Ngoài trau dồi phương pháp dạy học, người giáo viên phải trau dồi về kiến thức.. Ngoài kiến thức trong sách giáo khoa thì người giáo viên phải phát triển kiến thức của mình để bắt nhị
Trang 1SÁNG KIẾN GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT
I THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN:
1.Tên sáng kiến: Giải các bài toán về dãy số viết theo quy luật
2 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Chuyên môn
3 Tác giả:
Họ và tên: Hoàng Thị Thanh Hoa - Nữ
Ngày sinh 22 tháng 02 năm 1981
Trình độ chuyên môn: Cao đẳng Sư phạm Toán
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THCS Tân Lập – huyện Vũ Thư – tỉnh Thái Bình Điện thoại : 01275923999 Email: tmanhgiang @gmail.com
4 Đồng tác giả: Không
5 Chủ đầu tư: Không
6 Đơn vị áp dụng sáng kiến:
Tên đơn vị : Trường THCS Tân Lập
Địa chỉ : Thôn Bổng Điền Nam – xã Tân Lập – huyện Vũ Thư – tỉnh Thái Bình Điện thoại : 0363.825.165
8 Thời gian áp dụng sáng kiến lần đầu: Tháng 9 năm 2015.
Trang 2
BÁO CÁO MÔ TẢ SÁNG KIẾN 1.Tên sáng kiến: Giải các bài toán về dãy số viết theo quy luật
2 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Chuyên môn
3 Mô tả bản chất của sáng kiến
3.1 Tình trạng và giải pháp đã biết
Đối với những người làm công tác giáo dục trong nhà trường, đứng trước vận mệnh của đất nước trong tương lai đòi hỏi mỗi thầy cô giáo phải luôn cố gắng vươn lên bằng chính năng lực của mình và sự đổi mới không ngừng để bắt kịp với tình hình phát triển mới của giáo dục của đất nước góp phần thực hiện tốt nhiệm vụ giáo dục của mình trong sự nghiệp đổi mới giáo dục của đất nước Ngoài trau dồi phương pháp dạy học, người giáo viên phải trau dồi về kiến thức Ngoài kiến thức trong sách giáo khoa thì người giáo viên phải phát triển kiến thức của mình để bắt nhịp với cuộc sống hiện tại và có kiến thức giảng dạy cho các em học sinh
Là giáo viên dạy môn toán trong trường phổ thông, tôi ý thức được rằng Toán học là môn học tự nhiên, nó có vai trò vô cùng quan trọng trong sự phát triển tư duy của con người, nó là chìa khoá để con người khám phá ra các lĩnh vực khác như tin học, vật lý, hoá học, y học
Sau nhiều năm trực tiếp giảng dạy học sinh, tôi đã không ngừng học hỏi nâng cao tay nghề, học hỏi đồng nghiệp và những người có kinh nghiệm Tôi nhận thấy trong việc giảng dạy môn số học còn nhiều mảng kiến thức mà học sinh thêm hơn nữa như: Các bài toán chia hết, các bài toán về cấu tạo số, so sánh phân số, đặc biệt là bài toán tính giá trị của “Dãy số viết theo quy luật” Đây là dạng bài toán tương đối khó đối với học sinh lớp 6 Học sinh khó hiểu khi đứng trước dạng bài toán này, học sinh còn lúng túng, chưa định ra phương pháp giải bài tập (chưa tìm ra quy luật của dãy số) Trong khi đó dạng toán này trong sách giáo khoa lớp 6 chỉ đưa ra một vài bài toán dạng sao (*), không đưa ra phương
Trang 3pháp giải cụ thể, bắt buộc học sinh tự vận dụng kiến thức của mình Dạng toán
“Dãy số viết theo quy luật” là dạng toán tương đối khó đối với học sinh lớp 6, tổng hợp nhiều kiến thức, đối với học sinh phải phân tích, phán xét, nhận dạng nhanh bài toán để đưa ra quy luật của dãy số Trong thực tế giảng dạy tôi thấy một số giáo viên trong quá trình dạy chưa đảm bảo tính logic, chưa phân dạng, loại trong mỗi mạch kiến thức, trong phương pháp giải các bài toán nâng cao chưa hợp lí có những phương pháp giải chưa phù hợp với đặc điểm tâm lí và khr năng tiếp thu của học sinh Giáo viên còn dạy theo kiểu áp đặt, truyền thụ một chiều Các em học sinh còn làm dạng toán này một cách mò mẫm, máy móc, theo kiểu áp dụng bài mẫu Gặp bài toán nào quen dạng thì biết cách làm còn gặp dạng khác là không tìm ra quy luật Mặt khác các em lại vừa từ tiểu học chuyển lên vẫn quen với cách học thụ động tiếp thu kiến thức mà không biết vận dụng linh hoạt trong các bài toán Vì vậy tôi mạnh dạn đưa ra một số cách giải các bài toán theo quy luật từ bài toán cụ thể tìm ra công thức tổng quát và vận dụng công thức giải các bài toán có liên quan ở mỗi cấp độ khác nhau
3.2 Nội dung giải pháp đề nghị công nhận là sáng kiến
a- Mục đích của giải pháp:
Mục đích chính của đề tài này là hướng dẫn cho học sinh biết phương pháp giải các bài toán viết theo quy luật đồng thời còn cho học sinh phương pháp phân tích bài toán một cách nhanh chóng đọc ra được quy luật của dãy số nhanh nhất, hợp lý nhất
b-Nội dung giải pháp:
1 Khai thác đề bài, cách tìm lời giải bài toán dẫn đến việc nắm được quy luật của dãy số
2 Từ việc khai thác trên nêu ra được phương pháp giải một bài toán cụ thể
3 Đưa ra bài toán tổng quát
4 Nêu ứng dụng của phương pháp
Ta sẽ bắt đầu giải và khai thác từ một bài toán sau đây
Trang 4BÀI TOÁN: Thu gọn biểu thức
A = 20 + 21 + 22 + 23 + + 22015 + 22016
Ta tính như sau:
_ 2A = 21 + 22 + 23 + + 22016 + 22017
A = 20 + 21 + 22 + 23 + + 22015 + 22016
A= 22017 - 1
Từ bài toán trên ta đặt câu hỏi:
