Tam giác S AB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy, gọi H là trung điểm của cạnh AB.. Cho hình chóp S .ABC D có đáy ABC D là hình vuông cạnh a √ 2, mặt bên S AB là tam
Trang 1-maths287
NGUYỄN MINH TIẾN
maths287
KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG
———————————————————
KIẾN THỨC CƠ BẢN
Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P ) là độ dài đoạn M H
với H là hình chiều vuông góc của M lên (P )
d (M , (P )) = M H với M H ⊥ (P )
M
H
(P )
Bài toán: Cho hình chóp S ABC có cạnh bên S A vuông góc với mặt
phẳng đáy Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (S BC ).
Phương pháp: Dựng AH vuông góc với BC với H ∈ BC
Dựng AK vuông góc với S H với K ∈ S H
Ta có
SA ⊥ BC
AH ⊥ BC
→ BC ⊥ (S AH ) → BC ⊥ AK
→ AK ⊥ (S BC ) → d (A, (S BC )) = AK
Xét ∆S AH có
1
AK2 =
1
SA2 +
1
AH2
S
A
B
C H K
Chú ý:
• Nếu AB // (P ) → d (A, (P )) = d (B, (P )). •
Nếu AB ∩ (P ) = I →
d (A, (P ))
d (B, (P )) =
AI
BI
Ví dụ 1
Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B với BC = 4a và BA = 3a Cạnh bên S A = 5a
và vuông góc với mặt phẳng đáy, gọi O là trung điểm của đoạn AC Tính khoảng cách từ
a. Điểm C đến mặt phẳng (S AB).
b. Điểm O đến mặt phẳng (S AB).
c. Điểm A đến mặt phẳng (S BC ).
d. Điểm B đến mặt phẳng (S AC ).
Ví dụ 2
Cho hình chóp S ABC D có đáy ABC D là hình vuông cạnh a tâm O Cạnh bên S A = 2a và vuông góc
với mặt phẳng đáy Tính khoảng cách từ
a. Điểm A đến mặt phẳng (S BC ).
b. Điểm C đến mặt phẳng (S AB).
c. Điểm O đến mặt phẳng (S BC ).
d. Điểm O đến mặt phẳng (S C D ).
e. Điểm B đến mặt phẳng (S C D ).
f. Điểm D đến mặt phẳng (S BC ).
Trang 2-maths287
Ví dụ 3
Cho hình chóp S ABC D có đáy ABC D là hình vuông cạnh a tâm O Tam giác S AB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy, gọi H là trung điểm của cạnh AB Tính khoảng cách từ
a. Điểm S đến mặt phẳng (ABC D ).
b. Điểm C đến mặt phẳng (S AB).
c. Điểm O đến mặt phẳng (S AB).
d. Điểm H đến mặt phẳng (S C D ).
e. Điểm A đến mặt phẳng (S C D ).
f. Điểm O đến mặt phẳng (S C D ).
Ví dụ 4
Cho hình chóp S ABC D có đáy ABC D là hình thang vuông tại A và B các cạnh AD = 2a và AB =
BC = a Cạnh bên S A = 2a vuông góc với mặt phẳng đáy và O là giao điểm của hai đường chéo AC
và BD Tính khoảng cách từ
a. Điểm D đến mặt phẳng (S AB).
b. Điểm B đến mặt phẳng (S AD ).
c. Điểm C đến mặt phẳng (S AB).
d. Điểm D đến mặt phẳng (S AC ).
e. Điểm A đến mặt phẳng (S C D ).
f. Điểm B đến mặt phẳng (S C D ).
g. Điểm B đến mặt phẳng (S AC ).
h. Điểm A đến mặt phẳng (S BC ).
Ví dụ 5
Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B với BC = 4a và BA = 3a Cạnh bên S A = 5a
và vuông góc với mặt phẳng đáy, gọi O là trung điểm của đoạn AC Tính khoảng cách từ Cho hình chóp đều S ABC D có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng b Gọi O là tâm của đáy
a. Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (ABC D ).
b. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (S BC ).
c. Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (S BC ).
Ví dụ 6
Cho hình lập phương ABC D A
0 B 0 C 0 D 0
có cạnh bằng a và O là tâm của hình vuông ABC D
a. Tính độ dài đường chéo AC 0
b. Tính khoảng cách từ điểm C 0 đến mặt phẳng A 0 BD
c. Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng C B 0 D 0
d. Tính khoảng cách từ điểm A 0 đến mặt phẳng C B 0 D 0
Trang 3
-maths287
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B với BC = a √
2 và AC = a
√
3, cạnh bên
SA = a √ 2 và vuông góc với mặt phẳng đáy Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (S BC )?
