có đáy ABC là tam giác vuông tại C , hai mặt phẳng SAB và SAC cùng vuông góc với đáy.. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SCvà SB.. Cho khối chóp S.ABCD có
Trang 1VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN DẠNG 2 HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
Câu 1: [ĐVH] Cho khối chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C , hai mặt phẳng
(SAB) và (SAC) cùng vuông góc với đáy Gọi D và E lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SCvà SB Chứng minh rằng:
a) (SAC) (⊥ SBC)
Lời giải:
SAB ABC
SA ABC SA BC SAC ABC
⊥
⊥
Lại có: AC⊥BCsuy ra BC⊥(SAC) (⇒ SAC) (⊥ SBC)
do vậy AD⊥(SBC)⇒AD⊥SB , mặt khác SB⊥AE nên
suy ra SB⊥(ADE) do vậy (SAB) (⊥ ADE) (dpcm)
Câu 2: [ĐVH] Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O Hình chiếu vuông góc của đỉnh S xuống mặt phẳng đáy (ABCD) là trọng tâm tam giác ABD Gọi E là hình chiếu của điểm B trên cạnh SA Chứng minh rằng:
a) (SAC) (⊥ SBD)
Lời giải
CHỨNG MINH QUAN HỆ VUÔNG GÓC – P2
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
Trang 2a) Do ABCD là hình vuông nên ta có: BD⊥ AC
Do H là trọng tâm tam giác ABD nên H thuộc đường
chéo AC khi đó BD⊥SH do vậy BD⊥(SAC)
Suy ra (SAC) (⊥ SBD)
Lại có BE⊥SA⇒SA⊥(BDE)
Do vậy (SAC) (⊥ BDE) (dpcm)
Câu 3: [ĐVH] Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác cân tại C, gọi M là trung điểm của AB, hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng đáy (ABC) là trung điểm của CM và N là hình chiếu vuông góc của M trên A’C Chứng minh rằng:
a) (A ABB' ') (⊥ A MC' )
b) (A ACC' ') (⊥ A NB' )
Lời giải
a) Ta có M là trung điểm của AB nên ta có:
CM ⊥ AB, lại có AB⊥A H' ⇒AB⊥(A MC' )
Do vậy (A ABB' ') (⊥ A MC' )
Lại có: A C' ⊥MN⇒A C' ⊥(ANB)
Do vậy (A ACC' ') (⊥ A NB' ) (dpcm)
Câu 4: [ĐVH] Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình chữ nhật, SAB là tam giác đều và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với đáy
Lời giải :
Trang 3a) Gọi H là trung điễm của AB⇒SH ⊥ AB
SH ABCD
SH AB
⊥
⊥
Ta có AD AB AD (SAB)
AD SH
⊥
⊥
mà AD⊂(SAD) (⇒ SAD) (⊥ SAB)
Ta có BC AB BC (SAB)
BC SH
⊥
⊥
mà BC⊂(SBC) (⇒ SBC) (⊥ SAB)
b) SAB∆ đều⇒ AI ⊥SB ( )1
BC ⊥ SAB ⇒BC ⊥ AI
Từ ( ) ( )1 , 2 ⇒ AI ⊥(SBC)
mà AI ⊂(ACI) (⇒ ACI) (⊥ SBC)
c) Ta có AD⊥(SAB)⇒ AD⊥BJ
⇒ Để (BJD) (⊥ SAD) thì BJ ⊥SA⇒J là trung điễm của SA
Câu 5: [ĐVH] Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, BAC =600, 6
2
a
SA= và vuông góc với mặt phẳng đáy Chứng minh rằng:
a) (SDB) (⊥ SDC)
b) (SBC) (⊥ SAD)
Lời giải :
a) Gọi O là giao điễm của AC và BD
Kẻ OH ⊥SD AE, ⊥SD
BC SA
⊥
⊥
Mà SD⊥OH ⇒SD⊥(BHC)⇒ BH ⊥SD ( )1
Trong tam giác vuông SAD ta có
2
6 3
3 3 2
SAD
a a
S SA AD
SD SA AD a
a
a
( )2
BH CH
Từ ( ) ( )1 , 2 ⇒BH ⊥(SCD) (⇒ SBD) (⊥ SCD)
b) Ta có BC AD BC (SAD) (SBC) (SAD)
BC SA
⊥
⊥
Trang 4c) Gọi AD giao BC tại E Tìm K trên SE sao cho (AKC) (⊥ SEB)
Lời giải :
a) Ta có CM / /AD⇒CM ⊥ AB
Ta có : CM AB CM (SAB)
CM SA
⊥
⊥
Mà CM ⊂(SCM) (⇒ SCM) (⊥ SAB)
b) AMCD là hình vuông⇒ DM ⊥ AC
Ta có : DM AC DM (SAC)
DM SA
⊥
⊥
Mà DM ⊂(SDM) (⇒ SDM) (⊥ SAC)
Câu 7: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, SAC là tam giác đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với (ABC) Gọi I là trung điểm của SC
a) Chứng minh (SBC) ⊥ (SAC)
Lời giải:
a) Kẻ SH ⊥ AC⇒SH ⊥(ABC)⇒SH ⊥BC Kết hợp BC⊥AC⇒BC⊥(SAC) (⇒ SBC) (⊥ SAC) b) Theo câu a, BC⊥(SAC),AI∈(SAC)⇒BC⊥ AI
Tam giác SAC đều, AI là trung tuyến nên AI ⊥SC⇒AI ⊥(SBC) (⇒ ABI) (⊥ SBC)
Câu 8: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Biết SA ⊥ (ABCD) Gọi M,
N lần lượt là hai điểm trên BC và DC sao cho ; 3
=a = a
MB DN Chứng minh rằng (SAM) ⊥ (SMN)
Lời giải:
Trang 5Ta có
5
5
a a
AM AB BM a
AN AD DN a
MN MC NC
= + = + =
= + = + =
Dẫn đến AN2 =AM2+MN2 ⇒AM ⊥MN Mà SA⊥(ABCD)⇒SA⊥MN
Kết hợp thu được MN ⊥(SAM) (⇒ SMN) (⊥ SAM)
Câu 9: [ĐVH] Cho chóp S.ABCD có đáy là thang vuông tại A,D, có AB=2a, AD=DC=a, (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy, SA=a. Gọi E là trung điểm SA, M là điểm thuộc AD sao cho AM =x
(α) là mặt phẳng qua EM và vuông góc với (SAB)
b) Xác định (α)
Lời giải:
SAB ABCD
SA ABCD SAD ABCD
⊥
⊥
AD SA
⊥
⊥
Điểm M thuộc AD do vậy MA⊥(SAB)
Khi đó: (EMA) (⊥ SAB)
Trang 6Câu 10: [ĐVH] Cho chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh SA vuông góc với đáy (α) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC ( ) α ∩SC=I
Lời giải:
Dựng AI ⊥SC , AI cắt SO tại K, từ K kẻ đường thẳng
song song với BD cắt SB va SD lần lượt tại M và N
Ta có: MN/ /BD⇒MN ⊥AC
Mặt khác MN/ /BD⊥SA⇒MN ⊥(SAC)⇒MN⊥SC
Lại có: AI ⊥SC⇒(AMIN)⊥SC
BD SA
⊥
⊥
d) (SBD) ( )∩ α =MN và thiết diện là tứ giác AMIN.
Thầy Đặng Việt Hùng