Bài giảng mô tả toán học hệ thống điều khiển tự động

. Mô hình phương trình vi phân Cho hệ thống điều khiển tự động có tín hiệu vào và tín hiệu ra như hình 1 Hình 1 – Tín hiệu vào và tín hiệu ra của hệ thống điều khiển tự động Tổng quát, mối quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra của hệ thống tuyến tính bất biến liên tục có thể mô tả bằng phương trình vi phân: (1) trong đó: là các hằng số, được xác định từ thông số của các phần tử. Số mũ n là bậc của hệ thống. Hệ thống có được gọi là hệ thống hợp thức. Chỉ có các hệ thống hợp thức mới tồn tại trong thực tế. Mô hình phương trình vi phân được xây dụng theo phương pháp lý thuyết, tức là được thiết lập dựa trên các định luật vật lý biểu diễn các quá trình động học xảy ra bên trong và các quan hệ giao tiếp với môi trường bên ngoài của hệ thống. Các định luật cơ bản chi phối các phần tử cơ khí là định luận II Newton, quan hệ giữa lực là biến dạng, quan hệ giữa ma sát và vận tốc. Các định luật cơ bản chi phối các phần tử điện là định luận Kirchoff, quan hệ dòng điện – điện áp trên điện trở, điện cảm, tụ điện. Các định luật cơ bản chi phối các phần tử nhiệt là định luật truyền nhiệt và định luật bảo toàn năng lượng.

MỞ ĐẦU

Hệ thống điều khiển trong thực tế rất đa dạng Các phần tử của hệ thống có thể là

cơ, điện, nhiệt, thủy lực, khí nén,… Để nghiên cứu các hệ thống có bản chất vật lý khácnhau chúng ta cần dựa trên một cơ sở chung là phương trình toán học để mô tả hệ cáccấu trúc, các phần tử đó

Khi nghiên cứu hệ thống trước hết chúng ta cần biết hệ thống gồm có những thiết

bị gì, có những phần tử nào và tìm cách mô tả chúng bằng các mô hình toán học Môhình cần phải đảm bảo độ chính xác nhất định, phản ánh được các đặc trưng của hệthống thực, nhưng đồng thời phải đơn giản cho việc biểu diễn, phân tích Trong nhiềutrường hợp, để có một mô hình toán tương đối đơn giản, chúng ta phải xem xét bỏ quamột vài thuộc tính vật lý ít quan trọng trong hệ thống và lý tưởng hóa một số hiện tượngvật lý thực tế

Để mô tả phần tử và hệ thống tuyến tính bất biến liên tục người ta thường dùng cácdạng mô hình toán học sau đây:

- Phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng;

- Phương pháp hàm truyền, hay biểu diễn bằng sơ đồ khối

- Phương trình trạng thái

NỘI DUNG

I Mô hình phương trình vi phân

Cho hệ thống điều khiển tự động có tín hiệu vào r t  và tín hiệu ra c t  như hình 1

Hình 1 – Tín hiệu vào và tín hiệu ra của hệ thống điều khiển tự động

Tổng quát, mối quan hệ giữa tín hiệu vào r t  và tín hiệu ra c t  của hệ thốngtuyến tính bất biến liên tục có thể mô tả bằng phương trình vi phân:

trong đó: a (ii 0,n), b (j 0,m) là các hằng số, được xác định từ thông số của các phầni 

tử Số mũ n là bậc của hệ thống Hệ thống có mn được gọi là hệ thống hợp thức Chỉ

có các hệ thống hợp thức mới tồn tại trong thực tế

Mô hình phương trình vi phân được xây dụng theo phương pháp lý thuyết, tức làđược thiết lập dựa trên các định luật vật lý biểu diễn các quá trình động học xảy ra bêntrong và các quan hệ giao tiếp với môi trường bên ngoài của hệ thống

- Các định luật cơ bản chi phối các phần tử cơ khí là định luận II Newton, quan hệgiữa lực là biến dạng, quan hệ giữa ma sát và vận tốc

