Bài toán tính góc giữa hai mặt phẳng

Bài toán tính góc giữa hai mặt phẳng là những bài toán tương đối khó và nằm ở mức vận dụng và vận dụng cao, bên cạnh những phương pháp truyền thống như dựng hình tạo góc thì trong chủ [r]

BÀI TỐN TÍNH GĨC GIỮA HAI MẶT PHẲNG

Tạp chí tư liệu tốn học

Bài tốn tính góc hai mặt phẳng tốn tương đối khó nằm mức vận dụng vận dụng cao, bên cạnh phương pháp truyền thống dựng hình tạo góc chủ đề tuần ta tìm hiểu tới phương pháp giải toán trắc nghiệm nói gần tốn tính góc mặt phẳng mà ta hay gặp Bản pdf đăng blog Chinh phục Olympic toán các bạn ý đón đọc nhé!

I CÁC PHƯƠNG PHÁP XỬ LÝ

1 SỬ DỤNG CÔNG THỨC HÌNH CHIẾU

Đây tính chất chương trình hình học 11 mà ta cần nắm rõ, cơng thức đơn giản sau

Nội dung Cho hình S thuộc mặt phẳng  P , hình S ' hình chiếu S lên mặt phẳng  Q , ta có cosin góc hai mặt phẳng  P  Q tính theo cơng thức cos S'

S

  Sau ví dụ minh họa cho cơng thức

Bài tốn

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB a;AD 2a  AA' 4a Gọi M,N,P thuộc cạnh AA’, DD’, BB’ cho MA MA' , ND 3ND' ,PB' 3PB , mặt phẳng

MNP cắt cạnh CC; Q Tính cosin góc MNQP ; ABCD   Hướng dẫn

Đầu tiên ta cần phải ý tới cách dựng điểm Q Kẻ đường nối tâm đáy   , ta thấy PN thuộc mặt phẳng B'D'DB nên   cắt PN, đồng thời P, M, N thuộc mặt phẳng nên nối M vs giao điểm vừa tìm ta điểm Q Vấn đề ta cần tính tỷ số C'Q

CQ , ta

sẽ sử dụng tới tính chất sau

Đặt x A'M, y B'P,z C'Q, t D'N

AA' B'B C'C D'D

    ,

ta có cơng thức cần nhớ sau:

 A'B'C'D'.MPQN A'B'C'D'.ABCD

V x y z t

V

   

 x z y t  

Q M

B' C'

D' A'

A D

C B

P

2 Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor

Áp dụng vào toán ta suy C'Q

CC' 2 Để ý ta thấy MN PQ,MP QN nên MNQP

là hình bình hành Dễ dàng tính đoạn thẳng



2

1 10

MN PQ

2 3

  

         

 



2

1 13

MP QN

2 3

  

         

 

Mặt khác MQ đường trung bình A'C'CA MQ 1AC 12 22

2 2

    

Từ dùng công thức Herong dễ dàng tính SMNQP 599 48



Mặt khác hình chữ nhật ABCD hình chiếu hình bình hành MNQP lên mặt phẳng

ABCD nên áp dụng cơng thức cần ta có     ABCD

MNQP

S 599

cos MNQP ; ABCD

S 96

 

2 SỬ DỤNG CƠNG THỨC GĨC NHỊ DIỆN

Đây công cụ mạnh để giải tốn tính góc mặt phẳng, hầu hết toán đơn giản hay đến phức tạp giải phương pháp này, sau ta tìm hiểu Trong phần hướng dẫn bước làm cho bạn!

Các bước thực

Bước 1: Đưa góc hai mặt phẳng góc hai mặt phẳng kề tứ diện Chú ý điều thực

Bước 2: Sử dụng công thức: V 2S S sin1 3a



 Trong S , S1 diện tích hai tam

giác kề tứ diện, a độ dài giao tuyến, cịn  góc hai mặt phẳng cần tìm

Bài toán

Cho tứ diện S.ABC, SA a; SB 2a; SC 3a;ASB 60 ;BSC 90 ;CSA 120    o  o  o Tính cosin

   

 SAB ; SBC 

Yêu cầu đề tính góc hai mặt phẳng theo bước ta phải đưa tứ diện với khỏi thuộc tứ diện sẵn  Giờ ta phải tính

thể tích khối tứ diện Đầu tiên phải ý đến giả thiết, với mà cho độ dài cạnh bên góc ý ta phải dựng chóp tam giác khác cách lấy SB,SB điểm B’, C’ cho

SB' a, SC' a  ta S.AB’C’ chóp tam giác ta tính thể tích nó, xong sau đótìm dùng cơng thức tỷ số thể tích tính VS.ABC

Đó cách làm truyền thống, cịn thi trắc nghiệm nhớ cơng thức tính thể tích sau:

