chuyên đề tọa dộ trong mặt phẳng chuyên đề tọa dộ trong mặt phẳng chuyên đề tọa dộ trong mặt phẳng chuyên đề tọa dộ trong mặt phẳng chuyên đề tọa dộ trong mặt phẳng chuyên đề tọa dộ trong mặt phẳng chuyên đề tọa dộ trong mặt phẳng chuyên đề tọa dộ trong mặt phẳng chuyên đề tọa dộ trong mặt phẳng chuyên đề tọa dộ trong mặt phẳng chuyên đề tọa dộ trong mặt phẳng
Trang 1Tel : 0914455164 Ơn thi THPT QUỐC GIA – Chuyên đề Toạ độ trong mặt phẳng
y
u
u
1
M
M 2
A LÝ THUYẾT
1 Tọa độ
1 Hệ trục toạ độ Oxy gồm ba trục Ox, Oy đơi một vuơng gĩc với nhau với ba vectơ đơn vị i j,
(i = j =1)
2 u x y( ; ) ⇔u=xi+ y j; M(x;y)⇔OM=OM1+OM2 =xi+ y j
3 Tọa độ của vectơ: cho ( ; ), ( '; ') u x y v x y
a u= ⇔v x=x y'; = y' b u± =v (x±x y'; ±y')
c ku=( ;kx ky) d u v = xx ' + yy '
e u⊥ ⇔v xx'+yy' 0= f u = x2+y2 , 2 2
v = x′ +y′
g cos( ),
u v u v
u v
=
4 Tọa độ của điểm: cho A(xA;yA), B(xB;yB)
a.AB=(x B−x A;y B−y A)
AB= x −x + y −y
c G là trọng tâm tam giác ABC ta cĩ:
GA GB+ +GC=O
3
OA OB OC
x G=
3
x +x +x
; y G=
3
y +y +y
d M chia AB theo tỉ số k: MA=k MB⇒ ;
e) Tứ giác ABCD là hình bình hành AB=DC
h) Tính chất đường phân giác :
Gọi AD, AE lần lượt là đường phân giác trong và ngồi của gĩc A (D∈ BC; E∈ BC), ta cĩ:
AB
AC
= −
; EB AB EC
AC
=
k) Diện tích ∆:
* với : AB
= (x1;y1), AC
= ( x2;y2) thì S = 1
2 | x1y2 – x2y1|
abc
R
(Với a, b, c là ba cạnh, h a là đường cao thuộc cạnh a, 1( )
2
p= a+ +b c , R và r lần lượt là bán kính đường trịn ngoại tiếp và nội tiếp ∆ABC)
g/ u
→
cùng phương với u'
→
'
x x
y y = xy’ – x’y = 0
- A,B,C phân biệt thẳng hàng khi 1 1
AB k AC
, với AB
= (x1;y1), AC
= ( x2;y2), k≠0
x
o i
j
M
Trang 2Tel : 0914455164 Ôn thi THPT QUỐC GIA – Chuyên đề Toạ độ trong mặt phẳng
II Phương trình đường thẳng
1 Một đường thẳng ∆∆ được xác định khi biết một điểm M(x0;y0) và một vectơ pháp tuyến ( ; )
n= A B
hoặc một vectơ chỉ phương u=(a b; )
ta có thể chọn u=(a=B b; = −A)
* Phương trình tổng quát A x( −x0)+B y( −y0)= ⇒0 Ax+By+C=0
* Phương trình tham số: 0
0
x x at
y y bt
, (t∈R).M∈ ∆ ⇔( ) M x( 0+at y; 0+bt)
* Phương trình chính tắc : 0 0
a b
* Phương trình đường thẳng qua M(x0;y0) có hệ số góc k : y=k x( −x0)+y0
* Đường thẳng d // d’ : ax + by + c = 0 thì PT d có dạng : ax + by + m = 0(m khác c)
* Đường thẳng d ⊥ d’ : ax + by + c = 0 thì PT d có dạng : - bx + ay + m = 0
* Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(xA;yA), B(xB;yB): A A
=
* Cho đường thẳng d : ax + by + c = 0 và 2 điểm A(xA;yA), B(xB;yB)
+) Nếu (a.xA + b.yA + c) (a.xB + b.yB + c) > 0 thì A và B nằm cùng phía so với đường thẳng d +) Nếu (a.xA + b.yA + c) (a.xB + b.yB + c) < 0 thì A và B nằm khác phía so với đường thẳng d
2 Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng ∆1:a x1 +b y1 +c1=0 ;∆2:a x2 +b y2 +c2=0;
ta xét số nghiệm của hệ phương trình : 1 1 1
0 0
a x b y c
a x b y c
+) Hệ (I) có nghiệm duy nhất (x0;y0) thì ∆ ∩ ∆1 2tại M(x0;y0)
+) Hệ (I) vô nghiệm thì ∆1/ /∆2 +) Hệ (I) vô số nghiệm thì ∆ ≡ ∆1 2
Chú ý: Nếu a2b2c2 ≠0 thì :
3 Khoảng cách từ một điểm M(x M ;y M) đến một đường thẳng ∆:Ax+By+C=0 là:
d M
∆ =
+
Hoặc dựng đường thẳng qua M vuông góc cắt∆ tại H thì d M( ,∆ =) MH
Chú ý : +) Nếu d trùng d’ thì d(d;d’) = 0 +) Nếu d // d’ thì d(d;d’) = d(M;d’) với M thuộc d
4 Góc trong mặt phẳng
* Góc A trong tam giác ABC : cosA cos( ; ) .
