Các bài toán cực trị liên quan đến tìm một điểm thỏa điều kiện cho trước

III. NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ 1. Cơ sở lý luận. Cung cấp cho học sinh không chỉ kiến thức mà cả phương pháp suy luận, khả năng tư duy. Từ những kiến thức cơ bản phải dẫn dắt hoc sinh có được những kiến thức nâng cao một cách tự nhiên (chứ không áp đặt ngay kiến thức nâng cao). Trong chuyên đề chủ yếu dùng phương pháp tọa độ trong không gian để giải các bài toán được đặt ra. 2. Nội dung. 2.1. Nhắc lại một số dạng toán hay được sử dụng. a. Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (α)  Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên (α).  Viết phương trình đường thẳng MH(qua M và vuông góc với (α))  Tìm giao điểm H của MH và (α).  Nếu yêu cầu tìm điểm M’ đối xứng với M qua mặt phẳng (α) thì ta vẫn tìm hình chiếu H của M lên (α), dùng công thức trung điểm suy ra tọa độ M’. b.Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng d:  Viết phương trình tham số của d  Gọi H d  có tọa độ theo tham số t khi du MH 0   H là hình chiếu vuông góc của điểm M lên d  Tìm t, suy ra tọa độ của H. 2.2 Các bài toán cực trị liên quan đến tìm một điểm thỏa điều kiện cho trước. Bài toán 1: Cho n điểm A1, A2, ..An, với n số k1, k2,.,kn thỏa k1+ k2+ ….+kn = k ≠ 0 và đường thẳng d hay mặt phăn̉g (α). Tim̀ điểm M trên đươǹg thẳng d hay mặt phăn̉g (α) sao cho 11 2 2 ... nn k MA k MA k MA    có giá trị nhỏ nhất. Lời giải:  Tìm điểm I thỏa 11 2 2 n n k IA + k IA +...+ k IA 0   Biến đổi . 1 1 2 2 n n 1 2 n k MA + k MA +...+ k MA = (k + k +...+ k )MI = k MI .  Tìm vị trí của M khi MI đạt giá trị nhỏ nhất Giải: 1) Gọi điểm I thỏa .IA + IB = 0. thì I là trung điểm AB và I(0; 2; 4) Ví dụ 1: Cho đường thẳng   x 4 y+1 z d : = = 1 1 1 và hai điểm   A 0;1;5 ,   B 0;3;3 . Tìm điểm M trên d sao cho 1) MA + MB có giá trị nhỏ nhất. 2) MA 4MB có giá trị nhỏ nhất. Khi đó MA + MB MI + IA + MI IB 2 MI    có giá trị nhỏ nhất MI nhỏ nhất M là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng d. Đường thẳng d có vtcp u = (1; 1; 1), phương trình tham số d:x = 4 + t y = 1 + t z = t 

III NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ Cơ sở lý luận Cung cấp cho học sinh không kiến thức mà phương pháp suy luận, khả tư Từ kiến thức phải dẫn dắt hoc sinh có kiến thức nâng cao cách tự nhiên (chứ không áp đặt kiến thức nâng cao) Trong chuyên đề chủ yếu dùng phương pháp tọa độ không gian để giải các bài toán được đặt Nội dung 2.1 Nhắc lại một số dạng toán hay được sử dụng a Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (α)  Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên  Viết phương trình đường thẳng MH(qua góc với (α))  Tìm giao điểm H của MH và (α)  Nếu yêu cầu tìm điểm M’ đối xứng với M qua (α) thì ta vẫn tìm hình chiếu H của M lên (α), dùng trung điểm suy tọa độ M’ (α) M và vuông b.Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M lên d: đường thẳng     Viết phương trình tham số của d Gọi H  d có tọa độ theo tham số t H là hình chiếu vuông góc của điểm M lên d Tìm t, suy tọa độ của H mặt công phẳng thức u d MH  2.2 Các bài toán cực trị liên quan đến tìm một điểm thỏa điều kiện cho trước Bài toán 1: Cho n điểm A1, A2, An, với n số k1, k2,.,kn thỏa k1+ k2+ ….+kn = k ≠ và đường thẳng d hay mặt phẳng (α) Tìm điểm M đường thẳng d hay mặt phẳng (α) cho k1 MA1  k2 MA2   kn MAn có giá trị nhỏ nhất Lời giải:  Tìm điểm I thỏa k1 IA1 + k IA + + k n IA n   Biến đổi k1 MA1 + k MA2 + + k n MAn = (k1 + k + + k n )MI = k MI  Tìm vị trí của M MI đạt giá trị nhỏ nhất Ví dụ 1: Cho đường thẳng  d  : x- y+1 z = = hai điểm A  0;1;5 , B  0;3;3 Tìm điểm 1 M d cho 1) MA + MB có giá trị nhỏ 2) MA - 4MB có giá trị nhỏ Giải: 1) Gọi điểm I thỏa IA + IB = thì I là trung điểm AB và I(0; 2; 4) Khi đó MA + MB  MI + IA + MI  IB  MI có giá trị nhỏ MI nhỏ nhất M là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng d x = + t  Đường thẳng d có vtcp u = (1; 1; 1) , phương trình tham số d:  y = -1 + t z = t  Tọa độ M(t + 4; -1 + t; t), IM = ( t+4; t-3 ; t - 4) M là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng d thì IM.u  hay 3t – = t = Vậy M( 5; 0; 1) 2) Gọi điểm J(x; y; z) thỏa JA - 4JB = Ta có: (0 –x; –y; – z) – 4(0 – x; 3- y; 3- z) = (0; 0; 0) 13 13 =>x = 0; y = , z = , vậy J(0; ; ) 3 Khi đó MA - 4MB  MJ+ JA- 4(MJ  JB)  3MJ  MJ có giá trị nhỏ M là hình chiếu vuông góc của J lên đường thẳng d Tọa độ M(4+ t; -1+ t; t), JM = ( t+ 4; t - 18 17 ;t) M là hình chiếu vuông góc của J lên đường thẳng 5 d thì JM.u  hay 3t – = t = Vậy M( 5; 0; 1) thì MA - 4MB có giá trị nhỏ Ví dụ 2: Cho mặt phẳng (α): 2x – 2y + 3z + 10 = ba điểm A 1;0;1 , B  -2;1;2  , C 1;-7;0  Tìm điểm M mặt phẳng (α) cho : 1) MA + MB  MC có giá trị nhỏ 2) MA -2MB  3MC có giá trị nhỏ Giải: 1) Gọi điểm G thỏa GA + GB +GC = thì G là trọng tâm của tam giác ABC và G(0;-2;1) Ta có MA + MB  MC = MG + GA + MG  GB  MG  GC = MG có giá trị nhỏ M là hình chiếu vuông góc của G lên mặt phẳng (α) MG nhận n = (2; -2; 1) làm vecto chỉ phương  x = 2t  Phương trình tham số MG  y = -2-2t z = 1+3t  Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình: 4t – 2(-2- 2t) + 3(1+3t)+ 10 =  17t  17   t  1 Vậy với M(-2; 0; -2) thì MA + MB  MC có giá trị nhỏ nhất 2) Gọi I(x; y; z) là điểm thỏa IA -2IB  3IC  Ta có (1- x; -y; 1-z) - 2(-2-x; 1-y; 2-z) + 3(1-x; -7-y; -z) = (0;0;0)  x = 4; y = - 23 23 ; z = - , vậy I(4;  ;  ) 2 2 Ta có: MA -2MB  3MC = MI+IA -2(MI  IB)  3(MI  IC) = 2MI có giá trị nhỏ M là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng (α)   x = 4+2t  23  Phương trình tham số MI:  y =  -2t   z =  +3t Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình: 73 23 73 2(4  2t)  2(  2t)  3(  3t)  10   17t  0t 2 34 245 135 ; ) thì MA -2MB  3MC đạt giá trị nhỏ nhất Vậy với M(  ;  17 34 17 Bài toán 2: Cho đa giác A1 A2 ….An và n số thực k1, k2, …., kn thỏa k1+ k2+ ….+ kn = k Tìm điểm M thuộc mặt phẳng ( hay đường thẳng) cho tổng T = k1MA12  k2 MA22   kn MAn2 đạt giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất Lời giải: - Tìm điểm I thỏa k1 IA1 + k IA + + k n IA n  - Biến đổi : T = k1MA12  k 2MA22   k n MA2n = = (k1 + + k n )MI2 + k1IA12  k 2IA22   k n IAn2 + MI(k1 IA1 + + k n IA n ) = kMI + k1IA12  k 2IA22   k n IAn2 Do k1IA12  k 2IA22   k n IAn2 không đổi, Biểu thức T nhỏ nhất hoặc lớn nhất MI nhỏ nhất hay M là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng hay đường thẳng Chú ý: - Nếu k1+ k2+ ….+ kn = k > 0, Biểu thức T đạt giá trị nhỏ nhất MI nhỏ nhất - Nếu k1+ k2+ ….+ kn = k < 0, Biểu thức T đạt giá trị lớn nhất MI nhỏ nhất Ví dụ 1: Cho mặt phẳng (α): x + 2y + 2z + = và ba điểm A(1; 2; -1), B(3; 1; -2), C(1; -2; 1) 1) Tìm M mặt phẳng (α) cho MA2 + MB2 có giá trị nhỏ nhất 2) Tìm M mặt phẳng (α) cho MA2 - MB2 – MC2 có giá trị lớn nhất Giải: 1) Gọi điểm I(x; y; z) thỏa IA + IB = thì I là trung điểm AB và 3 I(2; ;  ) 2 Ta có: MA2 + MB2 = (MI + IA)2 +(MI + IB)2  IA2 + IB2 +2MI2 +2MI(IA + IB) = IA2 + IB2 +2MI2 Do IA2 + IB2 không đổi nên MA2 + MB2 nhỏ nhất MI2 có giá trị nhỏ nhất, hay M là hình chiếu vuông góc của I lên (α) Đường thẳng IM qua điểm I và có vtcp n α  (1;2;2)   x = 2+t   Phương trình tham số MI:  y = + 2t   z =  +2t Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình: 3  t  2(  2t)  2(  2t)    9t    t  1 2  M(1;  ;  ) 2 Vậy với M(1;  ;  ) thì MA2 + MB2 có giá trị nhỏ nhất 2 Nhận xét: AB Với I là trung điểm AB thì MA2 + MB2 = 2MI2 + , AB2 không đổi nên MA2 + MB2 nhỏ nhất MI2 có giá trị nhỏ nhất, hay M là hình chiếu vuông góc của I lên (α) 2) Gọi J(x; y; z) là điểm thỏa JA - JB -JB = Hay (1  x;  y; 1  z)  (3  x;1  y; 2  z)  (1  x; 2  y;1  z)  (0;0;0) 3  x    3  y   J(3; 3;0) z   Ta có: MA2 - MB2 – MC2 = (MJ + JA)2 - (MJ + JB)2  (MJ + JC)  J A2  JB2  JC2  MJ + 2MJ(JA  JB  JC)  JA  JB2  JC2  MJ Do JA  JB2  JC không đổi nên MA2 - MB2 – MC2 lớn nhất MJ nhỏ nhất hay M là hình chiếu của J mặt phẳng (α) Đường thẳng JM qua điểm I và có vtcp n α  (1;2;2)  x = 3+t  Phương trình tham số MJ:  y = -3+ 2t z = 2t  Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình:  t  2(3  2t)  2.2t    9t    t   23 35  M( ;  ;  ) 9 23 35 Vậy với M( ;  ;  ) thì MA2 - MB2 – MC2 có giá trị lớn nhất 9 Ví dụ 2: Cho đường thẳng d có phương trình: x-1 y-2 z-3 = = và các điểm A(0; 1; -2), B( 2; -1; 2), C(4; 3; 3) Hãy tìm điểm M d cho 1) MA2 - 2MB2 có giá trị lớn nhất 2) MA2 + MB2 + MC2 có giá trị nhỏ nhất Giải: 1) Gọi điểm I(x; y; z) là điểm thỏa IA -2 IB = Hay: ( x;1  y; 2  z)  2(2  x; 1  y;  z)  (0;0;0) 4  x    3  y   I(4; 3;6) - 6+z   Ta có MA2 - 2MB2 = (MI + IA)2  2(MI + IB)2  IA2  2IB2  MI2 + 2MI(IA  IB)  IA2  2IB2  MI2 Do IA2 - IB2 không đổi nên MA2 -2 MB2 lớn nhất MI2 có giá trị nhỏ nhất, hay M là hình chiếu vuông góc của I lên d  x = 1+t  Đường thẳng d có vtcp u  (1;2;1) , phương trình tham số d:  y = 2+ 2t z = 3+ t  M  d  M(1  t;  2t;  t) , IM = ( t-3; 2t + ; t - 3) M là hình chiếu vuông góc của I lên đường 2 thẳng d thì IM.u   6t    t    M( ; ; ) 3 3 Vậy với M( ; ; ) thì MA2 - 2MB2 có giá trị lớn nhất 3 Nhận xét: Ta có thể dùng phương pháp khảo sát hàm số để tìm vị trí của điểm M Với M  d  M(1  t;  2t;  t) Và