CHUYÊN ĐỀ HÌNH TRỤ HÌNH NÓN MẶT CẦU (CÓ ĐÁP ÁN) 2018

CHUYÊN ĐỀ HÌNH TRỤ HÌNH NÓN MẶT CẦU (CÓ ĐÁP ÁN) 2018CHUYÊN ĐỀ HÌNH TRỤ HÌNH NÓN MẶT CẦU (CÓ ĐÁP ÁN) 2018CHUYÊN ĐỀ HÌNH TRỤ HÌNH NÓN MẶT CẦU (CÓ ĐÁP ÁN) 2018CHUYÊN ĐỀ HÌNH TRỤ HÌNH NÓN MẶT CẦU (CÓ ĐÁP ÁN) 2018CHUYÊN ĐỀ HÌNH TRỤ HÌNH NÓN MẶT CẦU (CÓ ĐÁP ÁN) 2018CHUYÊN ĐỀ HÌNH TRỤ HÌNH NÓN MẶT CẦU (CÓ ĐÁP ÁN) 2018CHUYÊN ĐỀ HÌNH TRỤ HÌNH NÓN MẶT CẦU (CÓ ĐÁP ÁN) 2018CHUYÊN ĐỀ HÌNH TRỤ HÌNH NÓN MẶT CẦU (CÓ ĐÁP ÁN) 2018CHUYÊN ĐỀ HÌNH TRỤ HÌNH NÓN MẶT CẦU (CÓ ĐÁP ÁN) 2018CHUYÊN ĐỀ HÌNH TRỤ HÌNH NÓN MẶT CẦU (CÓ ĐÁP ÁN) 2018CHUYÊN ĐỀ HÌNH TRỤ HÌNH NÓN MẶT CẦU (CÓ ĐÁP ÁN) 2018CHUYÊN ĐỀ HÌNH TRỤ HÌNH NÓN MẶT CẦU (CÓ ĐÁP ÁN) 2018CHUYÊN ĐỀ HÌNH TRỤ HÌNH NÓN MẶT CẦU (CÓ ĐÁP ÁN) 2018CHUYÊN ĐỀ HÌNH TRỤ HÌNH NÓN MẶT CẦU (CÓ ĐÁP ÁN) 2018CHUYÊN ĐỀ HÌNH TRỤ HÌNH NÓN MẶT CẦU (CÓ ĐÁP ÁN) 2018CHUYÊN ĐỀ HÌNH TRỤ HÌNH NÓN MẶT CẦU (CÓ ĐÁP ÁN) 2018CHUYÊN ĐỀ HÌNH TRỤ HÌNH NÓN MẶT CẦU (CÓ ĐÁP ÁN) 2018CHUYÊN ĐỀ HÌNH TRỤ HÌNH NÓN MẶT CẦU (CÓ ĐÁP ÁN) 2018CHUYÊN ĐỀ HÌNH TRỤ HÌNH NÓN MẶT CẦU (CÓ ĐÁP ÁN) 2018CHUYÊN ĐỀ HÌNH TRỤ HÌNH NÓN MẶT CẦU (CÓ ĐÁP ÁN) 2018CHUYÊN ĐỀ HÌNH TRỤ HÌNH NÓN MẶT CẦU (CÓ ĐÁP ÁN) 2018CHUYÊN ĐỀ HÌNH TRỤ HÌNH NÓN MẶT CẦU (CÓ ĐÁP ÁN) 2018CHUYÊN ĐỀ HÌNH TRỤ HÌNH NÓN MẶT CẦU (CÓ ĐÁP ÁN) 2018CHUYÊN ĐỀ HÌNH TRỤ HÌNH NÓN MẶT CẦU (CÓ ĐÁP ÁN) 2018CHUYÊN ĐỀ HÌNH TRỤ HÌNH NÓN MẶT CẦU (CÓ ĐÁP ÁN) 2018CHUYÊN ĐỀ HÌNH TRỤ HÌNH NÓN MẶT CẦU (CÓ ĐÁP ÁN) 2018CHUYÊN ĐỀ HÌNH TRỤ HÌNH NÓN MẶT CẦU (CÓ ĐÁP ÁN) 2018CHUYÊN ĐỀ HÌNH TRỤ HÌNH NÓN MẶT CẦU (CÓ ĐÁP ÁN) 2018CHUYÊN ĐỀ HÌNH TRỤ HÌNH NÓN MẶT CẦU (CÓ ĐÁP ÁN) 2018CHUYÊN ĐỀ HÌNH TRỤ HÌNH NÓN MẶT CẦU (CÓ ĐÁP ÁN) 2018CHUYÊN ĐỀ HÌNH TRỤ HÌNH NÓN MẶT CẦU (CÓ ĐÁP ÁN) 2018CHUYÊN ĐỀ HÌNH TRỤ HÌNH NÓN MẶT CẦU (CÓ ĐÁP ÁN) 2018CHUYÊN ĐỀ HÌNH TRỤ HÌNH NÓN MẶT CẦU (CÓ ĐÁP ÁN) 2018

BTN_7_5 Chun đề Hình học khơng gian Chun đề HÌNH HỌC KHƠNG GIAN CỔ ĐIỂN Chủ đề 7.5 MẶT CẦU – MẶT NÓN – MẶT TRỤ A KIẾ KIẾN THỨ THỨC CƠ CƠ BẢ BẢN I MẶT NÓ N 1/ Mă ̣t nó n trò n xoay Hıǹ h Hıǹ h Trong mă ̣t phẳ ng ( P ) , cho đường thẳ ng d , ∆ cắ t ta ̣i O và chú ng ta ̣o thà nh gó c β với 00 < β < 900 Khi quay mp ( P ) xung quanh tru ̣c ∆ với gó c β không thay đổ i đươ ̣c go ̣i là mă ̣t nó n trò n xoay đın̉ h O (hıǹ h 1) Người ta thường go ̣i tắ t mă ̣t nó n trò n xoay là mă ̣t nó n Đường thẳ ng ∆ go ̣i là tru ̣c, đường thẳ ng d đươ ̣c go ̣i là đường sinh và gó c β goị là gó c ở đın̉ h 2/ Hın ̀ h nó n trò n xoay Cho ∆OIM vuông taị I quay quanh canh ̣ gó c vuông OI thı̀ đường gấ p khú c OIM taọ thà nh môṭ hıǹ h, goị là hıǹ h nó n trò n xoay (goị tắ t là hıǹ h nó n) (hıǹ h 2) Đường thẳ ng OI goị là truc, ̣ O là đın̉ h, OI goị là đường cao và OM goị là đường sinh củ a hıǹ h nó n Hıǹ h trò n tâm I , bá n kıń h r = IM là đá y củ a hıǹ h nó n 3/ Công thức diêṇ tı́ch và thể tı́ch củ a hın ̀ h nó n Cho hıǹ h nó n có chiề u cao là h , bá n kıń h đá y r và đường sinh là l thı̀ có : Diêṇ tıć h xung quanh: S xq = π r.l Diêṇ tıć h đá y (hıǹ h trò n): Sð = π r Thể tıć h khố i nó n: Vnon = ⇒ Diêṇ tıć h toà n phầ n hıǹ h nó n: Stp = S xq + Sð 1 Sð h = π r h 3 4/ Tı́nh chấ t: TH1: Nế u cắ t măṭ nó n trò n xoay bởi mp ( P ) qua đın ̉ h thı̀ có cá c trường hơp̣ sau xả y ra: + Nếu mp ( P ) cắ t măṭ nó n theo đường sinh ⇒ Thiế t diêṇ là tam giá c cân + Nếu mp ( P ) tiế p xú c với măṭ nó n theo môṭ đường sinh Trong trường hơp̣ nà y, người ta goị đó là măṭ phẳ ng tiế p diêṇ củ a măṭ nó n TH2: Nế u cắ t măṭ nó n trò n xoay bởi mp (Q ) không qua đın ̉ h thı̀ có cá c trường hơp̣ sau xả y ra: + Nế u mp (Q ) vuông gó c với truc̣ hıǹ h nó n ⇒ giao tuyế n là môṭ đường trò n + Nế u mp (Q ) song song với đường sinh hıǹ h nó n ⇒ giao tuyế n là nhá nh củ a hypebol + Nế u mp (Q ) song song với đường sinh hıǹ h nó n ⇒ giao tuyế n là đường parabol Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 1|THBTN BTN_7_5 Chun đề Hình học khơng gian II MẶT TRỤ 1/ Mă ̣t tru ̣ trò n xoay ∆ Trong mp ( P ) cho hai đường thẳ ng ∆ và l song song nhau, cá ch môṭ khoả ng r Khi quay mp ( P ) quanh truc̣ cố đinh ̣ ∆ thı̀ đường r l A thẳ ng l sinh môṭ măṭ trò n xoay đươc̣ go ị là măṭ tru ̣ trò n xoay hay goị tắ t là măṭ tru.̣ D Đường thẳ ng ∆ đươc̣ goị là truc ̣ Đường thẳ ng l đươc̣ goị là đường sinh Khoả ng cá ch r đươc̣ goị là bá n kıń h củ a măṭ tru.̣ 2/ Hın ̀ h tru ̣ trò n xoay Khi quay hıǹ h chữ nhâṭ ABCD xung quanh đường thẳ ng chứa môṭ B canh, ̣ chẳ ng haṇ canh ̣ AB thı̀ đường gấ p khú c ABCD taọ thà nh môṭ r hıǹ h, hıǹ h đó đươc̣ goị là hıǹ h tru ̣ trò n xoay hay goị tắ t là hıǹ h tru.̣ C Đường thẳ ng AB đươc̣ goị là truc ̣ Đoaṇ thẳ ng CD đươc̣ goị là đường sinh Đô ̣ dà i đoaṇ thẳ ng AB = CD = h đươc̣ goị là chiề u cao củ a hıǹ h tru.̣ Hıǹ h trò n tâm A , bá n kıń h r = AD và hıǹ h trò n tâm B , bá n kı́nh r = BC đươc̣ goị là đá y củ a hıǹ h tru.̣ Khố i tru ̣ trò n xoay, goị tắ t là khố i tru,̣ là phầ n không gian giới haṇ bởi hıǹ h tru ̣ trò n xoay kể cả hıǹ h tru.