SÁNG KIẾN vận dụng khoảng cách trong bài toán tính góc giữa hai mặt phẳng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: VẬN DỤNG KHOẢNG CÁCH TRONG BÀI TOÁN TÍNH GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG Năm học 2019 - 2020... Giả thiết khoa học Nếu đưa đề tài “

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI: VẬN DỤNG KHOẢNG CÁCH TRONG BÀI TOÁN TÍNH GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG

Năm học 2019 - 2020

MỤC LỤC

Trang

I ĐẶT VẤN ĐỀ

1 Lý do chọn đề tài

Trong quá trình giảng dạy, ôn thi THPT Quốc gia chúng ta thường gặp các bàitoán liên quan đến góc, trong đó có bài toán về góc giữa hai mặt phẳng Với nhiều họcsinh, cũng như giáo viên nhiều khi còn lúng túng trong việc xác định phương pháp đểgiải quyết bài toán Thông thường khi tính góc giữa hai mặt phẳng, chúng ta thường sửdụng định nghĩa, sử dụng cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau, phươngpháp tọa độ hóa…Tuy nhiên, trong quá trình giải có nhiều bài yêu cầu nhận định vàtính toán phức tạp, mất rất nhiều thời gian

Với những lý do trên, cùng với mong muốn góp phần phát triển tư duy, kỹ năngcho học sinh, tôi xin giới thiệu một phương pháp mà ít giáo viên và học sinh sử dụng

đó là “Vận dụng khoảng cách trong bài toán tính góc giữa hai mặt phẳng”

2 Mục tiêu, đối tượng nghiên cứu

Phát triển tư duy và rèn luyện kỹ năng giải các bài tập liên quan đến góc giữahai mặt phẳng cho học sinh khá, giỏi

Nâng cao hiệu quả trong việc ôn thi THPT Quốc gia

Đề tài áp dụng hiệu quả cho đối tượng học sinh khá, giỏi lớp 11, 12

3 Giả thiết khoa học

Nếu đưa đề tài “Vận dụng khoảng cách trong bài toán tính góc giữa hai mặt phẳng” vào giảng dạy ôn thi THPT Quốc gia sẽ tạo được hứng thú và kích thích sự

đam mê trong học tập bộ môn cho học sinh Đồng thời học sinh sẽ tự tin hơn trongviệc giải quyết các dạng bài tập mới Riêng về phần bài tập tính góc giữa hai mặtphẳng, học sinh sẽ khắc sâu kiến thức và có kỹ năng giải nhanh hơn không chỉ các bàitoán về góc mà cả những bài toán liên quan đến tính khoảng cách thường gặp trongcác đề thi

4 Dự báo những đóng góp của đề tài

Đề tài “Vận dụng khoảng cách trong bài toán tính góc giữa hai mặt phẳng”

giúp chúng ta nắm thêm một cách để tính góc giữa hai mặt phẳng, đồng thời củng cốthêm phương pháp tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng và mặt phẳng trongkhông gian Từ đó rèn luyện tư duy kỹ năng trong việc dạy và học toán

Đề tài giúp giải quyết các bài toán liên quan đến góc một cách nhanh chóng,đặc biệt trong những bài khó xác định góc giữa hai mặt phẳng thì đây thực sự là mộtcông cụ hữu hiệu

Qua một số bài tập điển hình được trình bày trong chuyên đề, các ví dụ đượcsắp xếp từ dễ đến khó sẽ giúp học sinh nhận ra được sự ưu việt khi vận dụng phươngpháp này vào giải quyết các bài tập

II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

1 Cơ sở lý thuyết

Phương pháp vận dụng khoảng cách trong bài toán tính góc giữa hai mặt phẳng

a φ β

α

K A

Bước 1: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng.

Bước 2: Chọn một điểm A bất kỳ thuộc một trong hai mặt phẳng và không nằm trên

giao tuyến, sau đó tính khoảng cách từ điểm A đến giao tuyến và mặt phẳng còn lại (Ở đây có rất nhiều cách lựa chọn điểm A, do đó học sinh sẽ tự tin hơn trong quá trình

tính toán của mình Thông thường để dễ dàng tính khoảng cách thì chúng ta vẫn hay

chọn điểm A là hình chiếu vuông góc của đỉnh xuống mặt đáy Tuy nhiên trong nhiều

bài toán thì phụ thuộc vào cách nhìn nhận của mỗi người, vấn đề chọn điểm này tôi sẽtrình bày ở phần nhận xét sau các bài tập cụ thể).

Bước 3: Thay vào công thức ( )1 tính và kết luận

2 Cơ sở thực tiễn

Trong quá trình ôn thi THPT Quốc gia tôi nhận thấy dạng bài tập liên quan đếngóc giữa hai mặt phẳng được khai thác khá nhiều trong các đề thi Tại đơn vị tôi côngtác, học sinh khi gặp dạng bài toán này thường hay lúng túng và khó khăn trong việcđưa ra phương hướng giải kể cả đối tượng học sinh giỏi

Sau khi học sinh tiếp thu nội dung đề tài này và vận dụng vào các bài toán cụthể trong các đề thi (đề thi THPT Quốc Gia 2018, đề thi thử Sở GD – ĐT Hà Tĩnh2019…) các em đều giải quyết bài toán khá nhanh chóng và tự tin Từ đó tư duy, kỹnăng giải bài tập của các em được nâng lên rõ rệt

1

1

4 Lời giải

Cách 1: Sử dụng cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau

BH =SB +BC =SA AB +BC = a a +a = a Þ =

25

Gọi H là chân đường cao hạ từ đỉnh A của tam

Từ đó suy ra

3152

sin

5

a AH

a BK

cách vào tính góc trong bài này được giải quyết rất gọn nhẹ và nhanh chóng

Thay vì lựa chọn điểm B như ở trên, chúng ta có thể chọn điểm D với vai trò

hoàn toàn tương tự

Qua hai cách giải trên, chúng ta có thể dễ dàng nhận thấy, nếu sử dụng cách 1thì chúng ta cần phải xác định được góc cụ thể, còn nếu sử dụng cách thứ 2 chúng takhông cần chỉ ra góc mà vẫn tính được thông qua khoảng cách

b Các bài tập vận dụng.

Vấn đề 1: Tính góc giữa hai mặt phẳng trong hình chóp.

Bài 1: ( Đề thi thử Sở GD – ĐT Thành Phố Hồ Chí Minh năm 2019) Cho hình chóp

Chọn C.

một bài toán cơ bản và quen thuộc ( A là chân đường cao hạ từ đỉnh xuống mặt đáy) Tuy nhiên, chúng ta có thể chọn điểm B để tính và công việc cũng dễ dàng không kém hơn việc tính từ điểm A Đây là một điểm thực sự rất nổi bật trong phương pháp này.

và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M là trung điểm của AD , a là góc

tạo bởi hai mặt phẳng (SCM và ) (SAB Khi đó, cota bằng)

Mặt khác tam giác SAD nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy suy ra

( )

SM ^ ABCD .

Kẻ CM cắt AB tại E Khi đó, A là trung

AH = AE + AM =a +a =a Þ =

Suy ra

5105

sin

522

a AH

Nhận xét: Ở bài này, việc chỉ ra góc khó hơn ở bài trên Do đó vận dụng khoảng cách

để tính là hợp lý Việc lựa chọn tính khoảng cách từ điểm A hay B đến mặt phẳng

(SCM thì đều như nhau Ngoài ra chúng ta có thể tính sina)

AH BK

a= = = Þ a=

Chọn B.

Nhận xét: Ở bài này việc xác định góc giữa hai mặt phẳng là rất khó Do đó, ta nên

vận dụng khoảng cách để tính góc Lựa chọn tính khoảng cách từ điểm B đến giao

4 3

2 3

120 0 Q

P

N M

quát và toàn diện của mỗi học sinh Tuy nhiên nếu các em lựa chọn điểm ngẫu nhiênthì các bước đi đến kết quả của phương pháp này cũng khá đơn giản và gọn nhẹ

Bài 4: Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình thoi cạnh ,a góc  BAD 120 0 Hình

AB sao cho HA2HB Góc giữa SC và mặt phẳng ABCD bằng 0

hình thoi cạnh ,a  BAD 1200 nên ABC và

ACD là các tam giác đều cạnh a

Do đó,

3.2

L

Ta có DC^HI DC, ^SH SH( ^(ABCD) )Þ DC^(SHI)Þ HK^DC.

Từ đó suy ra HK^(SDC) hay d A SDC( ,( ) )=HK

Xét tam giác SHI vuông tại ,H đường cao HK , ta có

AT a

Chọn C.

Nhận xét: Việc xác định góc giữa hai mặt phẳng trong bài này rất phức tạp Do đó vận

dụng khoảng cách để tính rất phù hợp Tương tự, ở bài này lựa chọn tính khoảng cách

SC , mặt phẳng (SAC đều khá dễ dàng như nhau.)

Bài 5: (Đề thi thử trường THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội 2019) Cho hình chóp

S ABCD có đá ABCD là hình vuông cạnh, hình chiếu vuông góc của đỉnh S nằm

trong hình vuông ABCD Hai mặt phẳng SAD , SBC vuông góc với nhau; góc

giữa hai mặt phẳng SAB và SBC là 0

Vậy cos  ,   3.

2

SAB ABDC 

Chọn C.

Nhận xét: Đây là một bài toán rất hay, nếu chúng ta xác định góc cụ thể của từng cặp

mặt phẳng thì sẽ rất rối hình Tuy nhiên, như chúng ta nhìn thấy, vận dụng khoảngcách để giải quyết thì bài toán này trở nên nhẹ nhàng, đơn giản hơn nhiều

Vấn đề 2: Tính góc giữa hai mặt phẳng trong hình lăng trụ.

Bài 1: (Đề minh họa kỳ thi THPT Quốc Gia 2018) Cho hình lăng trụ tam giác đều

ABC A B C¢ ¢ ¢ có AB=2 3 và AA¢= Gọi , , 2 M N P lần lượt là trung điểm các

cạnh A B A C ¢ ¢ ¢ ¢ và BC Côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng , (AB C¢ ¢)

và (MNP)bằng

Vì ABC A B C. ¢ ¢ ¢ là lăng trụ tam giác đều nên tam

giác AB C ¢ ¢ cân tại A Suy ra AK B C^ ¢ ¢.

Do đó d B IJ( , )=d K IJ( , )=KE

Ta có AB¢= AB2+BB¢2 =4, AK= AB¢2- B K¢ 2 = 13.

Dễ thấy I là trọng tâm tam giác BB A¢ Suy ra

13

P

K M

H

B H KE

Chọn B.

Nhận xét: Vai trò của B¢ và C¢ như nhau nên chúng ta có thể lựa chọn điểm C¢ để

thực hiện các bước hoàn toàn tương tự

Bài 2: (Đề thi thử trường THPT Cẩm Bình – Hà Tĩnh năm 2018) Cho hình lăng trụ

ABC A B C ¢ ¢ ¢ có đáy là tam giác đều cạnh 2a Hình chiếu vuông góc của A¢ lên mặt

phẳng (ABC là trung điểm H của cạnh AB Biết góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng)

0

60 Gọi j là góc giữa hai mặt phẳng (BCC B¢ ¢)

và (ABC Khi đó cosj bằng)

B A'

C

K

Gọi M là trung điểm của BC Vì tam giác ABC đều cạnh 2a nên AM ^BC,

Vì góc giữa cạnh bên và mặt đáy là ·A AH¢ =600Þ B D¢ =A H¢ =AH.tan 600=a 3.

Xét tam giác B DI¢ vuông tại ,D đường cao DK ta có

a DK

DK =DI +B D = a + a = a Þ =

Suy ra

152

a DK

Chọn B.

Nhận xét: Trong quá trình giải quyết bài toán tính góc theo khoảng cách ngoài cách

chọn cách điểm như trên ta có thể chọn các điểm , , H B C¢ ¢ để tính khoảng cách tớigiao tuyến và các mặt phẳng tương ứng cũng hoàn toàn đơn giản

Bài 3: Cho hình lập phương ABCD A B C D. ¢ ¢ ¢ ¢ Gọi M là trung điểm của cạnh BC , a

a BK

263

a BK

CP a

a= = = Þ a=

Chọn A.

Nhận xét: Việc tính toán trong bài này cũng đơn giản và nhẹ nhàng, thay vì lựa chọn

tính khoảng cách từ điểm C đến giao tuyến B N¢ và mặt phẳng (B AM¢ )

chúng ta

cũng có thể lựa chọn là tính khoảng cách từ điểm A đến giao tuyến và mặt phẳng

(A B CD¢ ¢ )

, việc này cũng hoàn toàn đơn giản, tương tự như ở câu 2

Câu 4: Cho lăng trụ đứng ABC A B C.    có đáy là tam giác đều và tất cả các cạnh bằng

a , M là trung điểm của A B  Côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng MBC và

ACC A  bằng

a

N

M A'

P

15

5 Lời giải

Kẻ AA cắt BM tại D. Ta có MBC  ACC A  C D

Gọi  là góc tạo bởi hai mặt phẳng MBC và ACC A  

Xét tam giác ABD vuông tại A, ta có BD a22a2 a 5

Xét tam giác DMCvuông tại M ta có ,

a BN

BK a

Chọn D.

Nhận xét: Ở bài này, vận dụng khoảng cách để tính toán cũng rất đơn giản Và như tôi

đã trình bày, chúng ta có nhiều cách lựa chọn điểm để tính khoảng cách tới giao tuyến

và mặt phẳng còn lại Với bài trên, thay vì lựa chọn điểm

B , ta chọn điểm A¢ thì công việc lại gọn nhẹ hơn rất là

nhiều

Kẻ AA cắt BM tại D. Ta có MBC  ACC A  C D

Gọi  là góc tạo bởi hai mặt phẳng MBC và ACC A  

H

Nhận xét: Với bài này chúng ta cũng có thể lựa chọn cách tính khoảng cách từ điểm

C đến giao tuyến AN và mặt phẳng (AB M¢ )

tương tự như cách ở trên

góc của A¢ lên mặt phẳng (ABC là điểm H thuộc cạnh AB thỏa mãn)

2

j =

Khi đó tan gócgiữa hai mặt phẳng (ABC¢)

Gọi I là giao điểm của AC¢ và A C¢ Ta có (ABC¢) (Ç A HC¢ )=HI

Gọi a là góc giữa hai mặt phẳng (ABC¢)

A

C B

B'

C' A'

T

Kẻ NK ^AB K( Î AB), khi đó NK =CM =3a2 3 ( CM là trung tuyến trong tam

giác đều cạnh 3a ).

Kẻ NT ^C K T C K¢ ( Î ¢ )

, dễ thấy d C ABC( ,( ¢) )=d N ABC( ,( ¢) )=NT

Xét tam giác C NK ¢ vuông tại N , đường cao NT , ta có

5514

2

a NT

CI a

Chọn C.

Nhận xét: Đây là một bài xác định góc khó, vì vậy sử dụng khoảng cách để tính góc

giữa hai mặt phẳng có thể coi là phương pháp tối ưu Cũng như các bài tập ở trên,chúng ta cũng có thể có nhiều lựa chọn khác nhau trong việc chọn tính khoảng cách từđiểm tới đường thẳng và mặt phẳng để giải quyết bài toán

c Một số bài tập đề nghị

tròn đường kính AB2a, SAABCD và SA a 3 Khi đó tan góc giữa hai mặtphẳng SAD và SBC bằng

vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M N lần lượt là trung điểm của , SB và SD,  làgóc giữa hai mặt phẳng  AMN và SBD Giá trị sin bằng

7

1.3

Bài 4: Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B , SA

vuông góc với mặt phẳng  ABCD , AB BC a AD  , 2 a Biết góc giữa SC và mặt

Khi đó, sin góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng

6

6.3

6

6.3

Bài 7: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D ' ' ' ' có AB=2 , a AD=a AA, '=a 3.