MA2 - 2MB2 = (t + 1)2 + (2t + 1)2 +(t + 5)2 – 2[(t - 1)2 + (2t + 3)2+(t +1)2 = - 6t2 – 8t +5 Xét hàm số f (t )   6t – 8t  5, t  R Có đạo hàm f '(t )   12t – 8t , f '(t )   t   Bảng biến thiên    t f’(t) + 23 f(t)   Từ bảng biến thiên ta thấy f(t) đạt giá trị lớn nhất t   1 7 Hay MA2 - 2MB2 có giá trị lớn nhất M  ; ;  3 3 2) Gọi điểm G(x; y; z) là điểm thỏa GA + GB +GC = thì G là trọng tâm tam giác ABC và G(2; 1; 1) Ta có: MA2 + MB2 + MC2 = (MG + GA)2 + (MG + GB)2 +(MG + GC)2 = GA2  GB2  GC2 +3MG + 2MG(GA  GB  GC) = GA  GB  GC +3MG Do GA  GB2  GC2 không đổi nên MA2 + MB2 + MC2 nhỏ nhất MG nhỏ nhất, hay M là hình chiếu vuông góc của G lên đường thẳng d M  d  M(1  t;  2t;  t) , GM = ( t-1; 2t +1 ; t +2) 1 5 Khi M là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng d thì GM.u   6t    t    M  ;1;  2 2 Vậy với M( ;1; ) thì MA2 + MB2 + MC2 có giá trị nhỏ nhất 2 Bài toán 3: Cho mặt phẳng (α) có phương trình:ax + by + cz + d = và hai điểm A,B không thuộc (α) Tìm điểm M (α) cho MA + MB có giá trị nhỏ nhất Lời giải: Nếu (axA+byA+ czA + d)(axB+byB+ czB+ d) < thì A, B nằm về hai phía với (α) Để MA + MB nhỏ nhất M thuộc AB hay M là giao điểm của (α) và AB Nếu (axA+byA+ czA + d)(axB+ byB+ czB+ d) >0 thì A, B nằm về một phía với (α) Khi đó ta tìm điểm A’ đối xứng với A qua (α) Do MA + MB = MA’+ MB mà đạt giá trị nhỏ nhất M thuộc A’B hay M là giao điểm của (α) và A’B Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α) có phương trình:x – 2y – 2z + = và hai điểm A(1; 1; 2), B(2; 0; 2) Tìm điểm M mặt phẳng (α) cho MA + MB có giá trị nhỏ nhất Giải: Thay tọa độ của A và B vào phương trình (α) ta thấy hai điểm nằm về hai phía của (α) Ta có MA + MB có giá trị nhỏ nhất M là giao điểm của AB và (α) Đường thẳng AB qua điểm B, nhận AB  (1; 1;0) làm vecto chỉ phương x   t  Phương trình tham số của AB:  y  t z   Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình: + t – 2(-t)- 2.2 + =  3t    t   Hay M( ; ; 2) là điểm cần tìm 3 Ví dụ 2: Cho mặt phẳng (α) có phương trình: x – y + 2z = và ba điểm A(1; 2;-1), B(3; 1; -2), C(1; -2; -2) Hãy tìm điểm M d cho 1) MA + MB có giá trị nhỏ nhất 2) MA - MC có giá trị lớn nhất Giải: 1) Thay tọa độ của A và B vào phương trình (α) ta thấy hai điểm nằm về một phía của (α) Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua (α), để MA + MB có giá trị nhỏ nhất M là giao điểm của A’B với (α) Đường thẳng AA’ qua A và vuông góc với (α), AA’ nhận n  (1; 1; 2) làm vecto chỉ phương x  1 t  Phương trình tham số AA’:  y   t  z  1  2t  Tọa độ hình chiếu vuông góc H của A (α) ứng với t của phương trình + t – (2 – t) + 2(-1 + 2t) =  6t – = hay t = 3  H( ; ;0) 2  x A ' = 2x H  x A   Do H là trung điểm AA’ nên  y A ' =2y H  y A   A '(2; 1; 1) z = 2z  z  H A  A' A’B có vtcp A'B  (1;0; 3) x   t  Phương trình tham số A’B:  y  z   3t  Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình: + t – + 2(1 – 3t) =  5t    t  13 hay M( ;1;  ) 5 13 ;1;  ) thì MA + MB có giá trị nhỏ nhất 5 2) Thay tọa độ của A và C vào phương trình (α) ta thấy hai điểm nằm về hai phía của (α).Vậy nên A’ và C nằm cùng một phía đối với (α) Ta thấy MA - MC  MA' - MC  A'C Vậy với M( Nên MA - MC đạt giá trị lớn nhất M thuộc A’C ở phía ngoài đoạn A’C, tức M là giao điểm của A’C và (α) Đường thẳng A’C có vtcp A'C  (1; 3; 3) x   t  Phương trình tham số A’C:  y   3t z   3t  Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình: - t - (1 – 3t) + 2(1 - 3t) =  4t    t  5 hay M( ;  ;  ) 4 4 5 Vậy với M( ;  ;  ) thì MA - MC có giá trị lớn nhất 4 Bài toán 4: Cho đường thẳng d và hai điểm phân biệt A,B không thuộc d Tìm điểm M đường thẳng d cho MA + MB có giá trị nhỏ nhất Lời giải: Nếu d và AB vuông góc với Ta làm sau: - Viết phương trình mặt phẳng (α) qua AB và vuông góc với d - Tìm giao điểm M của AB và (α) - Kết luận M là điểm cần tìm Nếu d và AB không vuông góc với Ta làm sau: - Đưa phương trình của d về dạng tham số, viết tọa độ của M theo tham số t - Tính biểu thức MA + MB theo t, xét hàm số f(t) = MA + MB - Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số f(t), từ đó suy t - Tính tọa độ của M và kết luận Ví dụ 1: Cho đường thẳng  d  : x-1 y+2 z-3 = = và hai điểm C(-4; 1; 1), D(3; 6; -3) Hãy 2 tìm điểm M d cho MC + MD đạt giá trị nhỏ nhất Giải:  x   2t  Đường thẳng d có phương trình tham số  y  2  2t z   t  qua điểm N(1; -2; 3), có vtcp u  (2; 2;1) và CD  (7;5; 4) Ta có u CD = 14 -10 – =  d  CD Xét mặt phẳng (P) qua CD và vuông góc với d (P) qua điểm C(-4; 1; 1) và nhận u  (2; 2;1) làm vecto pháp tuyến Phương trình (P): 2(x +4) – 2(y -1) + 1(z -1) = hay 2x – 2y + z + = Điểm M thuộc d thỏa MC + MD đạt giá trị nhỏ nhất M là giao điểm của d và mp(P) Tọa độ M ứng với t là nghiệm của phương trình: + 4t + + 4t + + t + =  9t + 18   t  2 Vậy M(-3; 2; 1) thì MC + MD đạt giá trị nhỏ nhất bằng:  17 Ví dụ 2: Cho hai điểm A(3; 0; 2), B(2; 1; 0) Hãy tìm điểm M trục Ox cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất Giải: Ox có vtcp i  (1;0;0) qua O(0; 0; 0), AB có vtcp AB  (1;1; 2) và i.AB  1   Ox và AB không vuông góc Ta có [i, AB]OA = (0; 2; 1)(3; 0; 2) = + +2 = nên AB và Ox chéo x  t  Phương trình tham số của Ox:  y  z   M  Ox  M(t;0;0) S = MA + MB = (t -3)2    (t -2)2   = (t -3)2   (t -2)2  Ta phải tìm t cho S đạt giá trị nhỏ nhất Trong mặt phẳng tọa độ với hệ Oxy xét các điểm Mt(t; 0)  Ox và hai điểm At(3;2), Bt(2; 1) thì S = MtAt + MtBt Ta thấy At, Bt nằm cùng phía với Ox nên ta lấy At’(3; -2) đối xứng với At qua Ox Phương trình đường thẳng At'Bt : 3x + y – = 7 S = MtAt + MtBt nhỏ nhất M là giao điểm của Ox và At'Bt  3t - = hay t  Vậy M( ;0;0) là 3 điểm cần tìm Cách khác: Ta có thể tìm điểm M bằng phương pháp khảo sát hàm số  Từ biểu thức S = (t -3)2   (t -2)2  Ta xét hàm số f  t   (t -3)   (t -2)  ( t  ) Có đạo hàm f   t    t  3 (t  3)  t  3  t  3 4 t 3 f t    t 3 4  4  t  2 (t  2) t  2 t  2 t 2  t 2 1 1 1 0 (*) với điều kiện ≤ t ≤ ta có: 2 2 (*)   t  3 [ t    1]   t   [ t  3  4] t  1 [2;3] t   2(t  2)    t  3   t     t  t    2( t  2)   Bảng biến thiên hàm số f(t) :   t f’(t) +   f(t) 38  10 2 38  10 7 Vậy MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất bằng , đạt t  , tức M( ; 0; 0) 3 7 Từ bảng biến thiên suy f  t   f   = 3 Giải: Ví dụ 3: Cho đường thẳng  d  : x-2 y-2 z -1 = = và hai điểm A(-1; 1; 1), B(1; 4; 0) Hãy tìm 2 điểm M d cho chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất  x   2t  Đường thẳng d có phương trình tham số  y   2t z  1 t  qua điểm N(1; 2; 1), có vtcp u  (2;2;1) và AB  (2;3; 1) Ta có u CD = + – = ≠  d không vuông góc với AB và [u, AB]NA = (-5; 4; 2)(-2; -1; 0) = 10 – =  d và AB chéo - Chu vi tam giác MAB là 2p = 2(MA + MB + AB), AB không đổi nên 2p đạt giá trị nhỏ nhất MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất Xét điểm M  d  M(1  2t; 2+2t;1  t ) , ta phải tìm t để MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất Xét f  t   MA + MB = (2t  2)  (2t  1)  t  (2t )  (2t  2)  (t  1) f  t  = 9t  12t   9t  6t  = (3t  2)2   (3t  1)2  Có đạo hàm f '(t )  3t  (3t  2)2   3t  (3t  1)  f '(t )    3t  (3t  2)2  3t  (3t  2)  3t   (3t  1)  (3t  1)  (3t  1)  0 với  t 3  (3t  2) [(3t  1)  4]  (3t  1) [(3t  2)  1] 2  5 t  2(3 t  2)  t   2  4(3t  2)  (3t  1)    t   2(3t  2)  3t  t    Bảng biến thiên hàm số f(t) :    t f’(t) +   f(t) 3 Ta thấy f(t) đạt giá trị nhỏ nhất bằng t =  Hay với M( ; ; ) thì MA + MB đạt giá nhỏ nhất bằng 3 3 Nhận xét: Trong dạng toán này nếu ta dùng phương pháp khảo sát hàm số thì việc tìm t sẽ đơn giản Bài toán 5: Cho hai đường thẳng d1,d2 chéo Tìm các điểm M d1, N d2 là chân đoạn vuông góc chung của hai đường Lời giải: - Viết phương trình hai đường thẳng dạng tham số Lấy M  d1 và N  d ( tọa độ theo tham số) - Giải hệ phương trình MN.u1  và MN.u  ( u1 , u là các véctơ chỉ phương của d1 và d2 ) Tìm tọa độ M, N và kết luận - Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng d1 : x-5 y+1 z -11 x+ y-3 z-4 = = = = , d2 : -1 7 1) Chứng minh d1, d2 chéo 2) Tìm điểm M  d1 và N  d cho độ dài MN ngắn nhất Giải: 1) d1 qua M1(5; -1; 11), có vtcp u1  (1; 2; 1) d2 qua M2(-4; 3; 4), có vtcp u  (7; 2;3) Ta có [ u1 , u ] M1M = (8; 4; 16)(-9;4; -7) = -72 +16 – 112 = -168  Hay d1 và d2 chéo 2) M  d1 và N  d cho độ dài MN ngắn nhất và chỉ MN là độ dài đoạn vuông góc chung của d1 và d2 Phương trình tham số của hai đường thẳng  x  4  7t x   t   d1:  y  1  2t , d2:  y   2t z   3t z  11  t   M  d1 nên M(5 + t; -1 + 2t; 11- t), N  d nên N(-4 – 7t’;3 +2t’; + 3t’) MN  ( - 7t’- t – 9; 2t’ – 2t +4; 3t’ + t – 7)  6t ' 6t   t  MN.u1  Ta có    t '  1  MN.u  62t ' 6t  50  Do đó M(7; 3;9) và N(3; 1; 1) Vậy với M(7; 3;9) và N(3; 1; 1) thì độ dài MN ngắn nhất bằng 21 x   t  Ví dụ 2: Cho đường thẳng d:  y   t và hai điểm A(1;2; 3),B(1; 0; 1) Tìm điểm M d cho tam z  2  giác MAB có diện tích nhỏ nhất Giải: - Lấy điểm M d, Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên AB Tam giác MAB có diện tích S = AB.MH đạt giá trị nhỏ nhất MH nhỏ nhất, hay MH là đoạn vuông góc chung của AB và d Ta thấy d qua M1(2; 4; -2), có vtcp u  (1;1;0) AB qua A(1; 2; 3) và AB  (0; -2;-2) = 2u1 với u1  (0;1;1) là véc tơ chỉ phương của AB x   