AB AC
AB AC
AB AC
*Góc giữa hai đường thẳng ∆1và∆2của (I) có VTPT n và n1 2
được tính theo công thức:
n n
n n
+
hoặc tính theo VTCP thay n
bằng u
* Góc giữa 2 đường (∆): y = k1x + b và (∆’) : y = k2x + b’ là: tan 2 1
1 2
k k
k k
−
*) PT hai đường phân giác của các góc tạo bởi :d1:A x1 +B y1 +C1=0; d2:A x2 +B y2 +C2=0 là:
A x B y C A x B y C
= ±
a n
∆
Trang 3Tel : 0914455164 Ôn thi THPT QUỐC GIA – Chuyên đề Toạ độ trong mặt phẳng
III Phương trình đường tròn
Một đường tròn được xác định khi biết tâm I(a;b) và bán kính r
Phương trình:
Dạng 1: ( )2 ( )2 2
x−a + y−b =r
Dạng 2: 2 2
x +y − ax− by+ =c , điều kiện 2 2
0
r= a +b −c.Tâm I(a;b)
* Nếu a2 + b2 – c = 0 thì chỉ có một điểm I(a ; b) thỏa mãn phtr: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0
* Nếu a2 + b2 – c < 0 thì không có điểm M(x ; y) nào thỏa mãn phtr: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0
2 Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại M
Tiếp tuyến tại điểm M(x0 ; y0) của đường tròn tâm I(a ; b) có VTPT IM
Từ đó viết được PTTT
3 Điều kiện để đường thẳng ∆∆: Ax+By+C=0 (1) tiếp xúc với đường tròn (C) là:
( )
+
Chú ý :
+) Đường thẳng ∆ không cắt đường tròn (C) ( )
+ +) Đường thẳng ∆ cắt đường tròn (C) tại 2 điểm phân biệt ( )
+
IV Elip
1 Phương trình chính tắc: x22 y22 1
a +b = , (a>b>0)
2 Các yếu tố: 2 2 2
c =a −b , a> c>0.,a>b>0 +) Tiêu cự: F1F2=2c
+) Độ dài trục lớn A1A2=2a Độ dài trục bé B1B2=2b
+) Hai tiêu điểm F1(−c;0 ,) F c2( ;0)
+) Bốn đỉnh: 2 đỉnh trên trục lớn A1(−a;0 ,) A a2( ;0), 2 đỉnh trên trục bé B1(0;−b),B2(0;b)
+) Tâm sai: e c 1
a
= <
+) Bán kính qua tiêu điểm: M(x y0; 0)thuộc (E) thì 1 1 0
3 Điều kiện để đường thẳng Ax+By+C=0 tiếp xúc với elip là: A2
a2+B2b2=C2 hoặc dùng điều kiện nghiệm kép của ph trình hoành độ hoặc tung độ giao điểm
x
y
F
2
F
1
B2
B
1
A
2
A
1
O
M
(C) r
∆
I M
Trang 4Tel : 0914455164 Ôn thi THPT QUỐC GIA – Chuyên đề Toạ độ trong mặt phẳng
I
B BÀI TẬP CƠ BẢN về ĐƯỜNG THẲNG
Bài 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ∆ABC có A(-6; - 3); B(-4;3); C(9;2)
a) Viết pt các cạnh của ∆ABC ĐS : AB: 3x – y + 15 = 0 BC : x + 13y – 35 = 0 AC : x – 3y – 3= 0
b) Viết phương trình đường cao BH, đường trung tuyến CM của tam giác ABC
c) Viết phương trình đường trung trực cạnh BC của tam giác ABC
d) Viết phương trình đường phân giác trong của góc A của tam giác ABC Đs : x – y + 3 = 0
Bài 2 Lập PT các cạnh của tam giác ABC biết trung điểm của các cạnh AB, BC, CA lần lượt là :
M(2;1); N(5;3); P(3;4)
Bài 3 (CĐSP Hà Nội 05) Cho ∆ABC có A(1;2), đường trung tuyến BM : 2x + y + 1 =0, đường phân giác trong CD : x + y – 1 =0 Hãy Viết PT cạnh BC ĐS : BC : 4x + 3y + 4 =0
Bài 4 (CĐ Bến Tre 05) Viết PT các cạnh của ∆ABC biết A(4;-1), PT một đường cao, một đường trung tuyến vẽ từ cùng 1 đỉnh lần lượt là (d1) : 2x – 3y + 12 = 0, (d2) : 2x + 3y = 0
