TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABE... Tìm tọa độ các đỉnh B,C bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC.. Đườg thẳng qua A và vuông góc với BC cắt đường tròn ngoại tiếp ∆ABC tại điểm th

ỨNG DỤNG CÁC TÍNH CHẤT

HÌNH HỌC GIẢI TOÁN

TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

I- CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TRỰC TÂM

Bài toán 1: Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (C) tâm I, H là trực tâm Gọi M,N lần lượt

là hình chiếu của B,C lên AC,AB Ta có:

1/ IAMN Tại A, kẻ tiếp tuyến Ax với (C) Khi đó : xAM = ACB (1) (Góc tiếp tuyến dây cung = góc nt chắn cung…)

Mặt khác tg BMCN nt nên : AMN = ACB (2)

Từ (1) và (2) : xAM = AMN => Ax // MN nên IAMN ( Đ.p.c.m)

2/ Đường thẳng AI cắt (C) tại điểm thứ 2 là D ta có : tứ giác BHCD là hình bình hành ( Dễ dàng chứng minh được BH // CD vì cùng vuông với AC, tương tự có BD // CH vì cùng vuông với AB)

3/ Tịnh tiến IA được EQ với E,Q lần lượt là trung điểm BC,AH

+) EQ là đường trung trực của MN và là đường kính đường tròn ngoại tiếp ∆MNP 4/ Gọi G là trọng tâm ∆ABC thì G cũng là trọng tâm ∆AHD H,G,I thẳng hàng

5/ AH là đường phân giác MNP và H là tâm đường tròn nt ∆MPN

6/ AH cắt đường tròn ngoại tiếp ∆ABC tại H’ thì H đối xứng với H’ qua BC 7/Gọi I đối xứng với I’ qua BC ta có I’ là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆HBC có bán kính bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC

8/AHI’I, ABDC là hình bình hành với

HD là đường kính đường ngoại tiếp

∆HBC

Bài tập áp dụng :

Bài 1: Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn đường kính AD, M(3;-1) là trung điểm BC

Đường cao kẻ từ B đi qua điểm E(-1;-3), điểm F(1;3) nằm trên đường thẳng AC Tìm tọa độ điểm A và viết (BC) biết D(4;-2).ĐS:A(2;2);(BC): y+1=0

Bài 2: Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (C) , đường phân giác trong và ngoài góc A

cắt (C) lần lượt tại M(0;-3),N(-2;1) Tìm tọa độ các điểm B,C biết (BC) qua E(2;-1)

và x C0 ĐS: B(-2;-3);C(6/5;-7/5)

Bài 3: Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn tâm I(2;1), bán kính R = 5 Trực tâm

H(-1;-1);BC=8 Viết (BC) ĐS: y+2=0

Bài 4: Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn tâm I(-2;0), A(3;-7), trực tâm H(3;-1) Xác

định tọa độ điểm C biết x C 0 ĐS: C 2 65;3

Bài 5: Cho hcn ABCD, qua B kẻ đường thẳng vuông với AC tại H Gọi E,F,G lần lượt

là trung điểm CH,BH,AD Biết 17 29; ; 17 9; ; 1;5 

5 5 5 5

E  F  G

    Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABE ĐS: (3;3)

Bài 6: Cho ∆ABC, trực tâm H(-1;6) Các điểm M(2;2),N(1;1) là trung điểm các

cạnh AC,BC Tìm tọa độ các đỉnh ∆ABC ĐS:

      





Bài 7: Cho ∆ABC, đường cao AA’ có pt : x+2y-2=0, trực tâm H(2;0) Gọi BB’, CC’ là

các đường cao (B’C’): x-y+1=0, M(3;-2) là trung điểm BC Tìm tọa độ các đỉnh

∆ABC

Bài 8: Cho ∆ABC, cho đỉnh A(2;-2), trọng tâm G(0;1) và trực 1;1

2

H 

 

  Tìm tọa độ các đỉnh B,C bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC

Bài 9: Cho hbh ABCD biết H(4;0) là trực tâm ∆BCD, I2;3/ 2 là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABD Biết B thuộc đường thẳng : 3x – 4y = 0; x B 0 và đường thẳng

(BC) đi qua M(5;0) Tìm tọa độ các đỉnh hbh

Bài 10: Cho ∆ABC, trọng tâm G(5/3;1) nội tiếp:  C x: 2 y26x6y 2 0

Điểm M(-1;-1) khác A nằm trên đường cao kẻ từ A

Tìm tọa độ các đỉnh ∆ABC biết x Bx C

Bài 11: Cho ∆ABC, có A là góc nhọn,M và N lần lượt là hình chiếu của A,C lên BC

và AB, H là trực tâm ∆ABC I(2;0) là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆HMN Tìm tọa độ điểm B,C biết A(-1;4) và B thuộc đường thẳng : x + 2y – 2 = 0