Phương trình tham số AB  y   t ' z   t '  M(2 + t; 4+ t; -2)  d ,H(1; 2+ t’;3+t’)  AB , MH  ( -t -1; t’ – t -2; t’ +5)  t ' 2t  t '  3 MH.u  Ta có    2t ' t  3 t  3  MH.u1  Vậy M(-1; 1; -2), H(1; -1; 0) đó MH = , AB = 2 Diện tích S MAB  AB.MH  x   Ví dụ 3: Cho đường thẳng d:  y  t Trong các mặt cầu tiếp xúc với cả hai đường z   t  thẳng d và trục Ox, hãy viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính nhỏ nhất Giải: Giả sử mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R tiếp xúc với d tại M, tiếp xúc với Ox tại N Ta thấy 2R = IM + IN ≥ MN, đó mặt cầu (S) có đường kính nhỏ nhất là 2R = MN và chỉ MN nhỏ nhất hay MN là đoạn vuông góc chung của d và Ox Đường thẳng d qua M(0; 0; 2), có vtcp u  (0;1; 1) - Ox qua O(0; 0; 0), có vtcp i  (1;0;0) [ u, i ] OM = (0; 0; -1)(0; 0; 2) = -2  nên d và Ox chéo Với M(0; t; 2- t) d, N(t’; 0; 0) Ox và MN  ( t’; -t; t – 2)  t  t   t  MN.u  Ta có    t '  t '   MN.i  Vậy M(0; 1; 1), N(0; 0; 0) ≡ O 1 MN Mặt cầu (S) có tâm I (0 ; ; ) , bán kính R =  2 2 1 Phương trình mặt cầu (S): x  ( y  )  ( z  )  2 2.2 Các bài toán cực trị liên quan đến vị trí của đường thẳng, mặt phẳng Bài toán 1: Cho hai điểm phân biệt A,B Viết phương trình mặt phẳng (α) qua A và cách B một khoảng lớn nhất Lời giải: Họi H là hình chiếu vuông góc của B lên mặt phẳng (α), đó tam giác ABH vuông tại H và khoảng cách d(B; (α)) = BH ≤ AB Vậy d(B; (α)) lớn nhất bằng AB A ≡ H, đó (α) là mặt phẳng qua A và vuông góc với AB Ví dụ 1: Viết phương trình mặt phẳng (α) qua điểm D(1; -2; 3) và cách điểm I(3; -1; -2) một khoảng lớn nhất Giải: (α) cách điểm I(3; -1; -2) một khoảng lớn nhất (α) là mặt phẳng qua D và vuông góc với DI (α) nhận DI  (2; 1; -5) làm vecto pháp tuyến Phương trình mặt phẳng(α): 2(x -1) + 1(y +2) – 5(z -3 ) =  2x + y – 5z + 15 = Ví dụ 2: Cho hai điểm A(2; 1; 3), B(1; -1; 1), gọi (α) là mặt phẳng qua A Trong các mặt cầu tâm A và tiếp xúc với (α), hãy viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính lớn nhất Giải: Mặt cầu (S) có bán kính R = d(A; (α)) lớn nhất (α) qua B và vuông góc với AB BA  (1; 2; 2) là véctơ pháp tuyến của (α) Phương trình (α): 1(x -1) + 2(y +1) +2( z – 1) =  x + 2y + 2z – =   1 3 12  22  22 Phương trình mặt cầu (S): (x -2)2 + (y -1)2 + (z – 3)2 = R = d(A; (α)) Bài toán 2: Cho điểm A và đường thẳng ∆ không qua A Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa ∆ cho khoảng cách từ A đến (α) lớn nhất Lời giải: Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (α), K là hình chiếu vuông góc của A lên ∆ Ta có d(A; (α)) = AH ≤ AK lớn nhất thì H ≡ K, đó (α) là mặt phẳng qua ∆ và vuông góc với AK Hay (α) qua ∆ và vuông góc với mp(∆, A) Ví dụ 1: Cho ba điểm A(2; 1; 3), B(3; 0; 2); C(0; -2; 1) Viết phương trình mặt phẳng (α) qua hai điểm A, B và cách C một khoảng lớn nhất Giải: Mặt phẳng (α) qua hai điểm A, B và cách C một khoảng lớn nhất (α) qua hai điểm A, B và vuông góc với mp(ABC) AB  (1; 1; 1) , AC  (2; 3; 2) (ABC) có véctơ pháp tuyến n  [AB, AC]  (1;4; 5) (α) có véctơ pháp tuyến n  [n, AB]  (9  6; 3)  3(3; 2;1) Phương trình (α): 3(x– 2) + 2(y – 1) + 1(z – 3) =  3x + 2y + z – 11 = Ví dụ 2: Cho hai dường thẳng d1 : x  y 1 z 1 x y  z 1    , d2 :  2 4 2 1) Chứng minh hai đường thẳng song song với 2) Trong các mặt phẳng chứa d1, hãy viết phương trình mặt phẳng (α) cho khoảng cách giữa d2 và (α) là lớn nhất Giải: 1) d1 qua M1(2; 1; -1), có vtcp u1  (1; 2; 2) d2 qua M2(0; 3; 1), có vtcp u  (2; 4; 4) Ta thấy u  2u1 và M1  d nên hai đường thẳng song song với 2) Xét (α1) là mặt phẳng chứa d1 và d2 thì (α1) có véctơ pháp tuyến n1  [u1 , M1M ]  (8; 2;6)  2(4;1;3)  2n Khoảng cách giữa d2 và (α) là lớn nhất (α) phải vuông góc với (α1) Do đó (α) nhận [u1 , n ]  (8; 11; 7) là véctơ pháp tuyến, qua M1(2; 1; -1) Phương trình (α): 8(x -2) -11(y -1) -7(z +1) = hay 8x – 11y – 7z – 12 = Bài toán 3: Cho mặt phẳng (α) và điểm A thuộc (α), lấy B không thuộc (α) Tìm đường thẳng ∆ nằm (α) qua A và cách B một khoảng lớn nhất, nhỏ nhất Lời giải: Gọi H là hình chiếu của B lên ∆ ta thấy d(B; ∆) = BH ≤ AB Vậy khoảng cách từ B đến ∆ lớn nhất A ≡ H hay ∆ là đường thẳng nằm (α) và vuông góc với AB Gọi K là hình chiếu vuông góc của B lên (α) đó d(B; (α)) = BH ≥ BK Vậy khoảng cách từ B đến ∆ nhỏ nhất K ≡ H hay ∆ là đường thẳng qua hai điểm A, K Ví dụ 1: Cho mặt phẳng (α): 2x – 2y + z + 15 = và điểm A (-3; 3; -3) Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm (α), qua điểm A và cách điểm B(2;3; 5) một khoảng : 1) Nhỏ nhất 2) Lớn nhất Giải: Ta thấy (α)có véctơ pháp tuyến n  (2; 2;1) 1) Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên (α)  x   2t  Phương trình BH:  y   2t z   t  Tọa độ điểm H ứng với t là nghiệm của phương trình: 2(2 + 2t) - 2(3 – 2t) + + t + 15=  t  2 hay H(-2; 7; 3) Ta thấy d(B; ∆) nhỏ nhất ∆ qua hai điểm A, H vậy AH  (1;4;6) là véc tơ chỉ phương của ∆ x+3 y-3 z +3   Phương trình của ∆: 2) Ta thấy d(B; ∆) lớn nhất ∆ là đường thẳng nằm (α), qua A và vuông góc với AB ∆ có véctơ chỉ phương u   [AB, n ]  (16;11; 10) x+3 y-3 z +3   Phương trình của ∆: 16 11 10 Giải: Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm C(2; -1; 3), vuông góc với đường thẳng d: x-3 y+2 z +5   và cách điểm D(4; -2; 1) một khoảng lớn nhất Xét mặt phẳng (α) qua C và vuông góc với d, (α) nhận u d  (1;2; 3) làm véctơ pháp tuyến, thì ∆ nằm (α) Do vậy d(D; ∆) lớn nhất ∆ nằm (α), qua C và vuông góc với CD ∆ có véctơ chỉ phương u   [CD, n  ]  (1; 8;5) Phương trình ∆: x-2 y+1 z -3   8 x   t  Ví dụ 3: Cho hai điểm A(2; 1; -1), B(-1; 2; 0) và đường thẳng d:  y  z   t  1) Viết phương trình mặt phẳng (α) qua d và B 2) Viết phương trình đường thẳng ∆1 qua B cắt d cho khoảng cách từ A đến ∆1 lớn nhất 3) Viết phương trình đường thẳng ∆2 qua B cắt d cho khoảng cách từ A đến ∆2 nhỏ nhất Giải: 1) Đường thẳng d qua điểm M(2; 0; 0) có vtcp u d  (1;0; -1) , MB  (2;2;0) [u d , MB]  (2; 2; 2)  2(1;1;1)  2n (α) qua B nhận n  (1;1;1) làm véctơ pháp tuyến Phương trình (α): x + y + z – = 2) Gọi H là hình chiếu của A lên (α), để d(A, ∆1) nhỏ nhất ∆1 qua hai điểm B,H x   t  Phương trình tham số AH:  y   t z  1  t  Tọa độ H ứng với t là nghiệm phương trình: 4 + t + + t -1 + t – =  3t    t    H( ; ; ) 3 3 4 4 4 BH  ( ; ; )  (2; 1; 1)  u1  ∆1 nhận u1 làm véc tơ chỉ phương 3 3 Ta thấy u1 và ud không cùng phương nên d và ∆1 cắt (do cùng thuộc mặt phẳng (α)) Vậy phương trình ∆1: x+1 y-2 z   1 1 3) Gọi K là hình chiếu của A lên ∆2 ta có d(A, ∆2 ) = AK ≤ AB, để d(A, ∆2 ) lớn nhất K ≡ B hay ∆2 nằm (α)và vuông góc với AB Ta có [n , AB]  (0; 4;4)  4(0;1; 1)  4u  ∆2 nhận u làm véc tơ chỉ phương, mặt khác u và ud không cùng phương nên d và ∆2 cắt (do cùng thuộc mặt phẳng (α)) x  1  Phương trình ∆2: y   t z  t  Chú ý : Ta có thể dùng phương pháp khảo sát hàm số đề giải ý và ý ví dụ Gọi ∆ là đường thẳng tuỳ ý qua B và cắt d, giả sử ∆ cắt d tại điểm N(1+t, 0;-t), đó ∆ có véc tơ chỉ phương NB  (2  t;2; t ) Ta có AB  (3;1;1) , [NB, AB]  (2  t;2  2t;4  t ) Và d(A;∆) = [NB, AB] NB  (2  t )2  (2  2t )  (4  t ) (2  t )2  22  (t ) = 3t  10t  12 t  2t  16t  64t 3t  10t  12 có , với mọi t  R f '( t )  t  2t  (t  2t  4)2 t  f '(t )    t  2 Xét hàm số f (t )  Bảng biến thiên của f (t )  t f’(t) + -2 11 -  + f(t) 3 Từ bảng biến thiên ta thấy:  d(A;∆) lớn nhất bằng 11 t = -2  N(-1; 0;2) NB  (0;2; 2)  2(0;1; 1) x  1  và đường thẳng cần tìm có phương trình là: y   t z  t   d(A;∆) nhỏ nhất bằng t =  N(3; 0;-2) NB  (4;2;2)  2(2; 1; 1) và đường thẳng cần tìm có phương trình là : x+1 y-2 z   1 1 Bài toán 4: Cho mặt phẳng (α) và điểm A thuộc (α), đường thẳng d không song song hoặc nằm (α) và không qua A Tìm đường thẳng ∆ nằm (α), qua A cho khoảng cách giữa ∆ và d là lớn nhất Lời giải: Gọi d1 là đường thẳng qua A và song song với d, B là giao điểm của d với (α) Xét (P) là mặt phẳng (d1, ∆), H và I là hình chiếu vuông góc của B lên (P) và d1 Ta thấy khoảng cách giữa ∆ và d là BH và BH ≤ BI nên BH lớn nhất I ≡ H, đó ∆ có vtcp u   [BI, n ] Ví dụ 1: Cho đường thẳng d: x-1 y-2 z -3   , mặt phẳng (α): 2x – y – z + = và điểm 1 A( -1; 1; 1).Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm (α), qua A cho khoảng cách giữa ∆ và d là lớn nhất Giải: Đường thẳng d có vtcp u  (1; 2; -1), (α) có vtpt n  (2; -1; 1) x   t  Phương trình tham số d: y   2t z   t  Gọi B là giao điểm của d và (α), tọa độ B ứng với t là nghiệm phương trình: 2+ 2t – – 2t – 3+ t + =  t = -1  B(0; 0; 4) Xét d1 là đường thẳng qua A và song song với d x  1  t  Phương trình tham số đường thẳng d1:  y   2t z   t  Gọi I là hình chiếu vuông góc của B lên d1  I(-1 + t; + 2t; – t), BI  (-1 + t; + 2t;-5– t) Ta có BI.u   -1 + t + 2(1 + 2t) –(-5– t) =  t = -1  I(-2; -1; 2) Đường thẳng ∆ có vtcp u   [BI, n ] = (-5; -10; 4) Phương trình ∆: x+1 y-1 z -1   5 10 Ví dụ 2: Cho mặt phẳng (P): x + y – z + 1= 0, điểm A(1; -1; 2) và đường thẳng ∆ : x+1 y z-4 = = Trong các đường thẳng qua A và song song song với (P), hãy viết 3 phương trình đường thẳng d cho khoảng cách giữa d và ∆ lớn nhất Giải: Mặt phẳng (α) qua A và song song với (P) có phương trình: x + y – z + 2= => d nằm (α) Đường thẳng ∆ có vtcp u  (2;1;-3), (α) có vtpt n  (1;1;-1) x  1  