30 bài toán chọn lọc hình học không gian hay

Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD, a Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN... b Viết phương trình đường thẳng D đi qua A, vuông góc với d1 và cắt d2... Viết phương

CÁC BÀI TOÁN CHỌN LỌC

1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A’(0; 0; 1) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD,

a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN

b) Viết phương trình mặt phẳng chứa A’C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc a biết cos 1

6

a =

(Đại học khối A – 2006) Giải

a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN Chọn hệ trục tọa độ Axyz như hình vẽ thì tọa độ các điểm là: A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), C(1; 1; 0), D(0; 1; 0), A’(0; 0; 1); B’(1; 0; 1), C’(1; 1; 1), D’(0; 1; 1), M( 1

2 ; 0; 0), N(

1

2 ; 1; 0)

Ta có A ' C ( 1;1; 1 , MN) ( 0;1; 0 , A ' M) 1 ; 0; 1

2

2 2 2

A ' C, MN 1; 0;1

1

1

d A ' C, MN

2 2

1 0 1

A 'C, MN

-

uuuur uuuur

uuuur uuuur uuuuur uuuur uuuur

1 b) Viết phương trình mặt phẳng chứa A'C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc biết cos

6

A ' C có qua A'(0;0;1) VTCP là A'C (1;1; 1)

x - y 0

x y z 1 nên pt chính tắc A'C là pt tổng quát A'C là

y z 1 0

Gọi (P) là mặt phẳng cần tìm Vì mp (P) chứa A'C nên pt mp (P) dạng

=

ì

-

+ - =

uuuur

2 2

Oxy

2

1

Mp Oxy có pt là z 0 n 0; 0;1

Ycbt cos cos (P),(Oxy)

6

A 2B

A 2B Chọn B 1, A 2 pt mp (P ) :2x y z 1 0

A B

=

é

ë

- = -

uuuur

2 Chọn B= -1, A 1= Þpt mp (P ) :x 2y z 1 0 - - + =

z

A

B(1; 0; 0) C

D(0; 1; 0)

A’(0; 0; 1)

D’

y

x

M

N

2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

= - +

ì

-

ï =

ỵ

a) Chứng minh rằng d1 và d2 chéo nhau

b) Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) : 7x + y - 4z = 0 và cắt hai đường thẳng d1

Giải a) Chứng minh d 1 và d 2 chéo nhau

d qua A(0;1; 2) có VTCP là a (2; 1;1),d qua B( 1;1;3) có VTCP là b (2;1; 0)

Ta có : a, b 1;2; 4 0 a và b không cùng phương (1)

AB -1; 0;5 , a, b AB 1 0 20 21 0 3 vectơ a, b

ë û

é ù

1 2

, AB không đồng phẳng (2) Từ (1) & (2) Þ d và d chéo nhau

r uuur

b) Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) : 7x + y - 4z = 0 và cắt hai đường thẳng d 1 và d 2

( ) ( )

( ) ( ) ( )

1

2 2

Ta có PTTQ của d : ,d :

Viết pt mp : chứa d nên pt mp dạng :

( )

P

2

2 2

P

0

Chọn A 1 B 3 : pt : x 5y 3z 1 0

Viết pt mp : chứa d nên pt mp dạng :

Chọn

a

b

uur uur

uur uur

( )

M 4 N 5 : pt : 4x 8y 5z 3 0

x 5y 3z 1 0

Vậy ptđt d:

4x 8y 5z 3 0

Ro õràng : d cắt d tại M 2;0; 1 , cắt d tại N 5; 1;3 nên ta nhận pt đt d trên

ì

í

ỵ

3) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và hai đường thẳng:

a) Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d1

b) Viết phương trình đường thẳng D đi qua A, vuông góc với d1 và cắt d2

(Đại học khối D – 2006)

Giải a) Tìm tọa độ A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d 1

1

Trước tiên ta tìm H - hình chiếu vuông góc của A lên d

Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với d thì (P) có VTPT là n =a = 2; 1;1

Vậy pt mp (P) dạng : 2x y z m 0 Vì (P) q

-

- + + =

uur uur

A A ' H

A A ' H

A A ' H

ua A(1; 2;3) nên 2 2 3 m 0 m 3 2x y z 3 0

Vậy pt mp (P) là : 2x y z 3 0 H thỏa x 2 y 2 z 3 H 0; 1;2

H là trung điểm của AA' nên y y 2y A ' 1; 4;1

- + - =

ì

ï

ï

+ =

ì

ï

í

ï + =

ỵ b) Viết phương trình đường thẳng D đi qua A, vuông góc với d 1 và cắt d 2

( )