Tứ diện S.ABC có SA a, SB b, SC c,ASB    ,BSC ,CSA  thể tích là:

     

1       2  2 

V abc cos cos cos cos cos cos

6

Áp dụng vào ta tính thể tích VS.ABC a

2

Đồng thời có giả thiết góc suy tất cạnh ta tính diện tích hai

tam giác là:   

SAB SBC

a

S ; S 3a ; SB

2

Tương vào cơng thức ta có sin SAB ; SBC    2 cos SAB ; SBC   

3

Xong nhé!  đơn giản khơng Bài tốn

Cho tứ diện ABCD, BC 3,CD 4,ABC BCD ADC 90 , AD,BC     o  60o Tính

   

 

cos ABC ; ACD

Hướng dẫn

Một toán tương đối khó phải khơng nào?

A C

B S

B'

4 Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor

Ở tốn ta bạn có nhớ đến định lý ba đường vng góc khơng??? Theo giả thiết có phải tam giác BCD vuông C không? Tiếp theo hai góc ABC, ADC vng điều chứng tỏ hình chiếu AB lên BDC vng góc BC, hình chiếu AD lên BDC vuông với CD, nhỉ? Đến cần

tìm điểm E cho E hình chiếu A lên BDC

có phải từ B kẻ vng góc với BC, D kẻ vng góc với CD ta điểm E cần tìm ko? Oh khơng AE cịn vng góc với mặt phẳng BCD

Đến quy tốn q bình thường, chuyển góc hai mặt phẳng cần tính tứ diện bạn  Phần lại nhường nhé!

Bài toán

Cho lăng trụ tam giác Gọi M,N,P trung điểm cạnh A’B’, A’C’, BC

 

AB 3;AA' Tính cosin góc AB'C' ; MNP   Hướng dẫn

Câu đề ngắn gọn, câu 47 đề minh họa 2018 vào tháng tức câu điểm 9,4 :V Nói chung khơng đơn giản tẹo Tuy nhiên ta bám sát vào phương pháp để làm!

Đầu tiên phải đưa tứ diện nhỉ? Điều làm ta phải tìm mặt phẳng song song với mặt phẳng ABC’ thôi, cách lấy trung điểm AA’ ta chuyển tính góc MNQ ; MNP   Cơng việc hướng dẫn cho bạn nhé, mấu chốt tính thể tích khối MNPQ khơng, nhìn hình vẽ nhé, đưa tính thể tích khối Q.PDE, khối bạn tính đơn giản thơi khoảng cách từ Q tới mp DECB khoảng cách từ A’ tới mp DECB, từ A’ kẻ vng góc với B’C’ okie! Tóm lại thể tích tính được, xong sau sài cơng thức tỷ số thể tích ta tính V MNPQ cịn lại việc tính cạnh thơi, phần bạn nhé, kỹ tính tốn thơi nha  Nếu có khiếu hình học

B D

C

E A

N M

Q

P

A' C'

B'

B A

C D

câu tương đối dễ làm, tham khảo cách làm mạng nha giải nhiều rồi!

3 SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HĨA

Nói chung phương pháp mạnh, nhiên nhược điểm phải nhớ cơng thức tính cồng kềnh áp dụng cho trường hợp ta dựng tốn có yếu tố đường vng góc!

Đầu tiên ta cần nhớ tới cơng thức cần thiết chương hình học Oxyz sau Gọi  góc mặt phẳng  P : ax by cz d 0, Q : a'x b'y c'z d' 0         

  P Q  o

P Q 2 2 2 2 2 2

P Q

n n AA' BB' CC'

cos cos n , n 90

n n A B C A' B' C'

 

       

   

Cách thực

 Bước 1: Xác định đường vng góc chung

 Bước 2: Gắn hệ trục tọa độ Oxyz, coi giao điểm đường vng góc chung gốc tọa độ

 Bước 3: Từ giả thiết tìm tọa độ điểm có liên quan tới giả thiết

 Bước 4: Áp dụng công thức cần tính để suy kết

Kinh nghiệm

Theo kinh nghiệm tốn có giả thiết liên quan tới hình hộp chữ nhật, hình lập phương thì ta nên sử dụng phương pháp tọa độ hóa, ngồi có yếu tố cạnh chóp vng góc với đáy hay liên quan tới lăng trụ đứng ta sử dụng phương pháp tùy vào mà ta có hướng khác nhau, sử dụng phương pháp sử dụng phương pháp 1, tùy vào kỹ người làm Sau ta tìm hiểu ví dụ minh họa

Bài tốn

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh Gọi I, I’ trọng tâm tam giác ACD tam giác A’C’D’, H tâm hình vng ABCD Trên cạnh II’ lấy điểm G cho I'G 2IG Tính cosin góc hai mặt phẳng GAC , GA'B'  

