TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

ỨNG DỤNG CÁC TÍNH CHẤT HÌNH HỌC GIẢI TỐN TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Biên Soạn : Phạm Nguyên Bằng I- CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TRỰC TÂM Bài tốn 1: Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (C) tâm I, H trực tâm Gọi M,N hình chiếu B,C lên AC,AB Ta có: 1/ IA  MN Tại A, kẻ tiếp tuyến Ax với (C) Khi :  xAM =  ACB (1) (Góc tiếp tuyến dây cung = góc nt chắn cung…) Mặt khác tg BMCN nt nên :  AMN =  ACB (2) Từ (1) (2) :  xAM =  AMN => Ax // MN nên IA  MN ( Đ.p.c.m) 2/ Đường thẳng AI cắt (C) điểm thứ D ta có : tứ giác BHCD hình bình hành ( Dễ dàng chứng minh BH // CD vng với AC, tương tự có BD // CH vng với AB) 3/ Tịnh tiến IA EQ với E,Q trung điểm BC,AH +) EQ đường trung trực MN đường kính đường tròn ngoại tiếp ∆MNP 4/ Gọi G trọng tâm ∆ABC G trọng tâm ∆AHD  H,G,I thẳng hàng Biên Soạn : Phạm Nguyên Bằng 5/ AH đường phân giác  MNP H tâm đường tròn nt ∆MPN 6/ AH cắt đường tròn ngoại tiếp ∆ABC H’ H đối xứng với H’ qua BC 7/Gọi I đối xứng với I’ qua BC ta có I’ tâm đường tròn ngoại tiếp ∆HBC có bán kính bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC 8/AHI’I, ABDC hình bình hành với HD đường kính đường ngoại tiếp ∆HBC Bài tập áp dụng : Bài 1: Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn đường kính AD, M(3;-1) trung điểm BC Đường cao kẻ từ B qua điểm E(-1;-3), điểm F(1;3) nằm đường thẳng AC Tìm tọa độ điểm A viết (BC) biết D(4;-2).ĐS:A(2;2);(BC): y+1=0 Bài 2: Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (C) , đường phân giác ngồi góc A cắt (C) M(0;-3),N(-2;1) Tìm tọa độ điểm B,C biết (BC) qua E(2;-1) xC  ĐS: B(-2;-3);C(6/5;-7/5) Bài 3: Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn tâm I(2;1), bán kính R = Trực tâm H(-1;-1);BC=8 Viết (BC) ĐS: y+2=0 Bài 4: Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn tâm I(-2;0), A(3;-7), trực tâm H(3;-1) Xác  định tọa độ điểm C biết xC  ĐS: C 2  65;3  Bài 5: Cho hcn ABCD, qua B kẻ đường thẳng vuông với AC H Gọi E,F,G  17 29   17  trung điểm CH,BH,AD Biết E  ;  ; F  ;  ;G 1;5 Tìm tọa độ tâm đường  5   5 tròn ngoại tiếp ∆ABE ĐS: (3;3) Biên Soạn : Phạm Nguyên Bằng Bài 6: Cho ∆ABC, trực tâm H(-1;6) Các điểm M(2;2),N(1;1) trung điểm   9  9  5  A   ;  ; B   ;  ;C   ;  cạnh AC,BC Tìm tọa độ đỉnh ∆ABC ĐS:   2   2   2   A 1;2 ; B  1;0 ;C 3;2  Bài 7: Cho ∆ABC, đường cao AA’ có pt : x+2y-2=0, trực tâm H(2;0) Gọi BB’, CC’ đường cao (B’C’): x-y+1=0, M(3;-2) trung điểm BC Tìm tọa độ đỉnh ∆ABC 1  Bài 8: Cho ∆ABC, cho đỉnh A(2;-2), trọng tâm G(0;1) trực H  ;1  Tìm tọa độ 2  đỉnh B,C bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC Bài 9: Cho hbh ABCD biết H(4;0) trực tâm ∆BCD, I  2;3/ 2 tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABD Biết B thuộc đường thẳng : 3x – 4y = 0; xB  đường thẳng (BC) qua M(5;0) Tìm tọa độ đỉnh hbh Bài 10: Cho ∆ABC, trọng tâm G(5/3;1) nội tiếp:  C  : x  y  x  y   Điểm M(-1;-1) khác A nằm đường cao kẻ từ A