Phương pháp tính góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau

Ph ươn g pháp tính góc gi ữ a hai m ặt ph ẳng c Bài toán: Cho hai mặt phẳng (α) (β) cắt nhau, tính góc hai mặt phẳng (α) (β) Ta áp dụng phương pháp sau đây: Phương pháp Dựng hai đường thẳng aa, bb vng góc với hai mặt phẳng (α)(α) (β) (β) Khi đó, góc hai mặt phẳng (α)(α) (β)(β) (ˆ(α),(β))=(ˆa,b).((α), (β)^)=(a,b^) Tính góc (ˆa,b).(a,b^) Phương pháp + Xác định giao tuyến cc hai mặt phẳng (α)(α) (β).(β) + Dựng hai đường thẳng aa, bb nằm hai mặt phẳng vng góc với giao tuyến cc điểm c.c Khi đó: (ˆ(α),(β))=(ˆa,b).((α),(β)^)=(a,b^) Hiểu cách khác: ta xác định mặt phẳng phụ (γ)(γ) vng góc tuyến cc mà (α)∩(γ)=a(α)∩(γ)=a, (β)∩(γ)=b.(β)∩(γ)=b Suy (β))=(ˆa,b).((α),(β)^)=(a,b^) Phương pháp (trường hợp đặc biệt) với giao (ˆ(α), đoạn thẳng nối hai điểm AA, BB (A∈(α),B∈(β)) (A∈(α),B∈(β)) mà AB⊥(β)AB⊥(β) qua AA BB ta dựng đường thẳng vng góc với giao tuyến cc hai mặt phẳng H.H Khi (ˆ(α),(β))=ˆAHB Nếu có ((α),(β)^)=AHB^ Ví dụ Cho hình chóp tứ giác S.ABCDS.ABCD cạnh đáy ABCDABCD aa SA=SB=SC=SD=a.SA=SB=SC=SD=a Tính cosin góc hai mặt phẳng (SAB)(SAB) (SAD).(SAD) Gọi II trung điểm SA.SA Do tam giác SADSAD SABSAB nên: {BI⊥SADI⊥SA{BI⊥SADI⊥SA ⇒(ˆ(SAB),(SAD))=(ˆBI,DI).⇒((SAB), (SAD)^)=(BI,DI^) Áp dụng định lý cosin cho tam giác BIDBID ta có: cosˆBID=IB2+ID2–BD22IB.IDcosBID^=IB2+ID2–BD22IB.ID =(√32a)2+(√32a)2– (a√2)22.√32a.√32a=(32a)2+(32a)2–(a2)22.32a.32a =–13.=–13 Vậy cos(ˆ(SAB),(SAD))=13.cos((SAB),(SAD)^)=13 Ví dụ Cho hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy ABCDABCD nửa lục giác nội tiếp đường tròn đường kính AB=2aAB=2a, SASA vng góc với (ABCD) (ABCD) SA=a√3.SA=a3 Tính góc hai mặt phẳng (SBC)(SBC) (SCD) (SCD) Vì ABCDABCD nửa lục giác nên AD=DC=CB=a.AD=DC=CB=a Dựng đường thẳng qua AA vng góc với (SCD).(SCD) Trong mặt phẳng (ABCD) (ABCD) dựng AH⊥CDAH⊥CD HH ⇒CD⊥(SAH).⇒CD⊥(SAH) Trong mặt phẳng (SAH) (SAH) dựng AP⊥SHAP⊥SH ⇒CD⊥AP⇒CD⊥AP ⇒AP⊥(SCD).⇒AP⊥(SCD) Dựng đường thẳng qua AA vng góc với (SBC).(SBC) Trong mặt phẳng (SAC)(SAC) dựng AQ⊥SC.AQ⊥SC Lại có AQ⊥BCAQ⊥BC {BC⊥ACBC⊥SA{BC⊥ACBC⊥SA ⇒BC⊥(SAC)⇒BC⊥ (SAC) ⇒BC⊥AQ.⇒BC⊥AQ Vậy AQ⊥(SBC).AQ⊥(SBC) Suy góc hai mặt phẳng (SBC)(SBC) (SCD)(SCD) góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng APAP AQ.AQ Ta tính góc ˆPAQPAQ^, có AH=√AD2–HD2AH=AD2–HD2 =√a2– a24=a√32.=a2–a24=a32 ⇒1AP2=1AS2+1AH2⇒1AP2=1AS2+1AH2 ⇒AP=a√3√5.⇒AP=a35 Tam giác SACSAC vuông cân AA ⇒AQ=SC2=a√62.⇒AQ=SC2=a62 ΔAPQΔAPQ vuông PP ⇒cosˆPAQ=APAQ=√105⇒cos⁡PAQ^=APAQ=105 ⇒ˆPAQ⇒PAQ^ =arc cos√105.=arccos105 Ví dụ Cho hình chóp S.ABCS.ABC có đáy ABCABC tam giác vuông cân với BA=BC=aBA=BC=a, SA⊥(ABC)SA⊥(ABC), SA=a.SA=a Gọi E,FE,F lầ n lượt trung điểm cạnh AB,AC.AB,AC Tính cosin góc hai mặt phẳng (SEF)(SEF) (SBC).(SBC) Nhận xét: Giao tuyến hai mặt phẳng (SEF)(SEF) (SBC)(SBC) đường thẳng StSt qua SS song song với EFEF BCBC nên ta xác định hai đường thẳng qua SS nằm hai mặt phẳng (SEF)(SEF) (SBC)(SBC) vuông góc với StSt (ta chứng minh hai đường thẳng SESE SBSB) Vì ⎧⎪⎨⎪⎩EF⊂(SEF)BC⊂(SBC)EF//BC{EF⊂(SEF)BC⊂(SBC)EF//BC ⇒ giao tuyến (SEF)(SEF) (SBC)(SBC) đường thẳng qua SS, song song với BCBC, St.St Ta có {BC⊥ABBC⊥SA(vìSA⊥(ABC)) {BC⊥ABBC⊥SA(vìSA⊥(ABC)) ⇒BC⊥(SAB)⇒BC⊥(SAB) ⇒BC⊥SB⇒BC⊥ SB hay St⊥SB.St⊥SB Tương tự EF⊥(SAE)EF⊥(SAE) ⇒EF⊥SE⇒EF⊥SE mà EF//StEF//St ⇒St⊥SE.⇒St⊥ SE Vậy SBSB SESE qua SS vng góc với StSt nên góc hai mặt phẳng (SEF)(SEF) (SBC)(SBC) góc hai đường thẳng SBSB SE.SE Ta tính góc ˆBSE.BSE^ Có SE=√SA2+AE2=a√52SE=SA2+AE2=a52; SB=√SA2+AB2=a√2SB=SA 2+AB2=a2; BE=a2.BE=a2 Theo định lí cosin ta có: cosˆBSE=SE2+SB2–BE22.SE.SBcosBSE^=SE2+SB2– BE22.SE.SB =3√10=310 ⇒ˆBSE=arccos3√10.⇒BSE^=arccos⁡310 Ví dụ Cho hình chóp S.ABCS.ABC có đáy ABCABC tam giác vng cân BB, SA=aSA=a SA⊥(ABC)SA⊥(ABC), AB=BC=a.AB=BC=a Tính góc hai mặt phẳng (SAC)(SAC) (SBC).(SBC) Nhận xét: Ta áp dụng phương pháp (trường hợp đặc biệt) Ta có (SAC)∩(SBC)=SC.(SAC)∩(SBC)=SC Gọi FF trung điểm ACAC ⇒BF⊥(SAC).⇒BF⊥(SAC) Dựng BK⊥SCBK⊥SC KK ⇒SC⊥(BKF)⇒SC⊥(BKF) ⇒ˆ((SAC), (SBC))⇒((SAC),(SBC))^ =ˆ(KB,KF)=ˆBKF.=(KB,KF)^=BKF^ ΔCFK∼ΔCSA⇒FKFC=SASCΔCFK∼ΔCSA⇒FKFC=SASC ⇒FK=FC.SASC⇒FK=F C.SASC =a√22.aa√3=a√6.=a22.aa3=a6 ΔBFKΔBFK vuông FF ⇒tanˆBKF=FBFK⇒tan⁡BKF^=FBFK =a√22a√6=√3=a22a6=3 ⇒ˆBKF=6 0∘⇒BKF^=60∘ =ˆ((SAC),(SBC)).=((SAC),(SBC))^ Ví dụ Cho hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy ABCDABCD nửa lục giác nội tiếp đường tròn đường kính AB=2aAB=2a, SASA vng góc với (ABCD) (ABCD) SA=a√3.SA=a3 Tính tan góc hai mặt phẳng (SAD) (SAD) (SBC).(SBC) Gọi I=AD∩BCI=AD∩BC, ABCDABCD nửa lục nên AD=DC=CB=aAD=DC=CB=a, AI=IB=a.AI=IB=a giác (SAD)∩(SBC)=SI(SAD)∩(SBC)=SI ⇒{BD⊥SABD⊥AD⇒{BD⊥SABD⊥AD ⇒BD⊥(SAD)⇒BD⊥SI.⇒BD⊥(SAD)⇒BD⊥SI Vì theo trường hợp đặc biệt ta cần dựng DE⊥SIDE⊥SI với E∈SI.E∈SI Khi đó, SI⊥(BED)SI⊥(BED) ⇒(ˆ(SAD),(SSBC))=(ˆEB,ED)⇒((SAD), (SSBC)^)=(EB,ED^) =ˆBED=BED^ (Vì ΔBEDΔBED vng DD) ΔAIBΔAIB nên BD=a√3.BD=a3 SI=√SA2+AI2=a√7.SI=SA2+AI2=a7 Hai tam giác vuông SAISAI DEIDEI đồng dạng nên: DESA=DISI⇒DE=a√3√7.DESA=DISI⇒DE=a37 ΔBDEΔBDE vng DD ⇒tanˆBED=BDDE=√7.⇒tan⁡BED^=BDDE=7 Ví dụ Cho tam giác ABCABC vng cân AA có AB=aAB=a, đường thẳng dd vng góc với (ABC)(ABC) điểm AA ta lấy điểm D.D Tính góc hai mặt phẳng (ABC)(ABC) (DBC)(DBC), trường hợp (DBC)(DBC) tam giác Gọi φφ góc hai mặt phẳng (ABC)(ABC) (DBC).(DBC) Theo cơng thức diện tích hình chiếu đa giác, ta có: SΔABC=SΔDBC.cosφ.SΔABC=SΔDBC.cosφ Mà: SΔDBC=12DB.DC.sin600SΔDBC=12DB.DC.sin600 =12a√2.a√2.√32=a2 √32.=12a2.a2.32=a232 Mặt khác: SΔABC=12AB.AC=12a2.SΔABC=12AB.AC=12a2 ⇒cosφ=SΔABCSΔDBC=√33⇒cos⁡φ=SΔABCSΔDBC=33 ⇒φ=arccos√33.⇒φ=arcc os⁡33 Ví dụ Cho lăng trụ đứng OAB.O′A′B′OAB.O′A′B′ có đáy tam giác vuông cân OA=OB=a,AA′=a√2.OA=OB=a,AA′=a2 Gọi M,PM,P trung điểm cạnh OA,AA′.OA,AA′ Tính diện tích thiết diện cắt lăng trụ (B′MP).(B ′MP) Gọi RR giao điểm MPMP OO′OO′, QQ giao điểm B′RB′R với OB.OB Thiết diện tứ giác MPB′QMPB′Q, ta có: OQO′B′=RORO′=13OQO′B′=RORO ′=13 ⇒OQ=a3.