. Mô hình phương trình vi phân Cho hệ thống điều khiển tự động có tín hiệu vào và tín hiệu ra như hình 1 Hình 1 – Tín hiệu vào và tín hiệu ra của hệ thống điều khiển tự động Tổng quát, mối quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra của hệ thống tuyến tính bất biến liên tục có thể mô tả bằng phương trình vi phân: (1) trong đó: là các hằng số, được xác định từ thông số của các phần tử. Số mũ n là bậc của hệ thống. Hệ thống có được gọi là hệ thống hợp thức. Chỉ có các hệ thống hợp thức mới tồn tại trong thực tế. Mô hình phương trình vi phân được xây dụng theo phương pháp lý thuyết, tức là được thiết lập dựa trên các định luật vật lý biểu diễn các quá trình động học xảy ra bên trong và các quan hệ giao tiếp với môi trường bên ngoài của hệ thống. Các định luật cơ bản chi phối các phần tử cơ khí là định luận II Newton, quan hệ giữa lực là biến dạng, quan hệ giữa ma sát và vận tốc. Các định luật cơ bản chi phối các phần tử điện là định luận Kirchoff, quan hệ dòng điện – điện áp trên điện trở, điện cảm, tụ điện. Các định luật cơ bản chi phối các phần tử nhiệt là định luật truyền nhiệt và định luật bảo toàn năng lượng.
MỞ ĐẦU Hệ thống điều khiển thực tế đa dạng Các phần tử hệ thống cơ, điện, nhiệt, thủy lực, khí nén,… Để nghiên cứu hệ thống có chất vật lý khác cần dựa sở chung phương trình tốn học để mơ tả hệ cấu trúc, phần tử Khi nghiên cứu hệ thống trước hết cần biết hệ thống gồm có thiết bị gì, có phần tử tìm cách mơ tả chúng mơ hình tốn học Mơ hình cần phải đảm bảo độ xác định, phản ánh đặc trưng hệ thống thực, đồng thời phải đơn giản cho việc biểu diễn, phân tích Trong nhiều trường hợp, để có mơ hình tốn tương đối đơn giản, phải xem xét bỏ qua vài thuộc tính vật lý quan trọng hệ thống lý tưởng hóa số tượng vật lý thực tế Để mơ tả phần tử hệ thống tuyến tính bất biến liên tục người ta thường dùng dạng mơ hình tốn học sau đây: - Phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng; - Phương pháp hàm truyền, hay biểu diễn sơ đồ khối - Phương trình trạng thái NỘI DUNG I Mơ hình phương trình vi phân Cho hệ thống điều khiển tự động có tín hiệu vào r ( t) tín hiệu c( t) hình Hình – Tín hiệu vào tín hiệu hệ thống điều khiển tự động Tổng quát, mối quan hệ tín hiệu vào r ( t) tín hiệu c( t) hệ thống tuyến tính bất biến liên tục mơ tả phương trình vi phân: dnc( t) dn-1c( t) dc( t) a0 + a1 + + an-1 + anc( t) = n n-1 dt dt dt dmr ( t) dm-1r ( t) dr ( t) = b0 + b1 + + bm-1 + b0r ( t) , m m-1 dt dt dt (1) đó: (i = 0,n), bi (j = 0,m) số, xác định từ thông số phần tử Số mũ n bậc hệ thống Hệ thống có m ≤ n gọi hệ thống hợp thức Chỉ có hệ thống hợp thức tồn thực tế Mơ hình phương trình vi phân xây dụng theo phương pháp lý thuyết, tức thiết lập dựa định luật vật lý