Trong hệ thống rời rạc và hệ thống số, thông số điều khiển – biên độ của tín hiệu chỉ xuất hiện tại các thời điểm rời rạc cách đều nhau đúng bằng một chu kỳ lấy mẫu tín hiệu.. Hình 7.1:
Trang 1Chương 7
MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 7.1 HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
7.1.1 Khái niệm
Chương này đề cập đến một loại hệ thống điều khiển có hồi tiếp, trong đó tín hiệu tại một hay nhiều điểm là một chuổi xung, không phải là hàm liên tục theo thời gian Tùy thuộc vào phương pháp lượng tử hoá tín hiệu mà
ta có các loại hệ thống xử lý tín hiệu khác nhau Phương pháp lượng tử hoá theo thời gian cho tín hiệu có biên độ liên tục, thời gian rời rạc Hệ thống xử lý loại tín hiệu này được gọi là hệ thống rời rạc Nếu phép lượng tử hoá được tiến hành theo thời gian và cả theo biên độ thì kết quả nhận được là tín hiệu số Hệ thống xử lý tín hiệu số gọi là hệ thống số Trong hệ thống rời rạc và hệ thống số, thông số điều khiển – biên độ của tín hiệu chỉ xuất hiện tại các thời điểm rời rạc cách đều nhau đúng bằng một chu kỳ lấy mẫu tín hiệu Vì có thời gian trễ tất yếu do lấy mẫu, việc ổn định hệ thống trở nên phức tạp hơn so với hệ liên tục, do đó đòi hỏi những kỹ thuật phân tích và thiết kế đặc biệt
Sự phát triển mạnh mẽ của kỹ thuật số, kỹ thuật vi xử lý và kỹ thuật máy tính làm cho ngày càng có nhiều hệ thống điều khiển số được sử dụng để điều khiển các đối tượng Hệ thống điều khiển số có nhiều ưu điểm so với hệ thống điều khiển liên tục như uyển chuyển, linh hoạt, dễ dàng thay đổi thuật toán điều khiển, dễ dàng áp dụng các thuật toán điều khiển phức tạp bằng cách lập trình Máy tính số còn có thể điều khiển nhiều đối tượng cùng một lúc Ngoài ra, giá máy tính ngày càng hạ trong khi đó tốc độ xử lý, độ tin cậy ngày càng tăng lên cũng góp phần làm cho việc sử dụng các hệ thống điều khiển số trở nên phổ biến Hiện nay các hệ thống điều khiển số được sử dụng rất rộng rãi, từ các bộ điều khiển đơn giản như điều khiển nhiệt độ, điều khiển động cơ DC, AC,… đến các hệ thống điều khiển phức tạp như điều khiển robot, máy bay, tàu vũ trụ, các hệ thống điều khiển quá trình công nghệ hóa học và các hệ thống tự động cho những ứng dụng khác nhau
Trang 2Hình 7.1 trình bày sơ đồ khối của hệ thống điều khiển số thường gặp,
trong hệ thống có hai loại tín hiệu: tín hiệu liên tục c(t), u R (t) và tín hiệu số
r(kT), cht (kT), u(kT) Trung tâm của hệ thống là máy tính số, máy tính có
chức năng xử lý thông tin phản hồi từ cảm biến, và xuất ra tín hiệu điều khiển đối tượng Vì cảm biến và đối tượng là hệ thống liên tục nên cần sử dụng bộ chuyển đổi A/D và D/A để giao tiếp với máy tính Do đó để phân tích và thiết kế hệ thống điều khiển số trước tiên ta phải mô tả toán học được
quá trình chuyển đổi A/D và D/A Tuy nhiên hiện nay không có phương pháp
nào cho phép mô tả chính xác quá trình chuyển đổi A/D và D/A do sai số lượng tử hoá biên độ, vì vậy thay vì khảo sát hệ thống số ở hình 7.1 ta khảo sát hệ rời rạc ở hình 7.2
