Bài giảng Lý thiết điều khiển tự động: Chương 4 - Khảo sát tính ổn định của hệ thống

Bài giảng Lý thiết điều khiển tự động: Chương 4 - Khảo sát tính ổn định của hệ thống trình bày về khái niệm về ổn định, tiêu chuẩn ổn định đại số, phương pháp quỹ đạo nghiệm số, tiêu chuẩn ổn định tần số.

BÀI GIẢNG LÝ THIẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG Thạc sĩ VÕ VĂN ĐỊNH NĂM 2009 CHƯƠNG 4: KHẢO SÁT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG 4.1 Khái niệm ổn định 4.2 Tiêu chuẩn ổn định đại số 4.3 Phương pháp quỷ đạo nghiệm số 4.4 Tiêu chuẩn ổn định tần số 4.1 KHÁI NIỆM VỀ ỔN ĐỊNH 4.1.1 Định nghĩa Hệ thống gọi trạng thái ổn định, với tín hiệu vào bị chặn đáp ứng hệ thống bị chặn (Bounded Input Bounded Output = BIBO) Yêu cầu hệ thống ĐKTĐ hệ thống phải giữ trạng thái ổn định chịu tác động tín hiệu vào chịu ảnh hưởng nhiễu lên hệ thống Hệ phi tuyến ổn định trng phạm vi hẹp độ lệch ban đầu nhỏ không ổn định phạm vi rộng độ lệch ban đầu lớn 4.1 KHÁI NIỆM VỀ ỔN ĐỊNH 4.1.1 Định nghĩa Đối với hệ tuyến tính đặc tính q trình độ không phụ thuộc vào giá trị tác động kích thích Tính ổn định hệ tuyến tính khơng phụ thuộc vào thể loại giá trị tín hiệu vào hệ tuyến tính tồn trạng thái cân Phân biệt ba trạng thái cân bằng: - Biên giới ổn định - ổn định - không ổn định 4.1 KHÁI NIỆM VỀ ỔN ĐỊNH c 4.1.1 Định nghĩa a b d Trên hình vẽ ta thấy thay đổi nhỏ trạng thái cân cầu, chẳn hạn cho vận tốc nhỏ ban đầu đủ bé cầu tiến tới trạng thái cân vị trí a, dao động quanh vị trí cân vị trí b vị trí d, khơng trạng thái ban đầu vị trí c Trong trường hợp đầu, ta có vị trí cân biên giới ổn định, trường hợp sau ổn định trường hợp thứ ba không ổn định 4.1 KHÁI NIỆM VỀ ỔN ĐỊNH c 4.1.1 Định nghĩa a b d Cũng vị trí b vị trí d, cầu với độ lệch ban đầu lớn không trở vể trạng thái ban đầu - hai trạng thái b d ổn định phạm vi hẹp mà không ổn định phạm vi rộng Trong trường hợp việc khảo sát tính ổn định giới hạn cho hệ tuyến tính bất biến theo thời gian Đó hệ thống mơ tả phương trình vi phân tuyến tính hệ số áp dụng nguyên lý xếp chồng 4.1 KHÁI NIỆM VỀ ỔN ĐỊNH 4.1.2 Ổn định hệ thống tuyến tính Một hệ thống ĐKTĐ biểu diễn phương trình vi phân dạng tổng quát: n n 1 a0 d c(t ) dt n  a1  b0 d c(t ) dt n 1 d mr (t ) dt m  b1 dc(t )   an 1  anc(t )  dt d m1r(t ) dt m 1 dr(t )   bm1  bmr (t ) (4.1) dt Phương trình (4.1) ứng với tín hiệu vào hệ thống r(t) tính hiệu c(t) Hàm truyền đạt hệ thống mơ tả (4.1) có dạng: m m1 C(s) b0 s  b1s   bm1s  bm B(s) G(s)    (4.2) n n1 R(s) a0 s  a1s   an1s  an A(s) 4.1 KHÁI NIỆM VỀ ỔN ĐỊNH 4.1.2 Ổn định hệ thống tuyến tính Nghiệm (4.1) gồm hai thành phần: c(t )  c0 (t )  cqđ (t ) (4.3) Trong đó: - c0(t) : nghiệm riêng (4.1) có vế phải, đặc trưng cho trình xác lập - cqđ (t) : nghiệm tổng qt (4.1) khơng có vế phải, đặc trưng cho trình độ 4.1 KHÁI NIỆM VỀ ỔN ĐỊNH 4.1.2 Ổn định hệ thống tuyến tính Dạng nghiệm đặc trưng cho trình độ hệ thống: n cqđ (t )   i e pi t (4.4) i 1 Trong pi nghiệm phương trình đặc tính: n A(s)  a0 s  a1s n1   an1s  an  (4.5) pi nghiệm thực nghiệm