Bài 12: Cho ∆ABC, cho đỉnh A(2;-2), trực H(5;5) Đường tròn ngoại tiếp ∆ABC đi qua hai điểm M(7;3) và N(4;2), (BC):x + y – 8 =0 Tìm A,B,C

Bài 13: Cho ∆ABC, đường trung tuyến kẻ từ A và (BC) lần lượt có pt : 3x + 5y – 8 =

0, x – y – 4 = 0 Đườg thẳng qua A và vuông góc với (BC) cắt đường tròn ngoại tiếp

∆ABC tại điểm thứ 2 là D(4;-2) Viết pt (AB), biết x B3

Bài 14: Cho ∆ABC có H(3;-2), I(8;11), K(4;-1) lần lượt là trực tâm, tâm đường

tròn ngoại tiếp và chân đường cao kẻ từ A Tìm A,B,C

Bài 15: Cho ∆ABC có H(-31;41), I(16;-18), lần lượt là trực tâm, tâm đường tròn

ngoại tiếp Tìm B,C biết A(-1;1)

Bài 16: Cho ∆ABC có trực tâm H thuộc d: 2x – y – 4 = 0, M(9/2;5/2) là trung điểm

AB, đường tròn ngoại tiếp ∆HBC có I(5/2;-3/2); 130

2

R Tìm A,B,C biết B có tọa

độ nguyên

Bài 17: Cho ∆ABC có trực tâm H (1;1) và M(3;-2) là trung điểm BC Gọi E,F lần

lượt là chân đường cao hạ từ B,C của ∆ABC (EF) 2x – 5y + 9 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh ∆ABC

Bài 18: Cho ∆ABC có trực tâm H (1;3), tâm đường tròn ngoại tiếp (C) là I(0;2)

Trung điểm M của BC nằm trên đường thẳng có phương trình x – y + 1 = 0 Tìm tọa độ các điểm B,C biết đường tròn ngoại tiếp ∆HBC đi qua E(5;1) và hoành độ điểm B lớn hơn 1

Bài 19: Cho ∆ABC có trọng tâm G thuộc (C) :

H thuộc đường thẳng : x – 3y – 1 = 0 Tìm C, biết A(2;-1), B(6;1)

Bài 20: Cho ∆ABC có M(9/2;-3/2) là trung điểm của BC, đường cao từ A có

phương trình : x + 3y – 5 = 0 Gọi E,F lần lượt là chân đường cao kẻ từ B,C của

∆ABC Tìm A biết (EF): 2x – y + 2 = 0

Hệ quả 1 : Cho ∆ABC (AB<AC) nội tiếp (C) Kẻ đường cao AH Gọi P,Q lần lượt là

chân đường vuông góc từ H lên AB,AC Ta có :

1 Tứ giác BCQP nội tiếp

+) Ta có tứ giác APHQ nt nên:

∠APQ =∠ AHQ

+)∠AHQ=∠HCQ (cùng phụ ∠QHC)

→∠APQ = ∠HCQ Hay BCQP nt

2 AO⊥PQ Chứng minh tương tự tính chất 1 bài toán 1

2

+) Xét ∆MPH~∆MHQ vì: ∠PMH chung và ∠PHM=∠HAQ=∠PQH

4) MA cắt (C) tại K (K ≠A)

Kéo dài AO cắt (C) tại D Gọi I là trung điểm của AD ta có các tính chất sau:

+) HDCQ là hình thang vuông Gọi E là trung điểm QC khi đó IE là đường trung bình của hình thang

 IE ⊥ QC hay IE là đường trung trực của QC

+) ∆AHD có OI là đường trung bình nên OI//AH Mà AH ⊥ BC nên OI ⊥ BC Lại có

OB = OC

 IE là đường trung trực của QC

+) Vì I là giao của 2 đường trung trực QC và BC

 I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCQP

5) I,H,K thẳng hàng

Ta có : MH2 MP MQ MB MC MK MH

Do đó : ∆MKH~∆MHA(c.g.c)( có đỉnh M chung) Nên ∠HKA = 900

Mặt khác : AD là đường kính nên ∠DKA = 900

Vậy K,H,I thẳng hàng

Hệ quả 2 : Cho ∆ABC vuông tại A, đường cao AH Gọi E,F là trung điểm của BH,CH K là

trực tâm ∆AEF Ta có các tính chất sau :

