Phương pháp chỉnh hóa tikhonov cho bài toán ngược tuyến tính

Luận văn tố t nghiê ̣p SVTH: Huỳnh Thi ̣Ngọc Hân ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Đề tài: PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA TRONG ĐẠI SỐ Sinh viên thực hiện: Huỳnh Thị Ngọc Hân Lớp: 09 CTT2 Giáo viên hướng dẫn: TS Phạm Qúi Mười Đà Nẵng, tháng 5/2013 Trang Luận văn tố t nghiê ̣p SVTH: Huỳnh Thi Ngoc Hõn BANG KY HIấU Ô : Trng cac sụ hữu tỉ ¡ : Trường các số thực £ : Trường các số phức PK P K*  , x , y  j j j : Chuẩ n của toán tử K : Toán tử liên hơ ̣p của K : Hê ̣ kỳ di ̣của K N ( K ) : x  X | Kx  0 ( K ): Kx | x  X    y Y | x : Kx  y L( X , X ) : Không gian của tấ t cả các ánh xa ̣ tuyế n tính bi ̣chă ̣n từ X vào X với chuẩ n toán tử là mô ̣t không gian đinh ̣ chuẩ n Trang Luận văn tố t nghiê ̣p SVTH: Huỳnh Thi ̣Ngọc Hân LỜI CẢM ƠN Bản luận văn hoàn thành hướng dẫn trực tiếp TS Pha ̣m Quý Mười Trong trình làm luận văn, tác giả nhận quan tâm giúp đỡ nhiệt tình thầy Tác giả xin bày tỏ kính trọng lịng biết ơn sâu sắc người thầy kính u Trong trình học tập rèn luyện q trình nghiên cứu l ̣n văn, hồn thành luận văn báo cáo buổ i seminar về : + Bài toán ngươ ̣c và bài toán đă ̣t không chỉnh + Phương pháp chỉnh hóa Tikhonov cho bài toán ngươ ̣c tuyế n tiń h Tác giả xin gửi tới thầy-cô giáo, thành viên - anh chị seminar lời cảm ơn chân thành ý kiến đóng góp quý báu, giúp đỡ tận tình cỗ vũ to lớn suốt thời gian qua Tác giả xin gửi tới lãnh đạo Khoa Toán, trường đa ̣i ho ̣c Sư pha ̣m, đa ̣i ho ̣c Đà Nẵng lời cảm ơn sâu sắc công lao dạy dỗ, tạo điều kiện thuận lợi suốt thời gian ho ̣c tâ ̣p và rèn luyê ̣n Xin cảm ơn tất người quan tâm giúp đỡ, tạo điều kiện động viên cỗ vũ tác giả để tác giả hồn thành tốt nhiệm vụ Đà Nẵng, ngày 20 tháng 05 năm 2013 Tác giả Huỳnh Thi Ngo ̣ ̣c Hân Trang Luận văn tố t nghiê ̣p SVTH: Huỳnh Thi ̣Ngọc Hân MỞ ĐẦU Bài toán ngươ ̣c tuyế n tính là bài toán có da ̣ng sau : Giải phương triǹ h Ax  y với A là toán tử tuyế n tiń h, y không biế t chính xác mà chỉ biế t  mô ̣t xấ p xỉ y cho: P y  y P   Mô ̣t khó khăn cầ n lưu ý giải phương trin ̣ không tồ n ta ̣i A1 hoă ̣c tồ n ta ̣i A1 ̀ h này là nghiê ̣m không ổ n đinh,  1  không liên tu ̣c Ta có x  A y , P x  x P  Mă ̣c dù dữ liêụ sai khác rấ t bé giải nghiê ̣m thì sai khác rấ t lớn Bài toán hế t sức quan tro ̣ng, đã và thu hút sự nghiên cứu của các nhà toán học thế giới Trong khoảng hai mươi năm nay, bài toán đươ ̣c nghiên cứu nhiề u bởi các nhà toán ho ̣c và ho ̣ đã đa ̣t