Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng là dạng cơ bản nhất trong các dạng toán tính khoảng cách.. Tất cả các bài toán tính khoảng cách cuối

Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng là dạng cơ bản nhất trong các dạng toán tính khoảng cách Tất cả các bài toán tính khoảng cách cuối cùng đều đưa về tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng Trong dạng toán này, việc khó khăn nhất là dựng được đường vuông góc từ điểm đến mặt phẳng Trong bài này chúng ta sẽ tìm hiểu một trường hợp tính khoảng cách

từ điểm đến mặt phẳng thường gặp nhất là tính khoảng cách từ chân đường vuông góc và phương pháp đổi điểm để tính khoảng cách Đây là hai lý

thuyết quan trọng cần phải nắm vững để có thể giải được các bài toán khoảng cách trong các đề thi đại học và THPT Quốc gia

Tính khoảng cách từ chân đường vuông góc

Bài toán: Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) biết SA vuông

góc với mặt phẳng (ABC)

Các b ướ c tính kho ả ng cách

Bước 1: Dựng đường cao AK trong tam giác ABC.

Bước 2: Dựng đường cao AH trong tam giác SAK.

Bước 3: Chứng minh AH⊥(SBC) và suy ra d(A,(SBC))=AH

Bước 4: Tính độ dài AH.

Chú ý: Trước khi dựng đường cao AH cần phải xét tính chất của tam giác

ABC để có cách dựng đúng

1 Nếu tam giác ABC vuông ở B thì không cần dựng AK vì AB là đường cao Ta chỉ cần dựng đường cao AH trong tam giác SAB (tương tự nếu tam giác ABC vuông ở C).

2 Nếu tam giác ABC đều hoặc cân ở A thì K là trung điểm của BC.

Phương pháp đổi điểm tính khoảng cách

Đây là phương pháp thường sử dụng nhất Đổi điểm có nghĩa là ta sẽ chuyển từ việc tính khoảng cách từ điểm này sang tính khoảng cách từ một điểm khác dễ dàng hơn Mà thông thường ta sẽ chuyển về chân đường vuông góc để áp dụng trường hợp trên

Bài toán: Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P).

Giả sử rằng việc dựng đường vuông góc từ M đến (P) rất khó khăn nhưng ta lại có một điểm N khác M mà việc tính khoảng cách từ N đến (P) có thể dễ dàng thực hiện được Ta sẽ chuyền bài toán từ tính khoảng cách từ M đến (P) sang tính khoảng cách từ N đến (P) Ta có hai trường hợp sau:

Trường hợp 1: MN song song với (P).

Ta sẽ có: d(M,(P))=d(N,(P))

Trường hợp 2: MM cắt (P) tại điểm I.

Trường hợp này ta cần biết được tỉ lệ MINI

Khi đó ta sẽ có: d(M,(P))d(N,(P))=MINI

Ví dụ áp dụng

Ví d ụ 1 Cho hình chóp S.ABC có SA⊥(ABC), SA = 4cm, AB = 3cm, AC = 4cm,

BC = 5cm Tính d(A, (SBC))

Phân tích: Ta

thấy AB2+AC2=BC2=25⇒ΔABC vuông tại A

Vì ΔABC không vuông tại B hoặc C nên ta sẽ dựng 2 đường cao như trong trường hợp trên

Bài giải

Trong (ABC), dựng AM⊥BC tại M

Trong (SAM), dựng AH⊥SM tại H

Ta có:

BC⊥SABC⊥AM}⇒BC⊥(SAM)⇒BC⊥AH

Mà AH⊥SM suy ra AH⊥(SBC)

Vậy d(A, (SBC)) =AH

Trong ∆SAM, ta có1AH2=1SA 2+1AM 2=1SA 2+1AB 2+1AC 2⇒AH=7217−−√

Ví d ụ 2 (ĐH khối D – Năm 2003)

Cho 2 mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến ∆ và vuông góc với nhau Trên ∆ lấy 2 điểm A, B và C ∈ (P), D ∈ (Q) sao cho AC⊥Δ,BD⊥Δ và AC

= AB = a Tính d(A, (BCD))

Phân tích:

(P)⊥(Q),(P)∩(Q)=ΔAC⊥Δ,AC⊂(P)}⇒AC⊥(Q)

Ta thấy, ΔABDvuông tại B nên ta áp dụng dạng 2 để tính khoảng cách

Bài giải

Trong (ABC), vẽ AH⊥BCtại H

Ta có BD⊥AB,DB⊥AC⇒DB⊥(ABC)⇒DB⊥AH

Suy ra AH⊥(BCD)

Vậy d(A,(BCD))= AH

Xét ∆ABC vuông tại A, ta có 1AH2=1AB 2+1AC 2=2a 2⇒ AH=a2√

Ví d ụ 3 (ĐH khối B – Năm 2013)

Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình vuông cạnh AB =

a (SAB)⊥(ABCD),ΔSAB đều Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SCD)

Bài giải

Gọi H là trung điểm AB

Ta có SH⊥AB

Vì (SAB)⊥(ABCD)⇒SH⊥(ABCD)

và SH=a3√2

Vì AB//CD⇒d(A,(SCD))=d(H,(SCD))

Gọi E là trung điểm CD

Trong mp(SHE), dựng HK⊥SE

Mặt khác, ta có HE⊥CDSH⊥CD}⇒CD⊥(SHE)⇒CD⊥KH

⇒ HK⊥(SCD) Vậy d(H,(SCD)) = HK

Trong tam giác vuông SHE, ta có 1HK2=1SH 2+1HE 2=73a 2⇒ HK=a21√7

Ví d ụ 4 Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông tại

B, (SBC)⊥(ABC), AB = 3a, BC = 4a, SB=2a3√,SBCˆ=300 Tính d(B,

(SAC))

Bài giải

Kẻ SH⊥BC tại H

vì(SBC)⊥(ABC)⇒SH⊥(ABC)

Trong tam giác vuông SHB, ta có cos300=BHSB⇒ BH=3a,CH=a

Mà BH∩(SAC)=C⇒CBCH=4

Mà CBCH=d(B,(SAC))d(H,(SAC))=4⇒d(B,(SAC))=4.d(H,(SAC))

Tính d(H, (SAC))

Trong mp(HAC), kẻ HE⊥AC mà SH⊥AC⇒AC⊥(SHE)⇒(SAC)⊥(SHE)

Trong mp(SHE), dựng HK⊥SE⇒HK⊥(SAC)

Vậy d(H, (SAC)) = HK

Ta có ΔABC∼ΔHEC⇒ABHE=ACHC⇒ HE=3a5

Ta tính được HK=3a28√

Vậy d(B, (SAC)) = 4HK = 6a7√

Thông qua các ví dụ trên, hy vọng các em sẽ nắm được cơ bản phương pháp tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để có được định hướng khi làm bài Tuy nhiên, bài toán tính khoảng cách trong các đề thi đại học thường

là tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Phần này ta sẽ tìm hiểu

ở bài sau