̣ 3/ Công thức tı́nh diêṇ tı́ch và thể tı́ch củ a hın ̀ h tru ̣ Cho hıǹ h tru ̣ có chiề u cao là h và bá n kıń h đá y bằ ng r , đó : Diêṇ tıć h xung quanh củ a hıǹ h tru:̣ S xq = 2π rh Diêṇ tıć h toà n phầ n củ a hıǹ h tru:̣ Stp = S xq + 2.S Ðay = 2π rh + 2π r Thể tıć h khố i tru:̣ V = B.h = π r h 4/ Tı́nh chấ t: Nế u cắ t măṭ tru ̣ trò n xoay (có bá n kıń h là r ) bởi môṭ mp (α ) vuông gó c với truc̣ ∆ thı̀ ta đươc̣ đường trò n có tâm ∆ và có bá n kıń h bằ ng r với r cũ ng chıń h là bá n kıń h củ a măṭ tru ̣ đó Nế u cắ t măṭ tru ̣ trò n xoay (có bá n kıń h là r ) bởi môṭ mp (α ) không vuông gó c với truc̣ ∆ cắ t tấ t cả cá c đường sinh, ta đươc̣ giao tuyế n là môṭ đường elıṕ có tru ̣ nhỏ bằ ng 2r và truc̣ lớn 2r bằ ng , đó ϕ là gó c giữa truc̣ ∆ và mp (α ) với 00 < ϕ < 900 sin ϕ Cho mp (α ) song song với truc̣ ∆ củ a măṭ tru ̣ trò n xoay và cá ch ∆ môṭ khoả ng d + Nế u d < r thı̀ mp (α ) cắ t măṭ tru ̣ theo hai đường sinh ⇒ thiế t diêṇ là hıǹ h chữ nhât.̣ + Nế u d = r thı̀ mp (α ) tiế p xú c với măṭ tru ̣ theo môṭ đường sinh + Nế u d > r thı̀ mp (α ) không cắ t măṭ tru.̣ Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 2|THBTN BTN_7_5 Chuyên đề Hình học không gian III MẶT CẦ U 1/ Đinh ̣ nghıã Tâp̣ hơp̣ cá c điể m M không gian cá ch điể m O cố đinh ̣ môṭ khoả ng R goị là măṭ cầ u tâm O , bá n kıń h R , kı́ hiêụ là : S (O; R ) Khi S (O; R ) = {M | OM = R} 2/ Vi trı ̣ ́ tương đố i củ a mô ̣t điể m đố i với mă ̣t cầ u Cho măṭ cầ u S (O; R ) và môṭ điể m A bấ t kı,̀ đó : Nế u OA = R ⇔ A ∈ S (O; R ) Khi đó OA goị là bá n kıń h măṭ cầ u Nế u OA và OB là hai bá n kıń h cho OA = −OB thı̀ đoaṇ thẳ ng AB goị là đường kıń h củ a măṭ cầ u Nế u OA < R ⇔ A nằ m măṭ cầ u Nế u OA > R ⇔ A nằ m ngoà i măṭ cầ u B O A ⇒ Khố i cầ u S (O; R ) là tâp̣ hơp̣ tấ t cả cá c điể m M cho OM ≤ R 3/ Vi trı ̣ ́ tương đố i củ a mă ̣t phẳ ng và mă ̣t cầ u A A Cho măṭ cầ u S (O; R ) và môṭ mp ( P ) Goị d là khoả ng cá ch từ tâm O củ a măṭ cầ u đế n mp ( P ) và H là hıǹ h chiế u củ a O mp ( P ) ⇒ d = OH Nế u d < R ⇔ mp ( P ) cắ t măṭ cầ u S (O; R ) theo giao tuyế n là đường trò n nằ m mp ( P ) có tâm là H và bá n kıń h r = HM = R − d = R − OH (hıǹ h a) Nế u d > R ⇔ mp ( P ) không cắ t măṭ cầ u S (O; R ) (hıǹ h b) Nế u d = R ⇔ mp ( P ) có môṭ điể m chung nhấ t Ta nói măṭ cầ u S (O; R ) tiế p xú c mp ( P ) Do đó , điề u kiêṇ cầ n và đủ để mp ( P ) tiế p xú c với măṭ cầ u S (O; R ) là d (O, ( P ) ) = R (hıǹ h c) d Hıǹ h a Hıǹ h b d= Hıǹ h c 4/ Vi trı ̣ ́ tương đố i củ a đường thẳ ng và mă ̣t cầ u Cho măṭ cầ u S (O; R ) và môṭ đường thẳ ng ∆ Goị H là hıǹ h chiế u củ a O đường thẳ ng ∆ và d = OH là khoả ng cá ch từ tâm O củ a măṭ cầ u đế n đường thẳ ng ∆ Khi đó : d d= Nế u d > R ⇔ ∆ không cắ t măṭ cầ u S (O; R ) Nế u d < R ⇔ ∆ cắ t măṭ cầ u S (O; R ) taị hai điể m phân biêt.̣ Nế u d = R ⇔ ∆ và măṭ cầ u tiế p xú c (taị môṭ điể m nhấ t) Do đó : điề u kiêṇ cầ n và đủ để đường thẳ ng ∆ tiế p xú c với măṭ cầ u là d = d (O , ∆ ) = R Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 3|THBTN BTN_7_5 Chun đề Hình học khơng gian Đinh ̣ lı́: Nế u điể m A nằ m ngoà i măṭ cầ u S (O; R ) thı:̀ Qua A có vô số tiế p tuyế n với măṭ cầ u S (O; R ) Đô ̣ dà i đoaṇ thẳ ng nố i A với cá c tiế p điể m đề u bằ ng Tâp̣ hơp̣ cá c điể m nà y là môṭ đường trò n nằ m măṭ cầ u S (O; R ) 5/ Diêṇ tı́ch và thể tı́ch mă ̣t cầ u • Thể tıć h măṭ cầ u: VC = π R • Diêṇ tıć h măṭ cầ u: SC = 4π R B KỸ NĂNG CƠ BẢ BẢN I Mă ̣t cầ u ngoa ̣i tiế p khố i đa diêṇ 1/ Cá c khá i niêm ̣ bả n Tru ̣c củ a đa giá c đá y: là đường thẳ ng qua tâm đường trò n ngoaị tiế p củ a đa giá c đá y và vuông gó c với măṭ phẳ ng chứa đa giá c đá y ⇒ Bấ t kı̀ môṭ điể m nà o nằ m truc̣ củ a đa giá c thı̀ cá ch đề u cá c đın̉ h củ a đa giá c đó Đường trung trực củ a đoa ̣n thẳ ng: là đường thẳ ng qua trung điể m củ a đoaṇ thẳ ng và vuông gó c với đoaṇ thẳ ng đó ⇒ Bấ t kı̀ môṭ điể m nà o nằ m đường trung trực thı̀ cá ch đề u hai đầ u mú t củ a đoaṇ thẳ ng Mă ̣t trung trực củ a đoa ̣n thẳ ng: là măṭ phẳ ng qua trung điể m củ a đoaṇ thẳ ng và vuông gó c với đoaṇ thẳ ng đó ⇒ Bấ t kı̀ môṭ điể m nà o nằ m măṭ trung trực thı̀ cá ch đề u hai đầ u mú t củ a đoaṇ thẳ ng 2/ Tâm và bá n kı́nh mă ̣t cầ u ngoa ̣i tiế p hın ̀ h chó p Tâm mă ̣t cầ u ngoa ̣i tiế p hın ̀ h chó p: là điể m cá ch đề u cá c đın̉ h củ a hıǹ h chó p Hay nó i cá ch khá c, nó chıń h là giao điể m I củ a truc̣ đường trò n ngoaị tiế p mặt phẳ ng đá y và mặt phẳ ng trung trực củ a môṭ caṇ h bên hıǹ h chó p Bá n kı́nh: là khoả ng cá ch từ I đế n cá c đın̉ h củ a hı̀nh chó p 3/ Cá ch xá c đinh ̣ tâm và bá n kı́nh mă ̣t cầ u củ a mô ̣t số hın ̀ h đa diêṇ bả n a/ Hın ̀ h hô ̣p chữ nhâ ̣t, hın ̀ h lâ ̣p phương - Tâm: trù ng với tâm đố i xứng củ a hıǹ h hôp̣ chữ nhâṭ (hıǹ h lâp̣ phương) ⇒ Tâm là I , là trung điể m củ a AC ' - Bá n kı́nh: bằ ng nửa đô ̣ dà i đường ché o hıǹ h hôp̣ chữ nhâṭ (hıǹ h lâp̣ phương) AC ' A B A ⇒ Bá n kıń h: R = D C I I A’ B’ b/ Hın ̀ h lăng tru ̣ đứng có đá y nô ̣i tiế p đường trò n ' ' ' ' n Xé t hıǹ h lăng tru ̣ đứng A1 A2 A3 An A A A A , đó có đá y ' ' ' C’ C’ D’ An A1 A2 ' n A1 A2 A3 An và A A A A nô ị tiế p đường trò n (O ) và (O ' ) Lú c đó , măṭ cầ u nôị tiế p hıǹ h lăng tru ̣ đứng có : - Tâm: I với I là trung điể m củ a OO ' - Bá n kı́nh: R = IA1 = IA2 = = IAn' A3 I A’n A’1 A’2 Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn O O’ A’3 4|THBTN BTN_7_5 Chun đề Hình học khơng gian c/ Hın ̀ h chó p có cá c đı̉nh nhın ̀ đoa ̣n thẳ ng nố i đı̉nh cò n la ̣i dưới gó c vuông - Hıǹ h chó p S ABC có SAC = SBC = 900 + Tâm: I là trung điể m củ a SC SC + Bá n kıń h: R = = IA = IB = IC - Hıǹ h chó p S ABCD có S S I I SAC = SBC = SDC = 900 A + Tâm: I là trung điể m củ a SC SC + Bá n kıń h: R = = IA = IB = IC = ID d/ Hın ̀ h chó p đều Cho hıǹ h chó p đề u S ABC - Goị O là tâm củ a đá y ⇒ SO là truc̣ củ a đá y - Trong măṭ phẳ ng xá c đinh ̣ bởi SO và môṭ canh ̣ bên, A C S ∆ M chẳ ng haṇ mp ( SAO ) , ta vẽ đường trung trực củ a canh ̣ SA là ∆ cắ t SA taị M và cắ t SO taị I ⇒ I là tâm củ a măṭ cầ u - Bá n kıń h: SM SI Ta có : ∆SMI ∼ ∆SOA ⇒ = ⇒ Bá n kıń h là : SO SA SM SA SA2 R = IS = = = IA = IB = IC = SO SO e/ Hın ̀ h chó p có ca ̣nh bên vuông gó c với mă ̣t phẳ ng đá y C B B I A D O B C Cho hıǹ h chó p S ABC có canh ̣ bên SA ⊥ đá y ( ABC ) và đá y ABC nô ị tiế p đươc̣ đường trò n tâm O Tâm và bá n kıń h măṭ cầ u ngoaị tiế p hıǹ h chó p S ABC đươc̣ xá c đinh ̣ sau: - Từ tâm O ngoaị tiế p củ a đường trò n đá y, ta vẽ đường thẳ ng d vuông gó c với mp ( ABC ) taị O - Trong mp ( d , SA ) , ta dựng đường trung trực ∆ củ a canh ̣ SA , cắ t SA taị M , cắ t d taị I ⇒ I là tâm măṭ cầ u ngoaị tiế p hıǹ h chó p và bá n kıń h R = IA = IB = IC = IS = - Tım ̀ bá n kıń h: Ta có : MIOB là hıǹ h chữ nhât.̣ Xé t ∆MAI vuông taị M có : S d M ∆ I R = AI = MI + MA2 =  SA  AO +     f/ Hın ̀ h chó p khá c - Dựng truc̣ ∆ củ a đá y O A C B - Dựng măṭ phẳ ng trung trực (α ) củ a môṭ canh ̣ bên bấ t kı.̀ - (α ) ∩ ∆ = I ⇒ I là tâm măṭ cầ u ngoaị tiế p hıǹ h chó p - Bá n kıń h: khoả ng cá ch từ I đế n cá c đın̉ h củ a hıǹ h chó p Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 5|THBTN BTN_7_5 Chun đề Hình học khơng gian g/ Đường trò n ngoa ̣i tiế p mô ̣t số đa giá c thường gă ̣p Khi xá c đinh ̣ tâm măṭ cầ u, ta cầ n xá c đinh ̣ truc̣ củ a măṭ phẳ ng đá y, đó chıń h là đường thẳ ng vuông gó c với măṭ phẳ ng đá y taị tâm O củ a đường trò n ngoaị tiế p đá y Do đó , viêc̣ xá c đinh ̣ tâm ngoaị O là yế u tố rấ t quan ̣ củ a bà i toá n O O Hıǹ h vuông: O là giao điể m đường ché o O Hıǹ h chữ nhât:̣ O là giao điể m củ a hai đường ché o O O ∆ vuông: O là trung điể m củ a canh ̣ huyề n ∆ đề u: O là giao điể m củ a đường trung tuyế n (trong ̣ ∆ thường: O là giao điể m củ a hai đường trung trực củ a hai canh ̣ ∆ II KỸ THUẬT XÁC ĐỊNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHĨP Cho hình chóp S A1 A2 An (thoả mãn điều kiện tồn mặt cầu ngoại tiếp) Thông thường, để xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta thực theo hai bước: Bước 1: Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy Dựng ∆ : trục đường tròn ngoại tiếp đa S giác đáy Bước 2: Lập mặt phẳng trung trực (α ) cạnh bên α I Lúc : - Tâm O mặt cầu: ∆ ∩ mp(α ) = {O} O - Bán kính: R = SA ( = SO ) Tuỳ vào trường hợp D A C H Lưu ý: Kỹ xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy B Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy: đường thẳng qua tâm đường tròn ngoại tiếp đáy vng góc với mặt phẳng đáy Tính chất: ∀M ∈ ∆ : MA = MB = MC ∆ M Suy ra: MA = MB = MC ⇔ M ∈ ∆ Các bước xác định trục: - Bước 1: Xác định tâm H đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy - Bước 2: Qua H dựng ∆ vng góc với mặt phẳng đáy A VD: Một số trường hợp đặc biệt C H B Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 6|THBTN BTN_7_5 Chun đề Hình học khơng gian A Tam giác vuông B Tam giác ∆ B C Tam giác ∆ H C ∆ B B C H C H A A A S Lưu ý: Kỹ tam giác đồng dạng ∆SMO đồng dạng với ∆SIA ⇒ M SO SM = SA SI O I A Nhận xét quan trọng:  MA = MB = MC ∃M , S :  ⇒ SM trục đường tròn ngoại tiếp ∆ABC  SA = SB = SC Ví dụ: Tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Dạng 1: Chóp có điểm nhìn đoạn góc vng  SA ⊥ ( ABC ) Ví dụ: Cho S ABC :  Theo đề bài: ∆ ABC ⊥ B   BC ⊥ AB ( gt )   BC ⊥ SA ( SA ⊥ ( ABC ) ) ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB Ta có B A nhìn SC góc vng ⇒ nên B A nằm mặt cầu có đường kính SC Gọi I trung điểm SC ⇒ I tâm MCNT khối chóp S ABC bán kính R = SI Dạng 2: Chóp có cạnh bên Ví dụ: Cho hình chóp tam giác S ABC + Vẽ SG ⊥ ( ABC ) G tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC + Trên mặt phẳng ( SGC ) , vẽ đường trung trực SC , đường cắt SG I I tâm mặt cầu ngoại tiếp S ABC bán kính R = IS + Ta có ∆SGC ∼ ∆SKI ( g − g ) ⇒ SG SC SC SK SC = ⇒ R= = SK SI SG SG Dạng 3: Chóp có mặt bên vng góc với đáy Ví dụ: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng A Mặt bên ( SAB ) ⊥ ( ABC ) ∆SAB Gọi H , M trung điểm AB, AC Ta có M tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC (do MA = MB = MC ) Dựng d1 trục đường tròn ngoại tiếp ∆ABC ( d1 qua M song song SH ) Gọi G tâm đường tròn ngoại tiếp ∆SAB d trục đường tròn ngoại tiếp ∆SAB , d cắt d1 I ⇒ I tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC ⇒ Bán kính R = SI Xét ∆SGI → SI = GI + SG Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 7|THBTN BTN_7_5 Chuyên đề Hình học không gian C BÀI TẬ TẬP TRẮ TRẮC NGHIỆ NGHIỆM MẶT CẦU Câu Cho mặt cầu có diện tích S , thể tích khố i cầu V Tính bán kính R mặt cầu A R = Câu 3V S B R = S 3V C R = 4V S D R = V 3S Cho mặt cầu S (O; R ) điểm A cố định với OA = d Qua A , kẻ đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu S (O; R ) M Công thức sau dùng để tính độ dài đoạn thẳng AM ? A Câu 2R − d B d − R2 R − 2d C D d + R2 Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước a , b, c Gọi ( S ) mặt cầu qua đỉnh hình hộp chữ nhật Tính diện tích hình cầu ( S ) theo a , b, c Câu A π ( a + b2 + c2 ) B 2π (a + b2 + c ) C 4π (a + b2 + c ) D π (a + b + c ) Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước a , b, c Gọi ( S ) mặt cầu qua đỉnh hình hộp chữ nhật Tâm mặt cầu ( S ) A đỉnh hình hộp chữ nhật B tâm mặt bên hình hộp chữ nhật C trung điểm cạnh hình hộp chữ nhật D tâm hình hộp chữ nhật Câu Cho mặt cầu S (O; R ) đường thẳng ∆ Biết khoảng cách từ O tới ∆ d Đường thẳng ∆ tiếp xúc với S (O; R ) thỏa mãn điều kiện điều kiện sau ? A d = R Câu B d > R C d < R D d ≠ R Cho đường tròn (C ) điểm A nằm ngồi mặt phẳng chứa (C ) Có tất mặt cầu chứa đường tròn (C ) qua A ? A Câu B C D vô số Cho hai điểm A, B phân biệt Tập hợp tâm mặt cầu qua A B A mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB B đường thẳng trung trực AB C mặt phẳng song song với đường thẳng AB D trung điểm đoạn thẳng AB Câu Cho mặt cầu S (O; R ) mặt phẳng (α ) Biết khoảng cách từ O tới (α ) d Nếu d < R giao tuyến mặt phẳng (α ) với mặt cầu S (O; R ) đường tròn có bán kính bao nhiêu? A Rd B R2 + d C Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn R2 − d D R − 2d 8|THBTN BTN_7_5 Chun đề Hình học khơng gian Câu Từ điểm M nằm mặt cầu S (O; R ) kẻ tiếp tuyến với mặt cầu ? A Vô số B C D Câu 10 Một đường thẳng d thay đổ i qua A tiếp xúc với mặt cầu S (O; R ) M Gọi H hình chiếu M lên đường thẳng OA M thuộc mặt phẳng mặt phẳng sau đây? A Mặt phẳng qua H vng góc với OA B Mặt phẳng trung trực OA C Mặt phẳng qua O vng góc với AM D Mặt phẳng qua A vng góc với OM Câu 11 Một đường thẳng thay đổ i d qua A tiếp xúc với mặt cầu S (O; R ) M Gọi H hình chiếu M lên đường thẳng OA Độ dài đoạn thẳng MH tính theo R là: A R B R C 2R D 3R 22 Câu 12 Thể tích khối cầu 113 cm3 bán kính ? (lấy π ≈ ) 7 A cm B cm C cm D 3cm Câu 13 Khinh khí cầu nhà Mơng–gơn–fie (Montgolfier) (người Pháp) phát minh khinh khí cầu dùng khí nóng Coi khinh khí cầu mặt cầu có đường kính 11m diện tích mặt khinh khí cầu bao nhiêu? (lấy π ≈ A 379, 94 (m2 ) 22 làm tròn kết đến chữ số thập phân thứ hai) B 697,19 (m ) C 190,14 cm D 95, 07 (m ) Câu 14 Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' có độ dài mỗ i cạnh 10 cm Gọi O tâm mặt cầu qua đỉnh hình lập phương Khi đó, diện tích S mặt cầu thể tích V hình cầu là: A S = 150π (cm );V = 125 (cm3 ) B S = 100 3π (cm );V = 500 (cm3 ) C S = 300π (cm );V = 500 (cm ) D S = 250π (cm );V = 500 (cm3 ) Câu 15 Cho đường tròn (C ) ngoại tiếp tam giác ABC có cạnh a , chiều cao AH Quay đường tròn (C ) xung quanh trục AH , ta mặt cầu Thể tích khố i cầu tương ứng là: A π a3 54 B 4π a C 4π a 3 27 D 4π a Câu 16 Cho đường tròn (C ) ngoại tiếp tam giác ABC có cạnh a , chiều cao AH Quay đường tròn (C ) xung quanh trục AH , ta mặt cầu Thể tích khố i cầu tương ứng là: A 4π a 3 27 B 4π a C π a3 54 D 4π a Câu 17 Cho tam giác ABC vuông A có BC = 2a B = 300 Quay tam giác vuông quanh trục AB , ta hình nón đỉnh B Gọi S1 diện tích tồn phần hình nón S2 diện tích mặt cầu có đường kính AB Khi đó, tỉ số Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn S1 là: S2 9|THBTN BTN_7_5 Chuyên đề Hình học khơng gian A S1 = S2 B S1 = S2 C S1 = S2 S1 = S2 D MẶT NĨN Câu 18 Cho hình nón có thiết diện qua trục tam giác cạnh 2a , diện tích xung quanh S1 mặt cầu có đường kính chiều cao hình nón, có diện tích S2 Khẳng định sau khẳng định ? A S2 = 3S1 B S1 = S2 C S2 = S1 D S1 = S2 Câu 19 Cho hình nón có thiết diện qua trục tam giác cạnh 2a , tích V1 hình cầu có đường kính chiều cao hình nón, tích V2 Khi đó, tỉ số thể tích A V1 = V2 B V1 = V2 C V1 = V2 V1 bao nhiêu? V2 V1 = V2 D Câu 20 Tính diện tích xung quanh hình trụ biết hình trụ có bán kính đáy a đường cao a A 2π a B 2π a C π a D π a Câu 21 Một hình nón có thiết diện qua trục tam giác vng cân có cạnh góc vng a Tính diện tích xung quanh hình nón A π a2 B π a2 2 C π a 2 2π a 2 D Câu 22 Thiết diện qua trục hình nón đỉnh S tam giác vng cân SAB có cạnh cạnh huyền a Diện tích tồn phần Stp hình nón thể tích V khối nón tương ứng cho A Stp = π a (1 + 2) π a3 ;V = C Stp = π a (1 + 2);V = 12 π a3 B Stp = D