biểu diễn trình động học xảy bên quan hệ giao tiếp với mơi trường bên ngồi hệ thống - Các định luật chi phối phần tử khí định luận II Newton, quan hệ lực biến dạng, quan hệ ma sát vận tốc - Các định luật chi phối phần tử điện định luận Kirchoff, quan hệ dòng điện – điện áp điện trở, điện cảm, tụ điện - Các định luật chi phối phần tử nhiệt định luật truyền nhiệt định luật bảo tồn lượng -… Ví dụ 1: Xác định phương trình vi phân mơ tả hệ khí gồm lò xo – khối lượng – giảm chấn có sơ đồ hình a Hình – Sơ đồ giảm chấn Bộ giảm chấn hình 2b gồn xylanh dầu piston, hai thành phần lắp cố định phần di động Khi có chuyển động tương đối piston xylanh, dầu chảy từ buồng sang buồng xylanh qua khe hở piston xylanh qua lỗ nhỏ piston Lực đẩy dầu qua khe hở có tác dụng cản trở chuyển động, ta gọi lực ma sát nhớt hay lực giảm chấn Lực giải chấn Fd ngược chiều tỉ lệ với vận tốc v : Fd = b×v , với b hệ số ma sát nhớt, [ N ×s/ m] Trong sơ đồ, giảm chấn thường hiểu đơn giản hình 2c, 2d Khi ta tác dụng lực F(t) lên khối lượng m, khối lượng chuyển động đoạn y(t) Theo định luật II Newton, ta có phương trình cân lực: d2y(t) dy(t) m = ∑ Fi = F ( t) − b − k ×y( t) , dt dt đó: F ( t) lực tác dụng từ bên ngoại, [ N] ; y( t) - lượng di động khối lượng , m,[ m] ; m- khối lượng thiết bị đè lên giảm chấn, [ kg] ; b - hệ số ma sát nhớt (hệ số giảm chấn), [ N ×s/ m] ; k - độ cứng lò xo, [ N / m] ; dy b = Fd - lực giảm chấn; k ×y( t) - lực lò xo dt Phương trình vi phân bậc hai mơ tả quan hệ vào-ra: d2y dy m + b + k ×y( t) = F ( t) dt dt Ví dụ 2: Cho mạch điện hình Biết trước giá trị C tụ điện R điện trở Hãy xác định mơ hình mạch điện dạng phương trình vi phân R i(t) v(t) C v0(t) Hình – Khâu tích phân bậc Theo định luật Kirchoff ta có: dv dv i(t)R + vc(t) = v(t); vc ( t) = v0 ( t) ; i ( t) = C c =C ; dt dt dv0 + v0(t) = v(t) dt Phân tích hệ thống dựa vào mơ hình tốn phương trình vi phân gặp nhiều khó khăn Ví dụ biết tín hiệu vào, cần tính đáp ứng hệ thơng, giải phương trình vi phân khơng đơn giản Do đó, ta cần dạng mơ tả tốn học khác giúp cho việc phân tích thiết kế hệ thống điều khiển tự động dể dàng Một phương pháp phương pháp hàm truyền II Phương pháp hàm truyền đại số sơ đồ khối Phương pháp hàm truyền chuyển phương trình vi phân bậc cao thành quan hệ đại số dựa vào phép biển đổi Laplace Biến đổi Laplace Như vậy, ta có: RC a) Định nghĩa Cho hàm thời gian f ( t) xác định với t ≥ 0, biến đổi Laplace f ( t) là: ∞ F ( s) = L f ( t) = ∫ f ( t) e−stdt, (2) đó: L : ký hiệu phép biến đổi Laplace; F ( s) : gọi ảnh Laplace hay biến đổi Laplace hàm f ( t) ; s = σ + jω : biến phức, gọi biến Laplace Điều kiện để f ( t) có biến đổi Laplace tích phân cơng thức định nghĩa hội tụ Q trình tốn học ngược lại – tìm hàm gốc