Bài giảng điều khiển tự động - Chương 4

Tài liệu bài giảng Điều khiển tự động dành cho các sinh viên chuyên ngành kỹ thuật tham khảo với các nội dung như: Tổng quan về điều khiển tự động, mô tả toán học phần tử và hệ thống điều kh

Trang 1

GV: Nguyeãn Theá Huøng 01/2009

Trang 2

GV NGUYỄN THẾ HÙNG 3 01/2009

4.1 Khái niệm tính ổn định

n Ổn định là yêu cầu cơ bản của hệ thống ĐKTĐ

n Ổn định BIBO: (Bound Input- Bound Output, vào ch ặn ra chặn)

Hệ thống được gọi là ổn định BIBO nếu với tín hiệu vào hữu hạn

thì tín hiệu ra cũng hữu hạn Tức là nếu |r(t)|<∞thì |y(t)|< ∞

Ví dụ: hệ ổn định BIBO ⇔ với r(t) = 1(t) thì y(∞) = const

Hệ thống

Hệ ổn định không ổn định giới hạn ổn định

như khi có nhiễu tức thời đánh bật hệ ra khỏi trạng thái

cân bằng thì sau đó hệ có khả năng tự quay về trạng thái

cân bằng ban đầu.

ổn định không ổn định giới hạn ổn định

n Với hệ tuyến tính thì hai khái niệm ổn định nêu trên là

tương đương Hệ tuyến tính đạt ổn định BIBO thì cũng

sẽ ổn định tiệm cận và ngược lại.

Trang 3

n Xét hệ thống tuyến tính có PTVP:

y0(t)_ là nghiệm riêng của PTVP

yqđ(t)_ Là nghiệm tổng quát của PTVP khi vế phải bằng 0

Nếu tín hiệu vào là hữu hạn thì y0(t) cũng hữu hạn Vì vậy:

Tính ổn định của hệ chỉ phụ thuộc thành phần quá độ yqđ(t)

Ví dụ, xét hệ có PTVP: 5 ( ) y t & + y t ( ) = r t ( )

Với r=1(t) thì y(t)= 1-e-t/5 trong đó y0(t)=1 ; yqđ(t)=-e-t/5

Từ nhận xét nêu trên ta có th ể định nghĩa cách khác về ổn định:

Một hệ thống tuyến tính được gọi làổn định nếu quá trình quá

độ tắt dần theo thời gian Hệ thống không ổn định nếu QTQĐ tăng

dần Hệ thống ở giới hạn ổn định nếu QTQĐ không đổi hoặc dao

động với biên độ không đổi

Tổng quát:

Ci_là hằng số phụ thuộc thông số của hệ và điều kiện đầu

si _là nghiệm của phương trình đặc tính:

n

s t i

=

= ∑qñ

Trang 4

Hệ ổn định Không ổn định Giới hạn ổn định

- Hệ ổn định ⇔Mọi αi = Re{si} <0 ⇔ Mọi si đều là nghiệm trái

- Hệ không ổn định ⇔ ∃si cóαi>0 ⇔ ∃silà nghiệm phải

- Hệ ở giới hạn ổn định ⇔ ∃ αi= 0, các nghiệm còn lại cóαi <0

⇔ ∃sinằm trên trục ảo , các nghiệm còn lại là nghiệm trái

Kết luận: Tính ổn định của hệ phụ thuộc các nghiệm sicủa PTĐT

Xét các trường hợp cụ thể, ta có:

Ví dụ , xét hệ có hàm truyền:

2(s 8)(s + + + 6s 13) = 0 Phương trình đặc tính:

2

2s 5 G(s)

Cả 3 nghiệm đều có phần thực âm nên hệ thống ổn định.

Để tránh phải giải PTĐT, ta có các phương pháp

xét ổn định một cách gián tiếp, tiện dụng hơn Đó là:

-Tiêu chuẩn ổn định đại số Routh, Hurwitz.

- Tiêu chuẩn ổn định tần số Nyquist, Bode.

- Phương pháp quỹ đạo nghiệm.

- …

Trang 5

4.2 Tiêu chuẩn ổn định đại số

-Tiêu chuẩn đại số tìm điều kiện ràng buộc giữa các hệ số

4.2.2 Tiêu chuẩn Routh

Xét hệ có phương trình đặc tính: a sn n+an−1sn−1+ + a0=0

Lập bảng Routh gồm (n+1) hàng:

Trang 6

Phát biểu tiêu chuẩn Routh:

- C ần và đủ để hệ thống ổn định là các hệ số ở cột một

bảng Routh đều dương.

- Số lần đổi dấu ở cột một bằng số nghiệm của phương

trình đặc tính có phần thực dương (=số nghiệm phải).