A d= 2a
√
7 7
B.d= 2a
√
6
6
√
5 5 D d = a.
Câu 2. Khối chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B với BC = a và S B = 2a, cạnh bên S A vuông
góc với mặt phẳng đáy, thể tích khối chóp S ABC bằng a3 Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (S BC )?
2 D d= a √3
4
Câu 3. Cho hình chóp S ABC D có đáy ABC D là hình vuông, mặt bên S AB là tam giác đều và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy, cạnh BC = a
√
3 Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (S C D )?
A.d= 3a
√
7
7
3 C d= a √6
3 D d= a √21
7
Câu 4. Cho hình chóp S ABC D có đáy ABC D là hình thoi cạnh a và góc ABC[ = 600
, cạnh bên S A = a
√
3
và vuông góc với mặt phẳng đáy Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (S C D )?
A.d= a
√
15
5
B d= a √15
3 C d = 3a. D d= a √3
2
Câu 5. Cho hình chóp S ABC D có đáy ABC D là hình thang vuông tại A và B với AB = BC = a và AD = 2a,
cạnh bên S D = a
√
5, cạnh bên S A vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm A lên S B Tính khoảng cách d từ điểm H đến mặt phẳng (S C D )?
A.d= a
√
6
12
6 C d= a √6
3 D d= a √6
24
Câu 6. Cho hình chóp đều S ABC có cạnh đáy bằng a và các mặt bên tạo với mặt đáy một góc 600
Tính
khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (S BC )?
A.d= 3a
4
2 C d = a √
3 D d= a √3
2
Câu 7. Cho hình chóp S ABC D có đáy ABC D là hình vuông cạnh a √
2, mặt bên S AB là tam giác cân tại
S và nằm trong măt phẳng vuông góc vói mặt phẳng đáy Biết thể tích khối chóp S ABC D bằng 4a3
3 Tính
khoảng cách d từ điểm D đến mặt phẳng (S BC )?
A d= 2a
3
B.d= 4a
3
3 D d= 3a
4
Câu 8. Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a
√
3 3
, cạnh bên S A vuông góc với mặt phẳng đáy và góc giữa mặt bên (S BC ) và mặt đáy bằng 60
0
Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (S BC )?
A d= a √6
3
B d= a
2 C. d= a
√
3
2
3
Câu 9. Cho hình chóp S ABC có ASB[ =ASC[ =BSC[ = 600
và S A = 3, S B = 6, S C = 9 Tính khoảng cách
d từ điểm C đến mặt phẳng (S AB)?
A d= 9√
6 B d= 2√
6 C d= 27
√
2 2 D.d= 3√6.
Trang 4-maths287
Câu 10. Cho hình chóp S ABC D có đáy ABC D là hình thang vuông tại A và B với AB = BC = a và AD = 2a,
hình chiếu vuông góc của S lên đáy trùng với trung điểm H của AD và S H =
a √6
2
Tính khoảng cách d từ điểm B đến mặt phẳng (S C D )?
A d= a √15
5
B d= a √6
8 C d = a. D.d= a
√
6
4
Câu 11. Cho hình chóp S ABC có cạnh bên S A vuông góc với mặt đáy và BC = 9cm, AB = 10cm, AC = 7cm.
Thể tích khối chóp S ABC bằng 72cm
3
Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (S BC )?
A d= 42
5
5
34m. D.d= 24
5
m.
Câu 12. Cho hình chóp S ABC D có đáy ABC D là hình vuông cạnh a √
2, tam giác S AB vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (S C D )?
A d= a √6
3
B.d= a
√
10
5
2 D d= a √2
2
Câu 13. Cho hình chóp S ABC D có đáy ABC D là hình vuông cạnh a, cạnh bên S A = a và vuông góc với mặt
phẳng đáy, gọi M là trung điểm của cạnh C D Tính khoảng cách d từ điểm M đến mặt phẳng (S AB)?
