Bài giảng điều khiển tự động chương 4 khảo sát tính ổn định của hệ thống

4.1 Khái niệm tính ổn định Ổn định tiệm cận Lyapunov: Hệ ổn định tiệm cận nếu như khi có nhiễu tức thời đánh bật hệ ra khỏi trạng thái cân bằng thì sau đó hệ có khả năng tự quay về trạ

Chương 4

4.1_ Khái niệm tính ổn định

4.2_ Tiêu chuẩn ổn định đại số

(Routh, Hurwitz) 4.3_ Tiêu chuẩn ổn định tần số

(Nyquist, Bode) 4.4_ Phương pháp quỹ đạo nghiệm

Khảo sát tính ổn định

của hệ thống

4.1 Khái niệm tính ổn định

 Ổn định BIBO: (Bound Input- Bound Output, vào chặn ra chặn)

thì tín hiệu ra cũng hữu hạn Tức là nếu |r(t)|< thì |y(t)|< 

Ví dụ: hệ ổn định BIBO  với r(t) = 1(t) thì y() = const

Hệ thống

Hệ ổn định không ổn định giới hạn ổn định

4.1 Khái niệm tính ổn định

 Ổn định tiệm cận (Lyapunov): Hệ ổn định tiệm cận nếu

như khi có nhiễu tức thời đánh bật hệ ra khỏi trạng thái cân bằng thì sau đó hệ có khả năng tự quay về trạng thái cân bằng ban đầu.

4.1 Khái niệm tính ổn định

y0(t)_ là nghiệm riêng của PTVP

yqđ(t)_ Là nghiệm tổng quát của PTVP khi vế phải bằng 0

Ta thấy nếu r(t) hữu hạn thì y0(t) cũng hữu hạn, nên:

Tính ổn định của hệ chỉ phụ thuộc thành phần quá độ yqđ(t)

4.1 Khái niệm tính ổn định

Từ nhận xét nêu trên ta có thể định nghĩa cách khác về ổn định:

độ tắt dần theo thời gian Hệ thống không ổn định nếu QTQĐ tăng

động với biên độ không đổi

Tổng quát:



 

qñ

4.1 Khái niệm tính ổn định

Hệ ổn định Không ổn định Giới hạn ổn định

- Hệ ổn định  Mọi si có phần thực<0  Mọi si là nghiệm trái

- Hệ không ổn định   si có ph.thực>0   si là nghiệm phải

- Hệ ở giới hạn ổn định   si có i = 0, các si còn lại có i <0

Kết luận: Tính ổn định của hệ phụ thuộc các nghiệm si của PTĐT

Xét các trường hợp cụ thể, ta có:

4.1 Khái niệm tính ổn định

Ví dụ , xét hệ có hàm truyền:

2

(s 8)(s    6s 13)  0 Phương trình đặc tính:

2

2s 5 G(s)

Cả 3 nghiệm đều có phần thực âm nên hệ thống ổn định.

Để tránh phải giải PTĐT, ta có các phương pháp

xét ổn định một cách gián tiếp, tiện dụng hơn Đó là:

- Tiêu chuẩn ổn định đại số Routh, Hurwitz.

- Tiêu chuẩn ổn định tần số Nyquist, Bode.

- Phương pháp quỹ đạo nghiệm.

- …

4.2 Tiêu chuẩn ổn định đại số

- Tiêu chuẩn đại số tìm điều kiện ràng buộc giữa các hệ số của phương trình đặc tính để hệ thống ổn định.

4.2 Tiêu chuẩn ổn định đại số

4.2.2 Tiêu chuẩn Routh

Xét hệ có phương trình đặc tính: a sn n  an1sn1   a0  0 Lập bảng Routh gồm (n+1) hàng:

4.2 Tiêu chuẩn ổn định đại số

Phát biểu tiêu chuẩn Routh:

- Cần và đủ để hệ thống ổn định là các hệ số ở cột một

bảng Routh đều dương.

- Số lần đổi dấu ở cột một bằng số nghiệm của phương trình đặc tính có phần thực dương (=số nghiệm phải).

