Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng phần 3 đoàn việt hùng

[Video]: Cho hình chóp tứ giác SABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a AD a SA a và SA vuông góc với ABCD.. hình chiếu vuông góc của S lên ABCD là trung điểm H của OB, với O là tâm đ

VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN DẠNG 3 KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM BẤT KÌ ĐẾN MẶT PHẲNG

Ví dụ 1 [Video]: Cho hình chóp tứ giác SABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật với

AB a AD a SA a và SA vuông góc với (ABCD) Tính khoảng cách

a) từ B đến (SAD)

b) từ C đến (SAB)

c) từ O đến (SCD) với O là tâm đáy

d) từ M đến (SBD) với M là trung điểm của AB

e) từ I đến (SBC) với I là trung điểm của SD

Ví dụ 2 [Video]: Cho hình chóp tứ giác SABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a AD; =a 3

hình chiếu vuông góc của S lên (ABCD) là trung điểm H của OB, với O là tâm đáy Biết góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 600 Tính khoảng cách

a) từ H đến (SCD)

b) từ B đến (SAD)

c) từ B đến (SAC)

Ví dụ 3 [ĐVH]: Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông cân đỉnh B, AB = a, SA vuông góc với mặt

phẳng (ABC) và SA = a

a) Chứng minh (SAB) ⊥ (SBC)

b) Tính khoảng cách từ điểm A đến (SBC)

c) Gọi I là trung điểm của AB Tính khoảng cách từ điểm I đến (SBC)

d) Gọi J là trung điểm của AC Tính khoảng cách từ điểm J đến (SBC)

e) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, tính khoảng cách từ điểm G đến (SBC)

Đ/s: b) 2

2

a

c) 2 4

a

d) 2 4

a

e) 2 6

a

Lời giải:

KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG – P3

Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn

a) Ta có: AB BC BC (SAB) (SBC) (SAB)

SA BC

⊥





⊥

b) Dựng AH ⊥SB⇒ AH ⊥(SBC)

;

2

SA AB a

d A SBC AH

SA AB

a

AB= BI ⇒d I SBC = d A SBC =

a

AC= CJ ⇒d J SBC = d A SBC =

e) Gọi K là trung điểm của BC ta có: AK =3GK

a

d G SBC = d A SBC =

Ví dụ 4 [ĐVH]: Cho hình chóp tứ giác SABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với (ABCD) và SA=a 3 O là tâm hình vuông ABCD

a) Tính khoảng cách từ điểm A đến (SBC)

b) Tính khoảng cách từ điểm O đến (SBC)

c) G1 là trọng tâm ∆SAC Từ G1 kẻ đường thẳng song song với SB cắt OB tại I Tính khoảng cách từ điểm

G1 đến (SBC), khoảng cách từ điểm I đến (SBC)

d) J là trung điểm của SD, tính khoảng cách từ điểm J đến (SBC)

e) Gọi G2 là trọng tâm của ∆SDC Tính khoảng cách từ điểm G2 đến (SBC)

Đ/s a) 3

2

a

b) 3 4

a

c) 3 6

a

d) 3 4

a

e) 3 6

a

Lời giải:

SA BC

⊥





⊥



Từ đó suy ra AH ⊥(SBC)

;

2

SA AB a

d A ABC AH

SA AB

a

AC= OC⇒d O SBC = d A SBC =

c) Gọi E là trung điểm của SC ta có: AE=3G E1

Do đó: ( 1 ( ) ) ( ( ) )

a

d G SBC = d A SBC =

Gọi K là trung điểm của BC, dễ thấy I là trọng tâm tam

giác ABC tương tự ta có: ( ( ) ) 3

6

a

d I SBC =

a

d J SBC = d D SBC = d A SBC =

a

d G SBC = d D SBC = d A SBC =

Ví dụ 5 [ĐVH]: Cho tam giác ABC đều cạnh a Trên đường thẳng Ax vuông góc với (ABC), lấy điểm S

sao cho SA=a 3, K là trung điểm của BC

a) Tính khoảng cách từ điểm A đến (SBC);

b) Gọi M là điểm đối xứng với A qua C Tính khoảng cách từ điểm M đến (SBC)

c) Gọi G là trọng tâm ∆SCM Tính khoảng cách từ điểm G đến (SBC)

d) I là trung điểm của GK Tính khoảng cách từ điểm I đến (SBC)

Đ/s: a) 15

5

a

b) 15 5

a

c) 15 15

a

d) 15 30

a

Lời giải:

a) Dựng đường cao AK và AH ⊥SK

BC AH

⊥





⊥

d A SBC AH

SA AH

= =

+

;