A d = a √
2 B d = 2a. C. d = a. D d= a √2
2
Câu 14. Cho hình chóp S ABC D có đáy ABC D là hình chữ nhật với AB = 2a và AD = a √
3, hình chiếu
vuông góc của S lên mặt đáy là trung điểm của cạnh AB Biết góc giữa hai mặt phẳng (S C D ) và (ABC D )
bằng 60
0
Tính khoảng cách d từ điểm B đến mặt phẳng (S C D )?
A d= 2a
√
15 5
B d= 2a
3 C. d= 3a
2
√
13
Câu 15. Cho lăng trụ ABC A 0 B 0 C 0
có đáy là tam giác đều cạnh a và hình chiếu vuông góc của A
0
lên mặt đáy
(ABC ) là trung điểm của BC , góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 60
0
Tính khoảng cách d từ điểm C
0
đến mặt phẳng ABB 0 A 0
?
A.d= 3a
√
13
13
√
13 26 C d= 3a
√
10 20 D d= a √3
2
Câu 16. Cho hình chóp S ABC D có đáy ABC D là hình chữ nhật với AB = a, tam giác S AD đều cạnh 4a và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính khoảng cách d từ điểm D đến mặt phẳng (S AB)?
A d = a √
3 B.d = 2a √3. C d= a √3
2 D d = 2a.
Câu 17. Cho hình chóp đề S ABC có cạnh đáy bằng a và mặt bên tạo với mặt đáy một góc 60 ◦ Khi đó
khoảng cách d từ A đến mặt phẳng (S BC ) là?
A d= a √3
2
B d= a √2
2 C d = a √
3 D.d= 3a
4
Câu 18. Cho hình chóp S.ABC D có đáy ABC D là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và
SA = a √ 3, diện tích tam giác S AB bằng a2
√
3 2
Khi đó khoảng cách d từ B đến mặt phẳng (S AC ) là?
A.d= a
√
2
2
3 C d= a √10
5 D d= a √2
3
Câu 19. Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AC = a
2
và BC = a, hai mặt phẳng (S AB) và (S AC ) cùng tạo với mặt đáy một góc 60
◦
Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (S AC ) biết mặt phẳng (S BC ) vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC ).
A d= a √3
4
B.d = a √5. C d= 3a
4 D d = a √
3
Trang 5-maths287
Câu 20. Cho hình chóp S ABC D có đáy ABC D là hình chữ nhật với AB = 2a và AD = a, hình chiếu của S
lên mặt đáy ABC D là trung điểm H của cạnh AB, cạnh bên S C tạo với mặt đáy một góc 45
◦
Tính khoảng
cách d từ điểm A đến mặt phẳng (S C D ).
A d= a √6
4
B d= a √3
3 C. d= a
√
6
3
6
Câu 21. Cho hình chóp S ABC D có đáy ABC D là hình chữ nhật tâm I có AB = a và BC = a √
3 Gọi H là trung điểm của AI thỏa mãn S H vuông góc với mặt phẳng đáy và tam giác S AC vuông góc tại S Tính khoảng cách d từ điểm C đến mặt phẳng (S BD ).
A d= √ 3a
5
B.d= √ 3a
15
3 D d = a √
15
Câu 22. Cho hính chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B có AC = 2a và AC B[ = 30◦ Hình chiếu
vuông góc H của đỉnh S lên mặt phẳng đáy là trung điểm của cạnh AC và S H = a
√
2 Tính khoảng cách d
từ điểm C đến mặt phẳng (S AB).
A d = 2a √
6 B d = 2a √
11 C. d= 2a
√
66
11 D d= a √11
11
Câu 23. Cho hình chóp S ABC D có đáy ABC D là hình chữ nhật tâm I với AB = a và BC = a √
3 Gọi H là trung điểm của AI thỏa mãn S H vuông góc với mặt phẳng (ABC D ), tam giác S AC vuông tại S Tính khoảng cách d từ điểm C đến mặt phẳng (S BD ).
A d= √ 3a
5
B.d= √ 3a
15
3 D d = a √
15
Câu 24. Cho hình chóp S ABC D có đáy ABC D là hình vuông cạnh a, cạnh bên S A vuông góc với mặt phẳng
đáy, cạnh bên S C tạo với mặt phẳng (S AB) bằng 30
◦
Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (S BD ).