Hình 7.1: Sơ đồ khối hệ thống điều khiển số
Hình 7.2: Sơ đồ khối hệ thống điều khiển rời rạc
Trong quyển sách này, chúng ta phát triển các phương pháp phân tích và thiết kế hệ thống điều khiển liên tục cho hệ thống điều khiển rời rạc Nếu độ phân giải của phép lượng tử hoá biên độ đủ nhỏ để có thể bỏ qua sai số qua thì ta có thể xem tín hiệu số là tín hiệu rời rạc, điều đó có nghĩa là lý thuyết điều khiển rời rạc trình bày trong quyển sách này hoàn toàn có thể áp dụng để phân tích và thiết kế các hệ thống điều khiển số
Trang 37.1.2 Đặc điểm lấy mẫu
Lấy mẫu là biến đổi tín hiệu liên tục theo thời gian thành tín hiệu rời
rạc theo thời gian Xét bộ lấy mẫu có đầu vào là tín hiệu liên tục x(t) và đầu
ra là tín hiệu rời rạc x*(t) (xem hình 7.3) Quá trình lấy mẫu có thể mô tả bởi
biểu thức toán học sau:
)()
()(
Biến đổi Laplace hai vế phương trình (7.3) ta được:
¦f 0
*( ) ( )
k
kTs e kT x s
Biểu thức (7.4) chính là biểu thức toán học mô tả quá trình lấy mẫu
Hình 7.3: Quá trình lấy mẫu dữ liệu
T x(t)
Trang 4Định lý Shanon: Để có thể phục hồi dữ liệu sau khi lấy mẫu mà không bị
méo dạng thì tần số lấy mẫu phải thỏa mãn điều kiện:
c f T
trong đó f c là tần số cắt của tín hiệu cần lấy mẫu
Trong các hệ thống điều khiển thực tế, nếu có thể bỏ qua được sai số
lượng tử hóa thì các khâu chuyển đổi A/D chính là các khâu lấy mẫu
7.1.3 Khâu giữ dữ liệu
Khâu giữ dữ liệu là khâu chuyển tín hiệu rời rạc theo thời gian thành tín
hiệu liên tục theo thời gian
Khâu giữ dữ liệu có nhiều dạng khác nhau, đơn giản nhất và được sử
dụng nhiều nhất trong các hệ thống điều khiển rời rạc là khâu giữ bậc 0
(Zero-Order Hold – ZOH), xem hình 7.4
Hình 7.4: Khâu giữ bậc 0 (ZOH)
Ta tìm hàm truyền của khâu ZOH Để ý rằng nếu tín hiệu vào của khâu
ZOH là xung dirac thì tín hiệu ra là xung vuông có độ rộng bằng T (hình
7.4b) Ta có:
1)( s
R (vì r(t) là hàm dirac)
Trang 5^ ` ^ `
s
e e
s s T t u t u t
c s
()
Theo định nghĩa:
)(
)()(
s R
s C s
G ZOH
s
e s
G
Ts ZOH
1)
Biểu thức (7.6) chính là hàm truyền của khâu giữ bậc 0 Trong các hệ
thống điều khiển thực tế, nếu có thể bỏ qua được sai số lượng tử hóa thì các
khâu chuyển đổi D/A chính là các khâu giữ bậc 0 (ZOH)
Nhận xét:
Bằng cách sử dụng phép biến đổi Laplace ta có thể mô tả quá trình lấy
mẫu và giữ dữ liệu bằng các biểu thức toán học (7.4) và (7.6) Tuy nhiên các
biểu thức toán học này lại chứa hàm e x nên nếu ta sử dụng để mô tả hệ rời
rạc thì khi phân tích, thiết kế hệ thống sẽ gặp nhiều khó khăn Ta cần mô tả
toán học khác giúp khảo sát hệ thống rời rạc dễ dàng hơn, nhờ phép biến đổi
Z trình bày dưới đây chúng ta sẽ thực hiện được điều này
7.2 PHÉP BIẾN ĐỔI Z
x z
()
(
k
k z k x k
x z
x Miền hội tụ (Region Of Convergence – ROC)
ROC là tập hợp tất cả các giá trị z sao cho X(z) hữu hạn
x Ý nghĩa của phép biến đổi Z:
Giả sử x(t) là tín hiệu liên tục trong miền thời gian, lấy mẫu x(t) với chu
kỳ lấy mẫu T ta được chuổi rời rạc x(k) = x(kT).