 Trực tâm của ∆ABF là I – trung điểm AH

 K là trung điểm HI hay AH = 4 HK

 Đường thẳng qua H và ⊥ CI cắt AB tại B’ là điểm đối xứng với B qua A

Và ngược lại Tương tự đường qua H và ⊥ BI cắt AC tại C’ xứng với C qua A

 Ghép đôi 2 tam giác ⊥ ban đầu ta được 1 bài toán hcn với BC là đường chéo và H

là hình chiếu của A trên BC

 G,G’ là trọng tâm ∆ACH, ∆AHC hay các tứ giác nt theo hình vẽ : ADHB, HKDF

Câu 21 Cho ∆ABC vuông tại A có H là hình chiếu của A trên BC Gọi các điểm M(2;-1) và

N lần lượt là trung điểm của BH và CH, điểm K(-1/2;1/2) là trực tâm ∆AMN Xác định tọa

độ C viết A d : x + 2y + 4 = 0 và A có tung độ âm

Câu 22 Cho hcn ABCD Gọi H(1;2) là chân đường cao từ đỉnh A lên BD và E,F lần lượt là

trung điểm của DH và BH Đường thẳng d đi qua F và vuông góc với AE có phương trình

x – 4y + 5 = 0 Tìm tọa dộ các hcn biết A thuộc ∆: x + y -1 = 0

Câu 23 Cho ∆ABC vuông tại A có H là hình chiếu của A trên BC Với H(0;-1),

đường trung tuyến CM của ∆CAH có pt : x + 3y – 1 = 0, điểm B thuộc đường thẳng

d : x – y – 5 = 0 Tìm tọa độ A,B,C biết hoành độ điểm A nguyên

Hệ quả 3 :Cho ∆ABC vuông cân tại C, đường thẳng vuông góc với trung tuyến AN

cắt AB tại F Ta có các tính chất sau :

1 Gọi H là trực tâm của ∆ACF thì H chính là trọng tâm ∆ABC

Gọi H là giao AN và FK => H là trực tâm ∆ACF Từ đó ta có CM ⊥ AB

Vì ∆ABC vuông cân nên H là trọng tâm ∆ABC Từ đó ta có các tỉ số sau :

3

AN  AC  CN  AB hay 1

2

BF CK

AF KA ; 1; 1

2 6

BF  AB 

Thay đổi dữ liệu đầu bài ta có bài toán hình vuông như sau:

Câu 24 Cho hình vuông ABCD tâm I.Các điểm 10 11; ; 3; 2

G  E  

    lần lượt là trọng tâm ∆ABI và ∆ADC Xác đỉnh tọa độ các đỉnh hình vuông, biết A có tung độ nguyên

Hd : Chứng minh ∆AGE vuông cân

ĐS : A(-1;4);B(7;6);C(9;-2);D(1;-4)

Câu 25 Cho ∆ABC vuông cân tại A Gọi G là trọng tâm ∆ABC Điểm D thuộc tia đối

của tia AC sao cho GD = GC Biết điểm G thuộc đường thẳng d : 2x + 3y – 13 = 0 và tam giác BDG nội tiếp đường tròn (C): x2y22x12y27 0 Tìm tọa độ điểm

B và viết pt (BC), biết điểm B có hoành độ âm và tọa độ điểm G là số nguyên

Từ bài 25 ta có bài toán 26 như sau :

Câu 26 Cho ∆ABC vuông cân tại A, gọi M là trung điểm BC, G là trọng tâm ∆ABM

Điểm D(7;-2) là điểm nằm trên đoạn MC sao cho GA = GD Tìm tọa độ điểm A, lập

pt (AB), biết hoành độ điểm A nhỏ hơn 4 và (AG) : 3x – y – 13 = 0

Câu 27 Cho ∆ABC vuông tại A có M là trung điểm đoạn BC Điểm 4 3;

5 5

E 

 

  đối xứng với

B qua AM, điểm F(-1;3) thuộc AC sao cho góc AMF900 Xác định tọa độ các đỉnh

∆ABC biết đỉnh A thuộc (d) : x – y – 1 = 0

Câu 28 Cho ∆ABC cân tại C Các điểm M,N lần lượt là chân đường cao hạ từ A và C của

∆ABC Trên tia đối của tia AM lấy điểm E sao cho AE = AC Biết ∆ABC có S = 8, đường thẳng CN có pt : y – 1 = 0, điểm E(-1;7), điểm C có hoành độ dương và điểm A có tọa độ là

số nguyên Tìm tọa độ các đỉnh của ∆ABC

Câu 29 Cho hình vuông ABCD Trên cạnh AB, AD lần lượt lấy 2 điểm E,F sao cho AE =

AF Gọi 2 14;