A d= a √10
2
B.d= a
√
10
5
5 D d= a √5
5
Câu 25. Cho hình chóp S ABC D có đáy ABC D là hình chữ nhật tâm O với AB = a và AD = 2a, biết S O
vuông góc với mặt phẳng đáy và góc giữa cạnh bên S C và mặt phẳng đáy là 60
◦
Tính khoảng cách d từ điểm
G đến mặt phẳng (S C D ) với G là trọng tâm tam giác S AD
A d= 2a
√
285 19
B.d= 2a
√
285
57
√
285 3 D d= a √285
19
Câu 26. Cho hình chóp S ABC D có đáy ABC D là hình vuông và S A = 2a, gọi M và N lần lượt là trung điểm
các cạnh C D và AD , gọi I là giao điểm của AM và BN thỏa mãn S I vuông góc với mặt phẳng (ABC D ), cạnh bên S A tạo với mặt phẳng đáy một góc 60
◦
Tính khoảng cách d từ điểm I đến mặt phẳng (S AB).
A.d= a
√
12
√
19
√
19 C d= a √3
√
19 D d= √ 2a
19
Câu 27. Cho hình chóp S ABC có S A = S B = S C = a và ASB[ = 90◦,BSC[ = 120◦,C SA[ = 90◦ Tính khoảng
cách d từ điểm C đến mặt phẳng (S AB).
A d= 3a
√
2 2
B d= a √2
2 C. d= a
√
3
2
4
Câu 28. Cho hình chóp S ABC D có đáy ABC D là hình chữ nhật với AD = 2a, cạnh bên S A = a và vuông
góc với mặt phẳng đáy Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (S C D ).
A d= 3a
√
2 2
B d= 2a
√
3 3 C. d= √ 2a
5
7
Câu 29. Cho hình chóp đều S ABC có cạnh đáy bằng 2a và chiều cao bằng a √
3 Tính khoảng cách d từ tâm
O của đáy đến một mặt bên bằng.
Trang 6-maths287
A d= a √5
2
B d= 2a
√
3 3 C. d= a
√
30
10 D d= a √10
5
Câu 30. Cho hình chóp đều S ABC D có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng a √
2 Tính khoảng cách d từ tâm O của đáy đến một mặt bên bằng.
A d= a √3
2
B.d= a
√
2
3
√
5 5 D d= a √5
2
Câu 31. Cho hình chóp S ABC D có đáy ABC D là hình chữ nhật với AD = 2a và AB = a, mặt bên S AD là
tam giác cân và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Gọi H là hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng đáy, tính khoảng cách d từ điểm C đến mặt phẳng (S H B).
A.d = a √2. B d = a √
3 C d= a √2
2 D d= a √3
2
Câu 32. Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A với ABC[ = 30◦ , tam giác S BC đều cạnh
a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính khoảng cách d từ điểm C đến mặt phẳng
(S AB).
A d= a √39
26
B.d= a
√
39
13 C d= a √13
13 D d= a √13
26
Câu 33. Cho hình chóp S ABC D có đáy ABC D là hình chữ nhật với AD = 2a và AB = a, cạnh bên S A = a
và vuông góc với mặt phẳng đáy Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (S BD ).
A d= 2a
√
3 3
B.d= 2a
3
√
5 5 D d= a √3
2
Câu 34. Cho hình chóp S ABC D có đáy ABC D là hình vuông cạnh a √
2, tam giác S AD cân tại S và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy, thể tích khối chóp S ABC D bằng
4a
3
3
Tính khoảng cách d
từ điểm B đến mặt phẳng (S C D ).
A d= 2a
3
B.d= 4a
3
3 D d= 3a
4
Câu 35. Cho hình chóp S ABC D có đáy ABC D là hình vuông cạnh a, cạnh bên S D = 3a
2 , hình chiếu vuông
góc của đỉnh S lên mặt đáy (ABC D ) trùng với trung điểm H của cạnh AB Tính khoảng cách d từ điểm H đến mặt phẳng (S C D ).
A.d= a
√
2
2
√
2 2 C d= a √3
2 D d= 3a
√
3 2
Câu 36. Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AB = b, cạnh bên S A = a và
vuông góc với mặt phẳng đáy, gọi M là trung điểm của cạnh AC Tính khoảng cách d từ điểm M đến mặt
phẳng (S BC ).
A d= ab
√
a2
+ b2
B d= √ 2ab
a2
+ b2
C d= ab √3
√
a2
+ b2
D.d= ab
2
√
a2
+ b2
Câu 37. Cho hình chóp đều S ABC có cạnh đáy bằng b và đường cao S H = a Tính khoảng cách d từ điểm
H đến mặt phẳng (S BC ).