Còn cách nào giải khác? Từ bài toán trên ta có thể liên hệ tới bài toán nào?
Nếu ta coi cách trên là Cách 1
Cách 2 :
A = 20 + 21 + 22 + 23 + + 22015 + 22016
A = 1 + 2.( 20 + 21 + 22 + 23 + + 22015 + 22016 - 22016 )
A = 1 + 2(A- 22016) = 1 + 2A - 22017
A= 22017 - 1
Từ đó ta hãy thu gọn A1:
A1= 20 - 21 + 22 - 23 + 24 - - 22015 + 22016
Cách 1:
A1= 20 - 21 + 22 - 23 + 24 - - 22015 + 22016
2A1= 21 - 22 + 23 - 24 + - 22016 + 22017
A1= 20 - 21 + 22 - 23 + 24 - - 22015 + 22016
2A1 + A1 = 3A1= 1 + 22017
A1 =
2017
1 2 3
Cách 2 : Áp dụng tính chất phân phối
+
Trang 5A1= 20 - 21 + 22 - 23 + 24 - - 22015 + 22016
A1= 1 - 2 (20 - 21 + 22 - 23 + 24 + 22014 - 22015 + 22016 - 22016)
A1= 1 - 2 (A1- 22016) = 1- 2A1 + 22017
3A1= 1 +22017
A1 =
2017
1 2 3
Trong biểu thức trên các số ở mũ là các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 2017
Nếu ta thay bởi các số tự nhiên cách đều thì ta có bài toán sau
Thu gọn biểu thức
A3 = 20 + 22 + 24 + 26 + + 22016 + 22018
A4 = 20 - 25 + 210 - 215 + 220 - + 22020
Thu gọn A3:
A3 = 20 + 22 + 24 + 26 + + 22016 + 22018
A3 = 1 + 22(20 + 22 + 24 + 26 + + 22014 + 22016 + 22018 - 22018)
A3 = 1 + 22(A3 - 22018) = 1+22A3 - 22020
(22 - 1) A3 = 22020 - 1 => A3 = 220202 1 22020 1
Thu gọn A4:
A4 = 20 - 25 + 210 - 215 + 220 - + 22020
25A4 = 25 - 210 + 215 - 220 + - 22020 + 22025
25A4 + A4 = 1+ 22025
A4 = 1 220255 1 22025
Không chỉ dừng lại ở số mũ 2020 mà ta có thể thực hiện được khi số mũ là n
(n N )Số mũ không chỉ cách đều 2 và 5 đơn vị mà có thể cách đều k đơn vị
(k N )
Ví dụ: Thu gọn
Trang 6A5= 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 2n - 1 +2n
A6= 2x1 + 2x2+ 2x3+ +2x n 1 + 2x n
(x2 - x1 = x3 - x2 = x4 - x3 = = xn - xn-1 = k; x1, x2, x3, x4, xn-1, xn,
(k N )
Thu gọn A5
2A5 = 21 + 22 + 23 + 24 + 2n-1 + 2n + 2n+1
2A5 - A5 =2n+1 - 20
A5= 2n+1- 1 Thu gọn A6: A6= 2x1 + 2x2+ 2x3+ +2x n 1 + 2x n
2kA6 = 2x 1 k + 2x 2 k + 2x 3 k + + 2x n1k + 2x nk
2kA6 = 2x2 + 2x3 + + 2x n + 2x n 1 = 2x1 + 2x2 + 2x3+ +2x n + 2xx n 1 - 2x1
2kA6 = 2xx n 1 - 2x1
2kA6 =
1 2
2
k
x
x n
Nếu ta thay các số tự nhiên ở mũ bởi các số nguyên âm ta có bài toán sau:
Thu gọn:
A7=20 + 2-1+ 2-2+ 2-3+ + 2-n (n N )
Cách1: Nhân hai vế của A7 với 2 -1
2-1 A7 = 2-1+2-2+2-3+ + 2-n +2-n-1
2-1 A7 = 20 +2-1+2-2+2-3+ +2-n +2-n-1 - 20
2-1 A7 = A7 +2-n-1 - 20
A7= 0 1 1
2
2 2
= 2 1 1
2
n n
Cách 2: Nhân hai vế của A7 với 2
2A7 = 21 +20 + 2-1+2-2+2-3+ +2-n-1
2A7 = 21 +(20 + 2-1+2-2+2-3+ +2-n-1+2-n - 2-n)
