SKKN vận dụng khoảng cách trong bài toán tính góc giữa hai mặt phẳng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: VẬN DỤNG KHOẢNG CÁCH TRONG BÀI TỐN TÍNH GĨC GIỮA HAI MẶT PHẲNG Năm học 2019 - 2020 MỤC LỤC I Đặt vấn đề Lý chọn đề tài Mục tiêu, đối tượng nghiên cứu Giả thiết khoa học Dự báo đóng góp đề tài II Giải vấn đề Cơ sở lý thuyết Cơ sở thực tiễn Nội dung a Ví dụ mở đầu b Các tập vận dụng Vấn đề Tính góc hai mặt phẳng hình chóp Vấn đề Tính góc hai mặt phẳng hình lăng tr c Một số tập đề nghị d Đánh giá hiệu đề tài III Kết luận IV Kiến nghị I ĐẶT VẤN ĐỀ Lý chọn đề tài Trong q trình giảng dạy, ơn thi THPT Quốc gia thường gặp toán liên quan đến góc, có tốn góc hai mặt phẳng Với nhiều học sinh, giáo viên nhiều lúng túng việc xác định phương pháp để giải tốn Thơng thường tính góc hai mặt phẳng, thường sử dụng định nghĩa, sử dụng cách xác định góc hai mặt phẳng cắt nhau, phương pháp tọa độ hóa…Tuy nhiên, q trình giải có nhiều u cầu nhận định tính tốn phức tạp, nhiều thời gian Với lý trên, với mong muốn góp phần phát triển tư duy, kỹ cho học sinh, xin giới thiệu phương pháp mà giáo viên học sinh sử dụng “Vận dụng khoảng cách tốn tính góc hai mặt phẳng” Mục tiêu, đối tượng nghiên cứu Phát triển tư rèn luyện kỹ giải tập liên quan đến góc hai mặt phẳng cho học sinh khá, giỏi Nâng cao hiệu việc ôn thi THPT Quốc gia Đề tài áp dụng hiệu cho đối tượng học sinh khá, giỏi lớp 11, 12 Giả thiết khoa học Nếu đưa đề tài “Vận dụng khoảng cách tốn tính góc hai mặt phẳng” vào giảng dạy ơn thi THPT Quốc gia tạo hứng thú kích thích đam mê học tập mơn cho học sinh Đồng thời học sinh tự tin việc giải dạng tập Riêng phần tập tính góc hai mặt phẳng, học sinh khắc sâu kiến thức có kỹ giải nhanh khơng tốn góc mà tốn liên quan đến tính khoảng cách thường gặp đề thi Dự báo đóng góp đề tài Đề tài “Vận dụng khoảng cách tốn tính góc hai mặt phẳng” giúp nắm thêm cách để tính góc hai mặt phẳng, đồng thời củng cố thêm phương pháp tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng mặt phẳng khơng gian Từ rèn luyện tư kỹ việc dạy học toán Đề tài giúp giải tốn liên quan đến góc cách nhanh chóng, đặc biệt khó xác định góc hai mặt phẳng thực cơng cụ hữu hiệu Qua số tập điển hình trình bày chun đề, ví dụ xếp từ dễ đến khó giúp học sinh nhận ưu việt vận dụng phương pháp vào giải tập AI GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Cơ sở lý thuyết Phương pháp vận dụng khoảng cách tốn tính góc hai mặt phẳng β Giả sử hai mặt phẳng A a, dựng AK a , K a , Khi đó, a AHK suy Từ suy sin Như vậy, bước để tính tính góc hai mặt phẳng thơng qua khoảng cách bao gồm: Bước 1: Tìm giao tuyến hai mặt phẳng Bước 2: Chọn điểm A thuộc hai mặt phẳng khơng nằm giao tuyến, sau tính khoảng cách từ điểm A đến giao tuyến mặt phẳng lại (Ở có nhiều cách lựa chọn điểm A, học sinh tự tin q trình tính tốn Thơng thường để dễ dàng tính khoảng cách hay chọn điểm A hình chiếu vng góc đỉnh xuống mặt đáy Tuy nhiên nhiều tốn phụ thuộc vào cách nhìn nhận người, vấn đề chọn điểm tơi trình bày phần nhận xét sau tập cụ thể) Bước 3: Thay vào cơng thức tính kết luận Cơ sở thực tiễn Trong q trình ơn thi THPT Quốc gia nhận thấy dạng tập liên quan đến góc hai mặt phẳng khai thác nhiều đề thi Tại đơn vị công tác, học sinh gặp