2

1

2

2 2

2

Viết pt mp (Q) : Ta có PTTQ của d :

(Q) qua A(1;2;

^

+ - =

ì

í + =

ỵ

2

Vậy pt đt :

Ro õràng cắt d tại M 2; 1; 2 nên nhận pt đt trên

- + - =

ì

D í

ỵ

4) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 Biết A(a;0;0), B(-a;0;0), C(0;1;0), B1(-a;0;b), a>0, b>0

a) Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng B1C và AC1 theo a và b

b) Cho a, b thay đổi nhưng luôn luôn thỏa mãn a+ b = 4 Tìm a, b để khoảng cách giữa 2 đường thẳng B1C

Giải a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng B 1 C và AC 1

ABC.A B C là hình lăng trụ đứng nên ta có : BB CC

=

uuuur uuuur

1 1

d B C, AC

B C, AC

= -

uuur uuuur uuuur uuur

uuuur uuuur

b) Tìm a và b để khoảng cách giữa hai đường thẳng trên đạt giá trị lớn nhất

2 2

2 2

max

Áp dụng BĐT Cau chy : a b 2 ab

2

a b Vậy d 2 khi a b 2

+ ³

+

+

5) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm I(1;1;1) và đường thẳng d x 2y z 9 0

2y z 5 0

- + - =

ì

í + + =

ỵ Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là I, cắt đường thẳng d theo 1 dây cung AB có độ dài bằng 16

Giải

( )

AB

2

1

2

d

a ,IM

IH

=

ï

=

uuur

uur

uur

uur u

2

d

357

21

a

uur

uur

6) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(1;1;1), mặt phẳng (P) : x + 2y + 3z – 6 = 0 và mặt cầu (S) : x 2 + y 2 + z 2 = 100 Viết phương trình đường thẳng d qua M, nằm trong mặt phẳng (P) và cắt mặt cầu (S) theo dây AB thỏa MA = MB

Giải

= < Þ

=

uur

uuuur uur uur

P

d P

Mặt cầu (S) có tâm O, bán kính là 10, OM 3 R M ở trong mặt cầu

Vì d mp(P) nên n 1; 2;3 là 1 VTPT của d

MA MB nên OM AB nên OM 1;1;1 là 1 VTPT của d

,OM 1;2; 1 mà d qua M 1;1;1 nên pt đt d :

7) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(1;4;2), B(-1;2;4) và đường thẳng

:

-

a) Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng OAB

b) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng D sao cho MA 2 + MB 2 nhỏ nhất

(Đại học khối D – 2007) Giải

a) Viết phương trình đường thẳng d qua G, vuông góc mp(OAB)

O A B

G

O A B

G

O A B

G

d

3

G là trọng tâm OAB nên G thỏa y 2 G 0; 2; 2

3

3 mp(OAB) có cặp VTCP là OA 1; 4; 2 , OB 1; 2; 4 n 12; 6;6 6 2; 1;1

d mp(P) nên a n 2; 1;1 mà d

+ +

ì

ï

ï

+ +

ï

ï

+ +

ï

ï

ỵ

qua G nên pt đt d :

- b) Tìm MỴD để MA 2 + MB 2 nhỏ nhất

2

P

AB Gọi E là trung điểm của AB thì MA MB 2ME

2 Vậy MA MB min ME min M H hình chiếu của E lên đt

E là trung điểm AB nên E 0;3;3 ;Gọi (P) là mp qua E và vuông góc đt thì n a D

D uur uur = =

1;1; 2

pt mp (P) : x y 2z m 0.(P) qua E nên 3 6 m 0 m 9 pt mp (P) : x y 2z 9 0

x 1

x y 2z 9 0 Vậy H thỏa x 1 y 2 z y 0 M 1; 0; 4

z 4

-

= -

ì

- + + - =

ì

8) Trong không gian với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng :

x 1 t

z 1 2t

= +

ì

a) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng D1 và song song với đường thẳng D2

b) Cho điểm M(2;1;4) Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng D2 sao cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ

Giải a) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng D 1 và song song với đường thẳng D 2

1

2

n 1; 2;1 có cặp VTPT là có VTCP là a = n ,n 2;3; 4

n 1;2; 2

Vì mp (P) chứa nên a = 2;3; 4 la

ì = -

ï

ï

D

uur

uur uur uur uur

uur

1 2

ø 1 VTCP của (P)

(P) có VTPT là n a ,a 2; 0; 1

mp (P) // nên a = 1;1; 2 là 1 VTCP của (P)

pt mp (P) dạng : 2x z m 0 (P) qua A 0; 2; 0 nên m 0

Vậy pt mp (P) là : 2x z 0

ü

- =

r uur uur

uur

b) Tìm H Ỵ D 2 để MH nhỏ nhất.