0 2

14

K 11

Trang 7

Trang 8

Nếu PTĐT có m nghiệm phải và (n-m) nghiệm trái thì:

Góc quay của A(jω) = tổng góc quay của các véctơ (jω-si)

Trang 9

4.3 Tiêu chuẩn ổn định tần số

4.3.3 Tiêu chuẩn Nyquist

n Tiêu chuẩn Nyquistxét tính ổn định của hệ kín (hình a) dựa

vào biểu đồ Nyquist của hệ hở (hình b).

n Tiện dụng vì đáp ứng tần số có thể thu được từ thực nghiệm

n Áp dụng thuận lợi cho cả hệ thống có khâu trễ e- τ s

4.3.2 Tiêu chuẩn Mikhailov (xem GT.ĐKTĐ trang 114)

4.3.3 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist

n Hệ kín ổn định nếu hệ hở ổn địnhhay ở giới hạn ổn định và

đường Nyquist hệ hở không bao điểm (-1,j0)

n Hệ kín ổn định nếu hệ hở không ổn định và đường Nyquist hệ hở

bao điểm (-1,j0) một góc bằng mπ theo chiều ngược kim đồng

hồ khi ω thay đổi từ 0 đến ∞; trong đó m là số nghiệm của PTĐT

có phần thực dương (nghiệm phải)

n Hệ kín ở giới hạn ổn định

nếu đường Nyquist hệ hở

đi qua điểm (-1,j0)

Chứng minh:

Ứng dụng nguyên lý góc quay

(xem GT ĐKTĐ trang 116-117)

Trang 10

- Đường Nyquist hệ hởkhông bao điểm (-1,j0)

⇔ Tổng góc quay của vectơ 1+G(jω) bằng 0

- Góc bao điểm (-1,j0) của đường

(s 3)(s 1, 24)

=

và biểu đồ Nyquist hệ hở như hình bên

cạnh Hãy dùng tiêu chuẩn Nyquist xét

tính ổn định của hệ kín tương ứng

(s 3)(s 1, 24) + + = 0

- PTĐT có một nghiệm s=-3 và năm nghiệm s= -1,24

- Các nghiệm này đều là nghiệm thực, âm nên hệ hở ổn định

- Hệ hở ổn định và đường Nyquist hệ hở không bao điểm (-1,j0)

nên hệ kín tương ứng cũng ổn định

Trang 11

Ví dụ 4.10.Cho hệ hở có hàm truyền:

3

4 G(s)

- PTĐT có ba nghiệm thực dương s=1 nên hệ hở không ổn định

- Hệ hở không ổn định và đường Nyquist hệ hở bao điểm (-1,j0)

một góc làπ( ≠3π) ngược kđh nên hệ kín không ổn định

và biểu đồ Nyquist hệ hở như

hình bên cạnh Xét tính ổn

định của hệ kín tương ứng

n Đối với các hệ thống có khâu tích phân thì PTĐT hệ hở có

nghiệm =0 (nằm trên trục ảo) Để áp dụng tiêu chuẩn Nyquist,

ta vẽ thêm một cung tròn (-γ.π/2)có bán kính vô cùng lớn, với

γlà số khâu tích phân có trong hàm truy ền hệ hở

Ví dụ.Cho hệ hở có hàm truyền:

KG(s)

Trang 12

4.3.4 Độ dự trữ ổn định, tiêu chuẩn Bode

Mục đích: Đánh giámức độ ổn định của hệ thống

n Tần số cắt biênωc là tần số tại đó A(ω)=1, tức L(ω)= 0 dB

n Tần số cắt phaω-π là tần số tại đó∅(ω)= -π=-180°

n Độ dự trữ biên độ GM (Gain Margin) đặc trưng cho mức độ

tiếp cận giới hạn ổn định về phương diện biên độ

GM =1/A( ω−π) : không đơn vị, dùng với biểu đồ Nyquist

GM = − ω L( −π) : đơn vị dB, dùng với biểu đồ Bode

n Độ dự trữ pha PM (Phase Margin) đặc trưng cho mức độ tiếp

cận giới hạn ổn định về phương diện góc pha

PM =180 ° + ∅ ( ωc)

- Giá trị GM=1(không đơn vị) hoặc GM=0dB⇔giới hạn ổn định

-Do A(ω)= y0/r0nên GM cũng thể hiệnmức cho phép tăng hệ số

Trang 13

Hệ kín ổn định nếu hệ hở có dự trữ biên và dự trữ pha đều >0

Hệ kín ổn định ⇔ hệ hở có GM>0 [dB] vàPM >0 [°]

Hệ kín ổn định ⇔ hệ hở ổn định vàPM=180°+∅(ωc) >0

Hệ kín không ổn định ⇔ hệ hở có GM<0 [dB] hoặcPM <0 [°]