2t  Phương trình tham số ∆: y  t z   3t  Gọi B là giao điểm của ∆ và (α), tọa độ B ứng với t là nghiệm phương trình: 1 -1+ 2t + t – (4- 3t) + =  t =  B(0; ; ) 2 Xét ∆1 là đường thẳng qua A và song song với ∆ x   t  Phương trình tham số đường thẳng ∆1:  y  1  t z   3t  Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên ∆1  H(1 + 2t; -1 + t; – 3t), BH  (1 + 2t; t - ; -3t) Ta có BI.u   + 4t + t + 9t =  t =  28 13 43 1 u1 ) = (26; -43; 3) =  BH =( ;  ; 14 28 28 28 28 Đường thẳng d có vtcp u d  [ u1 , n ] = (40; 29; 69) Phương trình d : x-1 y+1 z -2   40 29 69 Bài toán 5: Cho hai đường thẳng ∆1 và ∆2 phân biệt và không song song với Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa ∆1 và tạo với ∆2 một góc lớn nhất Lời giải: Vẽ một đường thẳng bất kỳ ∆3 song song với ∆2 và cắt ∆1 tại M Gọi I là điểm cố định ∆3 và H là hình chiếu vuông góc của I lên mp(α), kẻ IJ  ∆1 Góc giữa (α) và ∆2 là góc IMH Trong tam giác vuông HMJ có cos IMH = HM MJ  IM IM Suy góc IMH lớn nhất MJ = MI hay H ≡ J, đó và (α) là mặt phẳng chứa ∆1 đồng thời vuông góc với mặt Khi đó (α) nhận [u 1 ,[u 1 , u  ]] làm véctơ pháp tuyến Ví dụ 1: Cho đường thẳng d: không đổi IMH =(∆1,∆2) phẳng (∆1,∆2) x-2 y+1 z-1   và hai điểm A( 3; -4; 2), B( 4; -3; 4) Viết 1 phương trình mặt phẳng (α) chứa AB và tạo với d một góc lớn nhất Giải: Đường thẳng d qua điểm M(2; -1; 1) có vtcp u  (2; 1; 1) , AB  (1;1;2) => n = [u, AB]  ( 3; 3;3)  3(1;1; 1) Mặt phẳng (α) qua điểm A và nhận [n, AB]  (3; 3;0)  3(1; 1;0) làm vecto pháp tuyến Phương trình mp(α): 1(x – 3) - 1(y + 4) = hay x – y – = Khi đó cos((α),d) = 1 5  Ví dụ 2: Cho điểm A(1; 1; -1) và mặt phẳng (P): 2x – y + 2z + = Trong các mặt phẳng qua A và vuông góc với (P), viết phương trình mặt phẳng (α) tạo với trục Oy góc lớn nhất Giải: Mp(p) có vecto pháp tuyến n P  (2; 1; 2) , Xét đường thẳng d qua A và vuông góc với (P), d có véctơ chỉ phương n P  (2; 1; 2) , Oy có véctơ chỉ phương j  (0;1;0) nên d và Oy không song song Theo bài toán nếu (α) tạo với trục Oy góc lớn nhất thì (α) chứa d và vuông góc với mp(d,Oy) Do đó (α) nhận [ n P ,[ n P , j ]] = -2( 1; 4; 1) làm véctơ pháp tuyến Phương trình (α): 1(x -1) + 4(y -1) +1( z + 1) = hay x + 4y + z – = Bài toán 6: Cho mặt phẳng (α) và điểm A thuộc (α), đường thẳng d không song song hoặc nằm (α) Tìm đường thẳng ∆ nằm (α), qua A và tạo với d góc lớn nhất, nhỏ nhất Lời giải: Vẽ đường thẳng d1 qua A và song song với d điểm B khác A là điểm cố định, gọi K, H là hình chiếu của B lên (α) và ∆ Trên d1 lấy vuông góc Ta có góc (d, ∆) = BAH BH BK và sin(d, ∆) = sin BAH = ≥ Do vậy góc (d, ∆) AB AB nhỏ K ≡ H hay ∆ là đường thẳng AK Góc (d, ∆) lớn nhất bằng 900 ∆  d và ∆ có nhất vtcp u   [ u d , n ] Ví dụ 1: Cho mặt phẳng (α): 2x + 2y – z – = 0, điểm A(1; 2; -2) và đường thẳng d: x+2 y-1 z -3   1 1) Viết phương trình đường thẳng ∆1 nằm (α), qua A và tạo với d một góc lớn nhất 2) Viết phương trình đường thẳng ∆2 nằm (α), qua A và tạo với d một góc nhỏ nhất Giải: (α) có vectơ pháp tuyến n  (2;2; -1) , d có vectơ ud  (1;1;1) qua điểm M(-2; 1; 3) Ta thấy A  (α) mặt khác n ud  nên d không song song hoặc nằm (α) 1) ∆1 tạo với d một góc lớn nhất ∆1  d Do đó ∆1 có vectơ chỉ phương u1  [ u d , n ] = (-3; 3; ) = -3(1; -1; 0) x   t  Phương trình tham số của ∆1: y   t z  2  2) Xét đường thẳng d1 qua A và song song với d Phương trình d1: x-1 y-2 z +2 , lấy điểm B(2; 3; -1)  d1   1 Gọi K là hình chiếu vuông góc của B lên (α) x   t  Phương trình tham số của BK y   2t , tọa độ của K ứng với t là nghiệm của phương trình : 2(2 + 2t) z  1  t  + 2(3 + 2t) – (- – t) – =  9t + = hay t =  10 19 5  K( ; ; ) 9 9 1 13 ) 9 ∆2 tạo với d một góc nhỏ nhất nó qua hai điểm A và K, AK  ( ; ; ∆2 qua A(1; 2; -2), có vectơ chỉ phương u  9.AK  (1;1;13) Phương trình ∆2 : x-1 y-2 z +2   1 13 Ví dụ 2: Cho hai điểm A(1; 0; 0) , B( 0; -2; 0) và đường thẳng d: x-1 y-2 z -3   Viết 1 phương trình đường thẳng ∆ qua A, vuông góc với d và tạo với AB một góc nhỏ nhất Giải: Đường thẳng d có vectơ ud  (2;1;1) Xét mặt phẳng (α) qua A và vuông góc với d  ∆ nằm (α) (α) nhận ud  (2;1;1) làm vectơ pháp tuyến Phương trình (α): 2x + y + z – = Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên (α), BH có vectơ ud  (2;1;1) x  t  Phương trình tham số của BH y  2  t , tọa độ của H ứng với t là nghiệm của phương trình: 4t -2 + t + z  t  t – =  6t – =  t  4 2 hay H( ; ; ) 3 3 4 ; ) 3 ∆ tạo với AB một góc nhỏ nhất nó qua hai điểm A và H, AH  ( ; ∆ qua A(1; 0; 0), có vectơ chỉ phương u   3.AH  (1; 4; 2) Phương trình ∆ : x-1 y z   4 2.3 Bài tập áp dụng