phức liên hợp gọi nghiệm cực hệ thống Đa thức mẫu số hàm truyền đạt A(s) bậc n hệ thống có n nghiệm cực pi (Pole), i = 1, 2, …, n 4.1 KHÁI NIỆM VỀ ỔN ĐỊNH 4.1.2 Ổn định hệ thống tuyến tính Zero nghiệm phương trinh B(s) = Tử số hàm truyền đạt G(s) đa thức bậc m (m < n) nên hệ thống có m nghiệm zero - zj với j = 1, 2, …, m Hệ thống ổn định nếu: limcqđ (t )  t  (4.6) Hệ thống không ổn định nếu: limcqđ (t )   t  (4.7) 4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ 4.4.2 Tiêu chuẩn ổn định tần số  Tiêu chuẩn ổn định dựa vào nguyên lý góc quay A V Mikhailov phát biểu vào năm 1938: Điều kiện cần đủ để hệ tuyến tính ổn định biểu đồ véctơ đa thức đặc tính A(j) xuất phát từ nửa trục thực dương  không, phải quay n góc phần tư theo chiều ngược chiều kim đồng hồ tần số  biến thiên từ đến +, với n bậc phương trình đặc tính hệ thống  Chứng minh: Xét hệ thống bậc n có phương trình đâc tính: A(s)  a0 s n  a1s n1   an1s  an  (4.18) Hệ thống ổn định n cực nằm bên trái mặt phẳng phức 4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ 4.4.2 Tiêu chuẩn ổn định tần số Theo nguyên lý góc quay:  arg A( j)  n (4.19)   Vì A(j) A(-j) phức liên hợp nên:  arg A( j)   arg A( j) 0 (4.20) 0 Do phương trình (4.20) viết dạng:  arg A( j)  n 0  4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ 4.4.2 Tiêu chuẩn ổn định tần số Im Im  n=2 n=1 n=5 Re  = Re =0 n=3 n=4 Hệ ổn định n=3 n=2 n=4 n=1 Hệ không ổn định 4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ 4.4.2 Tiêu chuẩn ổn định tần số  Xây dựng biểu đồ Mikhailov  Thay s = j vào phương trình đặc tính sau tách phần thực phần ảo: A( j)  P()  jQ() Trong đó: P() hàm chẵn với : P(-) = P() Q() hàm lẻ với : Q(-) = - Q()  Từ biểu thức A(j) nhận cách thay s = j vào mẫu số hàm truyền: A( j)  a0 ( j)n  a1 ( j)n1   an1 ( j)  an Ta nhận thấy A(j) đường chéo đa giác có cạnh tương ứng akn-k cạnh vng góc với 4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ 4.4.2 Tiêu chuẩn ổn định tần số Ví dụ: Xét hệ bậc ba n = 3 A( j)  a0 ( j)  a1 ( j)  a2 ( j)  a3 Cho  biến thiên từ đến  phương pháp xây dựng toàn biểu đồ đa thức đặc tính A(j) 1 a a Im a21 Re a3 A( j) 4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ 4.4.2 Tiêu chuẩn ổn định tần số  Đa thức đặc tính (mẫu số hàm truyền đạt hệ cần xét ổn định trạng thái hở trạng thái kín) phân tích thành hai thành phần: A(s)  D(s)  K (s) Ví dụ: A(s)  (1  sT1 )(1  sT2 )(1  sT3 )  K  D(s)  K  T1 = 0,5; T2 = 2; T3 = 0,1 Tính Kgh  arg A( j)  D( j)  K 0 0 4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ 4.4.2 Tiêu chuẩn ổn định tần số Xây dựng biểu đồ: A( j)  P()  jQ() Từ suy ra: Im Re  = 0 Kgh P()  1,25 Q()  .(2,6  0,1 ) P(0 )  K gh K gh  ?  