Trang 6Biểu thức lấy mẫu x(t):
¦f 0
*( ) ( )
k
kTs e kT x s
Biểu thức biến đổi Z:
¦f
0 ( ))
(
k
k z k x z
Vì z eTs nên vế phải của hai biểu thức (7.9) và (7.10) là như nhau, do
đó bản chất của việc biến đổi Z một tín hiệu chính là rời rạc hóa tín hiệu đó
x Phép biến đổi Z ngược:
Cho X(z) là hàm theo biến phức z Biến đổi Z ngược của X(z) là:
C
k dz z z X j k
2
1)(
S
với C là đường cong kín bất kỳ nằm trong miền hội tụ ROC của X(z) và bao
gốc tọa độ
7.2.2 Tính chất của phép biến đổi Z:
1 Tính tuyến tính:
Nếu: x1(k)moZ X1(z)
)()
Thì: a1x1(k)a2x2(k)moZ a1X1(z)a2X2(z) (7.11)
2 Dời trong miền thời gian:
Hình 7.5: Làm trể tín hiệu k0 mẫu
Trang 7Nếu: x(k)moZ X(z)
k k
Nhận xét:
Nếu trong miền Z ta nhân X(z) với k0
z thì tương đương với trong miền
thời gian ta là trể tín hiệu x(k) k0 chu kỳ lấy mẫu
Vì x(k1)moZ z1X(z)
nên z1 được gọi là toán tử làm trể 1 chu kỳ lấy mẫu
3 Tỉ lệ trong miền Z:
01
)(
k
k k
Trang 8Vậy: ( )moZ 1
k
G (ROC: toàn bộ mặt phẳng Z)
7.2.3.2 Hàm nấc đơn vị:
Hàm nấc đơn vị (liên tục trong miền
01
)(
t
t t
u
nếunếu
Lấy mẫu u(t) với chu kỳ lấy mẫu là
01
)(
k
k k
u
nếunếu
0 ( ) 1)
()
1)
z z
k u
Z
11
1)
k
7.2.3.3 Hàm dốc đơn vị:
Hàm dốc đơn vị (liên tục trong miền
0)
(
t
t t
t
r
nếunếu
Lấy mẫu r (t) với chu kỳ lấy mẫu là
0)
(
k
k k
k
r
nếu
nếuT
Trang 9Ta tìm biến đổi Z của r(k) bằng cách áp dụng tín chất tỉ lệ trong miền Z:
Ta có:
1
1
1)
om
z k
1
1 (1 )1
1)
z
z z
dz
d z k
1
)1()1()
Tz k
1
)1()1()
()
Tz k
kTu k
0)
(
t
t e
t
x
at
nếunếu
Lấy mẫu r (t) với chu kỳ lấy mẫu là T,
0)
(
k
k e
()
k
k k
z z
e k
( ) 11
1)
(
Z
e z
z z
e k
1)
()
Trang 10Kết quả trên ta dễ dàng suy ra:
a z
z az
k u
7.2.4 Các phương pháp tìm biến đổi Z ngược
Cho hàm X (z), bài toán đặt ra là tìm x(k) Theo công thức biến đổi Z
ngược, ta có:
C
k dz z z X j k
2
1)(
S
với C là đường cong kín bất kỳ nằm trong ROC của X(z) và bao gốc tọa độ
Tìm x(k) bằng công thức trên rất phức tạp, thực tế ta thường áp dụng các cách sau:
x Cách 1: Phân tích X(z) thành tổng các hàm cơ bản, sau đó tra bảng biến
đổi Z
Thí dụ 7.1: Cho
)3)(
2()(
z
z z
Lời giải:
Phân tích X (z), ta được:
)3()2()(
z z
X
Tra bảng biến đổi Z:
a z
z k
x Cách 2: Phân tích X(z) thành chuổi lũy thừa:
Theo định nghĩa biến đổi Z:
)
3()
2()
1()
0()
()
2()(
z
z z
Lời giải:
65)
3)(
2()
z
z z
X
Chia đa thức, ta được:
Trang 11
z
z z
Lời giải: Ta có
2 1
1
)3)(
2()
z
z z
z
z z
x
Thay vào công thức trên ta tìm được:
0)0
(