dạng toán thường hay lúng túng khó khăn việc đưa phương hướng giải kể đối tượng học sinh giỏi Sau học sinh tiếp thu nội dung đề tài vận dụng vào toán cụ thể đề thi (đề thi THPT Quốc Gia 2018, đề thi thử Sở GD – ĐT Hà Tĩnh 2019…) em giải tốn nhanh chóng tự tin Từ tư duy, kỹ giải tập em nâng lên rõ rệt Nội dung a Ví dụ mở đầu: ( Đề thi thử Sở GD – ĐT Hà Tĩnh năm 2019) S ABCD có đáy hình vng, mặt phẳng SBC A Cách 1: Sử dụng cách xác định góc hai mặt phẳng cắt Đặt DC a a Kẻ BH SC H SC Dễ thấy BD SACBD SC Từ suy Ta có SBC SDC SC Khi Xét tam giác SBC vng B, đường cao BH , ta có BH 1 SB 2a Ta lại có SBC SDC DH BH BD đường chéo hình vng nên BD a Xét tam giác HBD , ta có cos BHD Suy coscos BHD Cách 2: Vận dụng khoảng cách để tính góc hai mặt phẳng cắt Đặt DC a, a Ta có SBCSDC Khi sin Gọi giác SAD , tam giác SBC Ta có d B , SC BK DC SAB (vì DC AB , DC SA SA ABCD AH SDC Xét tam giác SAD vuông A, đường cao AH , ta có AH Xét tam giác SBC vuông B , đường cao BK , ta có AB 1 BK SB a Từ suy sin Nhận xét: Ở việc xác định tính AH , BK dễ dàng, vận dụng khoảng cách vào tính góc giải gọn nhẹ nhanh chóng Thay lựa chọn điểm B trên, chọn điểm D với vai trị hồn tồn tương tự Qua hai cách giải trên, dễ dàng nhận thấy, sử dụng cách cần phải xác định góc cụ thể, cịn sử dụng cách thứ không cần góc mà tính thơng qua khoảng cách b Các tập vận dụng Vấn đề 1: Tính góc hai mặt phẳng hình chóp Bài 1: ( Đề thi thử Sở GD – ĐT Thành Phố Hồ Chí Minh năm 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng B, AB a, AC 2a , SA 2a, SA ABC Gọi góc hai mặt phẳng SAC A Ta có SACSBC SC Khi sin KẻAH SB, H SB Vì BC AB , BC SA SA ABC BC SABBC AH Từ suy AH SBC hay d A, SBCAH Kẻ AK SC K SCd A, SC AK Xét tam giác SAB vuông A, đường cao AH , ta có AH Xét tam giác SAC vuông A, đường cao AK , ta có AK S.ABCD Nhận xét: Trong này, việc tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC toán quen thuộc ( A chân đường cao hạ từ đỉnh xuống mặt đáy) Tuy nhiên, chọn điểm B để tính cơng việc dễ dàng khơng việc tính từ điểm A Đây điểm thực bật phương pháp Bài 2: Cho hình chóp có ABCD hình vng cạnh a Tam giác SAD nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M trung điểm AD , góc tạo hai mặt phẳng SCM SAB Khi đó, cot A Lời giải Ta có M trung điểm ABCD Kẻ CM cắt AB E Khi đó, A trung điểm BE , suy AE AB a Ta có SCM SAB AD nằm mặt phẳng vng góc với đáy suy Mặt khác tam giác SAD SM AD , tam giác SAD nên SM SE Suy sind A, SCM d A, SE Gọi K , H hình chiếu vng góc lên SE Vì EM Ta có d A, SE AK AB AD, AB SM AB SAD AB SA sin KẻBH AM H AM ,BK SH K H M C Suy d B , B AM BK A D Xét tam giác B BH vuông B , đường cao BK , ta có BK Kẻ CP BN P B N Khi d C , B N CP Xét tam giác B CN vuông C , đường cao CP , ta có CP 15 a Vậy sin Nhận xét: Việc tính toán đơn giản nhẹ nhàng, thay lựa chọn tính khoảng cách từ điểm C đến giao tuyến B N mặt phẳng B AM lựa chọn tính khoảng cách từ điểm A đến giao tuyến mặt phẳng A B CD , việc hoàn toàn đơn giản, tương tự câu Câu 4: Cho lăng trụ đứng ABC A B C có đáy tam giác tất cạnh a , M trung điểm A B Cơsin góc tạo hai mặt phẳng MBC ACC A A 10 Kẻ AA cắt BM Gọi góc tạo hai mặt phẳng MBC Khi sin Gọi N trung điểm cạnh AC Ta có BN AC , Hay d B , ACC ABN Tam giác ABC đề u cạnh a nê n BN C M Kẻ BK DC K