f ( t) từ hàm ảnh F ( s) - gọi • phép biến đổi Laplace ngược ký hiệu L−1 Cho hàm phức F ( s) , biến đổi Laplace ngược F ( s) là: σ + j∞ 1 f ( t) = L F ( s) = F ( s) estds, ∫ 2πj σ1− j∞ −1 ( t ≥ 0) (3) Ta thấy (3) tích phân đường, lấy dọc theo đường thẳng đứng s = σ1 từ − j∞ đến + j∞ (hình 4) Hinh Thông thường, ta không sử dụng định nghĩa (3) để xác định f ( t) mà ta thường dùng cặp biến đổi Laplace để xác đinh f ( t) có F ( s) b) Tính chất Tính đơn ảnh • Biến đổi Laplace phép biến đổi một-một, tức ứng với hàm f ( t) cho trước có ảnh F ( s) ngược lại Tính tuyến tính • Cho hai hàm f1 ( t) , f2 ( t) với số a, b F1 ( s) , F2 ( s) biến đổi Laplace f1 ( t) , f2 ( t) Ta có: L af1 ( t) ± bf2 ( t) = aF1 ( s) ± bF2 ( s) Tính chất xuất phát từ tính tuyến tính phép phân tính cơng thức định nghĩa biến đổi Laplace Ảnh đạo hàm • df ( t) L = sF ( s) − f ( 0) dt d2f ( t) df(0) = s F s − sf − , ( ) ( ) Đối với đạo hàm bậc 2: L dt dt df(0) df(t) đó, - giá trị t0 dt dt Đối với đạo hàm bậc n: dnf ( t) n dn-1f(0) n−1 n− df(0) L = s F ( s) − s f ( 0) − s − − n n−1 dt dt dt Với điều kiện ban đầu 0, ta có: dnf ( t) n L = s F ( s) n dt • Ảnh tích phân t F ( s) L ∫ f ( t) dt = s 0 • Ảnh hàm trễ L { f ( t − T ) } = e− TsL { f ( t) } = e− TsF ( s) • Ảnh tích chập Tích chập hàm f1 ( t) f2 ( t) định nghĩa: t t 0 f ( t) = f1 ( t) ×f2 ( t) = ∫ ff1 ( τ ) × ( t − τ ) dτ = ∫ f1 ( t − τ ) ×f2 ( τ ) dτ Nếu f ( t) tích chập f1 ( t) f2 ( t) thì: F ( s) = L f ( t) = F1 ( s) ×F2 ( s) • Định lý giá trị cuối limf(t) = lims×F(s) x→∞ x→0 c) Biến đổi Laplace hàm Trong mục tìm biến đổi Laplace hàm thường dung phân tích hệ thống điều khiển Ta giả thiết xét hàm f ( t) miền t ≥ coi f ( x) = t < Điều phù hợp với thực tế thông thường nghiên cứu hoạt động hệ thống điều khiển sau thời điểm lựa chọn đặt t = Tín hiệu hệ thống thời điểm t > hồn tồn xác định biết điều kiện ban đầu hàm tác động (tín hiệu vào) thời điển t = Hàm bậc thang đơn vị • Hàm bậc thang đơn vị định nghĩa sau: 1 t ≥ 0; l ( t) = 0 t < Ảnh Laplce: ∞ • 1 F ( s) = L l ( t) = ∫ e−stdt = − ( − 1) = s s Hàm xung đơn vị (xung Dirac) δ ( t) dl ( t) 0 t ≠ 0; = dt ∞ t = Và thỏa mãn hệ thức: δ ( t) = +∞ ∫ δ ( t) dt = −∞ => F ( s) = L δ ( t) = • Hàm mũ e−αt , ( α > 0) ∞ ∞ e( ) dt = − s+ α F ( s) = L e = ∫ e e dt = ∫ e −αt −αt − st • −( s+α ) t − s+α t ∞ = s+ α Hàm dốc đơn vị t t ≥ 0; r ( t) = t ×l ( t) = 0 t < − st e Lấy tích phân phần ∫ udv = uv − ∫ vdu với u = t v = ta có: −s ∞ ∞ ∞ te− st e−st 1 F ( s) = L [ t] = ∫ te dt = +∫ dt = + = −s 0 −s s s − st Cũng dung tính chất ảnh tích phân: t L l ( t) F ( s) = L [ t] = L ∫ l ( t) dt = = s s 0 Theo cách tương tự ta tính ảnh hàm t2,t3, ,tn Hàm lượng giác • 1)Hàm số sin: sinωt, t ≥ 0; f ( t) = 0 , t < L { sinωt ×u( t) } = 