H  

  là hình chiếu vuông góc của A lên DE Biết 8; 2

3

F  

 ,

C thuộc đường thẳng d : x + y – 2 = 0, D thuộc đường thẳng d’ : x – 3y + 2 = 0

Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông

Câu 30 Cho hình vuông ABCD tâm I, M là trung điểm của đoạn AD, N thuộc đoạn DC sao

cho NC = 3ND Đường tròn tâm N qua M cắt AC tại J(3;1), đường thẳng (MN) : x + y + 1 =

0 Tìm tọa độ điểm B

Để tổng kết lại tính chất của trực tâm, ta cùng nghiên cứu bài toán toán kinh điển lớp 8 như sau :

Bài toán 2 Cho ∆ABC, dựng về phía ngoài tam giác các hình vuông ABDE, ACFG

và hình bình hành AGKE Chứng minh :

a) AK=BC

b) AH vuông BC

c) Các đường thẳng KA , BF ,CD đồng quy

a) EK = AG = AC (1)

Ngoài ra: AB = EA (2)

Mặt khác ∠ BAC = ∠ AEK (cùng bù với góc EAG) (3)

Từ (1), (2), (3) ta có ∆BAC = ∆AEK (c.g.c)

Vậy AK = BC (cạnh tương ứng)

b) Gọi I là giao điểm của BC và AK, ta có:

∠ EAK = ∠ ABC (góc tương ứng)

Mà ∠ EAK + ∠ BAI = 1V

Suy ra ∠ ABC + ∠ BAI = 1V

Vậy góc AIB = 1V hay AK vuông góc với BC (*)

c) Xét ∆DBC và ∆BAK ta có:

BC = AK (cmt)

BD = AB (ABDE là hv)

∠BAK = ∠ DBC (∠EAK =∠ABC)

Do đó tg BAK = tg DBC, suy ra góc BCD = góc AKB

Mà ∠AKB + ∠KBC = 1V (góc KIB = 1V)

Suy ra ∠BCD + ∠KBC = 1V

cho nên góc tg CMB vuông (M là giao điểm của BK và CD) hay CD vuông góc với

BK (**)

Chứng minh tương tự ta cũng có BF vuông góc với KC (***)

Từ (*), (**), (***) ta thấy KA, BF, CD là 3 đường cao của tg KBC nên chúng đồng quy

Trường hợp đặc biệt của bài toán trên ta có một số bào toán sau : Câu 31 Cho hình vuông ABCD có đỉnh A(4;6) Gọi M,N lần lượt là các điểm nằm

trên BC,CD sao cho MAN450 , M(-4;0) và (MN): 11x + 2y + 44 = 0 Tìm tọa các đỉnh B,D Đáp số : B(3;2);D(-2;-3)

Câu 32 Cho hình vuông ABCD có C thuộc d : x + 2y – 6 = 0; điểm M(1;1) thuộc

đường chéo BD Hình chiếu vuông góc của M trên AB, AD đều nằm trên đường thẳng ∆ : x + y – 1 = 0 Tìm tọa độ đỉnh C

Câu 33 Cho hình vuông ABCD có E thuộc cạnh BC, phân giác góc BDE cắt BC tại

F(-1;-2) Đường thẳng qua F vuông với AE cắt CD tại K Biết (AK): x + 2y – 5 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông biết AE đi qua gốc tọa độ O và A có hoành âm

Câu 34 Cho hình vuông ABCD lấy điểm M thuộc BD Đường phân giác BAM và

DAM lần lượt cắt BC và CD tại F(-4;1) và E(-1;-3) Biết tọa độ M(-10/7;3/7), tìm tọa độ D, biết A có tung độ dương

BÀI TẬP TỔNG HỢP :

Câu 35 Cho hcn ABCD, cho hcn ABCD Gọi E là điểm đối xứng của D qua A và H là hình

chiếu của D lên đường thẳng BE Đường tròn ngoại tiếp ∆BDE có phương trình :

  2 2

4 1 25

x  y  , đường thẳng AH có phương trình : 3x – 4y – 17 = 0 Xác định tọa

độ các đỉnh của hình chữ nhật đã cho, biết (AD) đi qua M(7;2) và E có tung độ âm

Câu 36 Cho hình vuông ABCD có tâm I Điểm M trên cạnh AD sao cho AB = 3AM, đường

thẳng qua D vuông góc với IM cắt AC tại 15; 5

4 4

E  

  và điểm F(4;-3) là giao của đường

thẳng IM và CD Xác định tọa độ các đỉnh hình vuông biết C có hoành độ nguyên Đáp số :

