Bài tập tính khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng

Cho hình chóp S ABCD... Cho hình chóp S ABC.

Bài 1 Cho hình chóp S ABC có ABC là tam giác đ u c nh a Hai m t ph ng (SAC), (SAB) cùng

vuông góc v i đáy và góc t o b i SC và đáy b ng 0

60 Tính kho ng cách t A t i m t ph ng (SBC)

theo a

Gi i

Do





Suy ra góc t o b i SC và m t đáy là

0

30

SCA SA ACtanSCA a 3

G i I H, l n l t là hình chi u vuông góc

c a A trên BC SI, khi đó



AI BC

BC SAI

M t khác: AH SI nên suy ra AH (SBC)

Do đó d A SBC( , ( ))AH Tam giác ABCđ u c nh a nên 3

2

a

AI 

Khi đó xét tam giác SAI: 1 2 12 12 12 42 52

5

a AH

V y ( , ( )) 15

5

a

d A SBC 

Bài 2 Cho hình chóp S ABCD có ABCD hình thang vuông t i A và D Bi t ADDCa AB, 2a;

SA vuông góc v i đáy và góc t o b i SC và m t ph ng (SAD) b ng 0

30 Tính kho ng cách t Ađ n

m t ph ng (SBC)

Gi i



Suy ra SD là hình chi u vuông góc c a SC trên m t ph ng (SAD)

Do đó góc t o b i SD và m t ph ng (SAD) là CSD300

sin 30 sin

CSD

G i K là trung đi m c a AB khi đó

KHO NG CÁCH T ĐI M T I M T

ĐÁP ÁN BÀI T P T LUY N Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG

I

H

C

B A

S

H

K

B A

S

Hocmai.vn– Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam

Khóa h c: Pen C – N3(Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng) Chuyên đ : Hình h c không gian

ADCK là hình vuông nên:

2

AC

CK a Suy ra tam giác ACB vuông t i C hay ACCB

M t khác SACBCB(SAC)

G i H là hình chi u vuông góc c a A trên SC

CB AH AH (SBC) d A SBC( , ( )) AH









AC  AD DC  a SA SC AC  a  a  a

Xét tam giác SAC : 1 2 12 12 12 12 12

AH  SA  AC  a  a  a   V y d A SBC( , ( ))a

Bài 3.(A, A1 2004) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh a , 3

2

a

SD , hình chi u vuông góc c a S trên m t ph ng ABCD là trung đi m c a c nh AB Tính theo a kho ng cách

t Ađ n m t ph ng (SBD)

Gi i:

G i H là trung đi m c a ABSH (ABCD)

  ( , ( ))

( , ( ))

( , ( )) 2 ( , ( ))

K HMDB (MDB) và HKMS (KSM)







Mà HKSM do đó

HK SBD d H SBD HK (2)

.sin sin 45

Xét tam giác SHM: 1 2 12 1 2 12 82 92

3

a HK

T (1), (2) và (3) suy ra: ( , ( )) 2

3

a

d A SBD 

Bài 4 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình ch nh t, AB a , SA BC 2a Bi t hai m t ph ng

(SAC) và (SBD) cùng vuông góc v i m t đáy Tính theo a kho ng cách t Ađ n m t ph ng (SBC)

Gi i :

G i AC BD H

M K

H

D

C B

A

S

Ta có:









Ta có

Xét tam giác SAH ta có :

2

4

( , ( ))

K HI BC (IBC), suy ra BC HI BC (SHI)





AB a

HI  

K HKSI (K ), suy ra SI HK BC HK (SBC) d H SBC( , ( )) HK

HK SI



a HK

6

a

d A SBC 

Bài 5 (B 2013) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông c nh a , m t bên SAB là tam giác

đ u và n m trong m t ph ng vuông góc v i đáy Tính theo a kho ng cách t Ađ n m t ph ng

(SCD)

Gi i :

G i H là trung đi m c a ABSHAB và 3

2

a

SH 

Ta có









Có AH/ /CDAH/ /(SCD)d A SCD( , ( ))d H SCD( , ( ))

K HI CD ( ICD) , suy ra CD(SHI)

K HKSI (KSI), suy ra HK CD HK (SCD)

HK SI





 Khi đó d A SCD( , ( ))d H SCD( , ( ))HK

a HK

7

a

d A SCD 

Bài 6 Cho hình h p đ ng ABCD A B C D có đáy là hình vuông tam giác A AC vuông cân, A C = a Tính

theo a kho ng cách t đi m A đ n m t ph ng (BCD )