AK = ⇒d A SBC =

b) Do C là trung điểm của AM nên

5

a

d A SBC =d M SBC =

c) Do ME=3GE ( với E là trung điểm SC) nên

a

d G SBC = d M SBC =

d) Do I là trung điểm của GK nên ( ( ) ) 1 ( ( ) ) 15

;

a

d I SBC = d G SBC =

Ví dụ 6 [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD có AD=a AB; =a 3 tâm O Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt đáy trùng với trung điểm của OA Đường thẳng SC tạo với đáy

một góc 600 Tính các khoảng cách sau:

Lời giải:

a) Ta có: 2 3 3

a

AC= a⇒HC = AC=

2

a SCH = ⇒SH =HC =

;

AC

d A SCD d H SCD

Dựng HE⊥CD⇒CD⊥(SHE)

Khi đó dựng HF ⊥SE , lại có CD⊥HF suy ra

HF ⊥ SCD Do vậy ( ( ) ) 4

;

3

d A SCD = HF

HE

AD = CA = ⇒ =

26

a HF

HF = SH + HE ⇒ =

Do vậy ( ( ) ) 2 39

;

13

a

d A SCD =

b) Ta có: AO 2 d A SBD( ;( ) ) 2d H SCD( ( ) )

Dựng HM ⊥BD⇒BD⊥(SHM)

Khi đó dựng HN ⊥SM , lại có BD⊥HN suy ra HN ⊥(SCD) Do vậy d A SBD( ;( ) )=2HN

Dễ thấy OA=OD=AD=a nên tam giác OAD đều có
600 sin 600 3

4

a AOD= ⇒HM =OH =

Ví dụ 7 [ĐVH]: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác ABC vuông cân tại C có

3

AC=BC= a Hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt đáy trùng với trọng tâm tam giác ABC, biết góc

giữa mặt phẳng (A AB' ) và đáy (ABC) bằng 60 Tính các khoảng cách sau: 0

Lời giải:

a) Gọi I là trung điểm của AB do tam giác ABC

vuông cân tại C nên CI ⊥AB ,G là trọng tâm

tam giác ABC

Mặt khác A G' ⊥AB⇒ AB⊥(A IC' )

Do vậy
A IG' =600

AB= a CI = ⇒IG=

Do vậy ' tan 600 6

2

a

A G=IG =

Ta có: d C A AB( ;( ' ) )=3d G A AB( ;( ' ) )

Dựng GK ⊥ A I' ⇒GK ⊥(A AB' )

a GK

GK =GI + A G ⇒ =

; '

4

a

d C A AB

b) Giả sử BG cắt AC tại M ta có: BM 3 d B A AC( ;( ' ) ) 3d G A AC( ;( ' ) )

Dựng GE⊥ AC⇒AC ⊥(A GE' ), dựng GF⊥ A E' ⇒GF ⊥(A AC' )

GE=GC GCE=GC =a, hoặc do Ta let ta cũng có 1

3

GE= BC=a

; '

GF d B A AC

GF =GE + A G ⇒ = ⇒ =

Ví dụ 8 [ĐVH]: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều

cạnh a và (SAB) vuông góc với (ABCD) Gọi I là trung điểm của cạnh AB, E là trung điểm của cạnh BC

a) Chứng minh (SIC) ⊥ (SED)

b) Tính khoảng cách từ điểm I đến (SED)

c) Tính khoảng cách từ điểm C đến (SED)

d) Tính khoảng cách từ điểm A đến (SED)

Đ/s b) 3 2

8

a

c) 2 4

a

d) 2 2

a

Lời giải:

a) Học sinh tự làm

b) Ta dễ chứng minh được: IC⊥ED

FI

FC = ⇒ =

Kẻ

IG = +IF = a + a

8

a IG

d I SDE

d C SDE d I SDE

d J SDE

DE FC d C SDE

 ∈∆ 

∆



Do ∆/ /DE⇒∆/ /(SDE) ( ( ) ) ( ( ) ) 2

2

a

d A SDE d J SDE

Ví dụ 9 [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD, có SA ⊥ (ABCD) và SA=a 6, đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kinh AD = 2a

a) Tính các khoảng cách từ A và B đến mặt phẳng (SCD)

b) Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC)

c) Tính diện tích của thiết diện của hình chóp SABCD với mặt phẳng (P) song song với (SAD) và cách

(SAD) một khoảng bằng 3

4

a

Đ/s a) 2; 2

2

a

3

a

c)

2

a

Lời giải:

a) Kẻ AI ⊥SC⇒AI ⊥(SCD)⇒d A SCD( ;( ) )= AI

AI a d A SCD a

AI = AC +SA ⇒ = ⇒ =

Ta dễ chúng minh được:

a

d B SCD = d A SCD =

2

a

AM ⊥BC⇒AM =

;

AI d A SCD

AN = AM +SA ⇒ = ⇒ =

c) Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB , CD, SC, SB

Khi đó dễ dàng thấy hình thang EFGH là thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (P) song song

với (SAD) và cách (SAD) một khoảng bằng 3

4

a

S EF GH HE EFGH

Thầy Đặng Việt Hùng