SÁNG KIẾN vận dụng khoảng cách trong bài toán tính góc giữa hai mặt phẳng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: VẬN DỤNG KHOẢNG CÁCH TRONG BÀI TỐN TÍNH GĨC GIỮA HAI MẶT PHẲNG Năm học 2019 - 2020 MỤC LỤC Trang I Đặt vấn đề Lý chọn đề tài 2 Mục tiêu, đối tượng nghiên cứu Giả thiết khoa học Dự báo đóng góp đề tài II Giải vấn đề Cơ sở lý thuyết Cơ sở thực tiễn Nội dung a Ví dụ mở đầu b Các tập vận dụng Vấn đề Tính góc hai mặt phẳng hình chóp Vấn đề Tính góc hai mặt phẳng hình lăng trụ 12 c Một số tập đề nghị 20 d Đánh giá hiệu đề tài 22 III Kết luận 22 IV Kiến nghị23 I ĐẶT VẤN ĐỀ Lý chọn đề tài Trong trình giảng dạy, ơn thi THPT Quốc gia thường gặp tốn liên quan đến góc, có tốn góc hai mặt phẳng Với nhiều học sinh, giáo viên nhiều lúng túng việc xác định phương pháp để giải tốn Thơng thường tính góc hai mặt phẳng, thường sử dụng định nghĩa, sử dụng cách xác định góc hai mặt phẳng cắt nhau, phương pháp tọa độ hóa…Tuy nhiên, trình giải có nhiều u cầu nhận định tính tốn phức tạp, nhiều thời gian Với lý trên, với mong muốn góp phần phát triển tư duy, kỹ cho học sinh, xin giới thiệu phương pháp mà giáo viên học sinh sử dụng “Vận dụng khoảng cách tốn tính góc hai mặt phẳng” Mục tiêu, đối tượng nghiên cứu Phát triển tư rèn luyện kỹ giải tập liên quan đến góc hai mặt phẳng cho học sinh khá, giỏi Nâng cao hiệu việc ôn thi THPT Quốc gia Đề tài áp dụng hiệu cho đối tượng học sinh khá, giỏi lớp 11, 12 Giả thiết khoa học Nếu đưa đề tài “Vận dụng khoảng cách tốn tính góc hai mặt phẳng” vào giảng dạy ôn thi THPT Quốc gia tạo hứng thú kích thích đam mê học tập môn cho học sinh Đồng thời học sinh tự tin việc giải dạng tập Riêng phần tập tính góc hai mặt phẳng, học sinh khắc sâu kiến thức có kỹ giải nhanh khơng tốn góc mà tốn liên quan đến tính khoảng cách thường gặp đề thi Dự báo đóng góp đề tài Đề tài “Vận dụng khoảng cách tốn tính góc hai mặt phẳng” giúp nắm thêm cách để tính góc hai mặt phẳng, đồng thời củng cố thêm phương pháp tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng mặt phẳng khơng gian Từ rèn luyện tư kỹ việc dạy học toán Đề tài giúp giải toán liên quan đến góc cách nhanh chóng, đặc biệt khó xác định góc hai mặt phẳng thực công cụ hữu hiệu Qua số tập điển hình trình bày chuyên đề, ví dụ xếp từ dễ đến khó giúp học sinh nhận ưu việt vận dụng phương pháp vào giải tập II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Cơ sở lý thuyết Phương pháp vận dụng khoảng cách tốn tính góc hai mặt phẳng   A �   , Giả sử hai mặt phẳng     cắt theo giao tuyến a Lấy A �a, dựng AK  a,  K �a  , AH     ,  H �    Khi đó, a   AHK  suy HK  a Do đó, sin j = Từ suy AK , HK   � AKH      ,      � � AH d ( A,( b) ) = ( 1) AK d ( A, a ) Như vậy, bước để tính tính góc hai mặt phẳng thơng qua khoảng cách bao gồm: Bước 1: Tìm giao tuyến hai mặt phẳng Bước 2: Chọn điểm A thuộc hai mặt phẳng không nằm giao tuyến, sau tính khoảng cách từ điểm A đến giao tuyến mặt phẳng lại (Ở có nhiều cách lựa chọn điểm A , học