- Các định luật cơ bản chi phối các phần tử điện là định luận Kirchoff, quan hệdòng điện – điện áp trên điện trở, điện cảm, tụ điện

- Các định luật cơ bản chi phối các phần tử nhiệt là định luật truyền nhiệt và địnhluật bảo toàn năng lượng

- …

Ví dụ 1: Xác định phương trình vi phân mô tả hệ cơ khí gồm lò xo – khối lượng –

giảm chấn có sơ đồ như hình a

Hình 2 – Sơ đồ bộ giảm chấn

Bộ giảm chấn hình 2b gồn một xylanh dầu và một piston, một trong hai thành phầnnày được lắp cố định còn phần kia là di động Khi có chuyển động tương đối giữa piston

và xylanh, dầu sẽ chảy từ buồng này sang buồng kia của xylanh qua khe hở giữa piston

và xylanh hoặc qua một lỗ nhỏ trong piston Lực đẩy dầu qua khe hở có tác dụng cản trởchuyển động, ta gọi là lực ma sát nhớt hay lực giảm chấn Lực giải chấn Fd ngược chiều

và tỉ lệ với vận tốc v :

d

F  b v,với b là hệ số ma sát nhớt, N s / m 

Trong các sơ đồ, bộ giảm chấn thường được hiểu đơn giản như hình 2c, 2d

Khi ta tác dụng một lực F(t) lên khối lượng m, thì khối lượng này sẽ chuyển độngmột đoạn là y(t) Theo định luật II Newton, ta có phương trình cân bằng lực:

2

i 2

y t - lượng di động của khối lượng , m, m ;

m- khối lượng thiết bị đè lên bộ giảm chấn, kg ;

d y dy

Ví dụ 2: Cho mạch điện trên hình 3 Biết trước giá trị C của tụ điện và R của điện

trở Hãy xác định mô hình mạch điện dưới dạng phương trình vi phân

II Phương pháp hàm truyền và đại số sơ đồ khối

Phương pháp hàm truyền là chuyển phương trình vi phân bậc cao thành quan hệ đại

số dựa vào phép biển đổi Laplace

1 Biến đổi Laplace

F s : gọi là ảnh Laplace hay biến đổi Laplace của hàm f t ;

s  j : là biến phức, gọi là biến Laplace

Điều kiện để f t  có biến đổi Laplace là tích phân ở công thức định nghĩa hội tụ

Quá trình toán học ngược lại – tìm hàm gốc f t  từ hàm ảnh F s  - được gọi làphép biến đổi Laplace ngược và ký hiệu là 1

L Cho hàm phức F s , biến đổi Laplace ngược của F s  là:

R

C v0 (t) v(t)

i(t)

c) Biến đổi Laplace của các hàm cơ bản

Trong mục này chúng ta tìm biến đổi Laplace của các hàm cơ bản thường dungtrong phân tích hệ thống điều khiển

Ta giả thiết là chỉ xét các hàm f t  trong miềnt0 và coi f x  0 khi t 0 Điềunày phù hợp với thực tế vì thông thường chúng ta chỉ nghiên cứu hoạt động của hệ thốngđiều khiển sau một thời điểm đã được lựa chọn bất kỳ và đặt t0 Tín hiệu ra của hệthống ở mọi thời điểm t0 hoàn toàn có thể xác định nếu biết các điều kiện ban đầu vàhàm tác động (tín hiệu vào) ở thời điển t 0

Hàm bậc thang đơn vị

Hàm bậc thang được đơn vị được định nghĩa như sau:

được gọi là hàm truyền của hệ thống.

Định nghĩa : Hàm truyền là tỉ số giữa ảnh Laplace của tín hiệu ra và ảnh Laplace

của tín hiệu vào khi các điều khiện đầu bằng 0

Để có hàm truyền ta thực hiện các bước sau đây:

1) Viết phương trình vi phân mô tả hệ thống (hay phần từ)

2) Lấy biến đổi Laplace của phương trình vi phân, với giả thiết tất cả các điều kiệnban đầu bằng 0.