Trang 72A7 = 21+ A7- 2-n ; A7 = n n
2
1
Cách 3: Nhân hai vế của A7 với 2 n ta có:
2n A7 = 2o+21 +22 +23 +24 +2n 1+2n = A5; A7 = n n
2
1
Cách 4:
A7= 20 +2-1+2-2+2-3+ +2-n (n N )
A7= 1+
2
1
+ 2
2
1
+ 3
2
1
+ + n
2 1
A7= 1+12 (1+ 21 +2 2
1
+2 3
1
+ +2n
1
- 2n
1
)
A7= 1+12 ( A7- 2n
1
) = 1+21 A7 - 2 1
1
n
A7 = n n
2
1
Cách 5: Nhân hai vế của A7 với 21
2
1
A7= 12 +2 2
1
+2 3
1
+ +2n
1
+2 1
1
n
A7- 12 A7 = (1+12 +2 2
1
+2 3
1
+ +2n
1
) - (12 +2 2
1
+2 3
1
+ +2n
1
+
1
2
1
n
A7- 12 A7 = 1- 2 1
1
n
A7 = n n
2
1
Cách 6: Ta chứng minh n
a
1
= 11
a 1n1
a
1
Với a = 2 ta có:
A7 = 1+ 1- 21 + 21 - 2
2
1
+ 2
2
1
- 3
2
1
+ 3
2
1
- 4
2
1
+ 1
2
1
n - n
2
1
A7 = n n
2
1
Các bài toán trên ta sẽ thay thế các số mũ
* Nếu ta tiếp tục thay thế cơ số 2 bởi cơ số khác thì sẽ được các bài toán sau: Thu gọn:
Trang 8A8 = 30 + 31 +32 +33 +34 +3n 1+3n
A9 = 70 + 71 +72 +73 +74 +7n 1+7n
A10 = 101 +102 +103 +104 +10n 1+10n (n N )
Aa = ax1 + ax2+ ax3 + + ax n 1 + ax n
(x2 - x1 = x3 - x2 = x4- x3 = = xn - xn-1 = k; x1, x2, x3, x4, xn-1, xn,
(k Z a N ; )
Ta thu gọn
A9 = 70 + 71 +72 +73 +74 +7n 1+7n
7A9 = 71 +72 +73 +74 +7n 1+7n + 7n 1
7A9- A9 = (71 +72 +73 +74 +7n 1+7n + 7n 1) - (70 + 71 +72 +73 +74 +7
1
n +7n)
6 A9 = 7n1- 1; A9 =
6
1
7n 1
Ta thu gọn A10:
10 A10 = 102 +103 + 104+105 +10n 1+10n + 10n 1
10 A10 - 10 A10 = (102 +103 + 104 + 10n 1+10n + 10n 1) - (101 +102 +103
+104 +10n 1+10n)
9 A10 = 10n 1 - 101; A10 =
9
10
10n 1
Ta thu gọn
Aa = ax1 + ax2+ ax3 + + ax n 1 + ax n
(x2 - x1 = x3 - x2 = x4- x3 = = xn - xn-1 = k; x1, x2, x3, x4, xn-1, xn,
(k Z a N ; ))
Nhân hai vế với a k ta có::
ak Aa = ax 1 k+ ax 2 k + ax 3 k+ + ax n1k +ax nk
ak Aa = ax2 + ax3 + + ax n 1 + ax n + ax n 1
ak Aa - Aa = (ax2+ ax3 + + ax n 1 + ax n + ax n 1)-( ax2 + ax3 + + ax n 1 + a
n
x )
(ak - 1)Aa = ax n 1 - ax1
Aa =
1
1 1
k
x x a a
a n
Trang 9Từ các bài toán trên ta nhận thấy:
Với ((x2 - x1 = x3 - x2 = x4- x3 = = xn - xn-1 = k; x1, x2, x3, x4, xn-1, xn,
(k Z a N ; )) ta luôn có:
Aa = ax1 + ax2+ ax3 + + ax n 1 + ax n =
1
1 1
k
x x a
a
a n
Ta tiếp tục thu gọn các dãy sau
B = 9 +99 + 999 + 9999 + + 999 99 (n c/s 9 - n ch÷ sè 9; n N )
B = ( 101 - 1) + (102 - 1)+(103 - 1)+ (104 - 1) + (10n 1 - 1)
B = 101 +102 +103 +104 +10n 1+10n - ( 1 + 1 + 1 + + 1)
( n số1)
B = A10 - n (A10 =
9
10
n
)
B =
9
10
10n1 - n
B =
9
10 9
10n 1 n
Thu gọn B1
B1= 1+11+111+1111+ +111 1
n chữ số 1 9B1 = B
9
10 9
10n 1 n
B1 = 91
9
10 9