A d= √ 2ab
12a2+ b2
B.d= √ ab
12a2+ b2
C d= √ 2ab
a2
+ b2
D d= ab √3
√
a2
+ b2
Câu 38. Cho hình chóp đều S ABC D có cạnh đáy bằng b và đường cao S O = a Tính khoảng cách d từ điểm
A đến mặt phẳng (S C D ).
A d= ab
√
4a2+ b2
B d= ab √3
√
4a2+ b2
C. d= √ 2ab
4a2+ b2
2
√
4a2+ b2
Trang 7
-maths287
Câu 39. Cho hình chóp S ABC D có đáy ABC D là hình chữ nhật với AB = a và BC = a √
3, các cạnh bên
bằng nhau và bằng 3a Tính khoảng cách d từ điểm S đến mặt phẳng (ABC D ).
A d = 2a √
3 B d= a √3
2 C. d = 2a √2. D d = a √
2
Câu 40. Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B với AB = a và BC = 2a, cạnh bên S A
vuông góc với mặt phẳng đáy Tính khoảng cách d từ điểm B đến mặt phẳng (S AC ).
A.d= 2a
√
5
5
5 C d= a √5
5 D d= a
5
Câu 41. Cho hình chóp S ABC có S A, S B, S C đôi một vuông góc với nhau và bằng nhau bằng a Tính khoảng
cách d từ điểm S đến mặt phẳng (ABC ).
A d= a
√
2
B.d= √ a
3
2 D d= a
3
Câu 42. Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, tam giác S BC đều và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính khoảng cách d từ điểm B đến mặt phẳng (S AC ).
A d= 2a
√
15 5
B.d= a
√
15
5
5 D d= 2a
√
5 5
Câu 43. Cho hình chóp S ABC có AB = a, AC = 2a và BAC[ = 120◦ , cạnh bên S A vuông góc với mặt phẳng
đáy và mặt bên (S BC ) tạo với mặt đáy một góc 60
◦
Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (S BC ).
A.d= 3a
2
√
7
√
7 2 C d= a √7
2 D d= 2a
√
7 3
Câu 44. Cho hình chóp S ABC D có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên (S AB) là tam giác đều và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (S C D ).
A d= a √21
3
B d= a √21
14 C. d= a
√
21
7 D d= a √21
21
Câu 45. Cho hình chóp S ABC D có đáy ABC D là hình vuông cạnh a, cạnh bên S A vuông góc với mặt đáy
và cạnh bên S C tạo với mặt đáy một góc 45
◦
Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (S BC ).
A d= a √2
3
B d= 2a
√
3 6 C. d= a
√
6
3
√
2 3
Câu 46. Cho hình chóp S ABC D có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên (S AB) là tam giác đều và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M và N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và AD Tính khoảng cách d từ điểm M đến mặt phẳng (S C N ).
A d= 3a
√
2 2
B.d= 3a
√
2
8
√
2 4 D d= 5a
√
2 3
Câu 47. Cho hình chóp S ABC D có đáy ABC D là hình thang vuông tại A và D với AB = 2a, AD = C D = a,
cạnh bên S A vuông góc với mặt phẳng đáy và mặt bên (S BC ) tạo với mặt đáy một góc 45
◦
Tính khoảng cách
d từ điểm B đến mặt phẳng (S C D ).
A.d= √ 2a
6
6 C d= a
√
6 D d= √ 3a
6
Câu 48. Cho hình chóp S ABC D có đáy ABC D là hình vuông cạnh a và cạnh bên S A vuông góc với mặt
phẳng đáy, cạnh bên S C tạo với đáy một góc 60
◦
Gọi d là khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (S BD ), khi đó tỉ số k =
d
a bằng?
A.k =
√
78
13
√
18 13 C k =
√
58 13 D k =
√
38 13
Trang 8-maths287
ĐÁP ÁN CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
1 B
2 A
3 A
4 A
5 A
6 A
7 B
8 C
9 D
10 D
11 D
12 B
13 C
14 C
15 A
16 B
17 D
18 A
19 B
20 C
21 B
22 C
23 B
24 B
25 B
26 A
27 C
28 C
29 C
30 B
31 A
32 B
33 B
34 B
35 A
36 D
37 B
38 C
39 C
40 A
41 B
42 B
43 A
44 C
45 C
46 B
47 A
48 A