KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC Ví dụ 1.. [Video]: Cho hình chóp tứ giác SABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a AD; =a 3 và SA vuông góc với ABCD.. Cho hình chóp S.ABCD có
Trang 1VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN DẠNG 1 KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
Ví dụ 1 [Video]: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, SA=a 3 Tam giác ABC đều cạnh a
Tính khoảng cách
a) SA và BC
b) SB và CI với I là trung điểm của AB
c) từ B tới mặt phẳng (SAC)
d) tử J tới mặt phẳng (SAB) với J là trung điểm của SC
Ví dụ 2 [Video]: Cho hình chóp tứ giác SABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a AD; =a 3 và
SA vuông góc với (ABCD) Biết góc giữa (SCD) và đáy bằng 600 Tính khoảng cách
a) từ O đến (SCD) với O là tâm đáy
b) từ G đến (SAB) với G là trọng tâm tam giác SCD
c) SA và BD
2
=
SI ID
Câu 1: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh 2a , tam giác ABC đều, hai mặt phẳng
(SAB) và (SAC) cùng vuông góc với đáy và mặt phẳng (SBC) tạo với đáy một góc 60 Tính khoảng 0 cách giữa các đường thẳng sau:
a) SA và BD
b) BD và SC
Lời giải:
( ) ( ) ( )
SAB ABC
SA ABC SAC ABC
⊥
⊥
Gọi I là tâm hình thoi ta có: AI BD
SA AI
⊥
⊥
nên AI là đường vuông góc chung do vậy ta có:
( ; )
2
AC
d SA BD = AI = =a
BD AC
⊥
⊥
Dựng IK ⊥SC ta có IK là đường vuông góc
chung của BD và SC Dựng AE⊥BC, ta có
( ) 0
60
BC⊥SA⇒BC⊥ SAE ⇒SEA=
Do ABC∆ đều nên AE=ABsin 600 =a 3
Suy ra SA= AEtan 600 =3a
KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG – P1
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
Trang 2Khi đó dựng AF ⊥SC suy ra
2
AF
13
a AF
AF = SA + AC ⇒ =
;
13
a
d SC BD =
Câu 2: [ĐVH] Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD có AB=2 ;a AD=a, hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy là trung điểm H của AB Biết SC tạo với đáy một góc 60 , tính khoảng cách 0 giữa 2 đường thẳng SD và HC
Lời giải:
Ta có H là trung điểm của AB nên HA=HB=a
Khi đó HC= HB2+BC2 =a 2
Lại có SCH=600 ⇔SH =HCtan 600 =a 6
Dễ thấy HD=HC=a 2;CD= AB=2a nên tam
giác DHC vuông cân tại H ta có CH DH
CH SH
⊥
⊥
( )
CH ⊥ SHD , dựng HK ⊥SD suy ra HK là đường
vuông góc cung của HC và SD
3
a HK
HK = HD +SH ⇒ =
3
a
d =
Câu 3: [ĐVH] Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy Biết góc giữa SB và mặt phẳng đáy bằng 60 Tính: 0
a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và SA , AD và SB
b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC
Lời giải:
a) Ta có ( ) ( )
( ) (, ) ( )
SAB SAD SA
SAB SAD ABCD
⊥
( )
SA ABCD
( )
SB ABCD =SBA=
Ta có AB BC AB d SA BC( , ) a
AB SA
⊥
⊥
Kẻ AH ⊥SB
AD SAB AD AH
AD AB
⊥
⊥
( , )
SB AH
AH d SB AD
AD AH
⊥
⊥
AH = AB SBA=a = ⇒d SB AD =
2
Cx BD⇒d BD SC =d BD SCx =d O SCx = d A SCx
Kẻ AK ⊥SC
Trang 3Ta có Cx SA Cx (SAC) Cx AK
Cx AC
⊥
⊥
mà AK ⊥SC⇒ AK ⊥(SCx)⇒ AK =d A SCx( ,( ) )
Ta có SA= AB tanSBA =a tan 600 =a 3 , AC = AB2 +BC2 = a2 +a2 =a 2
,
AK d BD SC
AK = AS + AC = a + a = a ⇒ = ⇒ =
Câu 4: [ĐVH] Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a Gọi M N P Q, , , lần lượt là trung điểm của
AB CD AD AC
a) Chứng minh rằng MN ⊥PQ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN PQ ,