đươ ̣c các kế t quả quan tro ̣ng Tuy nhiên, ở nước ta, bài toán này rấ t it́ đươ ̣c nghiên cứu dưới góc đô ̣ toán ho ̣c Với những lý cho ̣n đề tài "Phương pháp chin̉ h hóa Tikhonov cho bài toán ngươ ̣c tuyế n tiń h" làm luâ ̣n văn tố t nghiêp̣ cuố i khóa cho mình Luâ ̣n văn nghiên cứu về phương pháp chỉnh hóa Tikhonov để giải các bài toán ngươ ̣c tuyế n tin ́ h Ngoài phầ n mở đầ u và kế t luâ ̣n, luâ ̣n văn bao gồ m chương: Chương 1: Nêu khái niê ̣m bài toán đă ̣t chỉnh và đă ̣t không chỉnh Phát biể u bài toán thuâ ̣n và bài toán ngươ ̣c Đưa mô ̣t số ví du ̣ về bài toán ngươ ̣c Chương 2: Trình bày mô ̣t cách tổ ng quan về phương pháp chỉnh hóa Phát biể u đinh ̣ nghiã toán tử chỉnh hóa, phương pháp chỉnh hóa Nêu lên các đinh ̣ lý và tính chấ t liên quan đế n phương pháp chỉnh hóa Chương 3: Trình bày nội dung phương pháp chỉnh hóa Tikhonov cho bài toán ngươ ̣c tuyế n tính Phát biểu chứng minh điều kiện để áp dụng phương pháp Tikhonov vào giải toán ngược tuyế n tính Cuối Trang Luận văn tố t nghiê ̣p SVTH: Huỳnh Thi ̣Ngọc Hân cùng,tôi đưa kết giải số áp dụng phương pháp vào số toán ngươ ̣c tuyế n tính cụ thể Đà Nẵng, ngày 20 tháng 05 năm 2013 Tác giả Huỳnh Thi ̣Ngo ̣c Hân Trang Luận văn tố t nghiê ̣p SVTH: Huỳnh Thi ̣Ngọc Hân Chương BÀ I TOÁN NGƯỢC VÀ BÀ I TOÁN ĐẶT KHÔNG CHỈNH Trong chương này là phát biể u các khái niê ̣m về bài toán đă ̣t không chin̉ h và bài toán ngươ ̣c, bài toán đă ̣t chỉnh và bài toán thuâ ̣n Đồ ng thời chúng cũng đưa những ví du ̣ cu ̣ thể về bài toán đă ̣t không chin̉ h để mo ̣i người hiể u rõ 1.1 Một số kiế n thức về giải tích hàm Trước trình bày về bài toán đă ̣t không chỉnh, ở nhắ c la ̣i mô ̣t số kiế n thức về giải tích hàm có liên quan đế n nô ̣i dung nghiên cứu đề tài  Chuẩ n Cho X là mô ̣t không gian vec tơ trường K  ¡ Mô ̣t chuẩ n X là ánh xa ̣ P P: X  ¡ với các tính chấ t sau: (i) Px P 0, x  X với x  0, (ii) P x P|  |Px P, x  X và   K , (iii) Px  y P Px P P y P, x, y  X Trang Luận văn tố t nghiê ̣p SVTH: Huỳnh Thi ̣Ngọc Hân Mô ̣t không gian vec tơ X K với chuẩ n P P đươ ̣c go ̣i là không gian đinh ̣ chuẩ n K  Tích vô hướng, không gian tiền Hilbert Cho X là không gian vec tơ trường K  ¡ Mô ̣t tích vô hướng hoă ̣c tích là mô ̣t ánh xa ̣ : , : X  X  K với các tin ́ h chấ t sau: (i) x  y, z  x, z  y, z , x, y, z X , (ii)  x, y   x, y ,  x, y  X ,   K , (iii) x, y  y, x ,  x, y  X , (iv) x, x ¡ và x, x  0, x  X , (v) x, x  nế u x  Mô ̣t không gian vec tơ X K với tích , đươ ̣c go ̣i là mô ̣t không gian tiề n