ĐS : 3x + 7y – 5 =0, 3x + 2y – 10 =0, 9x + 11y + 5 = 0
Bài 5 (CĐSP Vĩnh Long 05) Cho ∆ABC biết A(1;3) và 2 đường trung tuyến xuất phát từ B và C lần lượt có PT x – 2y + 1 = 0 và y – 1 =0 Lập PT các cạnh của ∆ABC
ĐS : BC : x – 4y – 1 =0, AB : x – y + 2 =0, AC : x – 2y – 7 =0
Bài 6 Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d: x – 2y + 3 = 0 đi qua điểm A(4;1)
a) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A và vuông góc d
b) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A xuống d c) Tìm điểm đối xứng với A qua d
Bài 6’ Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng ∆1: x + 2y – 6 = 0 và ∆2: x – 3y + 9 = 0
a) Tính góc tạo bởi ∆1 và ∆2 b) Tính khoảng cách từ M(5;3) đến ∆1 và ∆2
c) Viết phương trình đường phân giác góc nhọn tạo bởi ∆1 và ∆2
Bài 7 Cho 2 điểm A(-2;0) , B(1;1) và đường thẳng d : x + 3y – 3 = 0
a) Viết phương trình đường thẳng d’ qua A và tạo với d một góc 450
b) Viết phương trình đường thẳng d1 qua A và cách B một khoảng bằng 2 2
c) Viết phương trình đường thẳng d2 qua M(4;-3) và cách đều 2 điểm A, B
Bài 8 Cho ∆ABC có A(3;0) và PT 2 đường cao BB’ : 2x + 2y – 9 = 0, CC’: 3x – 12y – 1=0 Viết
PT các cạnh của ∆ABC Đs : AC : x – y – 3 = 0 AB : 4x + y – 12 = 0 BC : 4x + 5y – 20 = 0
Bài 9 Cho hình thoi ABCD có đỉnh A(0;1), BD : x + 2y – 7 = 0, AB : x + 3y – 3 = 0 Viết PT các
cạnh và đường chéo còn lại của hình thoi ABCD
Đs : AC : 2x – y + 1 = 0, CD : x + 3y – 17 =0, BC : 9x + 13y – 83 = 0, AD : 9x + 13y – 13 = 0
Bài 10 (KD-2009) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có M(2;0) là trung điểm của
cạnh AB Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình là : 7x – 2y – 3 =0
và 6x – y – 4 =0 Viết phương trình đường thẳng AC Đs : 3x – 4y + 5 = 0
Bài 11 Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(1; -2), đường cao CH x: −y+ =1 0, phân giác trong BN: 2x+y+ =5 0.Tìm toạ độ các đỉnh B,C và tính diện tích tam giác ABC
Hướng dẫn: +) AB∩BN=B( 4;3)− +) Lấy A’ đối xứng A qua BN thì A'∈BC.⇒A'( 3; 4)− −
+) BC: 7x+y+25=0=> ( 13; 9)
ABC
Bài 12. Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm I là giao điểm của đường thẳng
d x−y− = và d2:x+y− =6 0 Trung điểm của một cạnh là giao điểm của d1 với trục Ox Tìm
toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật Đs : (2; 1), (5; 4), (7; 2), (4; -1)
Bài 13 Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I(1 / 2;0) Đường thẳng AB : x – 2y + 2 = 0, AB = 2AD
và hoành độ điểm A âm Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật đó
Đs : A( 2;0), (2; 2)− B ,C(3;0), ( 1; 2)D − −
Bài 14 ĐH KA 2009 (chuẩn) : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có
điểm I(6;2) là giao điểm của hai đường chéo AC và BD Điểm M(1;5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng ∆:x+y− =5 0 Viết phương trình đường thẳng AB
ĐS: AB: y−−5=0; x−−4y+19=0