x ; x( 1) 1; x( 2) 5;x( 3) 19; x( 4) 65,…
x Cách 4: Áp dụng công thức thặng dư
> @tại các cực của
z
1
z z k
k
z X z z z z
1)
(
1 z
z
1
z z k
p p
p k
z X z z z dz
d p
z X
2()(
z
z z
Trang 12x Res> 1 ( )@z 2 ( 2) 1 ( ) 2
k
z X z z z
X z
2
1
)3)(
2()2
z z
z
z
k z
)3
2()3
z z
z
k z
k z
)2
7.3 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG HÀM TRUYỀN
7.3.1 Hàm truyền của hệ rời rạc
Quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra của hệ thống rời rạc được mô tả
bằng phương trình sai phân:
1(
)1(
)
0r k m b r k m b r k b r k
trong đó n t m , n gọi là bậc của hệ thống rời rạc
Biến đổi Z hai vế phương trình (7.17) ta được:
1
1 1
n n
n n
m m
m m
a z a z
a z a
b z b z
b z b z
1
1 1 0
n n
m m
m m
a z a z
a z a
b z b z
b z b z R
z C z G
1
1 1 0
)(
)()
G (z) được gọi là hàm truyền của hệ thống rời rạc
Hệ thống rời rạc
Trang 13Hàm truyền (7.18) có thể biến đổi tương đương về dạng:
n n
n n
m m
m m m
n
z a z
a z
a a
z b z
b z
b b z
z R
z C z
1 1 0
1 1
1 1 0 ) (
]
[)
(
)()
Hai cách biểu diễn trên hoàn toàn tương đương nhau, trong thực tế hàm
truyền dạng thứ hai được sử dụng nhiều hơn
Thí dụ 7.5: Cho hệ thống rời rạc mô tả bởi phương trình sai phân:
)()2(2)(3)1(5)2(2)3
Tìm hàm truyền của hệ thống
Lời giải: Biến đổi Z hai vế phương trình sai phân mô tả hệ thống, ta được:
)()(2)(3)(5)(2)
1
2)
(
)()
z z
R
z C z
2 1
35
21
)2
()
(
)()
z
z z
z R
z C z
7.3.2 Tính hàm truyền hệ rời rạc từ sơ đồ khối
Khi thêm vào hệ thống liên tục các khâu lấy mẫu, khâu giữ dữ liệu (và
bộ điều khiển số) ta được hệ thống điều khiển rời rạc Bài toán đặt ra là tìm
hàm truyền hệ rời rạc theo biến z từ sơ đồ khối có các khâu lấy mẫu Xét
một số sơ đồ thường gặp sau đây:
7.3.2.1 Hai khâu nối tiếp cách nhau bởi khâu lấy mẫu
Hình 7.6: Hai khâu nối tiếp cách nhau bởi khâu lấy mẫu
)()()(
)()
z R
z C z
Trang 14Thí dụ 7.6: Cho
a s s G
1)(
b s s G
1)(
2 Tìm hàm truyền tương đương của hai hệ thống có sơ đồ khối ở hình 7.6
Lời giải
Tra bảng biến đổi Z, ta có:
e z
z a
s s
G z
()
e z
z b
s s
G z
()
Do đó dễ dàng suy ra:
))(
()()
e z e z
z z
G z
7.3.2.2 Hai khâu nối tiếp không cách nhau bởi khâu lấy mẫu
Hình 7.7: Hai khâu nối tiếp không cách nhau bởi khâu lấy mẫu
)()
(
)()
z R
z C z
Trong đó: G1G2(z) Z ^G1(s)G2(s)`
Cần chú ý là:
^ ( )` ^ ( )` ^ ( ) ( )` ( ))
()
1)(
b s s G
1)(
2 Tìm hàm truyền tương đương của hai hệ thống có sơ đồ khối ở hình 7.7
1)
()()
2 1
b s a s s
G s G z
Trang 15(
1)(
1
b s b a a s a b
1)(
1)
(
1)(
1
b s b a a
s a
Z
)(
)(
1)
()(
1
bT aT
e z
z b
a e
z
z a
))(
)(
(
)(
)(
2
aT bT
e z e z a b
e e
z z
Rõ ràng kết quả tính hàm truyền tương đương của hai hệ thống ở thí dụ
7.3.2.3 Hệ thống hồi tiếp có khâu lấy mẫu trong kênh sai số
Hình 7.8: Hệ thống hồi tiếp có khâu lấy mẫu trong kênh sai số
)(1
)
()
(
)()(
z GH
z G z
R
z C z
)
()
(
)()(
z G
z G z
R
z C z
G k
Thí dụ 7.8: Cho
a s s G
1)
b s s H
1)( Tìm hàm truyền tương đương của hai hệ thống có sơ đồ khối ở hình 7.7
Trang 16^ ` aT
e z
z a
s s
G z
()
))(
)(
(
)(
1
1)
()()
e z e z a b
e e
z b
s a s s
H s G z
Thay vào công thức (7.22) ta được:
))(
)(
(
)(
1
)
()
(1
)
()
(
)()
(
bT aT
aT bT
aT k
e z e z a b
e e
z
e z z z
GH
z G z
R
z C z
))(
)(
(
))(
()
k
e e
z e
z e z a b
z e z a b z
7.3.2.4 Hệ thống hồi tiếp có khâu lấy mẫu trong vòng hồi tiếp
Hình 7.9: Hệ thống hồi tiếp có khâu lấy mẫu trong vòng hồi tiếp
Trường hợp này không tìm được biểu thức hàm truyền, quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra như sau:
)()(1
)()
(
z H z G
z RG z
C
Trong đó: RG(z) Z ^R(s)G(s)`
G(z)H(z) Z ^G(s)` ^Z H(s)`
7.3.2.5 Hệ thống hồi tiếp có các khâu lấy mẫu đồng bộ trong nhánh thuận
Hình 7.10: Hệ thống hồi tiếp có các khâu lấy mẫu đồng bộ trong nhánh thuận
Trang 17)
()
(
)()(
z H z G
z G z
R
z C z
G k
Trong đó: G(z) Z ^G(s)`
H(z) Z ^H(s)`
7.3.2.6 Hệ thống hồi tiếp có các khâu lấy mẫu đồng bộ và các khâu nối tiếp
ở nhánh thuận
Hình 7.11: Hệ thống hồi tiếp có các khâu lấy mẫu đồng
bộ và các khâu nối tiếp ở nhánh thuận
)()(1
)()
()
(
)()
(
2 1
2 1
z H G z G
z G z G z
R
z C z
7.3.2.7 Sơ đồ dòng tín hiệu – Công thức Mason cho hệ rời rạc
Có thể mở rộng khái niệm sơ đồ dòng tín hiệu đã trình bày trong chương
2 cho hệ liên tục để áp dụng vào hệ rời rạc với một vài thay đổi nhỏ Để sử
dụng công thức Mason cho hệ rời rạc cần để ý các nguyên tắc dưới sau đây:
x Nếu không có bộ lấy mẫu giữa đầu vào R(s) và khâu đầu tiên trong
vòng thuận (ví dụ như G(s)) thì không thể tách biệt biến đổi Z của đầu vào
và khâu đầu tiên và ta luôn có số hạng RG(z) Do đó trong trường hợp này
không thể tính được hàm truyền bằng tỉ lệ giữa biến đổi Z tín hiệu ra và tín
hiệu vào của hệ thống
x Nếu một khâu trong vòng thuận hay trong vòng hồi tiếp phân biệt với
đầu vào, đầu ra của hệ thống và với các khâu khác bởi các bộ lấy mẫu ở đầu
vào và đầu ra của nó thì nó hoàn toàn độc lập về biến đổi Z
Trang 18x Nếu một khâu trong vòng thuận hay vòng hồi tiếp không phân biệt với
các khâu kế cận hay với đầu vào của hệ thống bởi bộ lấy mẫu thì phải thực
hiện phép biến đổi Z của hàm truyền kết hợp của hai khâu hay giữa khâu đó
với đầu vào
Dùng lý thuyết Mason và ba nguyên tắc trên cho hệ rời rạc, đọc giả có
thể kiểm chứng được các công thức tính hàm truyền đã dẫn ra trong mục
7.3.2 này
7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG
THÁI
7.4.1 Thành lập phương trình trạng thái từ phương trình sai phân
7.4.1.1 Vế phải của phương trình sai phân không chứa sai phân của tín
hiệu vào
Xét hệ thống rời rạc có quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra mô tả
bởi phương trình sai phân:
)()
()
1(
)1(
)(k n a1c k n a 1c k a c k b0r k
Chú ý: ở phương trình trên hệ số a0 1 Nếu a0 z 1 ta chia hai vế cho a0
để được phương trình sai phân có dạng (7.26)
Tương tự như đã làm đối với hệ liên tục, ta đặt các biến trạng thái để
biến đổi tương đương phương trình sai phân bậc n ở trên thành hệ n phương
trình sai phân bậc 1
Đặt các biến trạng thái như sau:
)()
(
1 k c k
x
)1()
2 k x k
)1()
(k x 1 k
x n n x n(k) c(kn1) x n(k1) c(kn)
Thay vào phương trình (7.26) ta được:
Trang 19()
(
)()
(
)()
1(
)()1(
)()1(
)()1(
0 1
2 1 1
1
3 2
2 1
k r b k x a k x a k
x a k
x
k x k
x
k x k
x
k x k
x
n n
n n
n n
Viết lại dưới dạng ma trận:
)
(0
00
)(
)(
)(
)(
100
00
001
00
000
10
2 1
1 2 2
1 1
2
1
k r b k
x
k x
k x
k x
a a
a a
a k
n n
)(
)(
)(000
1)
1
k x
k x
k x
k x k
x
k
c
n n
)(
)(
)(
00
0
00
10
0
00
01
0
a a
a a
Trang 20)()
()
1(
k k
c
k r k
k d
d d
x D
B x
A x
Thí dụ 7.9: Cho hệ thống điều khiển rời rạc mô tả bởi phương trình sai phân
)(3)(4)1(5)2()3(
2c k c k c k c k r k
c(k3)0.5c(k2)2.5c(k1)2c(k) 1.5r(k)
Đặt biến trạng thái như sau:
)()(
1 k c k
x
)1()
2 k x k
x
)1()
(
)()
()
1(
k k
c
k r k
k d
d d
x D
B x
A x
)(
k x
k x
0
01
01
00
01
0
1 2
a
d
A
Trang 217.4.1.2 Vế phải của phương trình sai phân có chứa sai phân của tín hiệu vào
Xét hệ thống rời rạc có quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra mô tả bởi phương trình sai phân:
1(
)1(
)
0r k n b r k n b r k b r k
Chú ý: ở phương trình trên hệ số a0 1 Nếu a0 z 1 ta chia hai vế cho a0
để được phương trình sai phân có dạng (7.27)
Đặt các biến trạng thái như sau:
)()
()
1 k c k r k
)()
1()
)()
1()
1()
E b a
0 2 1 1 2
E b a a
0 3 1 2 2 1 3
E b a a a
0 4 1 3 2 2 3 1 4
E b a a a a
…
0 1
1 4
4 3 3 2 2 1
En b n a n a n a n a n a n a n
