Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt đáy trung với điểm H sao cho HC =2HA , biết tam giác SAC là tam giác vuông tại S.. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng SB và AC.. Cho hình chóp S
Trang 1VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN DẠNG 2 KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG BẤT KÌ
Câu 1: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại C có BC=AC=3a Hình chiếu
vuông góc của đỉnh S trên mặt đáy trung với điểm H sao cho HC =2HA , biết tam giác SAC là tam giác vuông tại S Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng SB và AC
Lời giải:
Ta có: AC=3a⇒HA=a HC; =2a
Lại có SAC∆ vuông tai S có đường cao SH nên ta có:
SH =HA=HC= a ⇒SH =a
Dựng Bx/ /AC , dựng HE ⊥Bx , HF ⊥SE
Ta có Bx⊥SH ⇒BE⊥(SHE)⇒BE⊥HF
Mặt khác HF ⊥SE⇒H F ⊥(SBE)
Do Bx/ /AC⇒d SB AC( ; )=d AC SBE( ;( ) )
( )
d H SBE HF
Lại có: 1 2 12 12
HF = SH + HE , trong đó HE=BC=3a suy ra
( )
;
Câu 2: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAB là tam giác đều cạnh 2a và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy , biết mặt phẳng (SCD) tạo với đáy một góc 60 Tính 0
khoảng cách giữa 2 đường thẳng SA và BD
Lời giải:
Gọi H là trung điểm của AB ta có AH ⊥AB, mặt
khác (SAB) (⊥ ABCD) nên SH ⊥(ABCD)
60
Ta có: SH =a 3, mặt khác HKtan 600 =SH
Suy ra HK =a; SA=AB=2a
Dựng Ax/ /BD , dựng HE ⊥Ax , HF ⊥SE
Ta có Ax⊥SH ⇒AE⊥(SHE)⇒ AE⊥HF
Mặt khác HF ⊥SE⇒H F ⊥(SAE)
Do Ax/ /ABD⇒d SA BD( ; )=d BD SAE( ;( ) )
( )
d B SAE d H SAE HF
Dựng HM ⊥BD AN; ⊥BD ta có:
2 2
KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG – P2
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
Trang 2Câu 3: [ĐVH] Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B AB, =a BC, =2a, cạnh 2
SA= a và SA⊥(ABC) Gọi M N lần lượt là trung điểm của , AB SC ,
b) Tính khoảng cách giữa AB SC ,
Lời giải:
⊥
⊥
2
BN = AN= SC ( tính chất trung tuyến trong tam giác vuông)
Do đó tam giác NAB cân tại N có trung tuyến NM suy ra
( )
MN ⊥AB dpcm
b) Kẻ Cx/ /AB⇒d AB SC( ; ) (=d AB SCx; )=d A SCx( ;( ) )
Dựng AE Cx AF⊥ ; ⊥SE Do CE AE CE AF
⊥
⊥
suy raAF⊥(SCE) Ta có: AE=BC=2a
Câu 4: [ĐVH] Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Tam giác SAD đều và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với đáy Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau:
a) AC và SB
b) AD và SB
Lời giải
Mặt khác (SAD) (⊥ ABCD)⇒SH ⊥(ABCD)
2
a
Dựng Bx/ /AC⇒d AC SB( ; )=d AC SBx( ;( ) )
Gọi G= AO∩BH ⇒G là trọng tâm tam giác ABD
2
Dựng HE⊥Bx HF; ⊥SE Do BE HE BE HF
⊥
⊥
từ đó suy raHF ⊥(SBE) Gọi K =AO∩HE ta có:
;
Câu 5: [ĐVH] Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ′ ′ ′ có đáy ABC là tam giác cân tại
, 120 ,
A BAC= AB=BB′=a Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau:
a) BB′ và AC
b) BC và AC′
Lời giải:
Trang 3a) Ta có: BB'/ /CC'⇒BB'/ /(ACC')
do vậy d BB AC( '; ) (=d BB ACC'; ')
Dựng BE⊥ AC, mặt khác BE⊥CC' suy ra
( ') ( ';( ') )
BE⊥ ACC ⇒d BB ACC =BE
2
a
b) Dựng Ax/ /BC⇒d BC C A( ; ' )=d BC CAx( ;( ) )
( )
d C C Ax
Dựng CE⊥Ax AF; ⊥C E' Do
'
⊥
⊥
AE CF
⇒ ⊥ từ đó suy raCF ⊥(C AE' )
2
a
'
+
Câu 6: [ĐVH] Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a AD; =a 3, tam
giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi H là trung điểm của AB Tính khoảng cách
Lời giải:
2
Kẻ HE⊥BD E( ∈BD)và HI ⊥SE I( ∈SE)
BD⊥ SHE ⇒BD⊥HI⇒HI ⊥ SBD ⇒d H SBD( ;( ) )=HI
Trang 4Ta có:
3 sin
;
4
d) d SB CD( ; )=d CD SAB( ;( ) )=CB=a 3
e) d BC SA( ; )=d BC SAD( ;( ) )=BA=a
Ta có: d BD SC( ; )=d BD SLC( ;( ) )=d E SLC( ;( ) )=EM
Câu 7: [ĐVH] Cho hình chóp tam giác SABC, đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a Gọi I là trung điểm của
BC, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc đoạn AI sao cho 1
2
=
góc giữa SC và mặt đáy bằng 600 Tính khoảng cách
a) từ M tới mặt phẳng (SAI), với M là trung điểm của SC
b) giữa hai đường SA và BC
c) giữa hai đường SB và AM, với M là trung điểm của SC
Lời giải:
Hướng dẫn:
3
a
Tam giác HCI vuông tại I
3
a
→ = =
a) Từ M tới mặt phẳng (SAI), với M là trung điểm của SC
Từ M kẻ MF / / SA(→AF=FC)⇒MF / / SAI( )⇒d M ; SAI( ( ) )=d F ; SAI( ( ) )
⊥
⊥
b) Khoảng cách giữa hai đường SA và BC
Từ A kẻ AD / / BC AD=BC⇒BC / / SAD( )
Khi đó d SA;BC( )=d BC; SAD( ( ) )=d I , SAD( ( ) )=3d H ; SAD( ( ) )
22
⊥ → ⊥
⊥
Trang 5Vậy ( ) 7
3 22
c) Khoảng cách giữa hai đường SB và AM, với M là trung điểm của SC
Ta có:
SB / / AMI
SBE / / AMI
MI / / SB
→
⇒
→
15
⊥
→ ⊥ → ⊥ → ⊥ → = =
⊥
Câu 8: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a 2; AD=2a Biết tam
giác SAB là tam giác cân tại S và có diện tích bằng
2 6 6
a Gọi H là trung điểm của AB Tính khoảng
cách
a) từ A đến (SBD)
b) giữa hai đường thẳng SH và BD
c) giữa hai đường thẳng BC và SA
Lời giải:
Hướng dẫn:
a)Khoảng cách từ A đến (SBD)
Tam giác SAB cân tại S, H là trung điểm AB nên SH ⊥AB⇒SH ⊥(ABCD)
Ta có: d A; SBD( ( ) )=2d H ; SBD( ( ) )
⊥
⊥
⊥
⊥
Trang 6Dễ dàng tính được: 3; .sin 3
b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng SH và BD
3
a
c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và SA
Ta có: BC / / SAD( )→d BC; SA( )=d BC; SAD( ( ) )=d B; SAD( ( ) )=2d H , SAD( ( ) )
Kẻ HK⊥SA K( ∈SA)
⊥ → ⊥
→ ⊥
⊥
( )
Thầy Đặng Việt Hùng