sinh tự tin trình tính tốn Thơng thường để dễ dàng tính khoảng cách hay chọn điểm A hình chiếu vng góc đỉnh xuống mặt đáy Tuy nhiên nhiều tốn phụ thuộc vào cách nhìn nhận người, vấn đề chọn điểm tơi trình bày phần nhận xét sau tập cụ thể) Bước 3: Thay vào cơng thức ( ) tính kết luận Cơ sở thực tiễn Trong q trình ơn thi THPT Quốc gia nhận thấy dạng tập liên quan đến góc hai mặt phẳng khai thác nhiều đề thi Tại đơn vị cơng tác, học sinh gặp dạng tốn thường hay lúng túng khó khăn việc đưa phương hướng giải kể đối tượng học sinh giỏi Sau học sinh tiếp thu nội dung đề tài vận dụng vào toán cụ thể đề thi (đề thi THPT Quốc Gia 2018, đề thi thử Sở GD – ĐT Hà Tĩnh 2019…) em giải toán nhanh chóng tự tin Từ tư duy, kỹ giải tập em nâng lên rõ rệt Nội dung a Ví dụ mở đầu: ( Đề thi thử Sở GD – ĐT Hà Tĩnh năm 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng, SA   ABCD  , SA  AB Gọi  góc hai mặt phẳng  SBC   SDC  , giá trị cos  B A C D Lời giải Cách 1: Sử dụng cách xác định góc hai mặt phẳng cắt Đặt DC = a ( a > 0) Dễ thấy Kẻ BH ^ SC ( H �SC ) BD ^ ( SAC ) � BD ^ SC Từ suy SC ^ ( BDH ) � DH ^ SC SBC ) �( SDC ) = SC Ta có ( Khi � a = ( ( SBC ) ,( SDC ) ) = (� BH , DH ) Xét tam giác SBC vng B, đường cao BH , ta có 1 1 1 2a = + = + = + = � BH = 2 2 BH SB BC SA2 + AB BC a a a +a ( Ta lại có D SBC = D SDC � DH = BH = ) 2a BD đường chéo hình vng nên BD = a 4a 4a + - 2a 2 2 BH + DH BD � = cos BHD = =2 a 2a BH DH 5 Xét tam giác HBD , ta có � = cos a =- cos BHD Chọn D Suy Cách 2: Vận dụng khoảng cách để tính góc hai mặt phẳng cắt Đặt DC  a,  a   sin   Ta có d  B,  SDC   d  B, SC  Khi  SBC  � SDC   SC  d  A,  SDC   d  B, SC  Gọi H chân đường cao hạ từ đỉnh A tam giác SAD , K chân đường cao hạ từ đỉnh B tam giác SBC Ta có d ( B, SC ) = BK DC ^ ( SAB ) AH ^ ( SDC ) (vì DC ^ AB, DC ^ SA ( SA ^ ( ABCD ) ) hay ) Suy AH ^ DC Do d ( A,( SDC ) ) = AH Xét tam giác SAD vuông A , đường cao AH , ta có 1 1    2 2 AH AB SA a a    a � AH  3a Xét tam giác SBC vuông B , đường cao BK , ta có 1 1 2a      � BK  BK SB BC  2a  a 4a 5 a AH 15 sin a = = = 2a BK � cos    sin   Chọn D Từ suy Nhận xét: Ở việc xác định tính AH , BK dễ dàng, vận dụng khoảng cách vào tính góc giải gọn nhẹ nhanh chóng Thay lựa chọn điểm B trên, chọn điểm D với vai trò hồn tồn tương tự Qua hai cách giải trên, dễ dàng nhận thấy, sử dụng cách cần phải xác định góc cụ thể, sử dụng cách thứ khơng cần góc mà tính thơng qua khoảng cách b Các tập vận dụng Vấn đề 1: Tính góc hai mặt phẳng hình chóp Bài 1: ( Đề thi thử Sở GD – ĐT Thành Phố Hồ Chí Minh năm 2019) Cho hình chóp B , AB  a, AC  2a , SA  2a, S ABC có đáy ABC tam giác vuông SA   ABC  SAC  SBC  Gọi a góc hai mặt phẳng   Khi cosa B A C 15 D Lời giải Ta có   SAC  � SBC   SC sin   d  A,  SBC   Khi Kẻ AH  SB,  H �SB  Vì BC  AB, BC  SA  SA   ABC   d  A, SC  � BC   SAB  � BC  AH Từ suy Kẻ AH   SBC  hay d  A,  SBC    AH AK ^ SC ( K �SC ) � d ( A, SC ) = AK Xét tam giác SAB vuông A , đường cao AH , ta có 1 1 2a      � AH  AH AB SA2 a 4a 4a Xét tam giác SAC vuông A , đường cao AK , ta có 1 1 1      � AK  a AK AC SA2 4a 4a 2a 2a 10 15 sin    � cos   5 a Từ suy Chọn C SBC ) Nhận xét: Trong này, việc tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( toán quen thuộc ( A chân đường cao hạ từ đỉnh xuống mặt đáy) Tuy nhiên, chọn điểm B để tính cơng việc dễ dàng khơng việc tính từ điểm A Đây điểm thực bật phương pháp Bài 2: Cho hình chóp S ABCD có ABCD hình vng cạnh a Tam giác SAD nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M trung điểm AD , a góc SCM ) SAB) tạo hai mặt phẳng ( ( Khi đó, cot a A B C D Lời giải Ta có M trung điểm AD , tam giác SAD nên SM ^ AD Mặt khác tam giác SAD nằm mặt phẳng vng góc với đáy suy SM ^ ( ABCD ) Kẻ CM cắt AB E Khi đó, A trung điểm BE , suy AE = AB = a SCM ) �( SAB ) = SE Ta có ( sin a = Suy d ( A,( SCM ) ) d ( A, SE ) d A, SE ) = AK Gọi K , H hình chiếu vng góc lên SE EM Ta có ( Vì AB ^ AD, AB ^ SM � AB ^ ( SAD ) � AB ^ SA Mặt khác AE = SA = a nên tam giác SAE vuông cân A a AK = SE = SA2 + AE = 2 Do Ta lại có, AH ^ CM , AH ^ SM ( SM ^ ( ABCD ) ) � AH ^ ( SCM ) hay d ( A,( SCM ) ) = AH Xét tam giác AME vuông A, đường cao AH 1 1 a = + = + = � AH = 2 AE AM a a a Ta có AH a AH 10 � cot a = sin a = = = AK a 2 Suy = 2 �10 � � � � � � � � � �5 � Chọn B Nhận xét: Ở này, việc góc khó Do vận dụng khoảng cách để tính hợp lý Việc lựa chọn tính khoảng cách từ điểm A hay B đến mặt phẳng ( SCM ) = d ( M ,( SAB ) ) d ( M , SE ) = d ( C ,( SAB ) ) d ( C , SE ) Ngồi tính sin a Việc tính theo cơng thức đơn giản cách tính Bài 3: (Đề thi thử trường THPT Hà Huy Tập – Hà Tĩnh năm 2019) Cho hình chóp �  1200 S ABCD có đáy ABCD hình bình hành, AB  3, AD  4, BAD Cạnh SA  vng góc với đáy Gọi M , N , P trung điểm cạnh SA, AD, BC Gọi a góc hai mặt phẳng  SBC   MNP  Tính a A a = 60 B a = 45 C a = 90 D a = 30 Lời giải MNP ) �( SBC ) = PQ Gọi Q trung điểm SB Khi ( sin a = Ta có Kẻ d ( B,( MNP ) ) d ( B, PQ ) = d ( A,( MNP ) ) d ( B, PQ ) d ( A,( MNP ) ) = AH AI ^ PN ( I �PN ) AH ^ MI ( H �MI ) , Khi � = = AI = AN sin ANP � � Ta có BAD = 120 � ANP = 60 , Xét tam giác AIM vng A, đường cao AH , ta có 0 1 1 = + = + = � AH = 2 AH MA AI 3 BK ^ QP ( K �QP ) � d ( B, QP ) = BK Kẻ 2 � Ta có AC = AD + DC - AD.DC cos ADC � AC =16 + - 2.4.3 = 13 2 Suy SC = SA + AC = 12 +13 = SB = SA2 + AB = 12 + = 21 2 � = cos SCB � = SC + CB - SB = 25 +16 - 21 = � sin QPB � = cos QPB 2SC.CB 2.5.4 2 � = = BK = BP sin QPB Ta có AH sin a = = = � a = 450 BK Từ suy Chọn B Nhận xét: Ở việc xác định góc hai mặt phẳng khó Do đó, ta nên vận dụng khoảng cách để tính góc Lựa chọn tính khoảng cách từ điểm B đến giao MNP ) tuyến PQ mặt phẳng ( hay tính khoảng cách từ điểm N , M đến giao SBC ) tuyến PQ mặt phẳng ( trường hợp tùy thuộc vào cách nhìn bao quát toàn diện học sinh Tuy nhiên em lựa chọn điểm ngẫu nhiên bước đến kết phương pháp đơn giản gọn nhẹ � Bài 4: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi cạnh a, góc BAD  120 Hình ABCD  chiếu vng góc đỉnh S lên mặt phẳng  điểm H nằm đoạn thẳng AB cho HA  HB Góc SC mặt phẳng  ABCD  60 Gọi a góc hai mặt phẳng A  SAC   SCD  Tính cot a B C D Lời giải SAC  � SCD   SC Ta có  Khi sin a = d ( A,( SCD) ) d ( A, SC ) Gọi M trung điểm AD Vì ABCD � hình thoi cạnh a, BAD  120 nên ABC ACD tam giác cạnh a Do đó, AM  a Xét tam giác ACH , ta có CH  AC  AH  AC AH cos60  a2  4a 2a a a  2.a  � CH  9 � ABCD  Góc SC  góc SCH  60 Từ suy SH  CH tan 60o  a 21 2a , SC  3 d  A,  SCD    d  AB ,  SCD    d  H ,  SCD   Vì AB / / CD nên Kẻ HI / / AM ( I �DC ) Khi Kẻ HK ^ SI ( K �SI ) HI = AM = 10 a HI ^ DC Ta có DC ^ HI , DC ^ SH ( SH ^ ( ABCD) ) � DC ^ ( SHI ) � HK ^ DC Từ suy d ( A,( SDC ) ) = HK HK ^ ( SDC ) hay Xét tam giác SHI vuông H , đường cao HK , ta có 1 1 37 a 21      2  � HK  2 2 2 HK HI SH AM SH 3a 7a 21a 37 Ta có d ( H , AC ) HA 2 a a = = � HL = d ( B , AC ) = = d ( B, AC ) BA 3 3 , �a � �a 21 � 2a SL  HL  SH  � � � � 3 � � � � Ta lại có S SAC Vì d  A, SC   AT 2a a 1 SL AC a  SL AC  AT SC � AT    2 SC 2a 7 a 21 HK sin    37  � cot   AT a 74 Suy Chọn C Nhận xét: Việc xác định góc hai mặt phẳng phức tạp Do vận dụng khoảng cách để tính phù hợp Tương tự, lựa chọn tính khoảng cách SCD ) từ điểm A tới đường thẳng SC , mặt phẳng ( hay từ điểm D tới đường thẳng SC , mặt phẳng ( SAC ) dễ dàng Bài 5: (Đề thi thử trường THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội 2019) Cho hình chóp S ABCD có đá ABCD hình vng cạnh, hình chiếu vng góc đỉnh S nằm SAD  ,  SBC  hình vng ABCD Hai mặt phẳng  vng góc với nhau; góc 11  SAB  hai mặt phẳng  SAD   SBC  SAB  60 ; góc hai mặt phẳng  ( SAB) ( ABCD) , giá trị cosa là 45 Gọi a góc hai mặt phẳng B A C D Lời giải Kẻ SH   ABCD  SM  AD, SN  BC , HK  AB , SAB ) �( ABCD ) = AB Ta có ( sin a = Khi d ( H ,( SAB ) ) d ( H , AB ) � �  90  SAD  ,  SBC    MSN  Ta có BC  SM , BC  SN � BC   SMN  Vì � MN  BC � MN / / AB Khi d  H ,  SAB    d  M ,  SAB    d  N ,  SAB    x  x    SAB  ,  SBC    60 � � sin 600  d  N ,  SAB   2x  � d  N , SB   d  N , SB  3 1 1      1 2 2 SN BN SN HK Suy 4x  SAB  ,  SAD    45 � � sin 450  d  M ,  SAB    � d  M , SA   x 2 d  M , SA  1 1     2 2 SM AM SM HK Suy 2x Từ  1  2  2 ta � � 1 �1 �1 �   �    2 � HK  x 2 � 2 � 4x SN � HK HK � HK x HK �SM �SH Từ suy sin �  SAB  ,  ABDC    d  H ,  SAB   d  H , AB  12  x  2x Vậy cos �  SAB  ,  ABDC    Chọn C Nhận xét: Đây tốn hay, xác định góc cụ thể cặp mặt phẳng rối hình Tuy nhiên, nhìn thấy, vận dụng khoảng cách để giải tốn trở nên nhẹ nhàng, đơn giản nhiều Vấn đề 2: Tính góc hai mặt phẳng hình lăng trụ Bài 1: (Đề minh họa kỳ thi THPT Quốc Gia 2018) Cho hình lăng trụ tam giác ABC A��� B C có AB = AA� = Gọi M , N , P trung điểm C) MNP ) B , A�� C BC Cơsin góc tạo hai mặt phẳng ( AB �� cạnh A�� ( 13 A 65 13 B 65 17 13 C 65 18 13 D 65 Lời giải MNP ) MNBC ) Vì P �BC , BC / / MN nên mặt phẳng ( mặt phẳng ( �BM , J = AC � �CN Gọi I = AB � Khi C ) �( MNP ) = IJ ( IJ / / BC / / MN ) ( AB �� C) ( AB �� Gọi a góc tạo hai mặt phẳng ( MNP ) Ta có sin a = d ( B� ,( MNP ) ) d ( B� , IJ ) B C lăng trụ tam giác nên tam Vì ABC A��� C cân A Suy AK ^ B �� C giác AB �� Do d ( B, IJ ) = d ( K , IJ ) = KE 2 = AB + BB � = 4, AK = AB � - B� K = 13 Ta có AB � B� I = B� A A Suy Dễ thấy I trọng tâm tam giác BB � 13 13 KE = AK = 3 Từ ta có Gọi Q, H hình chiếu vng góc B �lên MN BQ Khi d ( B� ,( MNP ) ) = B � H B� Q = A� K= 2 Ta có Q vng B � H , ta có Xét tam giác BB � , đường cao B � 1 25 = + = + = � B� H= 2 B� H B� Q B� B 36 B� H 18 13 13 sin a = = = � cos a = KE 65 65 13 Suy Chọn B Nhận xét: Vai trò B �và C �như nên lựa chọn điểm C �để thực bước hoàn toàn tương tự Bài 2: (Đề thi thử trường THPT Cẩm Bình – Hà Tĩnh năm 2018) Cho hình lăng trụ ABC A��� B C có đáy tam giác cạnh 2a Hình chiếu vng góc A�lên mặt ABC ) phẳng ( trung điểm H cạnh AB Biết góc cạnh bên mặt đáy B) ABC ) 600 Gọi j góc hai mặt phẳng ( BCC �� ( Khi cosj A B C Lời giải Ta có B ) �( ABC ) = BC ( BCC �� 14 17 D 17 sin j = Khi d ( A,( BCC �� B )) d ( A, BC ) Gọi M trung điểm BC Vì tam giác ABC cạnh 2a nên AM ^ BC , AM = a � d ( A, BC ) = AM = a Gọi D chân đường cao hạ từ đỉnh B � ABC ) xuống mặt phẳng ( Khi B trung điểm HD d ( A,( BCC �� B )) Ta có d ( D,( BCC �� B )) = AB =2 DB hay d ( A,( BCC �� B ) ) = 2d ( D ,( BCC �� B )) I Khi Gọi I , K hình chiếu vng góc D lên BC B � d ( D,( BCC �� B ) ) = DK DI DB 1 a = = � DI = AM = AB 2 Ta có AM �AH = 600 � B � D = A� H = AH tan 600 = a Vì góc cạnh bên mặt đáy A� DI vng D, đường cao DK ta có Xét tam giác B � 1 a 15 = 2+ = + = � DK = 2 DK DI B� D 3a 3a 3a a 15 DK = � cos j = sin j = = AM a 5 Chọn B Suy Nhận xét: Trong q trình giải tốn tính góc theo khoảng cách ngồi cách , C �để tính khoảng cách tới chọn cách điểm ta chọn điểm H , B � giao tuyến mặt phẳng tương ứng hoàn toàn đơn giản B C D Gọi M trung điểm cạnh BC , a Bài 3: Cho hình lập phương ABCD A���� góc hai mặt phẳng A 30 AM ) ( B� B CD) ( A�� Khi đó, số đo góc a B 45 C 60 15 D 75 Lời giải Kẻ AM cắt DC N Ta có AM ) �( A�� B CD) = B � N ( B� Khi sin a = Kẻ d ( C ,( B � AM ) ) d ( C, B� M) = d ( B ,( B � AM ) ) d ( C , B� M) BH ^ AM ( H �AM ) , BK ^ SH Suy d ( B, ( B � AM ) ) = BK BH vuông B , đường cao BK , ta có Xét tam giác B � 1 1 1 a = + = + + = + + = � BK = 2 2 BK BB � BH BB � BM BA a a a a Kẻ CP ^ B � N ( P �B � N) Khi d ( C , B� N ) = CP CN vuông C , đường cao CP , ta có Xét tam giác B � 1 1 a = + = + = � CP = 2 CP CB � CN 2a a 2a a BK sin a = = = � a = 300 CP a Vậy Chọn A Nhận xét: Việc tính tốn đơn giản nhẹ nhàng, thay lựa chọn AM ) N mặt phẳng ( B � tính khoảng cách từ điểm C đến giao tuyến B � lựa chọn tính khoảng cách từ điểm A đến giao tuyến mặt phẳng B CD) ( A�� , việc hoàn toàn đơn giản, tương tự câu B C có đáy tam giác tất cạnh Câu 4: Cho lăng trụ đứng ABC A��� a , M trung điểm A�� B Cơsin góc tạo hai mặt phẳng A�  ACC �  16  MBC�  A 10 B 5 C D 15 Lời giải MBC � A� D  � ACC�   C� Kẻ AA�cắt BM D Ta có  MBC � A�   ACC �  Gọi  góc tạo hai mặt phẳng  sin   