Trang 5Tel : 0914455164 ễn thi THPT QUỐC GIA – Chuyờn đề Toạ độ trong mặt phẳng
C BÀI TẬP CƠ BẢN về TèM TỌA ĐỘ ĐIỂM
Phương phỏp giải ; (theo tỏc giả Nguyễn Tất Thu – Sỏch chuyờn đề HH 10)
+) Về phương diện hỡnh học : Để xỏc định tọa độ 1 điểm, ta chứng minh điểm đú thuộc 2 hỡnh (H) : f(x;y) = 0 và (H’) : g(x;y) = 0 Khi đú tọa độ điểm cần tỡm là nghiệm của hệ ( ; ) 0
f x y
g x y
=
=
+) Về phương diện đại số : Để xỏc định tọa độ 1 điểm là bài toỏn đi tỡm 2 ẩn Do đú, ta cần xỏc định được 2 phương trỡnh chứa 2 ẩn và giải hệ này ta tỡm được tọa độ điểm cần tỡm Khi thiết lập phương trỡnh, ta cần lưu ý : tớch vụ hương cho ta 1 PT, 2 đoạn thẳng bằng nhau cho ta 1 PT, 2 vectơ bằng nhau cho ta 2 PT và nếu điểm M thuộc d : ax + by + c = 0( a ≠0) thỡ M( bm c;m
a
), lỳc này tọa độ M chỉ cũn 1 ẩn và ta chỉ cần tỡm 1 PT (pp tham số húa)
Bài 1 Tỡm A thuộc Ox cỏch B(2;-3) một khoảng bằng 5 ĐS : A(-2;0), A(6;0)
Bài 2 Tỡm C thuộc Oy cỏch D(-8;13) một khoảng bằng 17 ĐS : C(0;-2), C(0;28)
Bài 3 Tỡm M thuộc Oy cỏch đều 2 điểm A(-1;3) và B(1;4) ĐS : M(0;7/2)
Bài 4 Cho A(2;1), B(3;-1), C(-2;3) Tỡm E∈Oy để ABEC là hỡnh thang cú 2 đỏy AB và CE Tỡm
Bài 4’ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ∆ABC cú A(2;3); B(-2;2); C(1;-1)
a) Chứng minh ∆ABC cõn tại A b) Tỡm tọa độ điểm D để tứ giỏc ABCD là hỡnh bỡnh hành c) Tỡm điểm N thuộc trục Ox để tam giỏc ABN vuụng tại A
Bài 4’’ Cho A(2;4); B(6;2); C(4;-2) C/M ∆ABC vuụng cõn tại B Tớnh diện tớch tam giỏc ABC Bài 5 Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC biết A(2; - 3), B(3; - 2), có diện tích bằng 3/2 và trọng tâm thuộc đường thẳng ∆: 3x – y – 8 = 0 Tìm tọa độ đỉnh C Đs: C(-2; 10) hoặc C(1;-4)
Bài 6.Trong mặt phẳng với hệ toạ đ ộ Oxy cho điểm C(2;-5 ) và đường thẳng ∆: 3xư4y+4=0 Tỡm trờn ∆ hai điểm A và B đối xứng nhau qua I(2;5/2) sao cho diện tớch tam giỏc ABC
Bài 7 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với A(1;1) , ( 2;5)B ư , đỉnh C nằm trên đường thẳng x ư4=0, và trọng tâm G của tam giác nằm trên đường thẳng 2xư3y+ =6 0 Tính diện tích
Bài 8 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với A(2; 1) , (1; 2)ư B ư , trọng tâm G của tam giác nằm trên đường thẳng x+yư =2 0 Tìm tọa độ đỉnh C biết diện tích tam giác ABC =13,5
Đs : Với G1(6; 4)ư ta có C1(15; 9)ư , với G2( 3; 1)ư ư ta có C ư2( 12;18)
Bài 9 Cho đường thẳng (∆) cú phương trỡnh: x – 2y – 2 = 0 và hai điểm A (-1;2); B (3;4)
Tỡm điểm M∈(∆) sao cho 2MA2 + MB2 cú giỏ trị nhỏ nhất Đs : M(26 / 15; 2 / 15ư )
Bài 10 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho cỏc đường thẳng : d1: x+y +3=0, d2: xưy ư4=0,
d3: xư2y =0 Tỡm tọa độ điểm M nằm trờn đường thẳng d3 sao cho khoảng cỏch từ M đến đường thẳng d1 bằng hai lần khoảng cỏch từ M đến đường thẳng d2 ĐS: M(ư22;ư11), (2;1)
Bài 11 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, hóy viết phương trỡnh cỏc cạnh của tam giỏc ABC