4.2 Tiêu chuẩn ổn định đại số

4.2 Tiêu chuẩn ổn định đại số

Nếu si là nghiệm trái

Nếu si ở trên trục ảo

Nếu PTĐT có m nghiệm phải và (n-m) nghiệm trái thì:

Góc quay của A(j) = tổng góc quay của các véctơ (j-si)

4.3 Tiêu chuẩn ổn định tần số

4.3.3 Tiêu chuẩn Nyquist

(hình a) dựa vào biểu đồ Nyquist của hệ hở (hình b).

 Áp dụng thuận lợi cho cả hệ thống có khâu trễ e-  s

4.3.3 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist

Phát biểu tiêu chuẩn:

đường Nyquist hệ hở không bao điểm (-1,j0)

bao điểm (-1,j0) một góc bằng m theo chiều ngược kim đồng

hồ khi  thay đổi từ 0 đến ; trong đó m là số nghiệm của PTĐT

có phần thực dương (nghiệm phải)

nếu đường Nyquist hệ hở

đi qua điểm (-1,j0)

Chứng minh:

Ứng dụng nguyên lý góc quay

(xem GT ĐKTĐ trang 116-117)

4.3.3 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist

1) Góc bao điểm (-1,j0) của đường

4.3.3 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist

Ví dụ:

Góc bao = ?

4.3.3 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist

Ví dụ 4.9 (trang 118)

Cho hệ hở có hàm truyền:

5

10 G(s)

(s 3)(s 1, 24)



và biểu đồ Nyquist hệ hở như hình bên

cạnh Hãy dùng tiêu chuẩn Nyquist xét

tính ổn định của hệ kín tương ứng

Giải. PTĐT của hệ hở: (s 3)(s 1, 24)   5  0

nên hệ kín tương ứng cũng ổn định

4.3.3 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist

Ví dụ 4.10. Cho hệ hở có hàm truyền:

3

4 G(s)

một góc là  (3) ngược kđh nên hệ kín không ổn định

và biểu đồ Nyquist hệ hở như

hình bên cạnh Xét tính ổn

định của hệ kín tương ứng

4.3.3 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist

một cung tròn (-./2) có bán kính vô cùng lớn, với  là số khâu tích phân có trong hàm truyền hệ hở

Ví dụ. Cho hệ hở có hàm truyền:

K G(s)

4.3.4 Độ dự trữ ổn định, tiêu chuẩn Bode

GM    L( ) : đơn vị dB, dùng với biểu đồ Bode

 Độ dự trữ pha PM (Phase Margin) đặc trưng cho mức độ tiếp cận giới hạn ổn định về phương diện góc pha

PM =180  +  (  )

khuếch đại K mà hệ thống vẫn ổn định

4.3.4 Độ dự trữ ổn định, tiêu chuẩn Bode

4.3.4 Độ dự trữ ổn định, tiêu chuẩn Bode

4.3.4 Độ dự trữ ổn định, tiêu chuẩn Bode

Hệ kín ổn định nếu hệ hở có dự trữ biên và dự trữ pha đều >0

4.3.4 Độ dự trữ ổn định, tiêu chuẩn Bode

1 s+1 10

1 1 s+1 100

4.3.4 Độ dự trữ ổn định, tiêu chuẩn Bode

4.3.4 Độ dự trữ ổn định, tiêu chuẩn Bode

 Tính góc pha tại tần số cắt biên

-40 lg( 20) lg( 20) [dB/dec]

4.3.4 Độ dự trữ ổn định, tiêu chuẩn Bode

6400(s 25) G(s)

4.3.4 Độ dự trữ ổn định, tiêu chuẩn Bode

4.3.4 Độ dự trữ ổn định, tiêu chuẩn Bode

 Tính góc pha tại tần số cắt biên

c 10 c

60 lg( 10)

    

4 lg( /10) 0, 067

60



0,067

4.3.4 Độ dự trữ ổn định, tiêu chuẩn Bode

4.4 Phương pháp quỹ đạo nghiệm

 Định nghĩa: QĐN là đồ thị biểu diễn tập

hợp tất cả các nghiệm của phương trình

đặc tính khi có một thông số nào đó của

hệ thống thay đổi từ 0 

4.4.1 Giới thiệu

 Khảo sát tính ổn định của hệ thống khi

hệ số khuếch đại K (hay thời hằng T,…)

thay đổi từ 0 

 Thiết kế hệ thống trong miền thời gian.