2)Hàm số cos cosωt, t ≥ 0; f ( t) = 0 , t < ω s + ω2 L { cosωt ×u( t) } = Hàm truyền s s + ω2 Xét hệ thống tuyến tính liên tục bất biến có tìn hiệu vào r ( t) , tín hiệu c( t) (như hình 1) mơ tả phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng: dnc( t) dn−1c( t) dc( t) a0 + a + + a + anc( t) = n−1 dtn dtn−1 dt dmr ( t) dm−1r ( t) dr ( t) = b0 + b1 m + + bm−1 + bmr ( t) m dt dt − dt Giả thiết điều kiện ban đầu 0, biến đổi Laplace hai vế ta được: (as n ) ( ) n−1 + as + + an−1 + an C ( s) = b0sm + b1sm−1 + bn−1 + bn R ( s) m m−1 C ( s) ( b0s + b1s + + bm−1 + bm ) = Biểu thức: G( s) = n n−1 R ( s) a s + as + + a + a ( n−1 n) gọi hàm truyền hệ thống Định nghĩa: Hàm truyền tỉ số ảnh Laplace tín hiệu ảnh Laplace tín hiệu vào điều khiện đầu Để có hàm truyền ta thực bước sau đây: 1) Viết phương trình vi phân mơ tả hệ thống (hay phần từ) 2) Lấy biến đổi Laplace phương trình vi phân, với giả thiết tất điều kiện ban đầu 3) Lập tỉ số tín hiệu C ( s) tín hiệu vào R ( s) Tỉ số hàm truyền Nhận xét: - Khái niệm hàm truyền cho phần tử hệ thống tuyến tính bất biến - Biểu thức hàm truyền phụ thuộc vào thông số , bi bậc n hệ thống mà không phụ thuộc vào thể loại giá trị (biên độ) tín hiệu vào, tín hiệu Ví dụ 3: Tìm hàm truyền hệ thống cho mạch điện ví dụ Ở ví dụ hai ta tìm phương trình vi phân mơ tả hệ thống là: dv RC + v0(t) = v(t) dt Biến đổi Laplace hai phương trình ta được: RCsV0(s) + V0(s) = V(s) Lập tỉ số: V (s) G(s) = = V(s) 1+ RCs Sơ đồ khối đại số sơ đồ khối Ở phần dẫn hàm truyền phần tử hệ thống điều khiển Trong thực tế hệ thống thường gồm nhiều phần tử kết nối với Một cách đơn giản hiệu việc biểu diễn hệ thống phức tạp dùng sơ đồ khối a) Khái niệm Sơ đồ khối hệ thống hình vẽ mơ tả chức phần tử tác động qua lại phần tử hệ thống Sơ đồ khối có ba thành phần khối chức năng, tổng điểm rẽ nhánh Khối chức năng: • C ( s) = R ( s) ×G ( s) tín hiệu khối tích tín hiệu vào hàm truyền Bộ tổng: Tín hiệu tổng tổng đại số tín hiệu vào • Lưu ý: Dấu cộng sơ đồ khối thường bỏ Các biểu diễn sau tương đương: • Điểm rẽ: Tín hiệu nhánh nhánh rẽ b) Biểu diễn hàm truyền sơ đồ khối Đại số sơ đồ khối thuật toán biến đổi tương đương sơ đồ khối Hai sơ đồ khối gọi tương đương chúng có quan hệ tín hiệu vào, tín hiệu Để có hàm truyền hệ thống phức tạp, ta thường phân chia hệ thống thánh nhiều khâu nhỏ Tìm hàm truyền khâu Tiếp theo biến đổi sơ đồ khối để làm xuất dạng kết nối đơn giản tính hàm truyền tương đương theo nguyên tác rút gọn từ Sau số quy tắc biến đổi sơ đồ khối thường dùng Hệ thống mắc nối tiếp Theo sơ đồ khối ta có: C ( s) = R ( s) ×G1 ( s) G2 ( s) Gn ( s) Hàm truyền tương đương: n C ( s) G( s) = = G1 ( s) G2 ( s) Gn ( s) = ∏ Gi ( s) R ( s) i =1 Hệ thống mắc song song Theo sơ đồ khối ta có: C ( s) = R ( s) ×G1 ( s) + R ( s) G2 ( s) + + R ( s) Gn ( s) Hàm truyền tương đương: n C ( s) G( s) = = G1 ( s) + G2 ( s) + + Gn ( s) = ∑ Gi ( s) R ( s) i =1 Hệ thống mắc hồi tiếp Từ sơ đồ khối ta có phương trình mơ tả quan hệ vào-ra: − C ( s) H ( s) + R ( s) = E ( s) E ( s) G ( s) = C ( s) −C ( s) H ( s) + R ( s) = C ( s) C ( s) G( s) = Hàm truyền hệ kín hồi tiếp âm: Gk ( s) = R ( s) 1+ G ( s) H ( s) Trường hợp đặc biệt hàm truyền mạch phản hồi H ( s) = 1, ta có hệ thống hồi tiếp âm đơn vị Khi cơng thức trở thành: C ( s) G ( s) Gk ( s) = = R ( s) 1+ G( s) c) Chuyển vị sơ đồ khối (Đại số sơ đồ khối) •Chuyển điểm rẽ trước khối •Chuyển điểm rẽ sau khối •Chuyển tổng sau khối •Chuyển tổng trước khối •Chuyển vị trí hai tổng •Tách hai tổng •Chuyển dạng hồi tiếp đơn vị Lưu ý: Các biến đổi sau khơng tương đương: Chuyển vị trí điểm rẽ nhánh tổng: • • Chuyển vị hai tổng hai tổng có điển rẽ nhánh: Phương pháp biến đổi sơ đồ khối phương pháp đơn giản Khuyết điểm phương pháp biến đổi sơ đồ khối khơng mang tính hệ thống, sơ đồ cụ thể có nhiều cách biến đổi khác nhau, tùy theo trực giác người giải tốn Khi tính tốn hàm truyền tương đương ta phải thực nhiều phép tính phân thức đại số, hệ thống phức tạp phép tốn hay bị nhầm lẫn Do đó, phương pháp biến đổi tương đương sơ đồ khối thích hợp để tìm hàm truyền tương đương hệ thống đơn giản Đối với hệ thống phức tạp ta có phương pháp hiệu hơn, phương pháp sơ đồ dòng tín hiệu đề cập phần III Sơ đồ dòng tín hiệu Sơ đồ dòng tín hiệu cơng thức Mason a) Định nghĩa Hình – Biễu diễn hệ thống sơ đồ dòng tín hiệu a) Sơ đồ khối; b) Sơ đồ dòng tín hiệu Sơ đồ dòng tín hiệu mạng gồm nút nhánh - Nút: điểm biễu diễn biến hay tín hiệu hệ thống - Nhánh: đường nối trực tiếp hai nút, nhánh có mũi tên chiều truyền tín hiệu có ghi hàm truyền cho biết mối quan hệ tín hiệu hai nút - Nút nguồn: nút có nhánh hướng - Nút đích: nút có nhánh hướng vào - Nút hỗn hợp: nút có nhánh hướng nhánh vào Tại nút hỗn hợp, tất tín hiệu tổng đại số tín hiệu vào - Đường tiến: đường gồm nhánh liên tiếp có hướng tín hiệu từ nút nguồn đến nút đích qua nút lần - Độ lợi đường tiến: tích hàm truyền nhánh đường tiến - Vòng kín: đường khép kín gồm nhánh liên tiếp có hướng tín hiệu qua nút lần - Độ lợi vòng kín: tích hàm truyền nhánh vòng kín b) Cơng thức Mason Hàm truyền tương đương hệ thống tự động biễu diễn sơ đồ dòng tín hiệu tính theo công thức: G= ∑ ∆ k Pk ∆ k Trong đó: Pk – độ lợi đường tiến thứ k Δ- định thức sơ đồ dòng tín hiệu: ∆ = − ∑ Li + ∑ Li L j − ∑ Li L j Lm + i i, j i , j ,m ∑ L - tổng độ lợi vòng vòng kín có sơ đồ dòng tín hiệu; i i ∑LL i - tổng tích độ lợi vòng hai vòng khơng dính nhau; j i, j ∑ LL L i i , j ,m j m - tổng tích độ lợi vòng ba vòng khơng dính