( )

Gọi (Q) là mp qua M và vuông góc với thì (Q) có VTPT là n a 1;1; 2

uur uur

Vậy pt mp (Q) : x y 2z 11 0

x 1 t

z 1 2t

x y 2z 11 0

= -

= +

ì

=

ì

= +

ỵ

9) Trong không gian với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A trùng với gốc của hệ tọa độ, B(a;0;0), D(0;a;0); A’(0;0;b) (a>0, b>0) Gọi M là trung điểm cạnh CC’

a) Tính thể tích khối tứ diện BDA’M theo a và b

b) Xác định tỉ số a

b để hai mặt phẳng (A’BD) và (MBD) vuông góc với nhau

(Đại học khối A – 2003)

Giải a) Tính thể tích khối tứ diện BDA’M

Tọa độ của các điểm là : A(0;0;0), B(a;0;0), C(a;a;0), D(0;a;0) A’(0;0;b), B’(a;0;b), C’(a;a;b), D’(0;a;b), M(a;a; b

2 )

BDA 'M

b

Ta có : BD a; a; 0 , BA ' a; 0; b , BM 0; a;

2

a b 3a b

BD, BA ' ab; ab; a , BD, BA ' BM a b

uuur uuuur uuur uuuur uuuur

uuur uuuur uuuur

b) Xác định tỉ số a

b để 2 mp (A’BD) và (MBD) vuông góc

2

(A'BD) có cặp VTCP A ' B a; 0; b , A ' D 0;a; b

2 (A 'BD) có VTPT n1 A ' B, A ' D ab;ab; a a b; b; a

b (MBD) có cặp VTCP MB 0; a; ; BD a; a; 0

2 (MBD) có VTPT n MB

-

uur uuuur uuuur

b a(loại a, b 0)

a

KL : 1 thì 2 mp(A'BD) và (MBD) vuông góc

b

=

é

ë

=

uuur uur uur

A

B(a; 0; 0) C

D(0; a; 0)

A’(0; 0; b)

D’

y

x

M z

10) Tìm m để hai mặt phẳng sau song song :

mp (P) : 2x + my + 3z + 6 –m = 0 và mp (Q) : (m+3)x + 2y + (5m+1)z – 10 = 0

Giải

2

2

Ta có : n 2; m;3 và n m 3;2; 5m 1

Để mp(P) // mp (Q) thì n // n n , n 0 5m m 6; 7m 7; 4 m 3m 0; 0; 0

Với m 1: mp(P) : 2x y 3z 5 0, mp(Q) : 4x 2y 6z

ï

ï

ỵ

uur uur uur uur

10 0 \ Nhận thấy mp (P) // mp (Q) nên nhận m 1

=

= 11) Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác ABC vuông tại A, AD = a, AC =

b, AB = c

Tính diện tích S của tam giác BCD theo a, b, c và chứng minh rằng : 2S³ abc a b c ( + + )

(Dự bị 2 – Đại học khối D – 2003) Giải

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có tọa độ các điểm là :

A(0;0;0), B(c;0;0), C(0;b;0), D(0;0;a)

2 2 2 2 2 2 BCD

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2

BC c; b; 0 , BD c; 0; a , BC, BD ab; ac; bc

đpcm a b a c b c abc(a b c)

a b a c b c abc(a b c) Theo BĐT Cauchy ta được :

a b +b c 2ab c

b c +c a

³

uuur uuur

2 2 2 2 2

2bc a Cộng vế : a b a c b c abc(a b c)(đpcm)

c a a b 2ca b

ü

ï

ï

12) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) : x 2 + y 2 + z 2 – 2x + 4y + 2z – 3 = 0 và mặt phẳng (P) : 2x – y + 2z – 14 = 0

a) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo một đường tròn có bán kính bằng 3

b) Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) lớn nhất

(Đại học khối B – 2007)

Giải a) Viết phương trình mp (Q) chứa Ox, cắt (S) theo 1 đường tròn có bán kính bằng 3

M.cầu (S) có tâm I(1; 2; 1), bán kính R 1 4 1 3 3

y 0

mp (Q) chứa trục Ox nên pt mp (Q) dạng : Ay Bz 0 A B 0

z 0

Vì mp (Q) cắt (S) theo 1 đường tròn bán kính bằng 3 nên (Q) phải qua tâm

=

ì

í

=

ỵ

I của m.c Vậy 2A B 0 Chọn A 1, B- - = = = -2, ta được pt mp (Q) : y 2z- = 0

z

y

x

A

B

C D

b) Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến mp (P) là max

( )