Gi i:

S

I

K

H

B A

I

K S

H

D

C B

A

Hocmai.vn– Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam

Khóa h c: Pen C – N3(Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng) Chuyên đ : Hình h c không gian

Do tam giác A AC vuông cân, suy ra ' '

K AH A B' (HA B' ) (1)

Do CB(ABB A' ')CBAH (2)

T (1) và (2) suy ra AH (BCD A' ')

d A BCD( , ( '))d A BCD A( , ( ' ')) AH

Ta có ABCD là hình vuông nên

2 2

AC a

Xét tam giác ABA' ta có:

a AK

6

a

d A BCD 

Bài 7 Cho hình lăng tr tam giác ABC A B C ' ' ' có đáy ABC là tam giác vuông t i A và

ABa BC a Bi t hình chi u c a B' lên m t ph ng (ABC) trùng v i tâm c a đ ng tròn ngo i

ti p tam giác ABC và góc gi a đ ng th ng CC và m t ph ng ' ( ' 'A B C') b ng 0

60 Tính theo a

kho ng cách t đi m B t i m t ph ng ( 'B AC)

Gi i:

G i H là trung đi m c a BC

Do tam giác ABC vuông t i A nên H là tâm c a đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABC

( , ( ' ))

K HI AC ( IAC), suy ra AC ( 'B HI)

K HKB I' (KB I' ), suy ra:

'

HK B I



( ' ' ') / /( )







0

(BB', (ABC)) (CC', ( ' 'A B C')) 60

B HBH B BHa a

Ta có HI/ /BA (vì cùng vuông góc v i AC ), suy ra

AB a

a HK

T (1); (2) và (3), suy ra ( , ( ' )) 2 39

13

a

d B B AC 

Bài 8 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thoi c nh a , c nh bên SA vuông góc v i đáy

0

120

45 SMA Tính theo a kho ng cách t B đ n m t

ph ng (SDC)

Gi i:

Do AB// DC AB//(SDC)

d B SDC( , ( ))d A SDC( , ( )) (1)

C' B'

A'

I

K

B

A

H D'

C'

B' A'

B A

K ANDC ( NDC)

Do ABCD là hình thoi c nh a và 0

120 BAD nên ABC ADC, đ u là các tam giác đ u c nh a

2

a

AM AN

G i H là hình chi u vuông góc c a A trên SN khi đó





mà AH SNAH(SCD)d A SCD( , ( )) AH (2)

Xét tam giác SAN ta có:

a AH

6 ( , ( ))

4

a

d B SCD 

Bài 9 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là hình chóp đ u c nh a G i M là trung đi m c a c nh

AB, hình chi u vuông góc c a S trùng v i tr ng tâm c a tam giác MBC , bi t 2

3

a

SC Tính theo a kho ng cách t C đ n m t ph ng (SAB)

Gi i :

G i H là tr ng tâm tam giác MBC , suy ra SH(ABC)

G i CH BM I CH (SAB) I

( , ( ))

K HDAB (DAB)AB(SHD)

K HKSD (KSD), suy ra :

HK AB HK (SAB) d H SAB( , ( )) HK





Tam giác ABC đ u c nh a nên 3

2

a

CM 

a

12

a HK

S

I K

M

H D

C B

A

N

M

S

H

B A

Hocmai.vn– Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam

Khóa h c: Pen C – N3(Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng) Chuyên đ : Hình h c không gian

4

a

d C SAB 

Bài 10 Cho hình chóp S ABC có BAC1200, BCa 3,

2

a

SA G i M là trung đi m c a BC và

BC vuông góc v i m t ph ng (SAM) Bi t góc t o b i SM và m t ph ng (ABC) b ng 0

60 Tính theo

a kho ng cách t đi m B t i m t ph ng (SAC)

Gi i:

Do BC(SAM), suy ra góc t o b i SM và m t ph ng (ABC) là 0

60 SMA (1)

BC a

MC  và AMBC, suy ra tam giác ABC cân t i ACAM 600

0

3

T (1) và (2) suy ra tam giác SAM đ u

Khi đó g i H là trung đi m c a AMSHAM

mà SH BC (do BC(SAM))SH (ABC)SH AC

K HI AC ( IAC)AC(SHI)