Tìm tọa độ đỉnh ∆ABC biết xB  xC Bài 11: Cho ∆ABC, có A góc nhọn,M N hình chiếu A,C lên BC AB, H trực tâm ∆ABC I(2;0) tâm đường tròn ngoại tiếp ∆HMN Tìm tọa độ điểm B,C biết A(-1;4) B thuộc đường thẳng : x + 2y – = Bài 12: Cho ∆ABC, cho đỉnh A(2;-2), trực H(5;5) Đường tròn ngoại tiếp ∆ABC qua hai điểm M(7;3) N(4;2), (BC):x + y – =0 Tìm A,B,C Bài 13: Cho ∆ABC, đường trung tuyến kẻ từ A (BC) có pt : 3x + 5y – = 0, x – y – = Đườg thẳng qua A vng góc với (BC) cắt đường tròn ngoại tiếp ∆ABC điểm thứ D(4;-2) Viết pt (AB), biết xB  Bài 14: Cho ∆ABC có H(3;-2), I(8;11), K(4;-1) trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp chân đường cao kẻ từ A Tìm A,B,C Biên Soạn : Phạm Nguyên Bằng Bài 15: Cho ∆ABC có H(-31;41), I(16;-18), trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp Tìm B,C biết A(-1;1) Bài 16: Cho ∆ABC có trực tâm H thuộc d: 2x – y – = 0, M(9/2;5/2) trung điểm AB, đường tròn ngoại tiếp ∆HBC có I(5/2;-3/2); R  130 Tìm A,B,C biết B có tọa độ nguyên Bài 17: Cho ∆ABC có trực tâm H (1;1) M(3;-2) trung điểm BC Gọi E,F chân đường cao hạ từ B,C ∆ABC (EF) 2x – 5y + = Tìm tọa độ đỉnh ∆ABC Bài 18: Cho ∆ABC có trực tâm H (1;3), tâm đường tròn ngoại tiếp (C) I(0;2) Trung điểm M BC nằm đường thẳng có phương trình x – y + = Tìm tọa độ điểm B,C biết đường tròn ngoại tiếp ∆HBC qua E(5;1) hoành độ điểm B lớn 2 11    10  Bài 19: Cho ∆ABC có trọng tâm G thuộc (C) :  x     y    Trực tâm 3  3  H thuộc đường thẳng : x – 3y – = Tìm C, biết A(2;-1), B(6;1) Bài 20: Cho ∆ABC có M(9/2;-3/2) trung điểm BC, đường cao từ A có phương trình : x + 3y – = Gọi E,F chân đường cao kẻ từ B,C ∆ABC Tìm A biết (EF): 2x – y + = Biên Soạn : Phạm Nguyên Bằng Hệ : Cho ∆ABC (AB H trực tâm ∆ACF Từ ta có CM ⊥ AB Vì ∆ABC vng cân nên H trọng tâm ∆ABC Từ ta có tỉ số sau :  AH AK HK AF BF CK FM FM     hay   ;  ;  AN AC CN AB AF KA BF AB Thay đổi liệu đầu ta có tốn hình vng sau:  10 11   2 Câu 24 Cho hình vuông ABCD tâm I.Các điểm G  ;  ; E  3;   3  3   trọng tâm ∆ABI ∆ADC Xác đỉnh tọa độ đỉnh hình vng, biết A có tung độ nguyên Hd : Chứng minh ∆AGE vuông cân ĐS : A(-1;4);B(7;6);C(9;-2);D(1;-4) Câu 25 Cho ∆ABC vuông cân A Gọi G trọng tâm ∆ABC Điểm D thuộc tia đối Biên Soạn : Phạm Nguyên Bằng tia AC cho GD = GC Biết điểm G thuộc đường thẳng d : 2x + 3y – 13 = tam giác BDG nội tiếp đường tròn (C): x  y2  2x  12 y  27  Tìm tọa độ điểm B viết pt (BC), biết điểm B có hồnh độ âm tọa độ điểm G số nguyên Từ 25 ta có tốn 26 sau : Câu 26 Cho ∆ABC vuông cân A, gọi M trung điểm BC, G trọng tâm ∆ABM Điểm D(7;-2) điểm nằm đoạn MC cho GA = GD Tìm tọa độ điểm A, lập pt (AB), biết hoành độ điểm A nhỏ (AG) : 3x – y – 13 =  3 Câu 27 Cho ∆ABC vng A có M trung điểm đoạn BC Điểm E  ;  đối xứng với  5 Biên Soạn : Phạm Nguyên Bằng B qua AM, điểm F(-1;3) thuộc AC cho góc AMF  900 Xác định tọa độ đỉnh ∆ABC biết đỉnh A thuộc (d) : x – y – = Câu 28 Cho ∆ABC cân C Các điểm M,N chân đường cao hạ từ A C ∆ABC Trên tia đối tia AM lấy điểm E cho AE = AC Biết ∆ABC có S = 8, đường