biết trực tõm H(1;0), chõn đường cao hạ từ đỉnh B là K(0; 2), trung điểm cạnh AB là M(3;1)
Đs : (AC) :xư2y+4=0,(AB) : 3xưyư =8 0, (BC) : 3x+4y+2=0
Bài 12 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hỡnh chữ nhật ABCD cú cạnh AB: x -2y -1 =0,
đường chộo BD: x- 7y +14 = 0 và đường chộo AC đi qua điểm M(2;1) Tỡm toạ độ cỏc đỉnh của
Bài 13 Cho tam giỏc ABC cõn tại A cú đỉnh A(6; 6), đường thẳng đi qua trung điểm của cỏc cạnh
AB và AC cú phương trỡnh x + y ư4 = 0 Tỡm tọa độ B và C, biết điểm E(1; ư3) nằm trờn đường cao đi qua đỉnh C của tam giỏc đó cho Đs : B(0; 4 ;ư ) C(ư4;0)hoặc B(ư6; 2 ;) C(2; 6ư )
Bài 14 ĐH KA 2004 : Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(0 ; 2), B(ư 3 ư; 1) Tỡm tọa độ trực tõm và tọa độ tõm đường trũn ngoại tiếp của tam giỏc OAB ĐS: H( 3;ư1) (,I ư 3;1)
Bài 15 ĐH KB 2004: Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(1; 1), B(4; -3) Tỡm điểm C thuộc d :
x – 2y – 1 = 0 sao cho khoảng cỏch từ C đến AB bằng 6 ĐS: (7;3 ,( 43 / 11; 27 / 11)) ư ư
Trang 6Tel : 0914455164 Ôn thi THPT QUỐC GIA – Chuyên đề Toạ độ trong mặt phẳng
Bài 16 ĐH KD 2004: Trong mặt phẳng Oxy cho ABC∆ có các đỉnh A(-1; 0), B(4; 0), C(0; m) với 0
≠
m Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC∆ theo m Xác định m để tam giác GAB vuông tại G
Bài 17 ĐH KA 2005:Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng d1: x – y = 0 , d2: 2x + y – 1 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết A∈d1;C∈d2 và B, D thuộc trục hoành
ĐS: A(1;1), B(0;0), C(1;−−1), D(2;0) hoặc A(1;1), B(2;0), C(1;−−1), D(0;0) Bài 18 Xác định tọa độ đỉnh C của tam giác ABC biết rằng hình chiếu vuông góc của C trên đường
thẳng AB là điểm H(−1;−1), đường phân giác trong của góc A có phương trình x−y+2=0 và đường cao kẻ từ B có phương trình 4x+3y−1=0 ĐS: C(-10/3;3/4)
Bài 19 Cho điểm A(2;2) và các đường thẳng: d1: x+y−2=0, d2: x+y−8=0 Tìm tọa độ các điểm B và
C lần lượt thuộc d1 và d2 sao cho ∆ ABC vuông cân tại A ĐS: B(−1;3), C(3;5) OR B(3;−1), C(5;3)
Bài 20 Cho tam giác ABC có AB=AC, 0
90
BAC = Biết M(1;−1) là trung điểm cạnh BC và
(2 / 3;0)
G là trọng tâm tam giác ABC Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C ĐS: A(0;2), B(4;0), C(−2;−2)
Bài 21.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm I(1 / 2;0), phương
trình đường thẳng AB là x−2y+2=0 và AB=2AD Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D biết rằng đỉnh A có
hoành độ âm ĐS: A(−2;0), B(2;2), C(3;0), D(−1;−2)
Bài 22 Cho đường thẳng d : x – 2y + 2 = 0 và 2 điểm A(0;6), B(2;5) Tìm M trên d sao cho MA +
Bài 23 Cho 4 điểm A(1;0), B(-2;4), C(-1;4) , D(3;5) và đường thẳng d : 3x – y – 5 = 0 Tìm M
thuộc d sao cho 2 tam giác MAB và MCD có diện tích bằng nhau Đs : (7/3;2), (-9;-32)