Gọi a là góc giữa hai mặt phẳng (A C B¢ ¢)

5

a =

2 3sin

2

a =

.

Gọi I là tâm của hình vuông A B C D ¢ ¢ ¢ ¢ và M là một điểm thuộc đoạn thẳng OI sao

cho MO=2MI Khi đó, côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (MC D¢ ¢)

d Đánh giá hiệu quả của đề tài

Với việc vận dụng đề tài này vào ôn luyện thi THPT Quốc Gia và bồi dưỡnghọc sinh giỏi kết hợp với giảng dạy những phần kiến thức khác trong chương trình bộmôn Toán thì đã đạt được những hiệu quả nhất định, kết quả thi của học sinh đượcnâng cao rõ rệt

Tôi đã tiến hành dạy thực nghiệm đề tài ở lớp 12B8 và đã kiểm tra kỹ năng giảicác bài tập phần tính góc giữa hai mặt phẳng ở các lớp 12B6 và 12B8( 12B6 có mặtbằng tư duy tốt hơn) thì nhận thấy kết quả:

từ một điểm đến đường thẳng và mặt phẳng Qua đó, vận dụng nhiều trong cái bài toán

hình học không gian có trong các đề thi THPT Quốc gia, giúp các em tự tin để giảiquyết các bài toán nhanh gọn, phù hợp với hình thức thi cử hiện nay.

Thông qua đề tài này, chúng ta dễ dàng nhận thấy rằng có rất nhiều lựa chọn đểchúng ta tính góc thông qua khoảng cách, bằng việc lấy điểm phù hợp để tính khoảngcách tới giao tuyến và mặt phẳng tương ứng, qua đó giúp học sinh tự tin hơn để giảiquyết các dạng toán này

Với nội dung đề tài này, giáo viên có thể triển khai giảng dạy ở đối tượng họcsinh khá, giỏi với thời lượng 2 buổi Đồng thời đề tài cũng chỉ ra phương pháp mà ítgiáo viên và học sinh sử dụng, từ đó để mọi người cùng thảo luận, đóng góp ý kiến vàphát triển thêm từ đó làm phong phú hơn về phương pháp giải các bài toán về góc giữahai mặt phẳng và hơn nữa là các bài toán liên quan đến hình học không gian

Trong thực tế giảng dạy tôi thấy còn có nhiều dạng bài tập liên quan tới tính gócgiữa hai mặt phẳng có thể vận dụng khoảng cách để tính nhanh gọn hơn Tuy nhiêntôi chưa thể đề cập tới các vấn đề một cách sâu rộng được rất mong được sự góp ý củacác đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn

Trong quá trình thực hiện đề tài tôi có tham khảo một số tài liệu như sau:

Qua thực tế dạy học Toán ở truờng THPT tôi có một số kiến nghị, đề xuất sau:

- Cần triển khai buổi học chuyên đề phân tích đề thi THPT Quốc Gia ngay saukhi có đề minh họa và đề thi chính thức của bộ giáo dục

- Các bài viết và các đề tài hay cần được Sở GD - ĐT chia sẽ rộng rãi trong cácbuổi chuyên đề để các đồng nghiệp cùng học hỏi trao đổi kinh nghiệm

Trên đây là một số ý kiến của bản thân tôi rút ra được trong quá trình dạy học tạitrường THPT Vì thời gian có hạn, ứng dụng đề tài ở phạm vi một đơn vị nên việc

kiểm chứng gặp nhiều khó khăn Mặc dù vậy tôi cũng mạnh dạn đề xuất mong được sựgóp ý của các đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện hơn.

Tôi xin chân thành cảm ơn!