4.4 Phương pháp quỹ đạo nghiệm

0

G (s) 1 arg[G (s)] i

 

  



: Điều kiện biên độ

(i=1,3,5,…) : Điều kiện góc pha

G0(s) có m zero là nghiệm của M(s) và n cực là nghiệm của N(s)

H(s)

4.4 Phương pháp quỹ đạo nghiệm (trang 123)

4.4.2 Quy tắc vẽ quỹ đạo nghiệm

1 Số nhánh của quỹ đạo nghiệm = số cực của G0(s) = bậc của

phương trình đặc tính = n

2 Điểm xuất phát: Khi K=0, các nhánh của QĐN xuất phát từ

các cực của G0(s)

3 Điểm kết thúc: Khi K có m nhánh tiến tới m zero của G0(s),

còn lại (n-m) nhánh tiến tới  theo các tiệm cận

zero R

4.4 Phương pháp quỹ đạo nghiệm

4.4.2 Quy tắc vẽ quỹ đạo nghiệm (tt)

6 QĐN đối xứng qua trục thực vì các nghiệm phức nếu có thì

luôn có từng cặp liên hợp

7 Điểm tách là điểm tại đó hai nhánh QĐN gặp nhau và sau đó

lại tách ra khi K tăng (tại đó PTĐT có nghiệm bội) Điểm tách luôn nằm trên trục thực và là nghiệm của phương trình dK/ds

= 0

zero của G0(s) nằm bên phải nó là một số lẻ

9 Giao điểm của QĐN với trục ảo xác định bởi:

- Cách 1: Dùng tiêu chuẩn Routh-Hurwitz để tìm K giới hạn (Kgh)

rồi thay Kgh vào phương trình đặc tính và giải tìm nghiệm ảo

4.4 Phương pháp quỹ đạo nghiệm

4.4.2 Quy tắc vẽ quỹ đạo nghiệm (tt)

10 Góc xuất phát và góc đến của các nhánh được xác định từ

Ví dụ 1: Vẽ QĐN và xét ổn định khi K thay đổi từ 0 đến 

2

1 G(s)

- Hoành độ giao điểm giữa các tiệm cận và trục thực (QT5) :

QT8 -> Điểm s2= -4,12 không thuộc về QĐN nên loại bỏ

(vì tổng số cực và zero bên phải điểm này bằng 2, là số chẵn)

- QĐN đối xứng qua trục thực (QT6)

Ví dụ 1: Vẽ QĐN và xét ổn định khi K thay đổi từ 0 đến 

8 3



s1=-1,21 ; s2= -4,12

Ví dụ 1: Vẽ QĐN và xét ổn định khi K thay đổi từ 0 đến 

- Giao điểm giữa QĐN và trục ảo: (QT9)

Xét tính ổn định:

- K <120: cả 3 nhánh ỏ bên trái trục ảo, Hệ ổn định

Ví dụ 4.14 (tr.126) Vẽ QĐN khi K thay đổi từ 0 đến 

2

1 G(s)

Ví dụ 4.14 (tr.126) Vẽ QĐN khi K thay đổi từ 0 đến 

- Giao điểm giữa các tiệm cận và trục thực có hoành độ:

- Giao điểm giữa QĐN và trục ảo:

Thay s=j vào PTĐT ta được: ( j )  3 6( j )  2 13( j ) K    0

Ví dụ 4.14 (tr.126) Vẽ QĐN khi K thay đổi từ 0 đến 

Ví dụ 4.15 Vẽ QĐN khi K thay đổi từ 0 đến 

2

1 G(s)

Ví dụ 4.15

- Giao điểm giữa các tiệm cận và trục thực có hoành độ:

0

zero R

- Giao điểm giữa QĐN và trục ảo:

Thay s=j vào PTĐT ta được: ( j )  3 8( j )  2 20( j ) K    0

Giải ra ta được hai nghiệm s1 =-2 ; s2 = -10/3 = -3,33

là số lẻ nên đều là điểm tách của QĐN

Ví dụ 4.16 QĐN của hệ có đồng thời cả cực và zero

2

K(s 8) G(s)

- Zero: Hệ có một zero z1= -8 nên khi K có 1 nhánh -8,

Ví dụ 4.16 QĐN của hệ có đồng thời cả cực và zero

- Giao điểm giữa các tiệm cận và trục thực có hoành độ:

0

zero R

Ví dụ 4.16 QĐN của hệ có đồng thời cả cực và zero

- Giao điểm giữa QĐN và trục ảo: