CƯA ĐỔ HÌNH KHƠNG GIAN BÀI TỐN TÍNH GĨC GIỮA HAI MẶT PHẲNG Tạp chí tư liệu tốn học Bài tốn tính góc hai mặt phẳng tốn tương đối khó nằm mức vận dụng vận dụng cao, bên cạnh phương pháp truyền thống dựng hình tạo góc chủ đề tuần ta tìm hiểu tới phương pháp giải toán trắc nghiệm nói gần tốn tính góc mặt phẳng mà ta hay gặp Bản pdf đăng blog Chinh phục Olympic toán bạn ý đón đọc nhé! I CÁC PHƯƠNG PHÁP XỬ LÝ SỬ DỤNG CƠNG THỨC HÌNH CHIẾU Đây tính chất chương trình hình học 11 mà ta cần nắm rõ, cơng Nội dung Cho hình S thuộc mặt phẳng P , hình S ' hình chiếu S lên mặt phẳng Q , ta có cosin góc hai mặt phẳng P Q tính theo cơng thức cos S' S Sau ví dụ minh họa cho cơng thức Bài tốn Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB a;AD 2a AA ' 4a Gọi M,N,P thuộc cạnh AA’, DD’, BB’ cho MA MA ' , ND 3ND ' , PB' 3PB , mặt phẳng MNP cắt cạnh CC; Q Tính cosin góc MNQP ; ABCD Hướng dẫn v Đầu tiên ta cần phải ý tới cách dựng A' điểm Q Kẻ đường nối tâm đáy , ta thấy PN thuộc mặt phẳng B'D'DB nên cắt PN, đồng thời P, M, N thuộc mặt phẳng nên nối M vs giao điểm vừa tìm ta điểm C'Q Q Vấn đề ta cần tính tỷ số , ta CQ sử dụng tới tính chất sau A'M B'P C'Q D'N Đặt x , ,y ,z ,t AA' B'B C'C D'D D' C' B' M P B N Q D A C ta có cơng thức cần nhớ sau: VA'B'C'D'.MPQN x y z t VA'B'C'D'.ABCD xz yt Điều ta biết giọt nước, điều ta chưa biết đại dương – Newton TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC thức đơn giản sau GĨC VÀ KHOẢNG CÁCH Áp dụng vào toán ta suy C'Q Để ý ta thấy MN PQ, MP QN nên MNQP CC' hình bình hành Dễ dàng tính đoạn thẳng 1 10 MN PQ 2 1 13 MP QN 12 Mặt khác MQ đường trung bình A'C'CA MQ Từ dùng công thức Herong dễ dàng tính S MNQP 1 AC 22 2 599 48 CHINH PHỤC OLYMPIC TỐN Mặt khác hình chữ nhật ABCD hình chiếu hình bình hành MNQP lên mặt phẳng ABCD nên áp dụng cơng thức cần ta có cos MNQP ; ABCD S ABCD 599 S MNQP 96 SỬ DỤNG CƠNG THỨC GĨC NHỊ DIỆN Đây công cụ mạnh để giải tốn tính góc mặt phẳng, hầu hết toán đơn giản hay đến phức tạp giải phương pháp này, sau ta tìm hiểu Trong phần hướng dẫn bước làm cho bạn! Các bước thực Bước 1: Đưa góc hai mặt phẳng góc hai mặt phẳng kề tứ diện Chú ý điều thực Bước 2: Sử dụng công thức: V 2S S sin Trong S , S diện tích hai tam 3a giác kề tứ diện, a độ dài giao tuyến, góc hai mặt phẳng cần tìm Bài tốn Cho tứ diện S.ABC, SA a; SB 2a; SC 3a;ASB 60 o ; BSC 90 o ; CSA 120 o Tính cosin SAB ; SBC Hướng dẫn Tinh hoa tốn học nằm tự – Georg Cantor CƯA ĐỔ HÌNH KHƠNG GIAN u cầu đề tính góc hai mặt phẳng theo S bước ta phải đưa tứ diện với khỏi thuộc tứ diện sẵn Giờ ta phải tính thể tích khối tứ diện Đầu tiên phải ý đến giả thiết, với mà cho độ dài cạnh bên với C' lại góc ý ta phải dựng chóp tam giác khác cách lấy SB,SB điểm B’, C’ cho SB ' a, SC ' a ta S.AB’C’ chóp tam giác A C B' ta tính thể tích nó, xong sau đótìm dùng B cơng thức tỷ số thể tích tính VS.ABC Đó cách làm truyền thống, thi trắc nghiệm nhớ cơng thức tính thể Tứ diện S.ABC có SA a, SB b, SC c,ASB , BSC , CSA thể tích là: 2 V abc cos cos cos cos cos cos Áp dụng vào ta tính thể tích VS.ABC a Đồng thời có giả thiết góc suy tất cạnh ta tính diện tích hai tam giác là: S SAB a2 ; S SBC 3a ; SB Tương vào cơng thức tavcó sin SAB ; SBC cos SAB ; SBC 3 Xong nhé! đơn giản khơng Bài tốn Cho tứ diện ABCD, BC 3, CD 4,ABC BCD ADC 90o , AD, BC 60 o Tính cos ABC ; ACD Hướng dẫn Một tốn tương đối khó phải khơng nào? Điều ta biết giọt nước, điều ta chưa biết đại dương – Newton TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC tích sau: GĨC VÀ KHOẢNG CÁCH Ở tốn ta bạn có nhớ đến định lý ba đường A vng góc khơng??? Theo giả thiết có phải tam giác BCD vng C khơng? Tiếp theo hai góc ABC, ADC vng điều chứng tỏ hình chiếu AB lên BDC vng góc BC, hình chiếu AD E lên BDC vuông với CD, nhỉ? Đến cần tìm điểm E cho E hình chiếu A lên BDC có phải từ B kẻ vng góc với BC, D kẻ vng góc B với CD ta điểm E cần tìm ko? Oh khơng D C AE vng góc với mặt phẳng BCD CHINH PHỤC OLYMPIC TỐN Đến quy tốn q bình thường, chuyển góc hai mặt phẳng cần tính tứ diện bạn Phần lại nhường nhé! Bài toán Cho lăng trụ tam giác Gọi M,N,P trung điểm cạnh A’B’, A’C’, BC AB ;AA ' Tính cosin góc AB'C ' ; MNP Hướng dẫn Câu đề ngắn gọn, câu 47 đề minh họa 2018 vào tháng tức câu điểm 9,4 :V Nói chung khơng đơn giản tẹo Tuy nhiên ta bám sát vào phương pháp để làm! Đầu tiên phải đưa tứ diện nhỉ? Điều làm ta E phải tìm mặt phẳng song song với mặt phẳng ABC’ thôi, cách lấy trung điểm AA’ ta chuyển tính góc MNQ ; MNP Cơng việc D C' hướng dẫn cho bạn nhé, mấu chốt tính thể N tích khối MNPQ khơng, nhìn hình vẽ nhé, đưa tính thể tích khối Q.PDE, khối B' bạn tính đơn giản thơi khoảng cách A' M từ Q tới mp DECB khoảng cách từ A’ tới mp DECB, từ A’ kẻ vng góc với B’C’ okie! Tóm lại Q thể tích tính được, xong sau sài cơng thức tỷ số C thể tích ta tính V MNPQ lại việc tính cạnh thơi, phần bạn nhé, kỹ tính tốn thơi nha Nếu có khiếu hình học P B Tinh hoa tốn học nằm tự – Georg Cantor A CƯA ĐỔ HÌNH KHƠNG GIAN câu tương đối dễ làm, tham khảo cách làm mạng nha giải nhiều rồi! SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HĨA Nói chung phương pháp mạnh, nhiên nhược điểm phải nhớ cơng thức tính cồng kềnh áp dụng cho trường hợp ta dựng tốn có yếu tố đường vng góc! Đầu tiên ta cần nhớ tới cơng thức cần thiết chương hình học Oxyz sau Gọi góc mặt phẳng P : ax by cz d 0, Q : a'x b'y c'z d' cos cos n P , n Q n P n Q nP nQ AA ' BB' CC ' A B C 2 90 o A ' B' C ' 2 Bước 1: Xác định đường vuông góc chung Bước 2: Gắn hệ trục tọa độ Oxyz, coi giao điểm đường vng góc chung gốc tọa độ Bước 3: Từ giả thiết tìm tọa độ điểm có liên quan tới giả thiết Bước 4: Áp dụng cơng thức cần tính để suy kết Kinh nghiệm Theo kinh nghiệm tốn có giả thiết liên quan tới hình hộp chữ nhật, hình lập phương thì ta nên sử dụng phương pháp tọa độ hóa, ngồi có yếu tố cạnh chóp vng góc với đáy hay liên quan tới lăng trụ đứng ta sử dụng phương pháp nàyv tùy vào mà ta có hướng khác nhau, sử dụng phương pháp sử dụng phương pháp 1, tùy vào kỹ người làm Sau ta tìm hiểu ví dụ minh họa Bài tốn Cho hình lập phương ABCD.A 'B'C 'D ' có cạnh Gọi I, I’ trọng tâm tam giác ACD tam giác A’C’D’, H tâm hình vng ABCD Trên cạnh II’ lấy điểm G cho I 'G 2IG Tính cosin góc hai mặt phẳng GAC , GA 'B' Hướng dẫn Điều ta biết giọt nước, điều ta chưa biết đại dương – Newton TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC Cách thực GĨC VÀ KHOẢNG CÁCH z A' D' I' B' C' G y A CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN B H D I C x Đây tốn khó, tất nhiên phương pháp hay phương pháp khó để sử dụng được, ta nghĩ tới phương pháp – gắn trục tọa độ Với tốn tìm đường vng góc chung khơng khó, ta coi trục tọa độ hình vẽ gốc tọa độ trùng điểm A Khi ta có tọa độ điểm sau: 1 1 A' 0; 0; , B' 1; 0; ; G ; ; , C 1; 1; 3 3 Vậy ta tính vecto pháp tuyến mặt phẳng 1 n GAC GA; GC ; ; 1; 1; 3 1 n GA'B' GA'; GB' 0; ; 0; 2; 3 Đến áp dụng công thức ta có cosin góc mặt phẳng GAC , GA 'B' cos 1.0 1.2 0.1 12 2 2 10 Đến tốn giải hồn toàn Chú ý Phương pháp gắn tọa độ nhiều tác giả nhiều viết mạng nói đầy đủ chi tiết phương pháp này, cuối viết có link để bạn tham khảo Tóm lại Qua phương pháp đề cập tới hẳn phần giúp bạn khơng sợ dạng tốn này, khơng có phương pháp ưu việt tuyệt đối cần phải vận dụng linh hoạt phương pháp với nhau, đồng thời phải nắm vững nhiều mảng kiến thức làm tốt Sau tập cho bạn rèn luyện Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor CƯA ĐỔ HÌNH KHƠNG GIAN II BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông B, BC a , mặt phẳng (A’BC) tạo với đáy góc tam giác A’BC có diện tích a Biết AA'.S ABC 3a 3 Giá trị P sin bao nhiêu? Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cân A, AB AC 2a , BC 2a Tam giác SBC thuộc mặt phẳng vng góc với đáy Tính cosin góc SAB ; SAC Bài 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình vng, AC ' a Gọi P mặt phẳng qua AC’ cắt BB', D D ' M,N cho tam giác AMN cân A có MN a Tính cos P ; ABCD , SA SA;ACB 30 o Biết khoảng hai đường thẳng SA BC 3a Tính cos SAC ; SBC Bài 5: Cho hình chóp S.ABC, SA vng góc với đáy, ABC tam giác vng cân đỉnh C Giả sử SC