A(3;-1);B(3;4);C(6;-2);D(0;-5)

Câu 37 Cho tam giác cân tại B, đường cao BD có phương trình: 2x + y + 2 = 0, trên cạnh

BC lấy 2 điểm M,N sao cho 3BM = BC, 3CN = BC Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của C lên AM,AN Tìm tọa độ các đỉnh tam giác biết H(5;0), K8 / 61;27 / 61 và C có hoành độ

dương Đáp số : A(-4;-9), B(-3;4), C(8;-3)

Câu 38 Cho hcn ABCD có AB = 2BC, M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD

4 4;

3 3

G  

  là trọng tâm ∆AMN Trên đoạn BN lấy K sao cho

1 4

BK  BN ;K(3;-1) Tìm

tâm hcn ABCD, biết M có hoành độ nguyên Đ/S : I(0;-2)

Câu 39 Cho ∆ABC nhọn không cân nội tiếp đường tròn (O), có H(-1;3) là hình chiếu của

A trên cạnh BC và tâm đường tròn nội tiếp là I Đường thẳng AI cắt (C) tại điểm thứ hai là

M Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua O Đường thẳng MA’ cắt các đường AH,BC theo thứ

tự tại N(-1;-3) và K(7;-3) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp ∆HIK ĐS :

  2 2

3 3 16

x  y 

Câu 40 Cho ∆ABC vuông tại A có H là châ n đường cao hạ từ A có H là chân đường cao

hạ từ A Gọi D là điểm đối xứng với H qua A, điểm E(4;-1) là trung điểm AH Biết C(7;-2)

và điểm F(0;2) thuộc (BD) Xác định tọa độ đỉnh A ĐS : A(3;1); A(2;-2)

Câu 41 Cho ∆ABC vuông tại A, D là chân đường phân giác trong của ∠A Gọi E là giao

điểm phân giác trong ∠ADB và cạnh AB, F là giao điểm phân giác trong góc ADC và cạnh

AC Điểm I là giao điểm của EF và AD, H là hình chiếu của I lên BC Xác định tọa độ đỉnh A biết H(2/5;1/5), (ED): x – 2y + 1 = 0 và điểm E thuộc Ox

Câu 42 Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (C), (AB) : 3x – y – 3 = 0 Các tiếp tuyến của (C) tại

A và B cắt nhau tại M, đường thẳng qua M và //BC cắt (C) tại D(0;1) và E sao cho D nằm giữa M và E, cắt cạnh AC tại K(4;1) Xác định tọa độ các đỉnh ∆ABC biết A có tung độ

dương ĐS : A(2;3); B(0;-3); C(8;-3)

Câu 43 Cho ∆ABC vuông cân tại A Trên cạnh BC lấy P(5/2;0) Gọi D,E lần lượt là hình

chiếu vuông góc của P trên AB,AC Tìm tọa độ các đỉnh ∆ABC biết BC = 10 , (DE) : 12x + 24y – 75 = 0 và điểm A có hoành độ < 2

Câu 44 Cho hcn ABCD có 4AB = 3BC Gọi E(0;-2) là chân đường pg trong ∠ABD Điểm H

là hình chiếu của A trên BD Gọi K(9/5;2/5) là chân đường pg trong ∠HAD Tìm tọa độ

các đỉnh A,B,C biết D có hoành dương ĐS : A(-3;-2); B(-3;4); C(5;4)

Câu 45 Cho tứ giác ABCD nt đường tròn đường kính BD Gọi H,K lần lượt là hình chiếu

của A trên BD và CD Biết A(4;6), (HK) : 3x – 4y – 4 = 0, điểm C thuộc đường thẳng : x + y – 2 = 0, điểm B thuộc đường thẳng : x – 2y – 2 = 0 và điểm K có hoành độ nhỏ hơn 1 Tìm tọa độ A,B,C,D

Câu 46 Cho tứ giác ABCD nt đường tròn đường kính BD Đỉnh B thuộc đường thẳng : x +

y – 5 = 0 Các điểm E và F lần lượt là hình chiếu vuông góc của D và B lên AC Tìm tọa độ các đỉnh B, D biết CE 5 và A(4;3);C(0;-5) ĐS : B(5;0);C(0;-5)

Câu 47 Cho ∆ABC vuông tại A ngoại tiếp đườg tròn tâm I Điểm D đối xứng với B qua CI,

DI cắt AB tại E(0;3/2) và điểm F(3/2;2) là chân đường pg trong kẻ từ đỉnh B Tìm tọa độ