Bài 24 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, tìm điểm A thuộc trục hoành và điểm B thuộc trục
tung sao cho A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x −2y+3=0 ĐS:A(2;0), B(0;4)
Bài 25 Cho tam giác ABC vuông tại A, phương trình đường thẳng BC là 3x−y− 3=0, các đỉnh
A và B thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2 Tìm tọa độ trọng tâm G của tam
;
D BÀI TẬP CƠ BẢN về ĐƯỜNG TRÒN
Bài 1.Tìm tâm và bán kính của đường tròn có phương trình sau :
a) (x−2)2+(y+1)2=4 b) (x+3)2+(y−1)2=3
c) x2+y2−4x−6y−3=0 d) x2+y2+4x−6y+2=0
e) 2x2+2y2−5x+4y+1=0 f) 7x2+7y2−4x+6y−1=0
g) x2+y2−2x−1=0 h) x2+ y2=1
Bài 2 Viết phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau :
a) (C) có tâm I(1 ;-3) và bán kính R=7 b) (C) có tâm I(1;3) đi qua điểm A(3;1) c) (C) có đường kính AB với A(1;1) , B(7;5) d) (C) có tâm I(-2;0) và tx với d: 2x + y – 1=0
Bài 3 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho đường tròn (C): (x−1)2
+(y−2)2=4
và đường thẳng d: x−y−1=0 Viết phương trình đường tròn (C’) đối xứng với đường tròn (C) qua đường thẳng d Tìm tọa độ các giao điểm của (C) và (C’) ĐS: A(1;0), B(3;2)
LOẠI 1 : Đường tròn đi qua 3 điểm hoặc đường tròn đi qua 2 điểm và thỏa đk khác …
Bài 1 Viết phương trình đường tròn (C) đi qua 3 điểm M(1;-2), N(1 ;2), P(5 ;2)
Bài 2 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(0;2), B(−2;−2) và C(4;−2) Gọi
H là chân đường cao kẻ từ B; M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC Viết phương trình đường tròn đi qua các điểm H, M, N ĐS: x2
+y2−x+y−2=0
Bài 3 a Cho ∆ABC có AB : x + y – 2 = 0, AC : 2x + 6y – 3 =0, M(-1;1) là trung điểm BC Viết
+ y2 – x + 3y- 65/8 =0
b Lập PT đường tròn qua A(1 ;-2) và các giao điểm của d : x – 7y + 10 = 0 với (C) : x2 + y2 – 2x+4y–20= 0
Bài 4 Viết PT đường tròn (T) đi qua 2 điểm A(-1 ;2) ; B(-2 ;3) và có tâm ở trên d : 3x – y + 10 = 0 Bài 5: Cho điểm A(-1 ;0), B(1 ;2) và đường thẳng (d): x - y - 1 = 0 Lập phương trình đường tròn
đi qua 2 điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng (d) Đs : x2
+ (y - 1)2 = 2
Trang 7Tel : 0914455164 Ôn thi THPT QUỐC GIA – Chuyên đề Toạ độ trong mặt phẳng
LOẠI 2 : Đường tròn tiếp xúc đường thẳng hoặc đường tròn khác
Bài 1 Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng d : 4x + 3y – 2 = 0 và tiếp xúc
với hai đường thẳng d1 : x + y + 4 = 0, d2 : 7x – y + 4 = 0
Bài 2.Viết PT đ/tròn có tâm là g/điểm của d1 : x – 3y + 1 = 0 và d2: x + 4= 0 đồng thời t/xúc với d :
x + y–1=0
Bài 3 a Viết phương trình đường tròn đi qua M(2 ;1) đồng thời tiếp xúc với hai trục tọa độ
b Viết PT đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ và tiếp xúc ngoài với đường tròn (C) : x2 + y2 –
12x – 4y + 36 = 0 Đs : (x – 2)2 + (y – 2)2 =4 ; (x – 18)2 + (y – 18)2 = 24 ; (x – 6)2 +(y +6)2 = 36
Bài 4 Cho A(-1 ;1) và đ/thẳng d : x – y + 1 - 2 = 0 Viết PT đường tròn qua A, qua gốc O và tiếp xúc với d Đs : x2 + (y – 1)2 = 1 ; (x+1)2 + y2 = 1