3) Lập tỉ số tín hiệu ra C s  trên tín hiệu vào R s  Tỉ số này chính là hàm truyền

Nhận xét:

- Khái niệm hàm truyền chỉ đúng cho phần tử và hệ thống tuyến tính bất biến

- Biểu thức hàm truyền chỉ phụ thuộc vào các thông số ai, bi và bậc n của hệthống mà không phụ thuộc vào thể loại và giá trị (biên độ) tín hiệu vào, tín hiệu ra

Ví dụ 3: Tìm hàm truyền của hệ thống cho mạch điện ở ví dụ 2

Ở ví dụ hai ta đã tìm được phương trình vi phân mô tả hệ thống là:

0 0

dv

RC v (t) v(t)

dtBiến đổi Laplace hai về phương trình trên ta được:

3 Sơ đồ khối và đại số sơ đồ khối

Ở phần 2 chúng ta đã dẫn ra được hàm truyền của các phần tử cơ bản trong hệthống điều khiển Trong thực tế các hệ thống thường gồm nhiều phần tử cơ bản kết nốivới nhau Một cách đơn giản nhưng rất hiệu quả trong việc biểu diễn các hệ thống phứctạp là dùng sơ đồ khối

a) Khái niệm

Sơ đồ khối của một hệ thống là hình vẽ mô tả chức năng của các phần tử và sự tácđộng qua lại giữa các phần tử trong hệ thống Sơ đồ khối có ba thành phần cơ bản đó làkhối chức năng, bộ tổng và điểm rẽ nhánh

tín hiệu ra của khối bằng tích của tín hiệu vào và hàm truyền

Bộ tổng: Tín hiệu ra của bộ tổng bằng tổng đại số của các tín hiệu vào

Lưu ý: Dấu cộng trong sơ đồ khối thường được bỏ Các biểu diễn sau đây là tươngđương:

b) Biểu diễn hàm truyền bằng sơ đồ khối

Đại số sơ đồ khối là thuật toán biến đổi tương đương các sơ đồ khối Hai sơ đồ khốiđược gọi là tương đương nhau nếu chúng có quan hệ giữa tín hiệu vào, tín hiệu ra nhưnhau

Để có hàm truyền của hệ thống phức tạp, ta thường phân chia hệ thống thánh nhiềukhâu nhỏ Tìm hàm truyền của các khâu đó Tiếp theo là biến đổi sơ đồ khối để làm xuấthiện các dạng kết nối đơn giản rồi lần lượt tính các hàm truyền tương đương theo cácnguyên tác rút gọn từ trong ra ngoài Sau đây là một số quy tắc biến đổi sơ đồ khốithường dùng

Theo sơ đồ khối ta có: C s  R s G s G1  2 s Gn s

Hàm truyền tương đương:

 

1

n i i

Theo sơ đồ khối ta có: C s  R s G s1  R s G  2 s  R s G  n s

Hàm truyền tương đương:

   1

c) Chuyển vị sơ đồ khối (Đại số sơ đồ khối)

Chuyển điểm rẽ ra trước một khối

G

X1

GG

Lưu ý: Các biến đổi sau đây là không tương đương:

Chuyển vị trí điểm rẽ nhánh và bộ tổng:

Chuyển vị hai bộ tổng khi giữa hai bộ tổng đó có điển rẽ nhánh:

Phương pháp biến đổi sơ đồ khối là một phương pháp đơn giản Khuyết điểm củaphương pháp biến đổi sơ đồ khối là không mang tính hệ thống, mỗi sơ đồ cụ thể có thể

có nhiều cách biến đổi khác nhau, tùy theo trực giác của người giải bài toán Khi tínhtoán hàm truyền tương đương ta phải thực hiện nhiều phép tính trên các phân thức đại

số, đối với các hệ thống phức tạp các phép toán này hay bị nhầm lẫn Do đó, phươngpháp biến đổi tương đương sơ đồ khối chỉ thích hợp để tìm hàm truyền tương đương củacác hệ thống đơn giản Đối với các hệ thống phức tạp ta có một phương pháp hiệu quảhơn, đó là phương pháp sơ đồ dòng tín hiệu sẽ được đề cập ở phần tiếp theo