10n 1 n
Thu gọn B7: Tương tự như thu gọn dãy B ở trên ta có
B7 = 7+77+777+7777+ +777 7
n chữ số 7
7
9
B7 = B =
9
10 9
10n 1 n
B7 = 97
9
10 9
10n 1 n
Từ đó ta thu gọn được dãy sau
Ba = a + aa + aaa + aaaa + + aaa a (a N ; 1 < a < 9)
a
9
Ba = 9 + 99 + 999 + 9999 + + 999 9
n ch÷ sè 9
Trang 109
Ba = B =
9
10 9
n
n
Ba = 9a
9
10 9
n
n
( a N ; 1 < a < 9)
Với các bài toán trên, tôi tin tưởng rằng nếu học sinh được hướng dẫn và tiếp cận đầy đủ thì việc thu gọn dãy Aa và những bài toán liên quan đến dãy Aa trở nên đơn giản hơn nhiều
Với cách tìm ra quy luật như trên thì việc giải các bài toán thi HSG các năm, học sinh sẽ thực hiện được một cách dễ dàng Ví dụ tính tổng của bài toán sau:
Bài toán : a/ Tính tổng
2
1
+
4
1
+
8
1
+
16
1
1
+ +
8192
1
+
16384 1
Đặt A = 21 + 14 +81+161 + 32
1
+ + 81921 +163841
A = 12 + 2 2
1
+2 3
1
+2 4
1
+2 5
1
+ +2 13
1
+2 14 1
Cách 1: Nhân hai vế của A với 2 rồi tính 2A- A
2A = 1+12 + 2
2
1
+ 3
2
1
+ 4
2
1
+ 5
2
1
+ + 13
2 1
2A - A = (1+
2
1
+ 2
2
1
+ 3
2
1
+ 4
2
1
+ 5
2
1
+ + 13
2
1
) - (
2
1
+ 2
2
1
+ 3
2
1
+ 4
2
1
+ 5
2 1
+ + 13
2
1
+ 14
2
1
)
A = 1 - 2 14
1
; A = 1414
2
1
2
= 16384 1
16384
Cách 2 : Nhân hai vế của A với 21 rồi lấy A- 21 A
2
1
A = 2 2
1
+2 3
1
+2 4
1
+2 5
1
+ +2 13
1
+2 14
1
+2 15 1
A - 12 A = ( 21 + 2 2
1
+2 3
1
+2 4
1
+2 5
1
+ +2 13
1
+2 14
1
) - (2 2
1
+
3 2
1
+ 4
2
1
+ 5
2
1
+ + 13
2
1
+ 14
2
1
+ 15
2
1
)
2
1
A = 12 - 2 15
1
= 1415
2 1
2
Trang 11A = 1414
2
1
2 = 16384 1
16384
Cách 3: Nhân hai vế với214 ta có
214A = 20 + 21 + 22 + 23 + 24+ +213
Ta tính: A1 = 20 + 21 + 22 + 23 + 24+ +213
A1 = 1+2(20 + 21 + 22 + 23 + 24+ +212+213- 213)
A1= 1+2(A1- 213)
A1= 214 - 1
214A = A1= 214 - 1
A = 1414
2
1
2 = 16384 1
16384
Cách 4: Áp dụng tính chất phân phối cho các số từ 2 2
1
đến 2 14
1
A= 21 +21 (21 + 2
2
1
+ 3
2
1
+ 4
2
1
+ 5
2
1
+ + 13
2
1
+ 14
2
1
- 14
2
1
)
A = 12 +21 (A-2 14
1
)
2
1
A = 12 - 15
2
1
= 1415
2
1
2 ; A = 1414
2
1
2 = 16384 1
16384
Cách 5 : Ta chứng minh được: a n
1
= 11
n n
a a
Với a = 2 ta có: A = 1 -12 + 21 - 2 2
1
+ 2 2
1
-2 3
1
+ 2 3
1
-2 4
1
+ + 2 13
1
-2 14 1
A= 1- 14
2 1
A = 1414
2
1
2
= 16384 1
16384
CÁC BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Trang 121, B = 2+ 6 +10 + 14 + + 202
2, a, A = 1+2 +22 +23 + + 26.2 + 2 6 3
b, S = 5 + 52 + 53 + + 5 99 + 5100
c, C = 7 + 10 + 13 + + 76
3, D = 49 +64 + 81+ + 169
4, S = 1.4 + 2 5 + 3.6 + 4.7 + + n( n +3 ) , n = 1,2,3 ,
5, S =
100 99
1
4 3
1 3 2
1 2
.
