Mô tả toán học hệ thống điều khiển rời rạc

Tài liệu tham khào dành cho giáo viên, sinh viên chuyên ngành điện, điện tử

CHƯƠNG 3MÔ TẢ TOÁN HỌCMÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC31Hà t ề đ t3.1 Hàm truyền đạt3.2 Phương trình trạng thái Hệ thố ờir(k) c(k)3.1 HÀM TRUYỀN ĐẠTốHệ thống rời rạctín hiệu vàotín hiệu raQuan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra của hệ thống rời rạc được mô tả bằng phương trình sai phân:)()1( .)1()( )()1( .)1()(110110krbkrbmkrbmkrbkcakcankcankcammnn++++−+++=++++−+++−)()()()(110 mm−( )⎪⎧Trong đó( )():0 ),0(0 ),0(00⎪⎩⎪⎨⎧≠=≠=bmjbaniajithông số của hệ thốngốn ≥m , n: bậc của hệ thống [ ] [ ])( .)( .11101110zRbzbzbzbzCazazazammnn++++=++++−−Thực hiện biến đổi Z hai vế phương trình sai phân ta được:[ ] [ ])( .)( .110110zRbzbzbzbzCazazazammnn++++++++−−hàm truyềnĐặtmmmmbzbzbzbzCG++++−1110 .)()(yhệ thống rời rạcĐặtnnnnmmazazazabbbbzRzCzG++++==−−−1110110 )()()(Biến đổi tương đương G(z) về dạng:()⎟⎟⎞⎜⎜⎛++++==−+−−−−−mmmmmnzbzbzbbzzCzG1111110 .)()(Hai cách biểu diễn trên tương đương nhau. ⎟⎟⎠⎜⎜⎝++++−+−−− nnnnzazazaazRG11110 .)()(g gDạng thứ hai được sử dụng nhiều hơn. Tính hàm truyền hệ thống rời rạc từ sơ đồ khối Hệ thống Hình Hàm truyềnHai khâu nối tiếp cách nhau bởi khâ{}{ }⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛===)()()()()()()( 1121sGzGsGzGzGzGzGZZbởi khâu lấy mẫuHai khâu ốitiế{ }⎠⎝= )()(22sGzG Znối tiếp không cách nhau bởi khâu{})()( )()(2121sGsGzGGzGZ==bởi khâu lấy mẫuHệ thống hồitiếphồi tiếp có khâu lấy mẫu trong{ })()(1)()(sGzGHzGzGkZ+=trong kênh sai số{ }{ })()(1)( sHsGZ+= Tính hàm truyền hệ thống rời rạc từ sơ đồ khối Hệ thống Hình Hàm truyềnố ồ)(RGHệ thống hồi tiếp có khâu lấy mẫu trong òng hồitiếp{}{ }⎟⎟⎞⎜⎜⎛=+=)()()()(1)()( sGsRzRGzGHzRGzCZvòng hồi tiếpHai khâu hồi ế{ }⎟⎟⎠⎜⎜⎝= )()()( sHsGzGH Z=)()(zGzGktiếp có các khâu lấy mẫu đồng bộ trong há h th ậ{}{}⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==+)()()()()()(1)(sHzHsGzGzHzGGkZZnhánh thuậnHệ thống hồi tiếp có các+=)()(1)()()(21zHGzGzGzGzGktiếp có các khâu lấy mẫu đồng bộ và các khâu nối{}{}{ }⎟⎟⎟⎞⎜⎜⎜⎛==+)()()()()()()()()(1221121GGsGzGsGzGzHGzGZZZcác khâu nối tiếp ở nhánh thuận{ }⎟⎠⎜⎝= )()()(22sHsGzHG Z 3.2 PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI321 Thànhlậpphương trình trạng thái3.2.1. Thành lập phương trình trạng tháitừ phương trình sai phânTrường hợp1- Vế phảiphương trình sai phânTrường hợp 1 - Vế phải phương trình sai phân không chứa sai phân tín hiệu