Trang 14

1

s+1 10

1 1 s+1 100

nHệ số khuếch đại chung: K Σ=10 ⇒ Biên độ 20lgKΣ= 20dB

Trang 15

nTính góc pha tại tần số cắt biên

Trang 16

nTính góc pha tại tần số cắt biên

Trang 17

4.4 Phương pháp quỹ đạo nghiệm

n Định nghĩa: QĐN là đồ thị biểu diễn tập

hợp tất cả các nghiệm của phương trình

đặc tính khi có một thông số nào đó của

hệ thống thay đổi từ 0 →∞

4.4.1 Giới thiệu

v Khảo sát tính ổn định của hệ thống khi

hệ số khuếch đại K (hay thời hằng T,…)

thay đổi từ 0 →∞

v Thiết kế hệ thống trong miền thời gian.

n Ứng dụng:

Trang 18

: Điều kiện biên độ

(i=1,3,5,…) : Điều kiện góc pha

n Để áp dụng các quy tắc vẽ QĐN, trước tiên phải biến đổi PTĐT

Trong đó: M(s) là đa thức bậc m; N(s) là đa thức bậc n (m≤n)

G0(s) cóm zero là nghiệm của M(s) vàn cực là nghiệm của N(s)

G(s)

H(s)

4.4.2 Quy tắc vẽ quỹ đạo nghiệm

1 Số nhánhcủa quỹ đạo nghiệm = số cực của G0(s) = bậc của

phương trình đặc tính = n

2 Điểm xuất phát:Khi K=0, các nhánh của QĐN xuất phát từ

các cực của G0(s)

3 Điểm kết thúc:Khi K→∞có m nhánh tiến tới m zero của G0(s),

còn lại (n-m) nhánh tiến tới ∞theo các tiệm cận

4 Góc của các tiệm cậnvới trục thực xác định bởi:

zero R

Trang 19

4.4.2 Quy tắc vẽ quỹ đạo nghiệm (tt)

6 QĐN đối xứng qua trục thựcvì các nghiệm phức nếu có thì

luôn có từng cặp liên hợp

7 Điểm táchlà điểm tại đó hai nhánh QĐN gặp nhau và sau đó

lại tách ra khi K tăng Điểm tách luôn nằm trên trục thực và là

nghiệm của phương trình dK/ds = 0 (tại đó PTĐT có nghiệm

bội)

8 Một điểm trên trục thực thuộc về QĐN nếu tổng số lượngcực

và zero của G0(s) nằm bên phải nólà một số lẻ

9 Giao điểm của QĐN với trục ảoxác định bởi:

- Cách 1: Dùng tiêu chuẩn Routh-Hurwitz để tìm K giới hạn (Kgh)

rồi thay Kgh vào phương trình đặc tính và giải tìm nghiệm ảo

- Cách 2: Thay s=jωvào phương trình đặc tính rồi cho phần thực

và phần ảo bằng 0, sau đó giải ra tìm ωvà K

4.4.2 Quy tắc vẽ quỹ đạo nghiệm (tt)

10 Góc xuất phát và góc đếncủa các nhánh được xác định từ

Trang 20

Ví dụ 4.13 (tr.124) Vẽ QĐN khi K thay đổi từ 0 đến ∞

1 G(s)

- Giao điểm giữa các tiệm cận và trục thực có hoành độ:

Điểm giá trị s2= -2,215 không thuộc về QĐN (kiểm tra tổng số

cực và zero của G0(s) bên phải điểm này bằng 2, là số chẵn)

nên không phải là điểm tách

Trang 21

- Giao điểm giữa QĐN và trục ảo:

Thay s=jωvào PTĐT ta được:

2

1 G(s)

s 6s 13

= + +

Trang 22

- Giao điểm giữa các tiệm cận và trục thực có hoành độ:

Thay s=jωvào PTĐT ta được: ( j ) ω +3 6( j ) ω +2 13( j ) K ω + = 0

⇒Giao điểm của QĐN với trục ảo là điểm

p2 180 ( 33,7 90) 123,7

⇒ θ = − − + = ° hay -56,3°

ứng với K=78

Trang 23

Ví dụ 4.15 Vẽ QĐN khi K thay đổi từ 0 đến ∞

2

1 G(s)

s(s 8s 20)

= + +

2

dK / ds = 0 ⇔ − (3s + 16s 20) + = 0

( j ) ω + 8( j ) ω + 20( j ) K ω + = 0

⇔ − ω − ω + ω + =

Giải ra ta được hai nghiệm s1 =-2 ; s2 = -10/3 = -3,33

Cả hai nghiệm đều thoả điều kiện tổng số cực và zero bên phải nó

là số lẻ nên đều là điểm tách của QĐN

Trang 24

Định dạng
Số trang	24
Dung lượng	319,39 KB