III Sơ đồ dòng tín hiệu

1 Sơ đồ dòng tín hiệu và công thức Mason

a) Định nghĩa

Hình 5 – Biễu diễn hệ thống bằng sơ đồ dòng tín hiệu

a) Sơ đồ khối; b) Sơ đồ dòng tín hiệu

Sơ đồ dòng tín hiệu là một mạng gồm các nút và các nhánh

- Nút: một điểm biễu diễn một biến hay tín hiệu trong hệ thống.

- Nhánh: đường nối trực tiếp hai nút, trên mỗi nhánh có mũi tên chỉ chiều truyền

của tín hiệu và có ghi hàm truyền cho biết mối quan hệ giữa tín hiệu ở hai nút

- Nút nguồn: nút chỉ có các nhánh hướng ra.

- Nút đích: nút chỉ có các nhánh hướng vào.

- Nút hỗn hợp: nút có các nhánh hướng ra và các nhánh vào

Tại nút hỗn hợp, tất cả các tín hiệu ra đều bằng nhau và bằng tổng đại số của các tínhiệu vào.

- Đường tiến: đường gồm các nhánh liên tiếp có cùng hướng tín hiệu đi từ nút

nguồn đến nút đích và chỉ qua mỗi nút một lần

- Độ lợi của một đường tiến: tích của các hàm truyền của các nhánh trên đường tiến

G  P



Trong đó: Pk – độ lợi của đường tiến thứ k

Δ- định thức của sơ đồ dòng tín hiệu:

 - định thức con của sơ đồ dòng tín hiệu k được suy ra từ  bằng cách bỏ đi

các vòng kín có dính tới đường tiến P k

Chú ý: “không dính” = không có nút nào chung “dính” = có ít nhất nút chung.

2 Một số ví dụ hàm truyền tương đương dùng công thức Mason

Tính hàm truyền tương đương của hệ thống có sơ đồ dòng tín hiệu như sau:

G G G G G G G G G G G G G

G H G G H G G G H G G G G H G H G G H



Chú ý: Trong trường hợp hệ thống được cho dưới dạng sơ đồ khối, muốn áp dụng

công thức Mason, trước tiên ta phải chuyển sơ đồ khối sang dạng sơ đồ dòng tín hiệu.Khi chuyển từ sơ đồ khối sang sơ đồ dòng tín hiệu cần chú ý:

- Có thể gộp hai bộ tổng liền nhau thành một nút;

- Có thể gộp một bộ tổng và một điểm rẽ nhánh liền sau nó thành một nút;

- Không thể gộp một điểm rẽ nhánh và một bộ tổng liền sau nó thành một nút

Ví dụ 2: Tìm hàm truyền tương đương của hệ thống có sơ đồ khối như sau:

Sơ đồ dòng tín hiệu tương đương của hệ thống như sau:

- Độ lợi của các đường tiến:

G G G G G H G

- Chỉ áp dụng được khi điều kiện đầu bằng 0;

- Chỉ áp dụng được cho hệ thống tuyến tính bất biến, không thể áp dụng mô tả hệphi tuyến hay hệ biến đổi theo thời gian;

- Nghiên cứu hệ thống trong miền tần số

Một phương pháp khác được sử dụng để khảo sát hệ thống tự động là phương phápkhông gian trạng thái Phương pháp không gian trạng thái chuyển phương trình vi phân

bậc n thành n phương trình vi phân bậc nhất bằng cách đặt n biến trạng thái Phương

pháp không gian trạng thái khắc phục được các khuyết điểm của phương pháp hàmtruyền