vào)()()1( .)1()(011krbkcakcankcankcnn=++++−+++−Đặt các biến như sau:),2( )1()()()(11nikxkxkckxii=+==−),()()(1ii Theo cách đặt biến trên, ta có:)()( kckx)2()()1()()1()( )1()()()(2121kckxkxkxkckxkxkxkckx+=⇒+=+=⇒+==)()1()1()()1()()2()( )1()(1323nkckxnkckxkxkxkckxkxkx+=+⇒−+=⇒+=+=⇒+=M)()1()1()( )1()(1nkckxnkckxkxkxnnnn++⇒+⇒+−Phương trình sai phân trong slide trước thành:)()()( .)()()1()()()( .)()1( 011221101211krbkxakxakxakxakxkrbkxakxakxakxnnnnnnnnn+−−−−−=+⇒=+++++−−− Kết hợp các quan hệ có được trong slide trước, ta có:⎧+ )()1( kxkx⎪⎪⎪⎨⎧=+=+)()1()()1(3221kxkxkxkxM⎪⎪⎪⎩⎨+−−−−−=+=+−)()()( .)()()1()( )1(01122111krbkxakxakxakxakxkxkxnnnnnnnM⎩−−)()()()()()(0112211 nnnnnHệ trên được viết lại:00)()(0010000010)1()1(2121kxkxkxkx⎥⎥⎥⎤⎢⎢⎢⎡⎥⎥⎥⎤⎢⎢⎢⎡⎥⎥⎥⎤⎢⎢⎢⎡⎥⎥⎥⎤⎢⎢⎢⎡++KK)(0)()(10000)()1(11krbkkxkkxnn⎥⎥⎥⎥⎥⎢⎢⎢⎢⎢+⎥⎥⎥⎥⎥⎢⎢⎢⎢⎢⎥⎥⎥⎥⎥⎢⎢⎢⎢⎢=⎥⎥⎥⎥⎥⎢⎢⎢⎢⎢+−−MMKMMKMMMM)()1(01221bkxaaaaakxnnnnn⎥⎦⎢⎣⎥⎦⎢⎣⎥⎦⎢⎣−−−−−⎥⎦⎢⎣+−−K Đáp ứng của hệ thống[ ]⎥⎥⎥⎤⎢⎢⎢⎡)()()()(21kxkxkkM[ ]⎥⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎢⎣×==−)()(0001)()(11kxkxkxkcnMKVậy hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống rời rạc:⎥⎦⎢⎣)(kxn⎨⎧+=+ )()()1( krBkxAkxdd⎩⎨= )()( kxCkcd000010)(⎤⎡⎤⎡⎤⎡ktrong đó;00;0010000010;)()()(21MMMMMMKKM⎥⎥⎥⎤⎢⎢⎢⎡=⎥⎥⎥⎤⎢⎢⎢⎡=⎥⎥⎥⎤⎢⎢⎢⎡= BAkxkxkx ;0;10000;)()()(012211MKMMKMMMM⎥⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎢⎣=⎥⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎢⎣−−−−−=⎥⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎢⎣=−bBaaaaaAkxkxkxddn[]0001)(01221KK=⎥⎦⎢⎣⎥⎦⎢⎣⎥⎦⎢⎣−−Cbaaaaakxnnnn Trường hợp 2 - Vế phải phương trình sai phân chứa sai phân tín hiệu vàop ệ)()1( .)1()()()1( .)1()(11011krbkrbnkrbnkrbkcakcankcankcnn++++−+++=++++−+++−Đặt các biến như sau:)()()( krkckx =β)()1( .)1()( 110krbkrbnkrbnkrbnn+++++++−)()1()()( )1()()()()(11201krkxkxkrkxkxkrkckx−+=−+=−=βββ)()1()()( )1()(11223krkxkxkrkxkxnnn−+=+=ββM)()()(11 nnn −−βTừ cách đặt biến trạng thái trên ta rút ra phương trình sau:)()()( .)()()1(112211krkxakxakxakxakxnnnnnnβ+−−−−−=+−− [...]... )1()( 323 212 kekxkxkx kekxkxkx +=⇒+= +=⇒+= M )()1()1()( )1()( 1 nkekxnkekxkxkx nnnn +=+⇒−+=⇒+= − M 3.2.4. Tính hàm truyền hệ rời rạc từ hệ phương trình trạng thái Hệ thống rời rạc mơ tả bởi hệ phương trình trạng thái: ⎩ ⎨ ⎧ = +=+ )()( )()()1( kxCkc krBkxAkx d dd zC )( Hàm truyền hệ rời rạc được tính theo cơng thức: [ ] ddd BAzIC zR zC zG 1 )( )( )( − −== ... kTeBkTxATkx Rdd Với: ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ Φ= Φ= ∫ BdB TA T d d )( )( ττ ⎩ ⎨ = )()( kTxCkTc