6 Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor

Đây tốn khó, tất nhiên phương pháp hay phương pháp khó để sử dụng được, ta nghĩ tới phương pháp – gắn trục tọa độ Với toán tìm đường vng góc chung khơng khó, ta coi trục tọa độ hình vẽ gốc tọa độ trùng điểm A Khi ta có tọa độ điểm sau:

    1 A' 0;0;1 ,B' 1;0;1 ;G ; ;

3 3

   

 ,C 1;1;0 

Vậy ta tính vecto pháp tuyến mặt phẳng

GAC  

1

n GA;GC ; ;0 1;1;0

3

 

 

       

GA'B'  

2

n GA';GB' 0; ; 0;2;1 3

 

 

     

Đến áp dụng cơng thức ta có cosin góc mặt phẳng GAC , GA'B'  

2 2 2

1.0 1.2 0.1 10 cos

5 1

  

  

   

Đến toán giải hoàn toàn

Chú ý Phương pháp gắn tọa độ nhiều tác giả nhiều viết mạng nói đầy đủ chi tiết phương pháp này, cuối viết có link để bạn tham khảo

Tóm lại Qua phương pháp đề cập tới hẳn phần giúp bạn không cịn sợ dạng tốn này, khơng có phương pháp ưu việt tuyệt đối cần phải vận dụng linh hoạt phương pháp với nhau, đồng thời phải nắm vững nhiều mảng kiến thức làm tốt Sau tập cho bạn rèn luyện

z

y

x B

D A

A' D'

C' B'

H

I'

I G

II BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông B, BC a , mặt phẳng (A’BC) tạo với đáy góc  tam giác A’BC có diện tích a 32 Biết



ABC

3a AA'.S

2 Giá trị P sin 2  bao nhiêu?

Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cân A, AB AC 2a  , BC 2a 3 Tam

giác SBC thuộc mặt phẳng vng góc với đáy Tính cosin góc SAB ; SAC   Bài 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình vng, AC' a 2 Gọi

 P mặt phẳng qua AC’ cắt BB',D D' M,N cho tam giác AMN cân A có



MN a Tính cos P ; ABCD   

Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng A, có AB a , SA SB

  o

, SA SA;ACB 30 Biết khoảng hai đường thẳng SA BC 3a

4 Tính

   

 

cos SAC ; SBC

Bài 5: Cho hình chóp S.ABC, SA vng góc với đáy, ABC tam giác vuông cân đỉnh C Giả sử SC a , tìm góc hai mặt phẳng SBC ; ABC   để thể tích khối chóp S.ABC đạt giá trị lớn Tìm giá trị lớn

Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi có BAD 120 o, hình chiếu vng

góc điểm H mặt phẳng đáy trùng với trọng tâm tam giác ABC, biết đường cao khối chóp SHa

3 tam giác SBD vng S Tính góc mặt phẳng SAD , SCD  

Bài 7: Cho tứ diện ABCD có AB CD a;BC AD 2a;BD AC 3a      Trên AB,AC,AD lấy điểm M,N,P cho MA MB;NA 2NC;PA 3PD   Tính cosin góc hai mặt phẳng MNP ; AMP  

Bài 8: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a, AA' 2a Trên AA’, BB’, CC’ lấy điểm M,N,P cho MA MA' ;NB 2NB';PC 3PC'  Tính cosin góc hai mặt phẳng ANP ; MNP  

Bài 9: Cho chóp S.ABCD có SA vng góc với đáy, ABCD hình thang vng A,D cho AD 2AB 2BC 2a   , SA 2a Gọi M,N trung điểm AB, SC Tính cosin góc hai mặt phẳng MND ; CSD  

Bài 10: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB a;AD 2a  AA' 4a Gọi M,N,P

lần lượt thuộc cạnh AA’, DD’, BB’ cho MA MA' , ND 3ND' ,PB' 3PB , mặt

8 Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor

Bài 11: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’có đáy ABC tam giác cân với điều kiện

AB AC a,BAC 120 ,   cạnh bên BB' a GọiIlà trung điểmCC’ Chứng minh rằngtam

giácAB’I vng ởA Tínhcosincủa góc hai mặt phẳng ABC , AB'I   Bài 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy nửa lục giác nội tiếp đường trịn đường kính

AB 2a , SA vng góc với đáy SA a 3 Tính tan góc SAD , SBC  

Bài 13: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, SAABC, SA a Gọi E,F trung điểm AB,AC Tính cosin góc SEF , SBC  

Bài 14: Cho lăng trụ đứng ABC.A 'B'C' có đáy tam giác vuông A Gọi G trọng tâm tam giác ABC, M trung điểm A 'B', I trung điểm GM Tính cosin góc mặt

phẳng IB'C' , ICA  

Bài 15: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D có tâm O Gọi I tâm hình vng