Gọi d là đường thẳng qua I và vuông góc với mp (P) d cắt m.c tại A và B

d có VTCP là a 2; 1; 2 , qua I nên ptđt d là

-

a

r

( )

( ) 1

à tiếp diện của m.c (S) và // mp (P) thì pt dạng: 2x y 2z m 0

2 2 2 m

4 1 4

1

2x y 2z 11 0

2 1 6 14

4 1 4

ì

ï

ỵ

ì

ï

ỵ

- + - -

6 3 2 14

4 1 4

+ + -

+ +

13) Tìm a, b để 3 mặt phẳng sau cùng chứa một đường thẳng :

Mp (P) : 5x + ay + 4z + b = 0 , mp (Q) : 3x – 2y + z – 3 = 0 , mp (R) : x – 2y – 2z + 5 =0

Giải

Gọi d là giao tuyến của mp (Q) và mp (R) thì pt đt d là :

Để 3 mp trên cùng chứa 1 đt thì mp (P) phải chứa đường d

Ta thấy đường d qua 2 điểm : A 4; ; 0 , B

2

ì

í

ỵ

11

2 4

9

2 Để mp (P) chứa đường d thì A, B mp(P)

ì

ï

= -

ỵ

ï

ỵ

14) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng :

Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) : y + 2z = 0 và cắt cả hai đường thẳng d1 và d2

(Cao đẳng kỹ thuật Cao Thắng – 2007) Giải

( ) ( )

1

2

1 2

Gọi A d P , ta thế x,y,z vào pt mp (P) : t 8t 0 t 0 A 1; 0; 0

Gọi B d P , ta thế x,y,z vào pt mp (P) : 4 2t 2 0 t 3 B 5; 2;1

d (P) cắt cả d và d nên d qua A và B

Với VTCP AB 4; 2;1 , ta được

Ì

= -

I

I

pt đt d :

-

= =

-

15) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thoi có tâm O, A(2;0;0), B(0;1;0), S(0;0; 2 2 ) Gọi M là trung điểm của cạnh bên SA

a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và DM

b) Mặt phẳng (CDM) cắt SB tại N Tính thể tích khối tứ diện SCMN

(Đại học Sài Gòn – Khối A – 2007)

Giải a) Khoảng cách giữa SC và DM

Ta có tọa độ các điểm S(0;0; 2 2 ), A(2;0;0), B(0;1;0), C(-2;0;0), D(0;-1;0), M(1;0; 2 )

SC 2; 0; 2 2 , DM 1;1; 2 ,SD 0; 1; 2 2 , SC, DM 2 2; 0; 2

SC, DM SD 4 2 4 2 2 6 Vậy d SC, DM

3

12 2 3

SC, DM

uuur uuuur uuur

uuur uuuur

b) Tính V SCMN

mp(CDM) có cặp VTCP là CD 2; 1; 0 , CM 3; 0; 2

(CDM) có VTPT là n CD,CM 2; 2 2;3 pt(CDM) dạng : 2x 2 2y 3z m 0

(CDM) qua C 2; 0; 0 nên m 2 2 pt CDM : 2x 2 2y 3z 2 2 0

SB 0;1; 2 2 pt đ

r uuur uuuur

uur

SCMN

x 0

1

t SB: y 1 t Vì N SB CDM nên ta có tọa độ N 0; ; 2

2

z 2 2t

1

SC 2; 0; 2 2 , SM 1; 0; 2 ,SN 0; ; 2 , SC,SM 0; 4 2; 0 , SC, SM SN 2 2

2

1

6

ì =

ï

= -

ỵ

=

I

SN 2 2 (đvtt)

uuur

16) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(2;1;-3), đường thẳng d : x 3 y 1 z 5

= = và mặt phẳng (P) : x + y – z – 1 = 0

a) Viết phương trình đường thẳng D đi qua A, vuông góc với đường thẳng d và song song với mặt phẳng (P) b) Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) bằng 3

(Cao đẳng kinh tế – 2007)

Giải a) Viết phương trình đường thẳng D qua A, vuông góc d và // (P)

( )

d

P

d P

d nên có 1 VTPT là a 2;1;2

// mp(P) nên có 1 VTPT là n 1;1; 1

có VTCP là a a , n 3; 4;1

x 2 y 1 z 3 qua A 2;1; 3 nên pt đt : A P nên //(P)