⇒OQ=a3 Tứ giác AMQBAMQB hình chiếu vng góc tứ giác PMQB′PMQB′ mặt phẳng (OAB)(OAB) nên: SPMQB′=SAMQBcosφ.SPMQB′=SAMQBcosφ Với φφ góc tạo hai mặt phẳng (OAB)(OAB) (MPB′Q).(MPB′Q) Ta có: SAMQB=SOAB–SOMQSAMQB=SOAB–SOMQ =12a2– 112a2=512a2.=12a2–112a2=512a2 Hạ OH⊥MQOH⊥MQ, ta có: {MQ⊥OHMQ⊥OR⇒MQ⊥(OHR) {MQ⊥OHMQ⊥OR⇒MQ⊥(OHR) Vậy: φ=ˆOHRφ=OHR^ (ˆOHROHR^ nhọn) Ta có: cosφ=cosˆOHR=OHRHcosφ=cosOHR^=OHRH =OH√OH2+OR2=OHO H2+OR2 =a√13√a213+a22=√2√15.=a13a213+a22=215 Vậy: SPMQB′=5a2√1512√2.SPMQB′=5a215122 Ví dụ Cho lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ABC.A′B′C′ có đáy ABCABC tam giác cân với AB=AC=a,ˆBAC=1200,AB=AC=a,BAC^=1200, cạnh bên BB ′=a.BB′=a Gọi II trung điểm CC′.CC′ Chứng minh tam giác AB′IAB′I vng A Tính cosin góc hai mặt phẳng (ABC)(ABC) (AB′I).(AB′I) Áp dụng định lý cosin cho ΔABCΔABC ta có: BC2=a2+a2– 2a2cos1200BC2=a2+a2–2a2cos1200 =3a2.=3a2 Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác: ΔB′BAΔB′BA: B′A2=2a2.B′A2=2a2 ΔICAΔICA: AI2=a2+(12)2=5a24.AI2=a2+(12)2=5a24 ΔB′C′IΔB′C′I: B′I2=3a2+a24=13a24.B′I2=3a2+a24=13a24 Ta có: B′A2+AI2=2a2+5a24B′A2+AI2=2a2+5a24 =13a24=B′I2⇒ΔAB ′I=13a24=B′I2⇒ΔAB′I vng A.A Ta có: SΔAB′I=12AI.AB′SΔAB′I=12AI.AB ′ =12.a√52.a√2=a2√104.=12.a52.a2=a2104 SΔABC=12a2sin1200=a2√34.SΔABC=12a2sin1200=a234 Gọi φφ góc hai mặt phẳng (ABC)(ABC) (AB′I).(AB′I) Khi đó: cosφ=SΔABCSΔABI′cosφ=SΔABCSΔABI′ =a2√34a2√104=√3√10=√3010  ... AB=aAB=a, đường thẳng dd vng góc với (ABC)(ABC) điểm AA ta lấy điểm D.D Tính góc hai mặt phẳng (ABC)(ABC) (DBC)(DBC), trường hợp (DBC)(DBC) tam giác Gọi φφ góc hai mặt phẳng (ABC)(ABC) (DBC).(DBC)... EF//StEF//St ⇒St⊥SE.⇒St⊥ SE Vậy SBSB SESE qua SS vng góc với StSt nên góc hai mặt phẳng (SEF)(SEF) (SBC)(SBC) góc hai đường thẳng SBSB SE.SE Ta tính góc ˆBSE.BSE^ Có SE=√SA2+AE2=a√52SE=SA2+AE2=a52;... AB,AC.AB,AC Tính cosin góc hai mặt phẳng (SEF)(SEF) (SBC).(SBC) Nhận xét: Giao tuyến hai mặt phẳng (SEF)(SEF) (SBC)(SBC) đường thẳng StSt qua SS song song với EFEF BCBC nên ta xác định hai đường