thẳng CN có pt : y – = 0, điểm E(-1;7), điểm C có hồnh độ dương điểm A có tọa độ số ngun Tìm tọa độ đỉnh ∆ABC Câu 29 Cho hình vng ABCD Trên cạnh AB, AD lấy điểm E,F cho AE = AF Gọi H  ;  14  hình chiếu vng góc A lên DE Biết F  ; 2  , 3  5  C thuộc đường thẳng d : x + y – = 0, D thuộc đường thẳng d’ : x – 3y + = Tìm tọa độ đỉnh hình vng Câu 30 Cho hình vng ABCD tâm I, M trung điểm đoạn AD, N thuộc đoạn DC cho NC = 3ND Đường tròn tâm N qua M cắt AC J(3;1), đường thẳng (MN) : x + y + = Tìm tọa độ điểm B Để tổng kết lại tính chất trực tâm, ta nghiên cứu toán toán kinh điển lớp sau : Biên Soạn : Phạm Nguyên Bằng Bài toán Cho ∆ABC, dựng phía ngồi tam giác hình vng ABDE, ACFG hình bình hành AGKE Chứng minh : a) AK=BC b) AH vuông BC c) Các đường thẳng KA , BF ,CD đồng quy a) EK = AG = AC (1) Ngoài ra: AB = EA (2) Mặt khác ∠ BAC = ∠ AEK (cùng bù với góc EAG) (3) Từ (1), (2), (3) ta có ∆BAC = ∆AEK (c.g.c) Vậy AK = BC (cạnh tương ứng) b) Gọi I giao điểm BC AK, ta có: ∠ EAK = ∠ ABC (góc tương ứng) Mà ∠ EAK + ∠ BAI = 1V Suy ∠ ABC + ∠ BAI = 1V Vậy góc AIB = 1V hay AK vng góc với BC (*) c) Xét ∆DBC ∆BAK ta có: BC = AK (cmt) BD = AB (ABDE hv) ∠BAK = ∠ DBC (∠EAK =∠ABC) Do tg BAK = tg DBC, suy góc BCD = góc AKB Mà ∠AKB + ∠KBC = 1V (góc KIB = 1V) Biên Soạn : Phạm Nguyên Bằng Suy ∠BCD + ∠KBC = 1V góc tg CMB vng (M giao điểm BK CD) hay CD vng góc với BK (**) Chứng minh tương tự ta có BF vng góc với KC (***) Từ (*), (**), (***) ta thấy KA, BF, CD đường cao tg KBC nên chúng đồng quy Trường hợp đặc biệt toán ta có số bào tốn sau : Câu 31 Cho hình vng ABCD có đỉnh A(4;6) Gọi M,N điểm nằm BC,CD cho MAN  450 , M(-4;0) (MN): 11x + 2y + 44 = Tìm tọa đỉnh B,D Đáp số : B(3;2);D(-2;-3) Câu 32 Cho hình vng ABCD có C thuộc d : x + 2y – = 0; điểm M(1;1) thuộc đường chéo BD Hình chiếu vng góc M AB, AD nằm đường thẳng ∆ : x + y – = Tìm tọa độ đỉnh C Câu 33 Cho hình vng ABCD có E thuộc cạnh BC, phân giác góc BDE cắt BC F(-1;-2) Đường thẳng qua F vuông với AE cắt CD K Biết (AK): x + 2y – = Tìm tọa độ đỉnh hình vuông biết AE qua gốc tọa độ O A có hồnh âm Câu 34 Cho hình vng ABCD lấy điểm M thuộc BD Đường phân giác BAM DAM cắt BC CD F(-4;1) E(-1;-3) Biết tọa độ M(-10/7;3/7), tìm tọa độ D, biết A có tung độ dương BÀI TẬP TỔNG HỢP : Câu 35 Cho hcn ABCD, cho hcn ABCD Gọi E điểm đối xứng D qua A H hình chiếu D lên đường thẳng BE Đường tròn ngoại tiếp ∆BDE có phương trình : 2  x     y  1  25 , đường thẳng AH có phương trình : 3x – 4y – 17 = Xác định tọa độ đỉnh hình chữ nhật cho, biết (AD) qua M(7;2) E có tung độ âm Câu 36 Cho hình vng ABCD có tâm I Điểm M cạnh AD cho AB = 3AM, đường  15  thẳng qua D vng góc với IM cắt AC E  ;   điểm F(4;-3) giao đường  4 thẳng IM CD Xác định tọa độ đỉnh hình vng biết C có hồnh độ ngun Đáp số : A(3;-1);B(3;4);C(6;-2);D(0;-5) Câu 37 Cho tam giác cân B, đường cao BD có phương trình: 2x + y + = 0, cạnh BC lấy điểm M,N cho 3BM = BC, 3CN = BC Gọi H,K hình chiếu C lên AM,AN Tìm tọa độ đỉnh tam giác biết H(5;0), K  / 61;27 / 