Bài 5 Cho hai điểm A(2;0) và B(6;4) Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành tại
điểm A và khoảng cách từ tâm của (C) đến điểm B bằng 5
ĐS: (C1): (x−2)2+(y−1)2=1 hoặc (x−2)2+(y−7)2=49
Bài 6 Viết phương trình đường tròn đi qua A(4 ;2) và tiếp xúc với 2 đường thẳng d1 ; x – 3y – 2 =0
và d2 : x – 3y + 8 = 0 Đs : (x -1)2
+ (y – 3)2 = 10 ; (x – 29/5)2 + (y – 23/5)2 = 10
Bài 7 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2
+y2−2x−2y+1=0 và đường thẳng
d : x−y+3=0 Tìm tọa độ điểm M nằm trên d sao cho đường tròn tâm M, có bán kính gấp đôi bán kính đường tròn (C), tiếp xúc ngoài với đường tròn (C) ĐS: M1(1;4), M2(−2;1)
Bài 8: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai đường thẳng (d1) : 4x - 3y - 12 = 0 và (d2): 4x + 3y -
12 = 0 Tìm toạ độ tâm và bk đường tròn nội tiếp tam giác có 3 cạnh nằm trên (d1), (d2), trục Oy
Hướng dẫn: Gọi A là giao điểm d1 và d2 ta có A(3 ;0)
Gọi B là giao điểm d1 với trục Oy ta có B(0 ; - 4) Gọi C là giao điểm d2 với Oy ta có C(0 ;4) Gọi BI là đường phân giác trong góc B với I thuộc OA khi đó ta có I(4/3 ; 0), R = 4/3
Bài 9 Cho đường tròn (C) có phương trình: 2 2
x +y + x− = Tia Oy cắt (C) tại A Lập phương trình đường tròn (C’), bán kính R’ = 2 và tiếp xúc ngoài với (C) tại A
Hướng dẫn: A(0;2), I(-2 3 ;0), R= 4, gọi (C’) có tâm I’ , I'∈IA => I’(2 3 ; 2t t +2),
(C’): ( )2 ( )2
LOẠI 3 : Viết PT tiếp tuyến – Cát tuyến với đường tròn
Bài 1 Cho đường tròn (T) : x2 + y2 – 4x + 8y – 5 = 0 Viết phương trình tiếp tuyến với (T) biết : a) tiếp điểm A(-1 ;0) b) tiếp tuyến đó // d : 2x–y=0
c) tiếp tuyến đó ⊥ d’ : 4x – 3y + 1 = 0 d) tiếp tuyến đi qua B(3 ;-11)
e) Tìm m để đường thẳng d : x + (m – 1)y + m = 0 tiếp xúc với đường tròn (T)
Bài 2 Viết PT tiếp tuyến chung của 2 đ/tròn: (T1) : x2 + y2 –10x = 0,(T2) : ( )2 ( )2
x+ + y− =
Đs : x + 7y – 5 ±25 2 = 0
Bài 2’.Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn có phương trình ( ) 2 2
C x + y − y− = và
C x +y − x+ y+ = Lập phương trình tiếp tuyến chung của ( )C1 và (C2)
Hướng dẫn:( )C1 :I1(0; 2 ,) R1=3;(C2):I2(3; 4 ,− ) R2=3
Gọi tiếp tuyến chung của ( ) (C1 , C2) là ∆:Ax+By+C=0 (A2+B2≠0)
∆ là tiếp tuyến chung của ( ) (C1 , C2) ( )
( ) ( )
;
Từ (1) và (2) suy ra A=2B hoặc 3 2
2
C=− +
Trường hợp 1: A=2B Chọn B= ⇒1 A= ⇒2 C= − ±2 3 5⇒ ∆: 2x+y− ±2 3 5=0
Trường hợp 2: 3 2
2
C=− + Thay vào (1) ta tính được A theo B rồi chọn như TH 1
Trang 8Tel : 0914455164 ễn thi THPT QUỐC GIA – Chuyờn đề Toạ độ trong mặt phẳng
Bài 3 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường trũn (C) 2 2
x +y + x+ y+ = và đường thẳng ∆:x+myư2m+ =3 0 với m là tham số thực Gọi I là tõm của đường trũn (C) Tỡm m để ∆ cắt
I tại hai điểm phõn biệt A và B sao cho diện tớch tam giỏc IAB lớn nhất
Bài 4 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường trũn I: (xư1)2