b) Gọi G là trọng tâm tam giác BCD Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AG BC ,
Lời giải:
a) Gọi K là trung điễm của BC , O là giao điễm của
PK và MN
Ta có MD=MC⇒MN ⊥DC⇒MN ⊥PQ( )1
( )2
NA=NB⇒MN ⊥ AB⇒MN ⊥KQ
Từ ( ) ( )1 , 2 ⇒MN ⊥(PQK)
Kẻ OH ⊥PQ
Vì MN ⊥(PQK)⇒MN ⊥OH mà OH ⊥PQ
( , )
OH d MN PQ
2
a
PK = AK −AP =
Tam giác PQK cân tại Q ⇒QO⊥PK
2 2
a
OQ= PQ −OP =
Xét POQ∆ : 1 2 12 12 12
4
OH = OP +OQ = a ( )
OH a d MN PQ
b) G là trọng tâm tam giác BCD⇒AG ⊥(BCD)
Ta có GK AG GK d AG BC( , )
GK BC
⊥
⊥
2
a
,
a
GK DK d AG BC
Câu 5: [ĐVH] Cho hình lập phương ABCDA B C D′ ′ ′ ′ cạnh a Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau:
a) AC′ và BD
b) AC′ và DA′
Lời giải:
Trang 4a) Gọi O là giao điễm của AC và
BD , M là trung điễm của CC'
Ta có OM / /AC'
( ', ) ( ',( ) )
d AC BD d AC MBD
( )
d A MBD d C MBD
Kẻ CH ⊥MO
( )
CH d C MBD
', 6
a
CH d AC BD
CH = CO +CM = a ⇒ = = b) Kẻ AN / / 'A D⇒d AC DA( ', ')=d A D ANC( ' ,( ') )=d A( ',(ANC') )
Kẻ A E' ⊥C N' , A F' ⊥ AE⇒ A F' ⊥(ANC')⇒ A F' =d A( ',(ANC') )
a
A F d AC DA
A F = A E + A A = a ⇒ = =
Câu 6: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với
AB BC a AD a Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc AB với
AH =HB Biết góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (ABCD) bằng 600
a) tính góc giữa CD và SB
b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD)
c) Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC)
d) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB
e) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SE với E là điêm thuộc AD sao cho AE = a
Lời giải:
a) Dựng HI ⊥CD dễ thấy CD⊥(SHI) Gọi K =AB∩CD
Ta có :KB=4 ,a AB=2 ,a AH =a⇒KH =5a
Trang 5Ta có: 5 5
HI KH
HI
d A CD = KA = ⇒ =
Mặt khác: HC= 5, dễ dàng suy ra I ≡C
(Chú ý: ở đây các e có thể sử dụng ∆HCD để c/m HCD=900, cách trên tổng quát hơn)
Xét ∆SHI vuông tại H ta có: 0
tanSHI SH tan 60 SH 15a
HC
Dựng BE//CD tính SBE : Xét ∆SBE SB, =4 ,a BE =a 5,SE=a 17
cos
2 5
SBE
AK = HK⇒d A SCD = d H SCD = a=a
c) Do AD // BC ta có: ( ; ( )) ( ; ( )) ( ; ) 2 ( ; ) 15
2
d D SBC =d A SBC =d A SB = d H SB =a
2
d AD SB =d AD SBC =d A SBC =a
e) Dễ thấy HE // BJ mặt khác BJ ⊥AC ( do ABCJ là hình vuông (CJ//AB))
AC⊥HE AC⊥SH ⇒ AC⊥ SEH
d AC SE =d N SE = d H SE = a
Câu 7*: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AD > AB = 2a Gọi M là trung điểm cạnh CD, tam giác SAM cân và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Biết
()
SD ABCD = với cos α 7
13
= và khoảng cách từ A tới mặt phẳng (SCD) bằng 6
5
a
a) Tính khoảng cách từ C đến (SAD)
7
N∈BC CN = BN
Lời giải:
a) Gọi H là trung điểm của AM do tam giác SAM cân và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy nên ta có:
( )
SH ⊥ AM ⇒SH ⊥ ABCD
Ta có: d A SCD( ;( ) )=2d H SCD( ;( ) )=2HK
5
a
HK = và có SDH=α
Đặt SH =h HM; =x có 1
2
HM =DH = =x AM
7
HD x và 2 2 2
9
x +h = a
x= h= ⇒ AD= a
Khi đó: d C SAD( ;( ))=2d M( ;(SAD))=4d H SAD( ;( ))
Trang 6Dựng 1
a
HI ⊥ AD⇒HI = CD= , dựng HJ ⊥SI ta có
( )
4226
HI SH
d C SAD HJ
SH HI
+
AM DN AD ABAB AD AD AB
= + + = − =
Do đó: AM ⊥DN , gọi F =DN∩AM khi đó dựng FG⊥SA ta có FG là đường vuông góc chung của
DN và SA Ta có: 2 9
13
a
AF AM = AD ⇒ AF=
Khi đó:
9 13 9
2
3289
a
h AH
+
Thầy Đặng Việt Hùng