Khi d  B,  ACC � A�  d  B, C � D Gọi N trung điểm cạnh AC Ta có Hay BN ^ AC , BN ^ AA� � BN ^ ( ACC � A� ) d ( B,( ACC � A� ) ) = BN Tam giác ABC cạnh a nên Kẻ BN  C � M  BK ^ DC �( K �DC � ) � d ( B, DC � ) = BK a Ta có 1 C� M BD SC � C� M BD  BK C � D � BK  BD  2 C� D BD  a   2a   a Xét tam giác ABD vuông A , ta có �a � �a � C� D � � � �  a 2 � �� � Xét tam giác DMC � vuông M , ta có a a a 30 BK   a Do đó, a BN 10 15 sin     � cos   BK a 30 5 Suy Chọn D 17 Nhận xét: Ở này, vận dụng khoảng cách để tính tốn đơn giản Và tơi trình bày, có nhiều cách lựa chọn điểm để tính khoảng cách tới giao tuyến mặt phẳng lại Với trên, thay lựa chọn điểm B , ta chọn điểm A�thì cơng việc lại gọn nhẹ nhiều MBC � A� D  � ACC�   C� Kẻ AA�cắt BM D Ta có  MBC � A�   ACC �  Gọi  góc tạo hai mặt phẳng  sin   Khi Kẻ d  A� ,  BCM   d  A� , C� D A� H ^ BD ( H �BD ) Ta có C� M ^ ( ABB �� A ) � A� H ^C� M Từ suy H ) ) = A� A� H ^ ( MBC � ) hay d ( A,( MBC � DM vuông A� H , ta có Xét tam giác A� , đường cao A� 1 1 a = + = + = � A� H= 2 A� H A� D A� M a a a Kẻ A� K ^ DC �( K �DC � , DC � K ) � d ( A� ) = A� DC vng A� K , ta có Xét tam giác A� , đường cao A� 1 1 a � = + = + = � A H = A� K A� D A� C a2 a2 a2 a A� H 10 15 sin     � cos   A� K a 5 Từ suy Chọn D B C có AB = a , AC = a , AA� =a , Bài 5: Cho hình lăng trụ đứng ABC A��� M) � =1500 ( AB � BAC Gọi M trung điểm CC � , a góc mặt phẳng ABC ) mặt phẳng ( Khẳng định sau đúng? 18 A sin   66 22 sin   B 66 11 C sin   418 44 D sin   Lời giải N M N Khi M trung điểm B � Kẻ BC cắt B � Ta có M ) �( ABC ) = AN ( AB � sin a = Khi Ta có Kẻ d ( B� ,( ABC ) ) d ( B � ,( ABC ) ) = d ( B� , AN ) 2d ( M , AN ) d ( B� ,( ABC ) ) = BB � =a MH ^ AN ( H �AN ) � d ( M , AN ) = MH Xét tam giác ABC ta có � BC = AB + AC - AB AC.cos BAC � 3� � � � BC = a + 3a - 2.a.a 3.� = a � BC = a � � � � � � � AB + BC - AC a + 7a - 3a � cos ABC = = = AB.BC 14 2a.a � = a.a = a SD ABC = AB AC.sin BAC 2 2 � Xét tam giác ABN có AN = AB + BN - AB.BN cos ABC � AN = a + 28a - 2.a.2a 7 =19a � AN = a 19 14 a2 a = 57 = = CH AN � CH = 38 a 19 2 Ta lại có SD ACN = SD ABC a 3a 11a a 418 MH = MC + CH = + = � MH = 76 38 38 Suy sin a = Vậy BB � = MH a a 418 38 = 418 22 Chọn D 19 418 22 Nhận xét: Với lựa chọn cách tính khoảng cách từ điểm M) C đến giao tuyến AN mặt phẳng ( AB � tương tự cách B C có đáy tam giác cạnh 3a , hình chiếu vng Bài 6: Cho lăng trụ ABC A��� ABC ) góc A� lên mặt phẳng ( điểm H thuộc cạnh AB thỏa mãn uuur uuur r tan j = AH + BH = , j góc AA�và mặt đáy, biết Khi tan góc hai mặt phẳng HC ) ( ABC � ) ( A� B 12 A D 18 C Lời giải HC ) = HI ) �( A� C Ta có ( ABC � Gọi I giao điểm AC �và A� Gọi a HC ) ( ABC � ) ( A� góc hai mặt phẳng Khi sin a = d ( C ,( ABC � )) d ( C , HI ) Xét tam giác BCH ta có � CH = BC + BH - BC BH cos ABC � CH = 9a + a - 2.3a.a = a � CH = a �AH = j ABC ) Góc AA�và ( A� Ta có tan j = A� H = � A� H = a AH HC vng cân H Từ suy tam giác A� C ^ HI hay Do đó, A� d ( C , HI ) = CI = A� C a 14 = 2 ABC ) Gọi N hình chiếu vng góc C �lên mặt phẳng ( Khi CN / / AB 20 Kẻ NK ^ AB ( K �AB ) , NK = CM = 3a ( CM trung tuyến tam giác cạnh 3a ) Kẻ NT ^ C � K ( T �C � K ) , dễ thấy d ( C ,( ABC � ) ) = d ( N ,( ABC � ) ) = NT NK vuông N , đường cao NT , ta có Xét tam giác C � 1 1 55 1155 = + = 2+ = � NT = 2 2 NT C� N NK 7a 27 a 189a 55 NT sin a = = CI Suy 3a 1155 330 55 = � tan a = 55 a 14 Chọn C Nhận xét: Đây xác định góc khó, sử dụng khoảng cách để tính góc hai mặt phẳng coi phương pháp tối ưu Cũng tập trên, có nhiều lựa chọn khác việc chọn tính khoảng cách từ điểm tới đường thẳng mặt phẳng để giải toán c Một số tập đề nghị Bài 1: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp đường SA   ABCD  tròn đường kính AB  2a , SA  a Khi tan góc hai mặt SAD  SBC  phẳng   A B C 14 D 14 Bài 2: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a, cạnh bên SA  a vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M , N trung điểm SB SD ,  góc hai mặt phẳng  AMN   SBD  Giá trị sin  2 B C D Bài 3: Cho hình chóp S ABCD có ABCD hình thang vng A D, AB  2a, AD  DC  a, SA vng góc với đáy Góc hai mặt phẳng  SCD   ABCD  A SBC  ABCD  60 Khi đó, tan góc hai mặt phẳng   A B C 21 D Bài 4: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B , SA vng góc với mặt phẳng phẳng  ABCD   ABCD  , AB  BC  a, AD  2a Biết góc SC mặt SAD  SCD  45 Khi góc hai mặt phẳng   A 30 �6� arccos � � � � C B 45 D 60 Bài 5: Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a , cạnh bên a Khi đó, sin góc mặt bên mặt đáy 10 15 C A B D Bài 6: Cho hình chóp tứ giác S ABCD , có cạnh đáy a, cạnh bên a Gọi M trung điểm SC Khi đó, sin góc hai mặt phẳng  MBD   ABCD  A 10 B 15 C D Bài 7: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' có AB = 2a, AD = a, AA ' = a C B) C D) ( A�� ( A�� Gọi a góc hai mặt phẳng Tính sin a A sin a = 15 19 B sin a = 11 19 C sin a = 15 19 D sin a = 15 19 B C có BA� = CA� = AA� = 2a , BA = BC = a , Bài 8: Cho hình lăng trụ ABC A��� A) B) � ( BCC �� ABC =1200 Gọi a góc hai mặt phẳng ( ABB �� , tính sin a A sin a = 5 B sin a = C sin a = 6+ sin a = D B C D có tâm O Bài 9: (Đề thi THPT Quốc gia 2018) Cho hình lập phương ABCD A���� B C D M điểm thuộc đoạn thẳng OI Gọi I tâm hình vng A���� 22 D) ( MC �� ( MAB) cho MO = 2MI Khi đó, cơsin góc tạo hai mặt phẳng 85 A 85 85 B 85 17 13 C 65 13 D 65 d Đánh giá hiệu đề tài Với việc vận dụng đề tài vào ôn luyện thi THPT Quốc Gia bồi dưỡng học sinh giỏi kết hợp với giảng dạy phần kiến thức khác chương trình mơn Tốn đạt hiệu định, kết thi học sinh nâng cao rõ rệt Tôi tiến hành dạy thực nghiệm đề tài lớp 12B8 kiểm tra kỹ giải tập phần tính góc hai mặt phẳng lớp 12B6 12B8( 12B6 có mặt tư tốt hơn) nhận thấy kết quả: Số HS giải tốn theo Lớp Sĩ số 12B6 40 phương pháp truyền thống SL TL(%) 38 95% Số HS giải toán theo phương pháp SL TL(%) 5% 12B8 38 7,9% 35 92,1% Trong học sinh lớp 12B6 giải toán theo phương pháp vận dụng khoảng cách để tính góc em thuộc đội tuyển ôn thi học sinh giỏi tiếp thu