D ng HKSI (K ) SI HK(SAC)d H SAC( , ( ))HK

SH

sin sin 60

a HK

20

a

d H SAC  (*)

( , ( ))

( , ( ))

5

, ( )

d B SAC  d H SAC  a

Bài 11 Cho hình h p ABCD A B C D có ABCD là hình vuông c nh a Hình chi u vuông góc c a ' ' ' ' '

A xu ng m t đáy (ABCD) là trung đi m M c a AB và góc t o b i đ ng th ng AA' và m t

ph ng (ABCD) b ng 0

60 Tính kho ng cách t B đ n m t ph ng (AA C' ) theo a

Gi i:

MA là hình chi u vuông góc c a AA' trên m t ph ng(ABCD)

Nên ta có A AM' 600 là góc t o b i AA' và m t ph ng

(ABCD) Suy ra A AB' là tam giác đ u c nh

2

a

AB a A M 

M

K I

S

C

B

A H

Ta có   ( , ( ' ))

( , ( ' ))

d B A AC( , ( ' ))2 (d M A AC, ( ' )) (1)

K MI AC ( IAC)

M t khác ACA M' AC( 'A MI) G i H là hình chi u vuông góc c a M trên A I'

( ' ) ( , ( ' )) '

A I MH







a MH

MH  MA MI  a a  a  

(3)

T (1); (2) và (3), suy ra: ( , ( ' )) 21

7

a

d B AA C 

Bài 12 Cho hình lăng tr ABC A B C ' ' ' có đáy ABC là tam giác đ u c nh a Hình chi u vuông góc

c a A' trên m t ph ng (ABC) là trung đi m c a AB Góc t o b i A C và m t ph' ng đáy (ABC)

60 Tính theo a kho ng cách t trung đi m M c a BC đ n m t ph ng (ACC A' ')

Gi i:

G i H là trung đi m c a ABA H' (ABC), suy ra

góc t o b i A C và m t ph' ng đáy (ABC) là 0

A CH 

Do HM là đ ng trung bình trong tam giác ABC

MH// ACMH//(ACC A' ')

d M ACC A( , ( ' '))d H ACC A( , ( ' ')) (*)

D ng HI AC (IAC) và k HKA I' (1)

'

AC IH

AC A H





T (1) và (2) suy ra HK(ACC A' ')

d H ACC A( , ( ' '))HK (2*)

Do ABC là tam giác đ u c nh a nên 3

2

a

CH  và

2

3 4

ABC

a

A HHC A CH   Lúc này ta tính HI theo hai cách sau:

Cách 1: Ta có

2

3

4

AHC ABC

a

HI

sin sin 60

a HK

26

a

M

600

H

K I

C'

B' A'

C

B A

Hocmai.vn– Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam

Khóa h c: Pen C – N3(Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng) Chuyên đ : Hình h c không gian

Bài 13 Cho hình chóp S ABC có ABC là tam giác đ u c nh a Hình chi u vuông góc c a S xu ng

m t đáy trùng v i tr ng tâm tam giác ABC Góc t o b i m t ph ng (SBC) và m t đáy b ng 0

30 G i

3

MS  MA Tính kho ng cách t M đ n m t ph ng (SBC) theo a

Gi i:

G i H là tr ng tâm tam giác ABC , suy ra SH (ABC)

3

MS  MA nên M thu c đo n SA và 2

5

MS

AS 

( , ( )) 2 ( , ( ))

5

M t khác: G i AH (SBC){ }I

( , ( ))

3 ( , ( )) 3 ( , ( )) ( , ( ))

D ng HKSI (KSI khi đó



Mà SI HK, suy ra HK(SBC)d H SBC( , ( ))HK

Do BC(SAI) nên góc t o b i (SBC) và m t đáy là 0

30 SIA

a HK

12

a

d H SBC

5 1

3 1

a

d H SBC  a

Bài 14 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, 13

4

a

ADBC ;

3

2 ,

2

a

AB a CD Tam giác SCD vuông cân t i S và n m trong m t ph ng vuông góc v i đáy

(ABCD) Tính theo a kho ng cách t tr ng tâm c a tam giác ABD t i m t ph ng (SAB)

Gi i :

Ta có:









G i M là trung đi m c a AB; G là tr ng tâm tam giác ABD

và HG AB I , suy ra:

d H SAB  HI  DM  ( , ( )) 1 ( , ( ))