a , tìm góc hai mặt phẳng SBC ; ABC để thể tích khối chóp S.ABC đạt giá trị lớn Tìm giá trị lớn Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi có BAD 120 o , hình chiếu vng góc điểm H mặt phẳng đáy trùng với trọng tâm tam giác ABC, biết đường cao v a khối chóp SH tam giác SBD vng S Tính góc mặt phẳng SAD , SCD Bài 7: Cho tứ diện ABCD có AB CD a; BC AD 2a; BD AC a Trên AB,AC,AD lấy điểm M,N,P cho MA MB; NA 2NC; PA 3PD Tính cosin góc hai mặt phẳng MNP ; AMP Bài 8: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a, AA ' 2a Trên AA’, BB’, CC’ lấy điểm M,N,P cho MA MA ' ; NB 2NB'; PC 3PC ' Tính cosin góc hai mặt phẳng ANP ; MNP Bài 9: Cho chóp S.ABCD có SA vng góc với đáy, ABCD hình thang vuông A,D cho AD 2AB 2BC 2a , SA 2a Gọi M,N trung điểm AB, SC Tính cosin góc hai mặt phẳng MND ; CSD Bài 10: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB a;AD 2a AA ' 4a Gọi M,N,P thuộc cạnh AA’, DD’, BB’ cho MA MA ' , ND 3ND ' , PB' 3PB , mặt phẳng MNP cắt cạnh CC; Q Tính cosin góc hai mặt phẳng MNQP ; AQP Điều ta biết giọt nước, điều ta chưa biết đại dương – Newton TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng A, có AB a , SA SB GĨC VÀ KHOẢNG CÁCH Bài 11: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cân với điều kiện AB AC a, BAC 120 , cạnh bên BB ' a Gọi I trung điểm CC’ Chứng minh tam giác AB’I vuông A Tính cosin góc hai mặt phẳng ABC , AB'I Bài 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy nửa lục giác nội tiếp đường tròn đường kính AB 2a , SA vng góc với đáy SA a Tính tan góc SAD , SBC Bài 13: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, SA ABC , SA a Gọi E,F trung điểm AB,AC Tính cosin góc SEF , SBC Bài 14: Cho lăng trụ đứng ABC.A 'B'C ' có đáy tam giác vuông A Gọi G trọng tâm tam giác ABC, M trung điểm A 'B ' , I trung điểm GM Tính cosin góc mặt phẳng IB'C' , ICA CHINH PHỤC OLYMPIC TỐN Bài 15: Cho hình lập phương ABCD.A 'B'C 'D có tâm O Gọi I tâm hình vng A 'B'C 'D M điểm thuộc đoạn thẳng OI cho MO 2MI Tính cosin góc mặt phẳng MC 'D' , MAB Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor ... tốn tính góc mặt phẳng, hầu hết tốn đơn giản hay đến phức tạp giải phương pháp này, sau ta tìm hiểu Trong phần hướng dẫn bước làm cho bạn! Các bước thực Bước 1: Đưa góc hai mặt phẳng góc hai mặt. .. kẻ vng góc với BC, D kẻ vng góc B với CD ta điểm E cần tìm ko? Oh khơng D C AE vng góc với mặt phẳng BCD CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN Đến quy tốn q bình thường, chuyển góc hai mặt phẳng cần tính tứ... Tính góc mặt phẳng SAD , SCD Bài 7: Cho tứ diện ABCD có AB CD a; BC AD 2a; BD AC a Trên AB,AC,AD lấy điểm M,N,P cho MA MB; NA 2NC; PA 3PD Tính cosin góc hai mặt phẳng