Hilbert K Các tính chấ t dưới là dẫn xuấ t từ đinh ̣ nghiã trên: (vi) x, y  z  x, y  x, z , x, y, z  X , (vii) x, y   x, y , x, y  X ,  K Trang Luận văn tố t nghiê ̣p SVTH: Huỳnh Thi ̣Ngọc Hân  Chuẩ n của toán tử Toán tử tuyế n tin ́ h A đươ ̣c go ̣i là bi ̣chă ̣n nế u tồ n ta ̣i c  cho P Ax P c Px P, x  X Khi đó chuẩ n của toán tử A đươ ̣c đinh ̣ nghiã sau: P Ax P: sup x 0 P Ax P Px P  Không gian Hilbert Cho X là mô ̣t không gian tuyế n tính ¡ Mô ̣t tích vô hướng X là mô ̣t ánh xa ̣ , :X  X  ¡ thỏa mañ các điề u kiêṇ sau: x, x  0, x  0, x, x   x  0, x, y  y, x , x, y  X ,  x, y   x, y , x, y  X ,  ¡ , x  y, z  x, z  y, z , x, y, z  X Không gian tuyế n tính X cùng với tích vô hướng nêu là không gian tiề n Hilbert Không gian tiề n Hilbert đầ y đủ là không gian Hilbert  Toán tử liên hợp Cho A : X  Y là toán tử tuyế n tiń h, bi ̣ chă ̣n không gian Hilbert Khi đó tồ n ta ̣i mô ̣t và chỉ mô ̣t toán tử tuyế n tính, bi ̣ chă ̣n * A* : Y  X với tiń h chấ t: ( Ax, y)  ( x, A y), x  X , y Y Trang Luận văn tố t nghiê ̣p SVTH: Huỳnh Thi ̣Ngọc Hân Toán tử A* : Y  X đươ ̣c go ̣i là toán tử liên hơ ̣p của A với X  Y , toán tử A đươ ̣c go ̣i là phép liên hơ ̣p nế u A*  A  Hê ̣ kỳ di ̣ Đinh ̣ nghiã 1.1.1 Cho X và Y là không gian Hilbert và K : X  Y là mô ̣t toán tử tuyế n tính compact với toán tử liên hơ ̣p K* : Y  X Khi đó bâ ̣c hai  j   j , j  J , giá tri ̣ riêng  j của toán tử tự liên hơ ̣p K*K : X  X đươ ̣c go ̣i là giá tri ̣kỳ di cu ̣ ̉aK Đinh lý 1.1.1 Cho K : X  Y là toán tử tuyế n tính compact, ̣ K* : Y  X là toán tử liên hơ ̣p, và 1  2  3   là daỹ đươ ̣c sắ p của giá tri ̣kỳ di ̣dương của K Khi đó tồ n ta ̣i ̣ trực chuẩ n ( x j )  X và ( y j )  Y với tính chấ t sau: Kx j   j y j và K * y j   j x j , j  J Hê (̣  j , x j , y j ) đươ ̣c go ̣i là ̣ kỳ di cu ̣ ̉ a K Với mỗi x  X có mô ̣t giá tri ̣ phân hoa ̣ch x  x0  ( x, x j ) x j , jJ với x0  N và Kx    j ( x, x j ) y j jJ 1.2 Bài toán đă ̣t không chỉnh Trang Luận văn tố t nghiê ̣p SVTH: Huỳnh Thi ̣Ngọc Hân Khái niê ̣m bài toán đă ̣t không chỉnh đươ ̣c trình bày dựa sở xét mô ̣t bài toán tiên nghiê ̣m của phương trình: Kx  y (1.1) Ở K : X  Y là mô ̣t toán tử từ không gian Banach X vào không gian Banach Y , y là phầ n tử thuô ̣c Y Sau là đinh ̣ nghiã của Hadamard Đinh ̣ nghiã 1.2.1 Cho X và Y là không gian đinh ̣ chuẩ n, K : X  Y là mô ̣t toán tử Bài toán (1.1) đươ ̣c go ̣i là bài toán đă ̣t chin̉ h ( well-posed ) nế u nó thỏa mañ các điề u kiêṇ sau: Sự tồ n tại:  y  Y ,  x  X cho Kx  y Tính nhấ t:  y  Y có nhiề u nhấ t mô ̣t x  X cho Kx  y Tính ổ n ̣nh: x phu ̣ thuô ̣c liên tu ̣c vào y , tức là với mo ̣i daỹ ( xn )  X , Kxn  Kx (n  ) thì xn  x (n ) Bài toán không thỏa mañ mô ̣t ba điề u kiêṇ đươ ̣c go ̣i bài toán đă ̣t không chỉnh ( ill-posed ) Trong toán ho ̣c, sự tồ n ta ̣i mô ̣t nghiê ̣m có thể có đươ ̣c bằ ng cách mở rô ̣ng hoă ̣c thu hep̣ không gian nghiêm ̣ Yêu cầ u về sự ổ n đinh ̣ quan tro ̣ng nhấ t Nế u mô ̣t bài toán thiế u tính ổ n đinh ̣ thì nghiê ̣m của nó sẽ không đươ ̣c tin ́ h toán mô ̣t cách chính xác, vì vâ ̣y ta có định nghiã sau Đinh ̣ nghiã 1.2.2 Cho K là mô ̣t toán tử tuyế n tính từ không gian X vào không gian Y Bài toán (1.1) đươ ̣c go ̣i là đă ̣t không chỉnh nế u Trang 10 Luận văn tố t nghiê ̣p SVTH: Huỳnh Thi ̣Ngọc Hân  2t Re  K * (Kxˆ  y), z   t PKz P2 Phép chia bởi t 0 và t 0 khởi điể m Re  K * (Kxˆ  y), z   , z  X ; rằ ng K * ( Kxˆ  y)  và xˆ là nghiê ̣m của phương trình chuẩ n tắ c Như ̣ quả của bổ đề , chúng ta cầ n tìm hu ̣t nghiê ̣m hoă ̣c thay thế * * phương trin ̀ h loa ̣i I K Kxˆ  K y với mô ̣t phương triǹ h loai II Tấ t cả những điề u này dẫn đế n vấ n đề : Cho mô ̣t toán tử tuyế n tính, bi ̣chă ̣n: K : X  Y và y Y , ta đinh ̣ nghiã x  X là cực tiể u của phiế m hàm Tikhonov J ( x) :P Kx  y P2  P x P2 , x  X Chúng ta nghiên cứu đinh ̣ lý dưới Đinh ̣ lý 3.1.1 Cho K : X  Y là mô ̣t toán tử tuyế n tiń h và bi ̣chă ̣n giữa không gian Hilbert và   Khi đó hàm Tikhonov J có mô ̣t cực tiể u x  X Cực tiể u x là mô ̣t nghiê ̣m của phương trình chuẩ n tắ c:  x  K *Kx  K * y (3.1) Chứng minh Cho ( xn )  X là mô ̣t daỹ cực tiể u hóa, J ( xn )  I : inf xX J ( x) n tiế n đế n vô cùng Ta thấ y rằ ng ( xn ) là mô ̣t daỹ Cauchy Áp du ̣ng công thức nhi thư ̣ ́ c ta có: Trang 29 Luận văn tố t nghiê ̣p SVTH: Huỳnh Thi ̣Ngọc Hân  1  J ( xn )  J ( xm )  J  ( xn  xm )   P K ( xn  xm ) P2  P xn  xm P2 2   2I  P xn  xm P2 Mă ̣t khác J ( xn )  J ( xm ) hô ̣i tu ̣ đế n 2I n, m tiế n đế n vô  cùng Ta thấ y ( xn ) là mô ̣t daỹ Cauchy và hô ̣i tu ̣ Cho x  limn xn ,  chú ý x  X Từ sự liên tu ̣c của J , ta kế t luâ ̣n: J ( xn )  J ( x ) , đó  là J ( x )  I Điề u này cho ta sự tồ n ta ̣i của J Bây giờ ta sử du ̣ng công thức dưới đây: J ( x)  J ( x )  2Re  Kx  y, K ( x  x )   2 Re  x , x  x   P K ( x  x ) P2  P x  x P2  2Re  K * ( Kx  y)   x , x  x   P K ( x  x ) P2  P x  x P2 , x  X Từ đây, điề u tương đương của phương trình chuẩ n tắ c với vấ n đề cực tiể u cho J là mô ̣t chứng tỏ khớp chứng minh Bổ đề 3.1.1 Cuố i cùng, ta chứng tỏ rằ ng  I  K*K là ánh xa ̣ 1-1 với mo ̣i   Lấ y  x  K*Kx  Phép nhân bởi x cho ta  ( x, x)  (Kx, Kx)  , dẫn  đế n x  Giải nghiê ̣m x của (3.1), ta có thể viế t la ̣i x  R y với: R :  I  K *K  K * : Y  X 1   (3.2) Go ̣i  j , x j , y j là ̣ kỳ di ̣cho toán tử compact K , ta đươ ̣c khai triể n của R y sau: Trang 30 Luận văn tố t nghiê ̣p SVTH: Huỳnh Thi ̣Ngọc Hân  q( ,  ) j j y , y x  y, y x j , y Y ,  j j j 1    j j 1   R y   j   j  (3.3)  với q  ,      2 3.2 Tính đă ̣t chin ̉ h Đinh ̣ lý 3.2.1 Cho K : X  Y là mô ̣t toán tử compact, R đươ ̣c đinh ̣ nghiã theo (3.2) với   Khi đó R xác đinh ̣ mô ̣t lươ ̣c đồ chính quy hóa Chứng minh Ta có: R :  I  K *K  K * : Y  X ,  1 Từ (3.3) ta đươ ̣c:  R Kx   q( ,  j ) j 1 j     Kx, y  x , x  X j j  * Mà: Kx, y j x j  x, K y j   Theo cách cho ̣n ̣ kỳ di ̣  j , x j , y j cho toán tử compact K , ta đươ ̣c: Trang 31 Luận văn tố t nghiê ̣p SVTH: Huỳnh Thi ̣Ngọc Hân  R Kx   j 1 q( ,  j ) j    Kx, y j x j   q( ,  j ) j 1 j  x, K y  * j  2j  q( ,  )    2 j j  x,  j x   x,  j x j j j 1 j 1  j   j   2j    2   2j j   j x, x   x, x , x  X j j 1 j 1    j     j j  2j Khi   thì  x, x  x , x  X j 1    j   j  Hay R Kx  x , x  X Vâ ̣y R Kx có tiń h đă ̣t chin̉ h Suy điề u phải chứng minh 3.3 Tốc đô ̣ hô ̣i tu ̣ Đinh ̣ lý 3.3.1.Cho K : X  Y là toán tử tuyế n tính, compact và   (a) Toán tử  I  K*K là nghich ̣ đảo bi ̣chă ̣n Toán tử R : Y  X từ (3.2) là mô ̣t phương pháp chính quy hóa với P R P  Đây  đươ ̣c go ̣i là phương pháp chỉnh hóa Tikhonov R y đươ ̣c xác đinh ̣ nghiê ̣m nhấ t x ,  X của phương triǹ h loa ̣i II:  x ,  K *Kx ,  K * y , Trang 32 (3.4) Luận văn tố t nghiê ̣p SVTH: Huỳnh Thi ̣Ngọc Hân  với mo ̣i sự lựa cho ̣n  ( )  (  0) với  (  0) là  ( ) chấ p nhâ ̣n đươ ̣c (b) * * Cho x  K z ( K ) với P z P E Ta cho ̣n  ( )  c , c0 E đươ ̣c ước lươ ̣ng cố đinh ̣ sau: 1  P x ( ),  x P   c E 2 c  (c) x  K *Kz ( K *K ) Cho (3.5a) P z P E với cho ̣n Ta   ( )  c   , c  đươ ̣c ước lươ ̣ng sai số sau: E  ( ), Px    x P   c  E 3 2 c  (3.5b) Từ đây, phương pháp chính quy hóa Tikhonov là tố i ưu cho thông tin P K *  x P E hoă ̣c P K *K  x P E , tương ứng 1 1 Chứng minh Tổ hơ ̣p ước lươ ̣ng bản (2.4) với Đinh ̣ lý 2.2.3 và Đinh ̣ lý 2.3.4 cho ta ước lươ ̣ng sai số : P x ,  x P    P z P, 2  cho phầ n (b) và Trang 33 Luận văn tố t nghiê ̣p SVTH: Huỳnh Thi ̣Ngọc Hân    P z P,  P x ,  x P c  cho phầ n (c) Sự lựa cho ̣n  ( )  và  ( )  c   dẫn đế n ước E E lươ ̣ng (3.5a) và (3.5b), tương ứng Giá tri ̣ riêng của K và giá