nội dung đề tài Đồng thời nhận thấy em vận dụng phương pháp truyền thống trình giải lúng túng, nhiều em chưa đưa đến kết xác Các học sinh vận dụng khoảng cách vào tính góc hai mặt phẳng đưa kết nhanh xác Từ kết đánh trên, rút kết luận rằng: Đề tài có tính khoa học, hiệu cao, vận dụng tốt dạy học KẾT LUẬN Trong q trình giảng dạy cho học sinh, tơi thấy việc vận dụng khoảng cách vào tốn tính góc hai mặt phẳng giúp học sinh dễ dàng nhanh chóng tìm kết Cũng thơng qua cách giải học sinh thành thạo kỹ tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng mặt phẳng Qua đó, vận dụng nhiều tốn 23 hình học khơng gian có đề thi THPT Quốc gia, giúp em tự tin để giải toán nhanh gọn, phù hợp với hình thức thi cử Thơng qua đề tài này, dễ dàng nhận thấy có nhiều lựa chọn để tính góc thơng qua khoảng cách, việc lấy điểm phù hợp để tính khoảng cách tới giao tuyến mặt phẳng tương ứng, qua giúp học sinh tự tin để giải dạng toán Với nội dung đề tài này, giáo viên triển khai giảng dạy đối tượng học sinh khá, giỏi với thời lượng buổi Đồng thời đề tài phương pháp mà giáo viên học sinh sử dụng, từ để người thảo luận, đóng góp ý kiến phát triển thêm từ làm phong phú phương pháp giải tốn góc hai mặt phẳng tốn liên quan đến hình học khơng gian Trong thực tế giảng dạy tơi thấy có nhiều dạng tập liên quan tới tính góc hai mặt phẳng vận dụng khoảng cách để tính nhanh gọn Tuy nhiên chưa thể đề cập tới vấn đề cách sâu rộng mong góp ý đồng nghiệp để đề tài hồn thiện Trong q trình thực đề tài tơi có tham khảo số tài liệu sau: - Sách Hình học 11 – Trần văn Hạo - Sách chuyên đề trọng điểm bồi dưỡng học sinh giỏi hình học khơng gian – Nguyễn Quang Sơn - Hệ thống đề thi THPT Quốc Gia, đề thi thử Sở GD – ĐT Hà Tĩnh, trường THPT toàn Quốc - Các trang web www.toanmath.com; www.mathvn.com; www.facebook.com; KIẾN NGHỊ Qua thực tế dạy học Toán truờng THPT tơi có số kiến nghị, đề xuất sau: - Cần triển khai buổi học chuyên đề phân tích đề thi THPT Quốc Gia sau có đề minh họa đề thi thức giáo dục - Các viết đề tài hay cần Sở GD - ĐT chia rộng rãi buổi chuyên đề để đồng nghiệp học hỏi trao đổi kinh nghiệm Trên số ý kiến thân rút trình dạy học trường THPT Vì thời gian có hạn, ứng dụng đề tài phạm vi đơn vị nên việc kiểm chứng gặp nhiều khó khăn Mặc dù tơi mạnh dạn đề xuất mong góp ý đồng nghiệp để đề tài hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! 24 ... xét: Ở việc xác định góc hai mặt phẳng khó Do đó, ta nên vận dụng khoảng cách để tính góc Lựa chọn tính khoảng cách từ điểm B đến giao MNP ) tuyến PQ mặt phẳng ( hay tính khoảng cách từ điểm N ,... nhận thấy, sử dụng cách cần phải xác định góc cụ thể, sử dụng cách thứ không cần góc mà tính thơng qua khoảng cách b Các tập vận dụng Vấn đề 1: Tính góc hai mặt phẳng hình chóp Bài 1: ( Đề thi... bước để tính tính góc hai mặt phẳng thơng qua khoảng cách bao gồm: Bước 1: Tìm giao tuyến hai mặt phẳng Bước 2: Chọn điểm A thuộc hai mặt phẳng không nằm giao tuyến, sau tính khoảng cách từ điểm