61  C có hồnh độ Biên Soạn : Phạm Nguyên Bằng dương Đáp số : A(-4;-9), B(-3;4), C(8;-3) Câu 38 Cho hcn ABCD có AB = 2BC, M N trung điểm AB CD    4  G   ;  trọng tâm ∆AMN Trên đoạn BN lấy K cho BK  BN ;K(3;-1) Tìm  3  tâm hcn ABCD, biết M có hồnh độ ngun Đ/S : I(0;-2) Câu 39 Cho ∆ABC nhọn khơng cân nội tiếp đường tròn (O), có H(-1;3) hình chiếu A cạnh BC tâm đường tròn nội tiếp I Đường thẳng AI cắt (C) điểm thứ hai M Gọi A’ điểm đối xứng với A qua O Đường thẳng MA’ cắt đường AH,BC theo thứ tự N(-1;-3) K(7;-3) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp ∆HIK ĐS : 2  x  3   y  3  16 Câu 40 Cho ∆ABC vng A có H châ n đường cao hạ từ A có H chân đường cao hạ từ A Gọi D điểm đối xứng với H qua A, điểm E(4;-1) trung điểm AH Biết C(7;-2) điểm F(0;2) thuộc (BD) Xác định tọa độ đỉnh A ĐS : A(3;1); A(2;-2) Câu 41 Cho ∆ABC vuông A, D chân đường phân giác ∠A Gọi E giao điểm phân giác ∠ADB cạnh AB, F giao điểm phân giác góc ADC cạnh AC Điểm I giao điểm EF AD, H hình chiếu I lên BC Xác định tọa độ đỉnh A biết H(2/5;1/5), (ED): x – 2y + = điểm E thuộc Ox Câu 42 Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (C), (AB) : 3x – y – = Các tiếp tuyến (C) A B cắt M, đường thẳng qua M //BC cắt (C) D(0;1) E cho D nằm M E, cắt cạnh AC K(4;1) Xác định tọa độ đỉnh ∆ABC biết A có tung độ dương ĐS : A(2;3); B(0;-3); C(8;-3) Câu 43 Cho ∆ABC vuông cân A Trên cạnh BC lấy P(5/2;0) Gọi D,E hình chiếu vng góc P AB,AC Tìm tọa độ đỉnh ∆ABC biết BC = 10 , (DE) : 12x + 24y – 75 = điểm A có hồnh độ < Câu 44 Cho hcn ABCD có 4AB = 3BC Gọi E(0;-2) chân đường pg ∠ABD Điểm H hình chiếu A BD Gọi K(9/5;2/5) chân đường pg ∠HAD Tìm tọa độ đỉnh A,B,C biết D có hồnh dương ĐS : A(-3;-2); B(-3;4); C(5;4) Câu 45 Cho tứ giác ABCD nt đường tròn đường kính BD Gọi H,K hình chiếu A BD CD Biết A(4;6), (HK) : 3x – 4y – = 0, điểm C thuộc đường thẳng : x + y – = 0, điểm B thuộc đường thẳng : x – 2y – = điểm K có hồnh độ nhỏ Tìm tọa độ A,B,C,D Câu 46 Cho tứ giác ABCD nt đường tròn đường kính BD Đỉnh B thuộc đường thẳng : x + y – = Các điểm E F hình chiếu vng góc D B lên AC Tìm tọa độ đỉnh B, D biết CE  A(4;3);C(0;-5) ĐS : B(5;0);C(0;-5) Câu 47 Cho ∆ABC vng A ngoại tiếp đườg tròn tâm I Điểm D đối xứng với B qua CI, DI cắt AB E(0;3/2) điểm F(3/2;2) chân đường pg kẻ từ đỉnh B Tìm tọa độ Biên Soạn : Phạm Nguyên Bằng đỉnh C biết C thuộc đường thẳng d : x – 2y = yI  ĐS : C(4;2) Câu 48 Cho ∆ABC vuông A, D chân đường phân giác góc A Gọi E giao phân giác góc ADB cạnh AB, F giao điểm phân giác góc ADC cạnh AC Xác đỉnh tọa độ điểm A biết E(0;1); F(1;4) điểm M(5;6) nằm cạnh BC ĐS : A(-1;2) Câu 49 Cho ∆ABC có D,E,F chân đường cao hạ từ A,B,C H(4;3) trực tâm 2 9  5  ∆ABC Biết D(5;4) pt đường tròn ngoại tiếp ∆DEF :  x     y    2  2  Tìm B,C biết hồnh độ B lớn Câu 50 Cho ∆ABC có N trung điểm AB Đường thẳng qua N // với BC cắt pg góc B E(4;1), đường thẳng qua N vng góc với AE có pt : x – y + = Biết điểm M(2;-3) thuộc cạnh BC Viết pt (AB) ĐS : x = Biên Soạn : Phạm Nguyên Bằng