Q(0 )  2,6 0  0,1 2,6   K gh  1 1,25   31,5 0,1   4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ 4.4.3 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist Cho hệ thống tự động có sơ đồ khối sau: R(s) G(s) C(s) Cho biết đặc tính tần số hệ hở G(s), tốn đặc xét tính ổn định hệ thống kín Gk(s) 4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ 4.4.3 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist Tiêu chuẩn Nyquist Hệ thống kín Gk(s) ổn định đường cong Nyquist hệ hở G(s) bao điểm (-1, j0)l/2 vòng theo chiều dương (ngược chiều kim đồng hồ)  thay đổi từ đến +, l số cực hệ hở G(s) nằm bên phải mặt phẳng phức 4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ 4.4.3 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist Ví dụ: Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, hệ hở G(s) có đường cong Nyquist hình vẽ Biết G(s) ổn định Xét tính ổn định hệ thống Im (-1, j0) Re (1)   = (2) (3) 4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ 4.4.3 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist Vì G(s) ổn định trên G(s) khơng có cực nằm bên phải mặt phẳng phức Do theo tiêu chuẩn Nyquyst hệ kín ổn định đường cong Nyquyst G(j) hệ hở khơng bao điểm (-1,j0), vậy: Trường hợp 1: G(j) không bao điểm (-1,j0) suy hệ ổn định Trường hợp 2: G(j) qua điểm (-1,j0) suy hệ kín biên ổn định Trường hợp 3: G(j) bao điểm (-1,j0) suy hệ kín khơng ổn định 4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ 4.4.3 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist Chú ý: hệ thống có khâu tích phân lý tưởng Để xác định đường cong Nyquyst có bao điểm (-1,j0) hay khơng ta vẽ thêm cung -/2 bán kính vơ lớn ( số khâu tích phân lý tưởng hàm truyền hệ hở) Ví dụ: Xét tính ổn định hệ thống hồi tiếp âm đơn vị biết hàm truyền hệ hở là: K G(s)  s(T1s 1)(T2 s 1)(T3s 1) 4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ 4.4.3 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist Giải: tủy theo giá trị K, T1, T2, T3 mà biểu đồ Nyquyst hệ hở có ba dạng sau: jQ() (-1, j0) P()  G(j) (1) (2) (3) =0 4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ 4.4.3 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist Vì hệ kín khơng có cực nằm phía bên phải mặt phẳng phức nên: Trường hợp 1: G(j) không bao điểm (-1,j0) suy hệ ổn định Trường hợp 2: G(j) qua điểm (-1,j0) suy hệ kín biên ổn định Trường hợp 3: G(j) bao điểm (-1,j0) suy hệ kín khơng ổn định 4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ 4.4.4 Tiêu chuẩn ổn ổn định Bode Ví dụ: cho hệ thống có biểu đồ Bode hình vẽ Hỏi hệ kín có ổn định khơng? R(s) G(s) C(s) Hệ thống kín Gk(s) ổn định hệ thống hở G(s) có độ dự trữ biên độ dự trữ pha dương GM   M  Hệ thống ổn định ... c13=a4 c 14= a6 - sn-1 c21=a1 c22=a3 c23=a5 c 24= a7 - 3  c11 c 21 sn-2 c31=c1 2- 3c22 c32=c1 3- 3c23 c33=c 1 4- 3c 24 c 34= c1 5- 3c25 - 4  c 21 c31 sn-3 c41=c2 2- 4c32 c42=c2 3- 4c33 c43=c 2 4- 4c 34 c 44= c2 5- 4c35...CHƯƠNG 4: KHẢO SÁT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG 4. 1 Khái niệm ổn định 4. 2 Tiêu chuẩn ổn định đại số 4. 3 Phương pháp quỷ đạo nghiệm số 4. 4 Tiêu chuẩn ổn định tần số 4. 1 KHÁI NIỆM VỀ ỔN ĐỊNH 4. 1.1... c43=c 2 4- 4c 34 c 44= c2 5- 4c35 - - - - s0 cn1=cn-2, 2- ncn-1,2 - n  c n  ,1 c n 1,1 - - - 4. 2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ 4. 2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh Phát biểu tiêu chuẩn Routh Điều kiện cần đủ