Stp = π a2 2 ;V = π a ( − 1) π a3 π a3 ;V = 12 Câu 23 Cho hình nón tròn xoay có đỉnh S , O tâm đường tròn đáy, đường sinh a góc đường sinh mặt phẳng đáy 600 Diện tích xung quanh S xq hình nón thể tích V khối nón tương ứng là: A S xq = π a ;V = π a3 12 C S xq = π a 2;V = π a3 B S xq = π a2 ;V = D S xq = π a ;V = π a3 12 π a3 Câu 24 Một hình nón có đường kính đáy 2a , góc đỉnh 1200 Tính thể tích khố i nón theo a A 3π a B π a C 3π a Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn D π a 3 10 | T H B T N BTN_7_5 Chun đề Hình học khơng gian Hướng dẫn giải: Gọi M trung điểm AB SM ⊥ AB (vì tam giác SAB đều) Mặt khác S nên ( SAB ) ⊥ ( ABC ) SM ⊥ ( ABC ) Tương tự: CM ⊥ ( SAB ) K Gọi G K tâm tam giác ABC SAB Trong mặt phẳng ( SMC ) , kẻ đường thẳng Gx //SM kẻ O B M G A C OG ⊥ ( SAB ) đường thẳng Ky //SM Gọi O = Gx ∩ Ky , ta có:  OK ⊥ ( ABC ) Suy OG, OK trục tam giác ABC SAB Do ta có: OA = OB = OC = OD = OS hay O tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC Tứ giác OKMN hình chữ nhật có MK = MG = OK = Mặt nên OKMN hình vng Do khác SK = OS = OK + SK = Xét tam giác SKO vng có K 3 15 + = 36 Suy bán kính mặt cầu cần tìm R = OS = 15 Vậy thể tích khố i cầu cần tìm là: 4  15  15π V = π R3 = π   = 3   54 Câu 38 Một hình lăng trụ tam giác có cạnh đáy a , cạnh bên 2a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ A a 39 B a 12 C 2a D Hướng dẫn giải: Cho lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' Gọi G, G ' tâm hai đáy ABC A ' B ' C ' Ta có GG ' trục tam giác ABC A ' B ' C ' Gọi O trung điểm GG ' O cách đỉnh hình lăng trụ nên tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ Bán kính mặt cầu R = OA Xét tam giác vng có: OAG G , ta Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 4a A' C' G' B' 2a O A C a G B 30 | T H B T N BTN_7_5 Chuyên đề Hình học khơng gian OA = a2 2a 2a + a2 = Vậy bán kính mặt cầu cần tìm R = 3 AG + GO = Câu 39 Cho hình trụ có bán kính đáy R , thiết diện qua trục hình vng Tính thể tích khố i lăng trụ tứ giác nội tiếp hình trụ cho theo R A 4R Hướng dẫn giải: B 2R D 8R C 2R C' D' Giả sử ABCD A ' B ' C ' D ' lăng trụ tứ giác nộ i tiếp hình trụ BDD ' B ' thiết diện qua trục hình trụ O' B' A' BD = BB ' = R cạnh đáy hình lăng trụ R Do thể tích khố i 2R lăng trụ ABCD A ' B ' C ' D ' ( V = R 2 C D R ) R = R O B A Câu 40 Cho hình trụ có bán kính đáy cm, mặt phẳng khơng vng góc với đáy cắt hai mặt đáy theo hai dây cung song song AB, A ' B ' mà AB = A ' B ' = cm (hình vẽ) Biết diện tích tứ giác ABB ' A ' 60 cm2 Tính chiều cao hình trụ cho A cm B cm C cm D cm Hướng dẫn giải: Dựng đường sinh B ' C A ' D , ta có tứ giác A ' B ' CD hình chữ nhật nên CD //A ' B ' CD = A ' B ' = cm Vậy CD //AB CD = AB = cm Do tứ giác ABCD hình bình hành nộ i tiếp nên hình chữ nhật Từ AB ⊥ BC , mặt khác AB ⊥ B 'C nên AB ⊥ ( BCB ') ⇒ AB ⊥ BB ' Vậy ABB ' C ' hình bình hành có góc vng nên hình chữ nhật Ta có S ABB ' A ' = AB.BB ' nên BB ' = BB ' C vng C có 60 = 10 cm Xét tam giác B ' C = BB '2 − BC 2 BC = AC − AB = 64 − 36 = 28 B' A' mà 2cm nên C B ' C = 100 − 28 = 72 ⇒ B ' C = cm B cm D Vậy chiều cao hình trụ cm A Câu 41 Cho hình trụ tròn xoay có hai đáy hai hình tròn (O; R ) (O '; R ) Tồn dây cung AB thuộc đường tròn (O ) cho ∆O ' AB tam giác mặt phẳng (O ' AB) hợp với mặt phẳng chứa đường tròn (O ) góc 600 Khi đó, diện tích xung quanh S xq hình trụ thể tích V khối trụ tương ứng là: 4π R 2π R3 A S xq = ;V = 7 3π R 2π R3 ;V = 7 Hướng dẫn giải: C S xq = 6π R 3π R B S xq = ;V = 7 D S xq = Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 3π R π R3 ;V = 7 31 | T H B T N BTN_7_5 Chun đề Hình học khơng gian * Ta có : OO ' ⊥ (OAB ) Goị H là trung điể m củ a AB thı̀ OH ⊥ AB, O ' H ⊥ AB ⇒ OHO ' = 600 * Giả sử OH = x Khi đó : < x < R và OO ' = x tan 600 = x * Xé t ∆OAH , ta có : AH = R − x * Vı̀ ∆O ' AB đề u nên: O ' A = AB = AH = R − x (1) * Măṭ khá c, ∆AOO ' vuông taị O nên: AO '2 = OO '2 + R = 3x + R ( ) * Từ (1) , ( ) ⇒ ( R − x ) = x + R ⇒ x = 3R 3R * Vây, ̣ nế u kı́ hiêụ S là diêṇ tıć h xung quanh và V là thể tıć h củ a hıǹ h tru ̣ thı,̀ ta có : ⇒ h = OO ' = x = S = 2π Rh = 6π R 3π R3 ; V = π R 2h = 7 Câu 42 Cho môṭ hıǹ h tru ̣ trò n xoay và hıǹ h vuông ABCD canh ̣ a có hai đın̉ h liên tiế p A, B nằ m đường trò n đá y thứ nhấ t củ a hıǹ h tru,̣ hai đın̉ h cò n laị nằ m đường trò n đá y thứ hai củ a hıǹ h tru.