+(y+2)2=9 và đường thẳng d:
3xư4y+m=0 Tỡm m để trờn d cú duy nhất một điểm P mà từ đú cú thể kẻ được hai tiếp tuyến PA,
PB tới I (A, B là cỏc tiếp điểm) sao cho tam giỏc PAB đều ĐS: m=19, m=ư41
Bài 5 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đương trũn I: x2
+y2ư2xư6y+6=0 và điểm M(ư3;1)
Gọi T1 và T2 là cỏc tiếp điểm của cỏc tiếp tuyến kẻ từ M đến I Viết phương trỡnh đường thẳng T1T2
ĐS : T1T2 : 2x+yư3=0
Bài 6 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường trũn I: x2
+ y2 – 2x – 2my + m2 – 24 = 0 cú tõm I và đường thẳng ∆: mx + 4y = 0 Tỡm m biết đường thẳng ∆ cắt đường trũn I tại hai điểm
phõn biệt A,B thỏa món diện tớch tam giỏc IAB bằng 12
Hướng dẫn : +) Đường trũn I cú tõm I(1; m), bỏn kớnh R = 5
+) Gọi H là trung điểm của dõy cung AB => IH là đường cao của ∆IAB
+) IH =
2
| 5 | ( , )
16
m
d I
m
∆ =
+
2
20 16
m
+ +)S∆IAB =12⇔ IH.AH=12⇔25 |m| 3(= m2+16)⇔m= ±3;m= ±16 / 3
Bài 7 Cho đường tròn I: x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0 và đường thẳng d có phương trình x + y + m = 0
Tìm m để trên đường thẳng d có duy nhất một điểm A mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến AB, AC tới
đường tròn I (B, C là hai tiếp điểm) sao cho tam giác ABC vuông
Hướng dẫn: (C) có tâm I(1;-2), R = 3, từ A kẻ được 2 tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn và
AB⊥AC=> tứ giác ABIC là hình vuông cạnh bằng 3⇒IA=3 2 1 3 2 5
7 2
m m
m
= ư
=
Bài 8 Cho hai đường trũn 2 2
( ) :C x + y – 2 – 2 x y + 1 = 0, ( ') :C x2+ y2+4 – 5 x = 0 cựng đi qua
M (1; 0) Viết PT đường thẳng qua M cắt 2 đường trũn ( ), ( ')C C lần lượt tại A, B sao cho MA= 2MB
Hướng dẫn: + Gọi tõm và bỏn kớnh của I, (C’) lần lượt là I(1; 1) , I’(-2; 0) và R=1,R'=3, đường
a xư +b yư = ⇔ax+byưa= a +b ≠
+ Gọi H, H’ lần lượt là trung điểm của AM, BM
1 d I d( ; ) 4[9 d I d( '; ) ]
9
4 d I d( '; ) d I d( ; ) 35 4 a b 35
36
35
ư
+ Chọn b= ⇒1 a= ±6 Kiểm tra đk IA>IH ,thay vào (*) ta cú hai đường thẳng thoả
LOẠI 4 : Xỏc định điểm nhờ đường trũn
Bài 1: (D – 2009) Cho đường trũn (C) : (x – 1)2
+ y2 = 1 cú tõm I Tỡm điểm M thuộc (C) sao cho
30
IMO = với O là gốc tọa độ Đs : (3/2; 3/2) ; (3/2; - 3/2)
Bài 2 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường trũn (C): (xư2)2
+y2=4/5 và hai đường thẳng
∆1: xưy=0, ∆2: xư7y=0 Viết PT đường trũn (C1) tiếp xỳc với cỏc đường thẳng ∆1, ∆2 và cú tõm K
thuộc đường trũn (C) ĐS: K(8 / 5; 4 / 5 ,) R =2 2 / 5
Bài 3 (đề 2010) Cho 2 đường thẳng d1: 3x+y=0 và d2: 3xưy=0 Gọi (T) là đường trũn tiếp
xỳc với d1 tại A, cắt d2 tại hai điểm B và C sao cho tam giỏc ABC vuụng tại B Viết phương
trỡnh của (T), biết tam giỏc ABC cú diện tớch bằng 3 / 2 và điểm A cú hoành độ dương
Hướng dẫn: +) C/m d d1, 2 tạo với Oy gúc 0
30 Từ đú : 0 0
AOB= ACB=
ABC
Phương trỡnh (T) đường kớnh AC :
1 2
2 3
I
∆
H
5