường truyền thuận: M1 = G1G2G3 M2 = G1G4 Có vòng kín: L1 = -G1G2G3 L2 = ……,... sys2); Hàm SERIES: Kết nối hệ thống nối tiếp Hàm PARALLEL: Kết nối hệ thống song song Vẽ giản đồ bode, biểu đồ cực: ltiview('bode',sys_tf) Điều khiển tự động 22 Chương Mơ tả tóan học III Mơ tả hệ. .. a1s  a0 Điều khiển tự động 25 Chương Mơ tả tóan học Mơ tả biến trạng thái theo hình thức điều khiển  0  0  x (t )   0   a  a n  b0 bn c     an an Điều khiển tự động 0