nhau; ∆ k - định thức sơ đồ dòng tín hiệu ∆ k suy từ ∆ cách bỏ vòng kín có dính tới đường tiến Pk Chú ý: “khơng dính” = khơng có nút chung “dính” = có nút chung Một số ví dụ hàm truyền tương đương dùng cơng thức Mason Tính hàm truyền tương đương hệ thống có sơ đồ dòng tín hiệu sau: Ví dụ 1: - Độ lợi đường tiến: P1 = G1G2G3G4G5 ; P2 = G1G6G4G5 ; P3 = G1G2G7 - Độ lợi vòng kín: L1 = −G4 H1 ; L2 = −G2G7 H ; L3 = −G6G4G5 H ; L4 = −G2G3G4G5 H - Định thức sơ đồ dòng tín hiệu: ∆ = − (L1 + L + L3 + L ) + L1 L2 - Các định thức con: ∆1 = 1; ∆ = 1; ∆ = − L1 - Hàm tuyền tương đương hệ thống là: (P1 ∆1 + P2 ∆ + P3 ∆ ) ∆ G1G2G3G4G5 + G1G6G4G5 + G1G2G7 (1 + G H1 ) G= + G4 H1 + G2G7 H + G6G4G5 H + G2G3G4G5 H + G4 H1G2G7 H G= Chú ý: Trong trường hợp hệ thống cho dạng sơ đồ khối, muốn áp dụng công thức Mason, trước tiên ta phải chuyển sơ đồ khối sang dạng sơ đồ dòng tín hiệu Khi chuyển từ sơ đồ khối sang sơ đồ dòng tín hiệu cần ý: - Có thể gộp hai tổng liền thành nút; - Có thể gộp tổng điểm rẽ nhánh liền sau thành nút; - Khơng thể gộp điểm rẽ nhánh tổng liền sau thành nút Ví dụ 2: Tìm hàm truyền tương đương hệ thống có sơ đồ khối sau: Sơ đồ dòng tín hiệu tương đương hệ thống sau: - Độ lợi đường tiến: P1 = G1G2G3 ; P2 = G1H1G3 - Độ lợi vòng kín: L1 = −G2 H ; L2 = −G2G3 H ; L3 = −G1G2G3 ; L4 = −G3 H1 H ; L5 = −G1G3 H1 - Định thức sơ đồ dòng tín hiệu: ∆ = − (L1 + L2 + L3 + L4 + L5 ) - Các định thức con: ∆1 = 1; ∆2 = - Hàm tuyền tương đương hệ thống là: (P1 ∆1 + P2 ∆ ) ∆ G1G2G3 + G1G3 H1 G= + G2 H + G2G3 H + G1G2G3 + G3 H1 H + G1G3 H1 G= IV Phương trình khơng gian trạng thái Khái niệm Như trình bày phần trên, nghiên cứu hệ thống mơ tả hàm truyền thuận lợi phương trình vi phân, nhiên hàm truyền có số khuyết điểm sau: - Chỉ áp dụng điều kiện đầu 0; - Chỉ áp dụng cho hệ thống tuyến tính bất biến, khơng thể áp dụng mơ tả hệ phi tuyến hay hệ biến đổi theo thời gian; - Nghiên cứu hệ thống miền tần số Một phương pháp khác sử dụng để khảo sát hệ thống tự động phương pháp không gian trạng thái Phương pháp khơng gian trạng thái chuyển phương trình vi phân bậc n thành n phương trình vi phân bậc cách đặt n biến trạng thái Phương pháp không gian trạng thái khắc phục khuyết điểm phương pháp hàm truyền Trạng thái hệ thống, hệ phương trình biến trạng thái Trạng thái hệ thống tập hợp nhỏ biến (gọi biến trạng thái) mà biết giá trị biến thời điểm t0 biết tín hiệu vào thời điểm t> t0, ta hồn tồn xác định đáp ứng hệ thống thời điểm t≥ t0 Hệ thống có n bậc có n biến trạng thái Các biến trạng thái chọn biến vật lý biến vật lý Vector trạng thái: n biến trạng thái hợp thành vector cột gọi vector trạng thái: Bằng cách sử dụng biến trạng thái, ta chuyển phương trình vi phân bậc n mơ tả hệ thống thành hệ n phương