DCd B , DCBK Ta có S C BD Xét tam giác ABD vng A, ta có BD a 2a2 a Xét tam giác DMC Do đó, BK a Suy sin Nhận xét: Ở này, vận dụng khoảng cách để tính tốn đơn giản Và tơi trình bày, có nhiều cách lựa chọn điểm để tính khoảng cách tới giao tuyến mặt phẳng lại Với trên, thay lựa chọn điểm B , ta chọn điểm A cơng việc lại gọn nhẹ nhiều Kẻ AA cắt BM D Ta có Gọi MBC ACC A góc tạo hai mặt phẳng MBC C D ACC A Khi sin KẻAH Ta có C M BD H ABB A BD AH CM Từ suy A H MBC hay d A, MBC A H Xét tam giác A DM vuông A , đường cao A H , ta có AH Kẻ A K DC K DC d A , DC AK Xét tam giác A DC vuông A , đường cao A K , ta có AK2 a Từ suy sin Bài 5: Cho hình lăng trụ đứng BAC 150 mặt phẳng ABC Khẳng định sau đúng? Gọi M D sin A sin 22 Lời giải Kẻ BC cắt B M N Khi M trung điểm B N Ta có AB M 418 ABC AN B' C' Khi sin Ta có d B , ABC BB a Kẻ MH AN H AN d M , AN MH Xét tam giác ABC ta có A' a B a a3 1500 M C N H A BC AB BC a 3a 2.a.a cos ABC S ABC Xét tam giác ABN có AN AN a 28a 2.a.2a Ta lại có S ACN 19 a AN a 19 14 18 Suy MH Vậy sin Nhận xét: Với lựa chọn cách tính khoảng cách từ điểm C đến giao tuyến AN mặt phẳng AB M tương tự cách Bài 6: Cho lăng trụ ABC A B C góc A AH BH hai mặt phẳng ABC A HC A Gọi I giao điểm AC Gọi góc hai mặt phẳng ABC A HC Khi sin Xét tam giác BCH ta có CH CH a a 2.3a.a Góc AA BC BH Ta có tan AH AH A a AH Từ suy tam giác A HC vng cân H Do đó, A C HI hay d C , HI CI AC M H B a 14 2 Gọi N hình chiếu vng góc C lên mặt phẳngABC Khi CN / / AB 19 φ AB K AB , NK CM 3a ( CM trung tuyến tam giác cạnh 3a ) Kẻ NT CK T C K , dễ thấy d C , ABC d N , ABC NT Xét tam giác C NK vng N , đường cao NT , ta có 1 NT CN Suy sin Nhận xét: Đây xác định góc khó, sử dụng khoảng cách để tính góc hai mặt phẳng coi phương pháp tối ưu Cũng tập trên, có nhiều lựa chọn khác việc chọn tính khoảng cách từ điểm tới đường thẳng mặt phẳng để giải toán c Một số tập đề nghị Bài 1: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp đường trịn đường kính AB 2a , SA ABCD SA a Khi tan góc hai mặt phẳng SAD SBC C 14 B Bài 2: Cho hình chóp có đáy hình vng cạnh S.ABCD 14 D A SA a vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M , N trung điểm SB SD , góc a, cạnh bên hai mặt phẳng AMN SBD Giá trị sin A Bài 3: Cho hình chóp S ABCD có AD DC a, 600 Khi đó, tan góc hai mặt phẳng SBC A 20 Bài 4: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B , SA vng góc với mặt phẳng ABCD , AB BC a , AD 2a Biết góc SC mặt phẳng ABCD 450 Khi góc hai mặt phẳng SAD SCD Bài 5: Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a , cạnh bên a Khi đó, sin góc mặt bên mặt đáy 10 A a Gọi M trung điểm SC Khi đó, sin góc hai mặt phẳng MBD ABCD 10 A Bài 7: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' Gọi góc hai mặt phẳng A C B A C D Tính sin A sin Bài 8: Cho hình lăng ABC 120 Gọi A sin Bài 9: (Đề thi THPT Quốc gia 2018) Cho hình lập phương ABCD A B C D có tâm O Gọi I tâm hình vng A B C D M điểm thuộc đoạn thẳng OI cho MO 2MI Khi đó, cơsin góc tạo hai mặt phẳng MC D 85 A 85 d Đánh giá hiệu đề tài Với việc vận dụng đề tài vào ôn luyện thi THPT Quốc Gia bồi dưỡng học sinh giỏi kết hợp với giảng dạy phần kiến thức khác chương trình mơn Tốn đạt hiệu định, kết thi học sinh nâng cao rõ rệt Tôi tiến hành dạy thực nghiệm