̣ Măṭ phẳ ng ( ABCD ) taọ với đá y hıǹ h tru ̣ gó c 450 Diêṇ tıć h xung quanh S xq hıǹ h tru ̣ và thể tıć h V củ a khố i tru ̣ là: A S xq = C S xq = π a2 3 π a2 ;V = 2a B S xq = ;V = 3a 16 D S xq = π a2 π a2 ;V = 2a 32 ;V = 2a 16 Hướng dẫn giải: * Goị M , N theo thứ tự là trung điể m củ a AB và CD Khi đó : OM ⊥ AB và O ' N ⊥ DC Giả sử I là giao điể m củ a MN và OO ' Đăṭ R = OA, h = OO ' * Trong ∆IOM vuông cân taị I nên: OM = OI = ⇒ IM h a = ⇔h= a 2 2 * Ta có : R = OA2 + AM + MO 2 a a 3a a a 2 =  + + =  = 8 2   a a π a2 3a a 2a ⇒ S xq = 2π Rh = 2π = ; V =πR h =π = 16 2 Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 32 | T H B T N BTN_7_5 Chun đề Hình học khơng gian Câu 43 Cho hình trụ có thiết diện qua trục hình vng ABCD cạnh cm với AB đường kính đường tròn đáy tâm O Gọi M điểm thuộc cung AB cho ABM = 600 Khi đó, thể tích V khố i tứ diện ACDM là: A V = (cm ) B V = (cm3 ) C V = (cm3 ) D V = 3(cm3 ) Hướng dẫn giải: Ta có: BM ⊥ AD, BM ⊥ AM ⇒ BM ⊥ ( ADM ) BC //AD ⇒ BC //( ADM ) ⇒ d [C , ( ADM )] = d [ B, ( ADM )] = BM 1 ⇒ V = BM S∆ADM = BM AM AD (1) Vì ∆OBM ⇒ BM = ⇒ AM = AB − BM = (cm) (1) ⇒ V = 3.3.2 = 3(cm ) Câu 44 Một hình nón có chiều cao h = 20 cm, bán kính đáy r = 25 cm Một thiết diện qua đỉnh có khoảng cách từ tâm đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện 12cm Tính diện tích thiết diện A 450 cm2 B 500 cm2 C 500 cm2 D 125 34 cm2 Hướng dẫn giải: Tính diện tích thiết diện S SAB 1 AB.SI = IA SI = IA.SI 2 + Xét tam giác vuông SOI , ta có: + Ta có S ∆SAB = 1 1 1 = + ⇒ = + ⇒ OI = 15 (cm) 2 2 OH OI OS 12 OI 20 + Mặt khác, xét tam giác vng SOI thì: OI OS 20.15 = = 25 (cm) OH 12 + Trong tam giác vng AIO , ta có: OI OS = SI OH ⇒ SI = IA = OA2 − OI = 252 − 152 = 20 (cm) Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 33 | T H B T N BTN_7_5 Chun đề Hình học khơng gian + Từ suy ra: S ∆SAB = IA.SI = 20.25 = 500 (cm2) Câu 45 Cho hình lập phương ABCD A’B’C ’D’ có cạnh a Hãy tính diện tích xung quanh S xq thể tích V khối nón có đỉnh tâm O hình vng ABCD đáy hình tròn nội tiếp hình vng A’B’C’D’ A S xq = C S xq = π a2 π a2 ;V = ;V = π a3 12 π a3 Hướng dẫn giải: π a2 B S xq = D S xq = π a 5;V = a nón ;V = π a3 π a3 Khố i nón có chiều cao a bán kính đáy r = Diện tích xung quanh khố i π a2 a S xq = π rl = π a a +   = (đvdt) 2 2 Thể tích khối nón là: V = 1 a π a3 Bh = π r h = π   a = (đvtt) 3 2 12 Câu 46 Thiết diện qua trục hình nón đỉnh S tam giác vng cân có cạnh cạnh huyền a Kẻ dây cung BC đường tròn đáy hình nón, cho mp ( SBC ) tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón góc 600 Diện tích tam giác SBC tính theo a là: a2 A Hướng dẫn giải: a2 B a2 C a2 D + Do thiết diện qua trục tam giác ∆SAB vuông cân đỉnh S , có cạnh huyền AB = a nên suy bán kính đáy hình nón r = a ; đường sinh hình nón l = SA = SB = a ; đường a + Gọi I trung điểm BC OI ⊥ BC (1) cao hình nón h = SO =  BC ⊥ OI Ta lại có:  ⇒ BC ⊥ ( SOI ) ⇒ BC ⊥ SI (2)  BC ⊥ SO Gọi (α ) mặt phẳng chứa đáy (α ) ∩ (SBC) = BC (3) Từ (1), (2) (3) suy ( (α ), (SBC) ) = ( SI , OI ) = SIO = 600 Xét tam giác SOI vuông t ại O, ta có: a SO a SI = = = 3 sin SIO Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 34 | T H B T N BTN_7_5 Chun đề Hình học khơng gian Xét tam giác SIB vuông ⇒ BC = IB = 2a Diện tích thiết diện SBC là: S ∆SBC I , ta có: a 6 a IB = SB − SI = a −   =   2 1 a 2a a 2 = SI BC = = (đvdt) 2 3 Câu 47 Cho hình nón tròn xoay có đỉnh S , O tâm đường tròn đáy, đường sinh a góc đường sinh mặt phẳng đáy 600 Gọi I điểm đường cao SO hình nón cho tỉ số SI = Khi đó, diện tích thiết diện qua I vng góc với trục OI hình nón là: A π a2 B π a2 C π a2 18 18 Hướng dẫn giải: Gọi A điểm thuộc đường tròn đáy hình nón Thiết diện qua I vng góc với trục hình nón hình tròn có bán kính D π a2 36 hình vẽ Gọi diện tích Std Theo giả thiết ta có đường sinh SA = a góc đường sinh mặt phẳng đáy SAO = 600 Trong tam giác vng SAO có OA = SA cos 600 = a SI IB SI 1a a = ⇒ IB = OA = = SO OA SO Ta có ∆SIB ∽ ∆SOA ⇒ a 2 π a2 = ⇒ Std = π IB = π   18   Câu 48 Cho hình nón đỉnh S với đáy đường tròn tâm O bán kính R Gọi I điểm nằm mặt phẳng đáy cho OI = R Giả sử A điểm nằm đường tròn (O; R ) cho OA ⊥ OI Biết tam giác SAI vng cân S Khi đó, diện tích xung quanh S xq hình nón thể tích V khối nón là: A S xq = π R 2;V = C S xq = π R2 π R3 ;V = Hướng dẫn giải: π R3 B S xq = 2π R ;V = D S xq = π R ;V = 2π R 2π R S + Xét tam giác AOI vuông O , có: IA2 = OA2 + OI = R + 3R = R ⇒ IA = R + Do tam giác SAI vuông cân S nên ta có: O Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn A I 35 | T H B T N BTN_7_5 Chun đề Hình học khơng gian IA = SA ⇒ SA = IA R = = R 2 + Xét tam giác SOA vng O , ta có: SO = SA2 − OA2 = R − R = R + Diện tích xung quanh hình nón là: S xq = π Rl = π R.R = π R 2 (đvdt) 1 π R3 2 + Thể tích khố i nón tương ứng là: V = Bh = π R h = π R R = (đvtt) 3 3 Câu 49 Một hình nón đỉnh S có bán kính đáy a , góc đỉnh 1200 Thiết diện qua đỉnh hình nón tam giác Diện tích lớn S max thiết điện ? A S max = 2a B S max = a 2 C S max = 4a D S max = 9a Hướng dẫn giải: Giả sử O tâm đáy AB đường kính đường tròn đáy hình nón Thiết diện qua đỉnh hình nón tam giác cân SAM Theo giả thiết hình nón có bán kính đáy R = OA = a cm , ASB = 1200 nên ASO = 600 Xét tam giác SOA vuông O , ta có: sin 600 = OA OA ⇒ SA = = 2a SA sin 600 Diện tích thiết diện là: S ∆SAM = 1 SA SM sin ASM = 2a.2a.sin ASM = 2a sin ASM 2 Do < sin ASM ≤ nên S ∆SAM lớn S sin ASM = hay tam giác ASM vng cân đỉnh S (vì ASB = 1200 > 900 nên tồn tam giác ASM thỏa mãn) O B A M Vậy diện tích thiết diện lớn là: S max = 2a (đvtt) VẬN DỤNG CAO Câu 50 Bán kính r