trình vi phân bậc viết dạng ma trận sau: x&(t) = Ax(t) + B r (t) c(t) = Cx(t) đó: Chú ý: Tùy theo cách đặt biến trạng thái mà hệ thống mơ tả nhiều phương tình trạng thái khác Nếu A ma trận thường, phương trình trạng thái phương trình trạng thái dạng thường, A ma trận chéo phương trình trạng thái dạng tắc Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân a) Vế phải PTVP khơng chứa đạo hàm tín hiệu vào Hệ thống mô tả PTVP: dсn (t) d n −с1 (t) dс (t) a0 + a1 + + an −1 + aсn (t) = b 0r (t) n n −1 dt dt dt Đặt biến trạng thái theo qui tắc - Biến đặt tín hiệu ra: x1 (t) = c(t) - Biến trạng thái thứ i (i=2 n) đặt theo qui tắc: biến sau đạo hàm biến trước: x&(t) = Ax(t) + Br(t) с(t) = Cx(t) - Phương trình trạng thái: Trong đó: Ví dụ: Viết PTTT mơ tả hệ thống có quan hệ vào cho PTVP sau & & + 10 y(t) = u(t) 2& y& (t) + & y&(t) + y(t) x1 (t) = y(t) - Đặt biến trạng thái: x (t) = x&1 (t) x (t) = x& (t) x&(t) = Ax(t) + Br(t) y(t) = Cx(t) - Phương trình trạng thái: Trong đó: b) Vế phải PTVP có chứa đạo hàm tín hiệu vào dсn (t) d n −с1 (t) dс (t) a0 + a1 + + an −1 + aсn (t) = n n −1 dt dt dt d n −1r (t) d n − r (t) dr (t) b0 + b1 + + b n − + bn −1r (t) n −1 n− dt dt dt Chú ý: đạo hàm vế phải thấp đạo hàm vế trái bậc Đặt biến trạng thái theo qui tắc: - Biến tín hiệu ra: x1 (t) = c(t) - Biến thứ i (i=2 n) đặt đạo hàm biến thứ i-1 trừ lượng tỉ lệ với tín hiệu vào: x&(t ) = Ax(t ) + Br (t ) Phương trình trạng thái: c(t ) = Cx(t ) Trong đó: Các hệ số β vector B xác định sau: Ví dụ: Viết PTTT mơ tả hệ thống có quan hệ vào cho PTVP sau: 2& с&&(t ) + 5с&&(t ) + 6с&(t ) + 10с(t ) = 10r&(t ) + 20r (t ) x1 (tс) =t ( ) - Đặt biến trạng thái: x2 (t ) = x&1 (t ) - β1r (t ) x (t ) = x&(t ) - β r (t ) 2 x&(t ) = Ax(t ) + Br (t ) c(t ) = Cx (t ) - Phương trình trạng thái: Trong đó: Các hệ số vector B xác định sau: b0 β1 = = = a0 b1 − a1β1 10 − 5.0 = =5 β2 = a0 b −a β −a β 20 − 5.10 − 6.0 = 15 β3 = 2 = a0 0 ⇒ B = 5 −15 Thay thông số hệ vào phương trình trạng thái, ta được: x&1 (t) x1 (t) 0 x&(t) = 0 x (t) + 5 r (t) x (t) −15 x&3 (t) −5 − − 2.5 Đáp ứng hệ thống: x1 (t) c(t) = x1 (t) = 1 0 x (t) x (t) Thành lập PTTT từ hàm truyền sơ đồ khối a) Biến đổi hàm truyền thành PTVP Nếu hệ thống cho dạng hàm truyền, ta dùng phép biến đổi Laplace ngược để chuyển quan hệ hàm truyền thành PTVP, sau áp dụng phương pháp thành lập hệ phương trình trạng thái trình bày mục 2.4.3 Sau ví dụ: Ví dụ: Thành lập hệ PTTT mơ tả hệ thống có sơ đồ khối sau: Hàm truyền hệ thống kín: 10 G (s) 10(s + 2) s(s + 3) Gk (s) = = = + G (s) H(s) + 10 s(s + 3)(s + 2) + 10 s (s + 3) (s + 2) ⇒ Y (s) 10(s + 2) 10(s + 2) = = R (s) s (s + 3)(s + 2) + 10 s + 5s + 6s + 10 ⇒ (s3 + 5s + 6s + 10) Y(s) = 10(s + 2) R(s) & + 20 r (t) & & + 