d Với: ⎪ ⎪ ⎩ ⎨ = ∫ CC d d d 0 )( ττ Bước 4 – Hệ phương trình trạng thái của hệ rời rạc cần tìm với tín hiệu vào r(kT):hiệu vào r(kT): [][ ] ⎩ ⎨ ⎧ = +−=+ )()( )()()1( kTxCkTc kTrBkTxCBATkx d dddd ⎩ )()( kTxCkTc d Tính hàm truyền hệ thống rời rạc từ sơ đồ khối Hệ thống Hình Hàm truyền ố ồ )(RG Hệ thống hồi tiếp có khâu lấy mẫu trong ịng hồitiếp {} { } ⎟ ⎟ ⎞ ⎜ ⎜ ⎛ = + = )()()( )(1 )( )(... phương trình trạng thái hệ rời rạc từ phương trình trạng thái hệ liên tục Phương pháp này chỉ áp dụng cho hệ có sơ đồ khối: Phương pháp gồm 04 bước Bước 1 - Thành lập hệ phương trình trạng thái liên tục ⎧ ⎩ ⎨ ⎧ = += )()( )()()( tCxtc tBetAxtx R & Bước 2 – Tính ma trận quá độ hệ liên tục [ ] ( ) ( ) 1 1 )()()( − −=ΦΦ=Φ AsIsst - L [ ] ( ) ( ) )( )()( =ΦΦ=Φ AsIsst L Bước 3 – Rời rạc hóa phương trình... ậ {} {} ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = = + )()( )()( )()(1 )( sHzH sGzG zHzG G k Z Z nhánh thuận Hệ thống hồi tiếp có các + = )()(1 )()( )( 21 zHGzG zGzG zG k tiếp có các khâu lấy mẫu đồng bộ và các khâu nối {} {} { } ⎟ ⎟ ⎟ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ = = + )()()( )()( )()( )()(1 22 11 21 GG sGzG sGzG zHGzG Z Z Z các khâu nối tiếp ở nhánh thuận { } ⎟ ⎠ ⎜ ⎝ = )()()( 22 sHsGzHG Z Theo cách đặt biến trong slide trước, hệ phương trình tr ạng thái mô tả hệ thống: ⎨ ⎧ +=+ )()()1( krBkxAkx dd ạ... các biến như sau: ),2( )1()( )()( 1 1 nikxkx kckx ii =+= = − ),()()( 1ii Kết hợp các quan hệ có được trong slide trước, ta có: ⎧ + )()1( kxkx ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =+ = + )()1( )()1( 32 21 kxkx kxkx M ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎨ +−−−−−=+ =+ − )()()( )()()1( )( )1( 0112211 1 krbkxakxakxakxakx kxkx nnnnn nn M ⎩ −− )()()()()()( 0112211 nnnnn Hệ trên được viết lại: 0 0 )( )( 00100 00010 )1( )1( 2 1 2 1 kx kx kx kx ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ + + K K )( 0 )( )(10000 )( )1( 11 kr bk kx k kx nn ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ + −− MM K MMKMMMM )()1( 01221 bkxaaaaakx nnnnn ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ −−−−− ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ + −− K . CHƯƠNG 3MÔ TẢ TOÁN HỌCMÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC31Hà t ề đ t3.1 Hàm truyền đạt3.2 Phương trình trạng thái Hệ thố ờir(k) c(k)3.1. truyền hệ rời rạc từ hệ phương trình trạng tháiHệ thống rời rạc mô tả bởi hệ phương trình trạng thái:⎩⎨⎧=+=+)()()()()1(kxCkckrBkxAkxdddzC )(Hàm truyền hệ rời