mặt cầu nội tiếp tứ diện cạnh a a a a B r = C r = 12 Hướng dẫn giải: Gọi O tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD cạnh a A r = Ta tính thể tích khố i tứ diện VABCD = Mặt khác, ta VABCD = VO ABC + VO ACD + VO BCD + VO ABD a lại 12 D r = a A có: O (*) Mỗi hình tứ diện đỉnh O có chiều cao r diện tích đáy B D C Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 36 | T H B T N BTN_7_5 Chuyên đề Hình học khơng gian a2 a3 a2 a = r ⇒r= 12 12 Do đó, từ (*) ta suy ra: VABCD = Câu 51 Chiều cao khố i trụ tích lớn nội tiếp hình cầu có bán kính R A R B R C 4R D 2R Hướng dẫn giải: Giả sử 2x chiều cao hình trụ (0 < x < R) (xem hình vẽ) Bán kính khố i trụ r = R − x Thể tích khố i trụ là: 2 x R V = π ( R − x )2 x Xét hàm số V ( x ) = π ( R − x )2 x, < x < R Ta V '( x ) = 2π ( R − 3x ) = ⇔ x = có O R x Bảng biến thiên: x R 3 V '( x ) + R − 4π R 3 V ( x) 0 Dựa vào BBT, ta thấy thể tích khố i trụ lớn chiều cao khố i trụ Vmax = 2R ; 4π R 3 Câu 52 Cho hình nón có chiều cao h Tính chiều cao x khố i trụ tích lớn nội tiếp hình nón theo h A x = h B x = h C x = 2h D x = h O B h J x I R r A Hướng dẫn giải: Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 37 | T H B T N BTN_7_5 Chuyên đề Hình học khơng gian Gọi r , R theo thứ tự bán kính đáy hình nón khối trụ cần tìm O đỉnh hình nón, I tâm đáy hình nón, J tâm đáy hình trụ khác I OA đường sinh hình nón, B điểm chung OA với khố i trụ Ta có: r h−x R = ⇒ r = (h − x) R h h R2 Thể tích khố i trụ là: V = π xR = π x ( h − x )2 h Xét hàm số V ( x ) = π x Ta có V '( x ) = π R2 ( h − x )2 , < x < h h R2 h ( h − x )(h − x ) = ⇔ x = hay x = h h Bảng biến thiên: x V '( x ) + h h − 4π R h 27 V ( x) 0 Dựa vào BBT, ta thấy thể tích khố i trụ lớn chiều cao khố i trụ x = Vmax = h ; 4π R h 27 Câu 53 Cho hình nón đỉnh O , chiều cao h Một khối nón khác có đỉnh tâm đáy có đáy là thiết diện song song với đáy hình nón đỉnh O cho (hình vẽ) Tính chiều cao x khố i nón để thể tích lớn nhất, biết < x < h O h x h Hướng dẫn giải: A x = Từ hình vẽ ta có B x = h C x = 2h D x = h JB OJ h − x R(h − x ) = = ⇒ JB = IA OI h h R2 Thể tích khố i nón cần tìm là: V = π (h − x ) x h R2 Xét hàm số V ( x ) = π ( h − x )2 x , < x < h h R h Ta có V '( x ) = π ( h − x )(h − 3x ) = ⇔ x = h hay x = h O J x I Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn h B R A 38 | T H B T N BTN_7_5 Chuyên đề Hình học khơng gian Bảng biến thiên: x h V '( x ) + h − 4π R h 81 V ( x) 0 Dựa vào BBT, ta thấy thể tích khố i nón cần tìm lớn chiều cao x = Vmax h ; 4π R h = 81 Câu 54 Cho hình nón có bán kính đáy R , chiều cao 2R , ngoại tiếp hình cầu S (O; r ) Khi đó, thể tích khố i trụ ngoại tiếp hình cầu S (O; r ) A 16π R ( ) −1 4π R B 1+ C 16π R ( 1+ ) 4π R D −1 Hướng dẫn giải: O Giả sử hình nón có đỉnh O đường kính đáy AB Ta có OA = OB = R + (2 R )2 = R 2R Tam giác OAB có diện tích S = R , O r chu vi p = R (1 + 5) Do bán kính khố i cầu S (O; r ) A S 2R r= = p 1+ Thể tích khố i trụ cần tìm là: Vtru = π r h = 2π r = 16π R (1 + ) R B Câu 55 Trong số hình trụ có diện tích tồn phần S bán kính R chiều cao h khố i trụ tích lớn là: A R = S S ;h = 2π 2π B R = S ;h = 4π C R = 2S 2S ;h = 3π 3π D R = S S ;h = 6π 6π S 4π Hướng dẫn giải: Gọi thể tích khối trụ V , diện tích tồn phần hình trụ S Ta có: S = S2 day + S xq = 2π R + 2π Rh Từ suy ra: S S V V V Cauchy V = R + Rh ⇔ = R2 + = R2 + + 2π 2π πR 2π R 2π R ≥ 4π 27 V2  S  ≤  ⇔V ≤ 4π  2π  hay S3 54π Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 39 | T H B T N BTN_7_5 Chun đề Hình học khơng gian Vậy Vmax = V π R h Rh S3 Dấu “=” xảy ⇔ R = = = hay h = R 54π 2π R 2π R S S h = R = 6π 6π Khi S = 6π R ⇒ R = BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ RÈN LUYỆN (CÓ HƯỚNG DẪN) Câu 56 Thiết diện qua trục hình nón tròn xoay tam giác vng cân có điện tích 2a Khi thể tích khố i nón bằng: A 2π a 3 B π a3 C 2π a 3 D 2π a 3 Hướng dẫn giải l = 2a ⇒ l = a Dùng định lý Pitago cho tam giác thiết diện ta đường kính đường tròn đáy Ta có: S = d = 2a ⇒ r = a 1 2 2π a Vậy V = Bh = π r l − r = 3 Câu 57 Cho hình lập phương ABCD A'B'C'D' có cạnh a Gọi S diện tích xung quanh hình trụ có hai đường tròn đáy ngoại tiếp hình vng ABDC A'B'C'D' Khi S bằng: A S = π a B S = π a 2 C S = π a2 D S = π a2 Hướng dẫn giải +) Đáy hình vng cạnh a ⇒ đường chéo AC = a ⇒ bán kính đường tròn ngoại a +) Đường sinh l cạnh hình lập phương ⇒ l = a tiếp đáy r = +) Vậy S xq = 2π rl = π a 2 ⇒ Chọn B Câu 58 Một hình lập phương có diện tích mặt chéo a 2 Gọi V thể tích khối cầu S diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương nói Khi tích S V bằng: A S V = 3π a B S V = 3π a C S V = 3π a D S V = 6π a Hướng dẫn giải +) Đặt AB = x ⇒ BD = x +) Ta có: S BDD ' B ' = a 2 = x x ⇒ x = a ⇒ BD ' = a ⇒ R = a π a3 +) Khi ta có: V = π R3 = S = 4π R = 3π a Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 40 | T H B T N BTN_7_5 Chuyên đề Hình học không gian 3π a +) Vậy SV = ⇒ Chọn A Câu 59 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AB = a, BC = a 3, AA ' = a Gọi V thể tích hình nón sinh quay tam giác AA'C quanh trục AA' Khi V bằng: A V = 2π a B V = π a3 C V = 4π a 4π a 3 D V = Hướng dẫn giải Ta có: r = AC = Vậy: V = AB + BC = 2a 4π a 1 Bh = π r AA ' = 3 Câu 60 Một hình trụ có diện tích xung quanh 4π có thiết diện qua trục hình vng Khi thể tích khối trụ tương ứng bằng: A 2π B 4π C π D π Hướng dẫn giải +) Theo đề ta có: S xq = 4π ⇒ 2π rl = 4π ⇒ rl = (*) +) Thiết diện qua trục hình vng ⇒ r = l Thay vào (*) ta được: l = ⇒ r = +) Vậy V = π r l = 2π ⇒ Chọn A Câu 61 Tỉ số thể tích khố i lập phương khố i cầu ngoại tiếp khố i lập phương bằng: A B 3π C π 3π D 3π Hướng dẫn giải +) Thể tích khố i lập phương V = a +) Đăt AB = a ⇒ AC = a ⇒ A ' C = a ⇒ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khố i lập phương a π a3 3 R= ⇒ VCâu = π R = (**) Từ (*) (**) suy ra: Vlâp phuong VCAU = ⇒ Chọn D 3π Câu 62 Một hình nón có đường sinh hợp với đáy góc α độ dài đường sinh l Khi diện tích tồn phần hình nón bằng: A Stp = 2π l cos α cos2 C Stp = π l cos α cos α B Stp = 2π l cos α sin α D Stp = α 2 α π l cos α cos2 2 Hướng dẫn giải +) Ta có: r = cos α ⇒ r = l cos α l Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 41 | T H B T N BTN_7_5 Chuyên đề Hình học khơng gian +) STP = S XQ + S Đ = π rl + π r = π l cos α + π l cos2 α = π l cos α (1 + cos α ) = 2π l cos α cos α +) Vậy chọn A Câu 63 Cho lăng trụ có tất cạnh A Gọi V thể tích hình trụ ngoại tiếp khố i lăng trụ nói Khi V bằng: A V = π a3 B V = π a3 3π a 3 C V = D V = π a3 Hướng dẫn giải +) Gọi I, G trung điểm BC trọng tâm tam giác ABC +) Tam giác ABC ⇒ AI = a a a ⇒ AG = = =r 3 +) l = a +) Vậy V = π r 2l = π a3 ⇒ Chọn B Câu 64 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a cạnh bên a Khẳng định sau sai? A Không có mặt cầu ngoại tiếp S.ABC B Mặt cầu ngoại tiếp khố i chóp có tâm trọng tâm tam giác ABC C Mặt cầu ngoại tiếp khố i chóp có tâm trực tâm tam giác ABC D Mặt cầu ngoại tiếp khố i chóp có bán kính R = a 3 Câu 65 Một hình nón có bán kính đường tròn đáy A Thiết diện qua trục hình nón tam giác có góc đỉnh 1200 Gọi V thể tích khối nón Khi V bằng: A V = π a3 B V = π a3 3 C V = π a3 D V = π a3 Hướng dẫn giải +) r=a +) Góc đỉnh = 1200 ⇒ h = +) V = a a = tan 60 1 π a3 S Đ h = π r h = ⇒ Chọn C 3 Câu 66 Trong không gian cho hình vng ABCD cạnh a Gọi I H trung điểm cạnh AB CD Khi quay hình vng xung quanh trục IH ta hình trụ tròn xoay.Khi thể tích khố i trụ tương ứng bằng: A π a3 B π a3 12 C 4π a 3 D π a3 Hướng dẫn giải Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 42 | T H B T N BTN_7_5 Chun đề Hình học khơng gian +) Ta có: r = a l = a +) V = B.h = π r 2l = π a3 Câu 67 Cho tứ diện S.ABC có đáy ABC tam giác vng B với AB = 3a, BC = 4a, SA ⊥ ( ABC ) , cạnh bên SC tạo với đáy góc 600 Khi thể tích khố i cầu ngoại tiếp S.ABC là: A V = π a3 50π a B V = 3 5π a C V = 500π a D V = Hướng dẫn giải +) Ta có: ∆SAC vng S(*)  BC ⊥ AB +)  ⇒ BC ⊥ ( SAB) ⇒ BC ⊥ SB ⇒ ∆SBC vuông B(**)  BC ⊥ SA +) Từ (*) (**) ⇒ Tâm mặt cầu ngoại tiếp khố i chóp S.ABC trung điểm đoạn SC +) Ta có: AC = AB + BC = 5a Mà AC SC = cos 600 = ⇒ SC = AC = 10a ⇒ R = = 5a SC 2 500π a 3 π V = R = ⇒ Chọn D +) Vậy 3 Câu 68 Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD A′B′C′D′ có cạnh đáy a , chiều cao 2a Biết O′ tâm A′B′C′D′ (C) đường tròn nội tiếp đáy ABCD Diện tích xung quanh hình nón có đỉnh O′ đáy (C) A S xq = 3π a 2 B S xq = 5π a 2 C S xq = π a2 D S xq = 2π a 2 Hướng dẫn giải +) ABCD A'B'C'D' lăng trụ tứ giác ⇒ đáy ABCD hình vng Khi bán kính AC a = 2 đường tròn ngoại tiếp đáy r = +) Đường sinh l = O ' A = +) Vậy S XQ = π rl = π a 3a AA ' + A ' O = 4a + = 2 2 a 3a 3π a = ⇒ Chọn A 2 Câu 69 Một hình trụ có hai đáy hai đường tròn nộ i tiếp hai mặt hình lập phương có cạnh Thể tích khố i trụ bằng: A π B π C π D π Hướng dẫn giải +) Ta có:Đường tròn đáy nộ i tiếp hình vng cạnh ⇒ bán kính r = +) Độ dài đường sinh = độ dài cạnh hình lập phương ⇒ l = Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 43 | T H B T N BTN_7_5 Chuyên đề Hình học khơng gian π 1 +) Vậy V = π r l = π   = ⇒ Chọn A  2 Câu 70 Cho tứ diện S.ABC có đường thẳng SA, SB, SC vng góc với đơi một, SA = 3, SB = 4, SC = Diện tích mặt cầu ngoại tiếp S.ABC bằng: A 25π B 50π C 75π D 100π Hướng dẫn giải +) Tam giác SBC vuông S nên từ trung điểm I cạnh BC ta vẽ đường thẳng (d) vng góc với (SBC) (tức d // SA), d trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC +) Trong mp xác định đường thẳng song song d SA ta dựng đường trung trực SA cắt d J Khi J tâm mặt cầu ngoại tiếp SABC ⇒ SJ bán kính  SA  +) SJ = SI +   =   + S = 4π R = 4π BC + SA2 = 50 = 50π ⇒ Chọn B Câu 71 Thể tích khố i lăng trụ tứ giác nộ i tiếp hình trụ có chiều cao h bán kính đường tròn đáy R bằng: A 2R h B R h C 2R h R2h D Hướng dẫn giải +) Ta có: VLTRU = S ABCD AA ' = AB OO ' = AB h (*) +) Tính AB: Ta có tam giác OAB vng cân O nên AB = OA = R + Thay vào (*) ta được: V = R h Xem chuyên đề khác toanhocbactrungnam.vn 44 | T H B T N