5& & + y(t) & + 10 y(t) = 10 r(t) ⇒& y(t) y(t) Xem tiếp lời giải trình bày phần 2.4.3 b) Phương pháp tọa độ pha Một phương pháp khác thường áp dụng để xây dựng hệ PTTT từ hàm truyền phương pháp tọa độ pha Xét hệ thống bậc n có hàm truyền là: C (s) b0 s m + b1s m−1 + + bm −1s + bm = n R (s) s + a1s n −1 + + an −1s + an Đặt biến phụ Y(s) cho: C (s) = (b 0s m + b1s m −1 + + b m −1s+ b m ) Y(s) R(s) = (s n + a1s n −1 + + a n −1s + a n ) Y(s) Biến đổi Laplace ngược hai vế, ta được: d m y (t) d m −1 y (t) dy (t) + b + + bm −1 + bm y (t) m m −1 dt dt dt d n y (t) d n −1 y (t) dy (t) r(t) = + a + + an −1 + an y (t) n n −1 dt dt dt c(t) = b0 Bằng cách đặt biến trạng thái, ta hệ phương trình trạng thái sau: x&(t) = Ax(t) + Br(t) c(t) = Cx(t) Với ma trận xác định sau: x1 (t) x (t) x(t) = M x (t) n −1 x n (t) A= M M M 0 −an − an −1 − an − C = bm bm−1 L K K K K 0 0 M 1 − a1 0 0 B = M 0 1 b1 b0 Ví dụ: Viết PTTT mơ tả hệ thống có quan hệ vào cho PTVP sau: & & + y(t) & + y (t ) = & & + 3u(t) 2& y& (t) + & y(t) u(t) Đặt biến trạng thái theo phương pháp tọa độ pha, ta PTTT: x&(t) = Ax(t) + Br(t) y(t) = Cx(t) đó: c) Phương pháp đặt biến trạng thái trực tiếp sơ đồ khối Nếu hệ thống cho dạng sơ đồ khối ta đặt biến trạng thái trực tiếp lên sơ đồ khối Ví dụ: Hãy thành lập hệ PTTT mơ tả hệ thống có sơ đồ khối sau: Đặt biến trạng thái trến sơ đồ khối: Theo sơ đồ khối, ta có: • X (s) = 10 X (s) ⇒ sX (s) + 3X1 (s) = 10 X (s) s+3 ⇒ x&1 (t) = −3 x1 (t) + 10 x (t) • X (s) = X (s) ⇒ sX (s) + X (s) = X (s) s +1 ⇒ x&2 (t) = − x (t) + x (t) • X (s) = ( R(s) − Y(s) ) ⇒ sX (s) = R(s) − X1 (s) s ⇒ x&3 (t) = − x1 (t) + r (t) Từ đó, ta phương trình trạng thái: Đáp ứng hệ thống: KẾT LUẬN Bài học cung cấp cho học viên khái niệm mơ tả phần tử tự động phương trình vi phân, biến đổi Laplace dạng phương trình vi phân khác đại số sơ đồ khối hệ thống, sơ đồ dòng tín hiệu thành lập PTTT từ phương trình vi phân Phương pháp biến đổi Laplace biến đổi sơ đồ khối phương pháp mô tả hệ thống tự động liên tục Để nắm vững phương pháp trên, yêu cầu học viên nhà phải tự làm tập hướng dẫn giáo viên (bài tập mẫu SGK, sách tập tập giáo viên) ... Cho hệ thống điều khiển tự động có tín hiệu vào r ( t) tín hiệu c( t) hình Hình – Tín hiệu vào tín hiệu hệ thống điều khiển tự động Tổng quát, mối quan hệ tín hiệu vào r ( t) tín hiệu c( t) hệ thống. .. ĐẦU Hệ thống điều khiển thực tế đa dạng Các phần tử hệ thống cơ, điện, nhiệt, thủy lực, khí nén,… Để nghiên cứu hệ thống có chất vật lý khác cần dựa sở chung phương trình tốn học để mơ tả hệ cấu... thường dung phân tích hệ thống điều khiển Ta giả thiết xét hàm f ( t) miền t ≥ coi f ( x) = t < Điều phù hợp với thực tế thông thường nghiên cứu hoạt động hệ thống điều khiển sau thời điểm lựa