3

K I

M

H S

C

B A

S

I G

M

K

H

D

C

A

Do ABCD là hình thang cân nên ta có :

2







K HKSM ( KSM), suy ra HK AB HK (SAB) d H SAB( , ( )) HK





a HK

T (1); (2) và (3) suy ra ( , ( )) 7

14

a

d G SAB 

Bài 15 Cho lăng tr ABCD ABC D 1 1 1 1 có đáy ABCD là hình ch nh t, AB = a, ADa 3 Hình chi u

vuông góc c a A1 trên m t ph ng (ABCD) trùng v i giao đi m c a AC và BD Góc gi a hai m t ph ng

1 1

(ADD A)và (ABCD) b ng 0

60 Tính theo a kho ng cách t tâm c a hình ch nh t ABCD đ n m t

ph ng (ACD 1 )

Gi i:

G i AC BD H AH1 (ABCD)

D ngHMAD (MAD) AD(AHM1 )

Suy ra góc t o b i m t ph ng (ADD A1 1)

và (ABCD) là HMA1600

Ta có

AB a

0

3

K HI CD (ICD) và HK AI1 (KAI1 )

hay d H ACD( , ( 1 ))HK

AD a

1

a HK

HK  AH HI  a  a  a  

V y ( , ( 1 )) 6

4

a

d H ACD 

Bài 16 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông t i A và D; ABAD2a, CD = a; góc

gi a hai m t ph ng (SBC)và (ABCD)b ng 600 G i I là trung đi m c a c nh AD Bi t hai m t ph ng

(SBI)và (SCI) cùng vuông góc v i m t ph ng (ABCD), tính theo a kho ng cách t I t i m t

ph ng (SBC)

600

I

D1

C1

H

B1

A1

D

C B

A

Hocmai.vn– Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam

Khóa h c: Pen C – N3(Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng) Chuyên đ : Hình h c không gian

Gi i:

Ta có

SBI SCI SI









K IM BC(MBC)BC(SIM),

suy ra góc t o b i m t ph ng (SBC)và (ABCD) là

0

60 SMI 

D ng IH SM (HSM)BCIHIH(SBC)

d I SBC( , ( ))IH

3

ABCD

2

IAB IDC

AI AB ID DC a

Suy ra

2

3

2

IBC ABCD IAB IDC

a

BC AB DC AD a

2

3 2

5 5

IBC

a

IM

10

a

d I SBC 

Bài 17 Cho hình lăng tr tam giác ABC A B C có ' ' ' BB' , góc gi a đ ng th ng a BB'và m t ph ng

(ABC)b ng 600; tam giác ABC vuông t i C và BAC600 Hình chi u vuông góc c a đi m B' lên m t

ph ng (ABC)trùng v i tr ng tâm G c a tam giác (ABC) Tính theo a kho ng cách t G t i m t

ph ng (BCC B' ')

Gi i:

G i I là trung đi m c a AC Do B G' (ABC), suy ra

góc t o b i BB' và m t ph ng (ABC) là 0

B BG

3

2

'.cos '

a





 



.tan 60 3

Ta có:

3

BC CI BI  AC   

 

 

M I

S

H

B A

I H

K

G

C'

600

C

K GHB K' (HB K' ) (2) Theo (1) suy ra BCGH (3)

T (2) và (3) suy ra GH(BCC B' ')d G BCC B( , ( ' '))GH

a GH

40

a

d G BCC B 

Bài 18 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông c nh 2a, SA = a, SB = a 3và m t ph ng

(SAB)vuông góc v i m t ph ng đáy G i M, N l n l t là trung đi m c a các c nh BC CD, và H là hình chi u vuông góc c a S trên AB Tính theo a kho ng cách t H t i m t (SMN)

Gi i:

Ta có









4

AB  a SA SB , suy ra tam giác SAB vuông t i S Khi đó

12 12 12 12 12 42 3

a SH

SH SA SB  a  a  a  

G i I K, l n l t là hình chi u c a H trên MN SI, khi đó

MN(SHI)MNHKHK(SMN)d H SMN( , ( ))HK

Ta có CMCN a MNa 2 và

3

Suy ra

2

3

AHND HBM NCM

  

8

4 2

HNM

HI

a HK

14

a

Giáo viên : Nguy n Thanh Tùng Ngu n : Hocmai.vn

N S

I K

M H

D

C B

A