Bài 1: Cho ba điểm A(1; -2; 1), B(-1; 1; 2), C(2; 1; -2) và mặt phẳng (α) có phương trình x + 2y – 2z + = 1) Tìm điểm M (α) cho MA + MB có giá trị nhỏ nhất 2) Tìm điểm N (α) cho NA + NC có giá trị nhỏ nhất 3) Tìm điểm S (α) cho SA2 + SB2 – 3SC2 có giá trị lớn nhất 4) Tìm điểm P (α) cho PA +2PB  4PC có giá trị nhỏ nhất Bài 2: Cho đường thẳng  d  : x-2 y + z+2 = = và hai điểm A(3; 1; 1), -1 B(-1; 2; -3) Hãy tìm điểm M d cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất Bài 3: Cho đường thẳng  d  : x-2 y - z-2 = = và hai điểm A(0; 1; 1), 2 B(1; 2; 3) Tìm điểm M d cho tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất x   3t x-1 y-2 z +1  Bài 4: Cho đường hai thẳng d1:  y  2t d2: Trong các mặt cầu tiếp xúc với cả hai   z   2t  đường thẳng d1 và d2, hãy viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính nhỏ nhất Bài 5: Cho hai điểm C(1; -2; 2) và đường thẳng d có phương trình x-1 y- z +1 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và khoảng cách từ C đến (P) là lớn nhất   2 1 x   t  Bài 6: Cho họ đường thẳng dm: y   (1  m)t , với t  và m là tham số z   mt  1) 2) 3) 4) Chứng minh họ dm qua một điểm cố định và nằm một mặt phẳng cố định Tìm m để khoảng cách từ dm đến gốc tọa độ lớn nhất, nhỏ nhất Tìm m để khoảng cách từ dm và trục Oy lớn nhất Tìm m để dm tạo với trục Ox góc lớn nhất, nhỏ nhất Bài 7: Cho hai điểm A(1; 3; -1), B( 0; 0; 2) và đường thẳng d có phương trình x-3 y+2 z -1 Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm I(-1; 1; 0), vuông góc với trục Oy và tạo với   2 d một góc Nhỏ nhất Lớn nhất Bài 8: Cho điểm B(2; -1; -2), mặt phẳng (P): x – y + z + = và đường thẳng d: x-1 y-2 z -3 Trong   1 các mặt phẳng qua B và vuông góc với (P), viết phương trình mặt phẳng (α) tạo với d một góc lớn nhất Bài 9: Cho điểm A(0; -1; 1) và ba đường thẳng ∆ : d1: x y 1 z x+3 y+1 z-4 = = = = , d2: 1 3 x+1 y z-4 = = , 3 1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A đồng thời song song với hai đường thẳng d1, d2 2) Trong các đường thẳng qua A và nằm (P), hãy viết phương trình đường thẳng d cho khoảng cách giữa d và ∆ lớn nhất Bài 10: Cho tứ diện ABCD với A(1;0;0), B(0; 1; 0),C(0; 0;1) và D(-2;-1;-2) 1) Tìm điểm M cho MA + MB  MC  MD có giá trị nhỏ nhất 2) Tìm điểm N mặt phẳng (ABC) cho NA2 – NB2 – 2ND2 có giá trị lớn nhất 3) Cho (P) là mặt phẳng qua D và song song với (ABC), các đường thẳng qua D mp(P) Hãy viết phương trình đường thẳng d cho khoảng cách giữa d và trục Oz lớn nhất Bài 11: Cho hai điểm A(2; 1; -3), B(1; 2; 0) và đường thẳng d: x-1 y-2 z-3 = = Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A, cắt d cho khoảng cách từ B đến ∆ là lớn nhất Bài 12: Cho hai điểm C(1; 1; -1), D(2; 2; 1) và đường thẳng d: x-2 y-2 z-3 = = 2 1 Viết phương trình đường thẳng ∆ qua C, nằm mặt phẳng (P): x + y + z -1 = cho khoảng cách từ D đến ∆ là nhỏ nhất Bài 13: Cho điểm A(1; 1; -1) và mặt phẳng (α): 2x – y + z + = Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, vuông góc với (α) và tạo với Oz một góc lớn nhất Bài 14: Cho điểm A(2; -1; 0) và hai đường thẳng có phương trình ∆1: x-2 y-1 z+3 x-1 y+1 z-1 = = = = , ∆2: Trong các đường thẳng qua A và cắt ∆1 hãy viết phương 1 1 trình đường thẳng ∆ cho khoảng cách giữa ∆ và ∆2 là lớn nhất Bài 15: Trong các mặt cầu qua điểm E(1; 2; -2) và tiếp xúc với mặt phẳng (P) 2x – 2y + z – = Hãy viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất Bài 16: Cho đường thẳng d  : x y z   hai điểm A  0;0;3 , B  0;3;3 1 Tìm tọa độ điểm M   d  cho: MA2  2MB2 1) MA  MB nhỏ 2) 3) MA  3MB nhỏ 4) MA  MB lớn nhỏ Bài 17: Trên tia Ox, Oy,Oz vng góc với đơi ,lấy điểm A,B,C cho OA = a;OB = b;OC = c 1) Tính khoảng cách từ O đến mp(ABC) 2) Giả sử A cố định B,C thay đổi luôn thỏa OA=OB + OC Hãy xác định vị trí B,C cho thể tích tứ diện OABC lớn Bài 18: Cho tia Ox, Oy,Oz vng góc với đơi ,một mặt phẳng (P) qua điểm N cố định cắt Ox,Oy,Oz điểm A,B,C.Giả sử N nằm tam giác ABC khoảng cách từ N đến mp(OBC),(OCA) ,(OAB) a,b,c a b C   1 1) Chứng minh : OA OB OC 2) Tính OA,OB,OC để thể tích tứ diện OABC nhỏ 3) Tính OA,OB,OC để tổng S = OA + OB + OC nhỏ Bài 19: Cho tứ diện SABC có SC  CA  AB  a ; SC  (ABC) ,tam giác ABC vuông A ,các điểm M thuộc SA , N thuộc BC cho AM = CN = t (0 < t < 2a) 1) Tính độ dài đoạn MN.Tìm t để MN ngắn 2) Khi MN ngắn chứng minh MN đường vng góc chung SA BC Bài 20: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ tâm I có : AB  a ; AD  2a ;AA'=a Trên AD lấy điểm M gọi K trung điểm B’M Đặt AM = m (0 ≤ m < 2a).Tìm vị trí điểm M để thể tích khối tứ diện A’KID lớn