D

-

uur uur uur uur uur

b) Tìm tọa độ M thuộc d sao cho khoảng cách từ M đến (P) bằng 3

x 3 2t

Ta có pt đt d y 1 t Vì M d nên M 3 2t;1 t;5 2t

z 5 2t

3 2t 1 t 5 2t 1

1 1 1 Vậy M 13;6;15 , M 1; 0;3

= +

ì

ï

í

ï = +

ỵ

17) Trong không gian với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxyz cho mặt phẳng (P) : x – y + z + 3 = 0 và hai điểm A(-1;-3;-2) ; B(-5;7;12)

a) Tìm tọa độ điểm A’ là điểm đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (P)

b) Giả sử M là một điểm chạy trên mặt phẳng (P), tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : MA + MB

(Dự bị 2 – Đại học khối A – 2002)

Giải a) Tìm A’ – đối xứng với A qua (P)

Gọi d là đường thẳng qua A và vuông góc với mp (P) thì

pt đt d :

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mp (P) thì

H là

-

ì

ï

-

í

ï - + + =

ỵ

A A ' H

ì

ï

í

ỵ

b) Tìm min(MA + MB)

Thế tọa độ A, B vào pt mp (P) ta được 3, 3 Vậy AB nằm cùng phía với mp (P)

A' là đối xứng của A qua mp (P) nên MA MA '

=

uuuur

A ' B :

- + + =

ì

ï

ỵ

A

H

A’

M

B

P

18) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các điểm A(-1;2;3), B(0;3;1), C(2;2;-1) và D(4;-2;1)

Tìm MỴAB, NỴCD sao cho độ dài đoạn MN nhỏ nhất

Giải

x 2 t '

MN t ' t 3; 2t ' t; t ' 2t 4

MN min chỉ khi MN là đường vuông

= - +

ì

ï

ï = -

ỵ

ì

ï

ï = - +

ỵ

uuur

uuur

uuuur

góc chung của AB và CD vậy

7

N 1; 4; 2

3

ï

í

=

ï

= -

ì

uuuur uuur uuuur uuur

19) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxyz, cho đường

3x ky k 0

1 k x kz 0

+ - =

ì

¹

í

ï

ỵ Chứng minh rằng d luôn đi qua 1 điểm cố định và luôn nằm trong 1 mặt phẳng cố định

Giải a) CMR : d luôn đi qua 1 điểm cố định

b 1 0

k b 1 3a 0 3a kb k 0

a c 0

E 0;1; 0 là điểm cố định của đường thẳng d

- =

ì

+ - =

ì

ỵ

Þ

b) CMR : d luôn nằm trong 1 mp cố định

2 2

Gọi (P) là mặt phẳng cố định chứa đường d thì pt mp (P) dạng :

Đây là mp cố

định chứa đường d

20) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(2;3;-1), đường thẳng d : x 5 y z 25

-

Viết phương trình mặt phẳng (P) qua đường thẳng d sao cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) đạt giá trị lớn nhất

Giải

Kẻ AH (P), AE d, ta có : AH AE AH max AH AE H E

Vậy mp (P) cần tìm phải vuông góc với AE

Gọi ( ) là mp qua A và d thì pt ( ) dạng : x y z m 0

( ) qua A(2;3; 1) nên 2 3 1 m 0 m 6 pt ( ) : x y z

6 0

x 5 y z 25

E thỏa hệ 1 1 1 E 3; 8; 17

x y z 6 0

(P) AE nên AE 5; 11; 16 là VTPT của (P) pt (P) dạng : 5x 11y 16z n 0

(P) qua E 3; 8; 17 nên 15 88 272 n 0 n 375

pt mp (P) :5x 11y 16z 375

- =

ì

= =

ï

-

í

ï + - - =

ỵ

uuur

0

= 21) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho tọa độ các điểm B(1;1;0), D(0;0;m) Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên đường thẳng BD Tìm m để diện tích tam giác OBH đạt giá trị lớn nhất

Giải

o

2

2

S HO.HB Áp dụng BĐT Cauchy:a.b S

BO.BD

2 Vậy Smax khi HO HB BO, BD 45

2 BO BD

1 1

2

+

+

uuur uuur uuur uuur

22) Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz, cho các điểm A(2;0;0), B(0;3;0), C(0;0;3) Gọi

M, N lần lượt là trung điểm của OA và BC Gọi P, Q là 2 điểm trên OC, AB sao cho OP 2

OC= 3 Biết rằng MN

và PQ cắt nhau Hãy viết phương trình mặt phẳng (MNPQ) và tính tỉ số AQ

AB

Giải

3 3

Vì M, N lần lượt là trung điểm của OA, BC nên tọa độ lần lượt là M 1; 0; 0 , N 0; ;

2 2

3 3

2 2

è

uuur uuur

÷

ø

r uuur uuuur

O