1
1
6, S =
61 59
4
9 7
4 7
.
5
4
7, A =
66 61
5
26 21
5 21 16
5 16
.
11
5
8, M = 0 1 2 3 2005
1
3
1 3
1 3
1
4 3 2
1
3
.
2
.
1
1
n n n
10, Sn =
100 99 98
2
4 3 2
2 3
2
.
1
2
11, Sn = ( 1)( 1 2)( 3)
5 4 3 2
1 4 3
2
.
1
1
n n n n
12, M = 9 + 99 + 999 + + 99 9
50 chữ số 9
13, Cho: S1 = 1+2 S3 = 6+7+8+9
S2 = 3+4+5 S4 = 10 +11 +12 +13 + 14 Tính S100 =?
Trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi , tôi đã kết hợp các dạng toán có liên quan đến dạng tính tổng để rèn luyện cho các em , chẳng hạn dạng toán tìm x :
14, a, (x+1) + (x+2) + (x+3) + + ( x+100 ) = 5070
b, 1 + 2 + 3 + 4 + + x = 820
c, 1 + 119911989
) 1 (
2
10
1 6
1 3
1
x x
Hay các bài toán chứng minh sự chia hết liên quan
15, Chứng minh : a, A = 4+ 22 +23 +24 + + 220 là luỹ thừa của 2
b, B =2 + 22 + 2 3 + + 2 60
3 ; 7; 15
Trang 13c, C = 3 + 33 +35 + + 31991
13 ; 41
d, D = 119 + 118 +117 + + 11 +1 5
16, Tính
a)
2009 2006
3
14 11
3 11 8
3 8
.
5
3
A
b)
406 402
1
18 14
1 14 10
1 10
.
6
1
B
c)
507 502
10
22 17
10 17 12
10 12
.
7
10
C
d)
258 253
4
23 18
4 18 13
4 13
.
8
4
D
17, Tính:
a)
509 252
1
19 7
1 7 9
1 9
.
2
1
A
b)
405 802
1
17 26
1 13 18
1 9
.
10
1
B
c)
405 401
3 304
301
2
13 9
3 10 7
2 9 5
3 7
.
4
2
C
18, Tìm số tự nhiên x, thoả mãn:
a)
8
5 120
1
21
1 15
1 10
1
x
b)
45
29 45 41
4
17 13
4 13 9
4 9
.
5
4
7
x
c) (2 1)(12 3) 1593
9 7
1 7
.
5
1
5
.
3
1
x x
19, Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n khác 0 ta đều có:
a) (3 1)(13 2) 6 4
11 8
1 8 5
1 5
.
2
1
n
n n
n
b) (4 1)(54 3) 45 3
15 11
5 11 7
5 7
.
3
5
n
n n
n
20, Chứng minh rằng với mọi nN; n 2 ta có:
15
1 ) 4 5 )(
1 5 (
3
24 19
3 19 14
3 14 9
3
n n
21, Cho
403 399
4
23 19
4 19 15
4
80
16 81
16
A
25 18
2
; 18 11
2
; 11 4 2
a) Tìm số hạng tổng quát của dãy
b) Gọi S là tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy Tính S
9
1
4
1 3
1 2
1
9
8 5
2
A