đề tài lớp 12B8 kiểm tra kỹ giải tập phần tính góc hai mặt phẳng lớp 12B6 12B8( 12B6 có mặt tư tốt hơn) nhận thấy kết quả: Lớp 12B6 12B8 Trong học sinh lớp 12B6 giải toán theo phương pháp vận dụng khoảng cách để tính góc em thuộc đội tuyển ôn thi học sinh giỏi tiếp thu nội dung đề tài Đồng thời nhận thấy em vận dụng phương pháp truyền thống trình giải cịn lúng túng, nhiều em chưa đưa đến kết xác Các học sinh vận dụng khoảng cách vào tính góc hai mặt phẳng đưa kết nhanh xác Từ kết đánh trên, rút kết luận rằng: Đề tài có tính khoa học, hiệu cao, vận dụng tốt dạy học KẾT LUẬN Trong trình giảng dạy cho học sinh, thấy việc vận dụng khoảng cách vào tốn tính góc hai mặt phẳng giúp học sinh dễ dàng nhanh chóng tìm kết Cũng thông qua cách giải học sinh thành thạo kỹ tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng mặt phẳng Qua đó, vận dụng nhiều tốn hình học khơng gian có đề thi THPT Quốc gia, giúp em tự tin để giải toán nhanh gọn, phù hợp với hình thức thi cử Thơng qua đề tài này, dễ dàng nhận thấy có nhiều lựa chọn để tính góc thơng qua khoảng cách, việc lấy điểm phù hợp để tính khoảng 22 cách tới giao tuyến mặt phẳng tương ứng, qua giúp học sinh tự tin để giải dạng toán Với nội dung đề tài này, giáo viên triển khai giảng dạy đối tượng học sinh khá, giỏi với thời lượng buổi Đồng thời đề tài phương pháp mà giáo viên học sinh sử dụng, từ để người thảo luận, đóng góp ý kiến phát triển thêm từ làm phong phú phương pháp giải toán góc hai mặt phẳng tốn liên quan đến hình học khơng gian Trong thực tế giảng dạy tơi thấy cịn có nhiều dạng tập liên quan tới tính góc hai mặt phẳng vận dụng khoảng cách để tính nhanh gọn Tuy nhiên chưa thể đề cập tới vấn đề cách sâu rộng mong góp ý đồng nghiệp để đề tài hồn thiện Trong q trình thực đề tài tơi có tham khảo số tài liệu sau: - Sách Hình học 11 – Trần văn Hạo - Sách chuyên đề trọng điểm bồi dưỡng học sinh giỏi hình học khơng gian – Nguyễn Quang Sơn - Hệ thống đề thi THPT Quốc Gia, đề thi thử Sở GD – ĐT Hà Tĩnh, trường THPT toàn Quốc - Các trang web www.toanmath.com; www.mathvn.com; www.facebook.com; KIẾN NGHỊ Qua thực tế dạy học Tốn truờng THPT tơi có số kiến nghị, đề xuất sau: - Cần triển khai buổi học chuyên đề phân tích đề thi THPT Quốc Gia sau có đề minh họa đề thi thức giáo dục - Các viết đề tài hay cần Sở GD - ĐT chia rộng rãi buổi chuyên đề để đồng nghiệp học hỏi trao đổi kinh nghiệm Trên số ý kiến thân rút trình dạy học trường THPT Vì thời gian có hạn, ứng dụng đề tài phạm vi đơn vị nên việc kiểm chứng gặp nhiều khó khăn Mặc dù tơi mạnh dạn đề xuất mong góp ý đồng nghiệp để đề tài hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! 23 ... góc hai mặt phẳng khó Do đó, ta nên vận dụng khoảng cách để tính góc Lựa chọn tính khoảng cách từ điểm B đến giao tuyến PQ mặt phẳng MNP hay tính khoảng cách từ điểm N , M đến giao tuyến PQ mặt. .. nhận thấy, sử dụng cách cần phải xác định góc cụ thể, cịn sử dụng cách thứ khơng cần góc mà tính thơng qua khoảng cách b Các tập vận dụng Vấn đề 1: Tính góc hai mặt phẳng hình chóp Bài 1: ( Đề... bước để tính tính góc hai mặt phẳng thơng qua khoảng cách bao gồm: Bước 1: Tìm giao tuyến hai mặt phẳng Bước 2: Chọn điểm A thuộc hai mặt phẳng không nằm giao tuyến, sau tính khoảng cách từ điểm