2 Trạng thái của hệ thống, hệ phương trình biến trạng thái

Trạng thái của một hệ thống là tập hợp nhỏ nhất các biến (gọi là biến trạng thái) mà

nếu biết giá trị của các biến này tại thời điểm t 0 và biết các tín hiệu vào ở thời điểm t> t 0,

ta hoàn toàn có thể xác định được đáp ứng của hệ thống tại mọi thời điểm t≥ t 0

Hệ thống có n bậc có n biến trạng thái Các biến trạng thái có thể chọn là biến vật

lý hoặc không phải là biến vật lý

Vector trạng thái: n biến trạng thái hợp thành vector cột gọi là vector trạng thái:

Bằng cách sử dụng các biến trạng thái, ta có thể chuyển phương trình vi phân bậc n

mô tả hệ thống thành hệ n phương trình vi phân bậc nhất viết dưới dạng ma trận như

sau:

(t) Ax(t) B (t) (t) Cx(t)

Chú ý: Tùy theo cách đặt biến trạng thái mà một hệ thống có thể được mô tả bằngnhiều phương tình trạng thái khác nhau.

Nếu A là ma trận thường, thì phương trình trạng thái trên là phương trình trạng thái

ở dạng thường, nếu A là ma trận chéo thì phương trình trạng thái ở dạng chính tắc

3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân

a) Vế phải của PTVP không chứa đạo hàm của tín hiệu vào

Đặt biến trạng thái theo qui tắc

- Biến đầu tiên đặt bằng tín hiệu ra:

Ví dụ: Viết PTTT mô tả hệ thống có quan hệ vào ra cho bởi PTVP sau

2 (t) 5 (t) 6 y(t) 10 y(t) u(t)y  y    

Chú ý: đạo hàm ở vế phải thấp hơn đạo hàm ở vế trái 1 bậc.

Đặt các biến trạng thái theo qui tắc:

- Biến đầu tiên bằng tín hiệu ra: x1 (t) c(t)

- Biến thứ i (i=2 n) đặt bằng đạo hàm của biến thứ i-1 trừ 1 lượng tỉ lệ với tín hiệu

Các hệ số β trong vector B xác định như sau:

Ví dụ: Viết PTTT mô tả hệ thống có quan hệ vào ra cho bởi PTVP sau:

Các hệ số của vector B xác định như sau:

0 1 0

1 1 1 2

0

2 1 2 2 1 3

0

0 0 2

10 5.0

5 2

20 5.10 6.0

15 2

b a

5 15

x (t)

x c

4 Thành lập PTTT từ hàm truyền và sơ đồ khối

a) Biến đổi hàm truyền thành PTVP

Nếu hệ thống được cho dưới dạng hàm truyền, ta có thể dùng phép biến đổi Laplace ngược để chuyển quan hệ hàm truyền thành PTVP, sau đó áp dụng phương pháp thành lập hệ phương trình trạng thái đã trình bày ở mục 2.4.3 Sau đây là một ví dụ:

Ví dụ: Thành lập hệ PTTT mô tả hệ thống có sơ đồ khối như sau:

Xem tiếp lời giải đã được trình bày ở phần 2.4.3

b) Phương pháp tọa độ pha

Một phương pháp khác cũng thường được áp dụng để xây dựng hệ PTTT từ hàm truyền là

phương pháp tọa độ pha Xét hệ thống bậc n có hàm truyền là:

1 2

1

x (t)

n n

Ví dụ: Viết PTTT mô tả hệ thống có quan hệ vào ra cho bởi PTVP sau:

2 (t) y(t) 5 y(t) 4 ( ) u(t) 3u(t) y      y t   

Đặt biến trạng thái theo phương pháp tọa độ pha, ta được PTTT:

(t) Ax(t) Br(t) y(t) Cx(t)

c) Phương pháp đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ khối

Nếu hệ thống được cho dưới dạng sơ đồ khối ta có thể đặt biến trạng thái trực tiếp lên sơ

đồ khối.

Ví dụ: Hãy thành lập hệ PTTT mô tả hệ thống có sơ đồ khối như sau:

Đặt biến trạng thái trến sơ đồ khối:

Theo sơ đồ khối, ta có:

1 2 1 1 2

1 1 2

10 (s) (s) (s) 3X (s) 10 X (s)