tri ̣ riêng của  I  K*K là bi ̣chă ̣n đế n bởi   Từ Đinh ̣ lý 3.3.1, ta thay đổ i  có lựa cho ̣n phu ̣ thuô ̣c vào  cho ta ̣i đó nó hô ̣i tu ̣ đế n  tiế n đế n không cố đinh ̣  Từ phầ n (b) và (c), ta kế t luâ ̣n rằ ng nghiê ̣m x trơn thì  tiế n đế n châ ̣m Mă ̣t khác, sự hô ̣i tu ̣ có thể châ ̣m tùy ý nế u không mô ̣t giả thiế t tiên nghiê ̣m về nghiê ̣m x là có giá tri.̣ Điề u này đáng nga ̣c nhiên chú ý rằ ng cấ p của sự hô ̣i tu ̣ của phương pháp chỉnh hóa Tikhonov không đươ ̣c cải tiế n Thâ ̣t vâ ̣y, ta có kế t quả sau: Đinh ̣ lý 3.3.2 Cho K : X  Y là toán tử tuyế n tiń h, compact, và là ánh xa ̣ 1-1 tác đô ̣ng đế n (K ) là vô ̣n chiề u Ngoài ra, với x  X , giả thiế t rằ ng tồ n ta ̣i mô ̣t hàm liên tu ̣c  :[0, ) [0, ) với  (0)  cho  ( ), lim P x  0  x P   0,   với mo ̣i y Y , với P y  Kx P  , x ( ),  X ở phương trình (3.4) Khi đó x  Trang 34 Luận văn tố t nghiê ̣p SVTH: Huỳnh Thi ̣Ngọc Hân Chứng minh Giả sử ngươ ̣c la ̣i rằ ng x  Thứ nhấ t, ta thấ y rằ ng  ( )  ( )I  K K  x *  ( ),   Đă ̣t y  Kx Từ  x   K *  y  y    ( ) x, ta ước lươ ̣ng |  ( ) |P x P PK P   ( ) PK P2  P x ( ),  x P Chúng ta nhâ ̣n phương trình này với   ( ), x  và dùng giả thiế t tiế n đế n x nhanh  tiế n đế n 0, nghiã là  ( ), Px Điề u này cho ta  ( )   x P      Thứ hai, ta xây dựng mô ̣t sự phủ đinh ̣ Cho  j , x j , y j là ̣ kỳ di ̣của K Đinh ̣ nghiã  j :  3j và y : y   j y j , j ¥ j Khi  j  j   , với  j :  ( j ), Trang 35 Luận văn tố t nghiê ̣p SVTH: Huỳnh Thi ̣Ngọc Hân  j , j x   j , j x x j x   x j x     j I  K *K  K * ( j , y j )  x j  x 1     j j  x  x x j j  j   j   Ở x j là nghiê ̣m của phương trình Tikhonov (3.4) với y đươ ̣c thay thế bởi y  Vì P x j  x P   j3  j  , ta kế t luâ ̣n:  0, j    j   2j Nhưng, mă ̣t khác: j 1    j  2j    1   j j   1, j   2 j  j  j  j   Đây là mô ̣t sự phủ đinh ̣ 3.4 Ví du ̣ nghiệm số Ví dụ 3.4.1 ( phương trình tích phân ) Phương trình tích phân  ets x(s)ds  y(t ),  t  et 1  t Với y(t )  thì nghiê ̣m của phương trình là x(t )  e t 1 Theo quy tắ c hiǹ h thang, ta có: Trang 36 Luận văn tố t nghiê ̣p SVTH: Huỳnh Thi ̣Ngọc Hân n1 1  t jht e x ( s ) ds  h x (0)  e x (1)  e x ( jh )    0 2 j    ts Với h  và t  ih , chúng ta thu đươ ̣c ̣ tuyế n tiń h: n n1 1 ih h( x0  e xn  e jih x j )  y(ih), i  0, , n 2 j 1 Khi đó xi sẽ xấ p xỉ với x(hi) Ta có bảng sai số sau với ih  t : t n4 n 8 n  16 n  32 0.44 -3.08 1.08 -38.21 0.25 -0.67 -38.16 -25.17 50.91 0.5 0.95 -75.44 31.24 -116.45 0.75 -1.02 -22.15 20.03 103.45 1.09 -0.16 -4.23 -126.87 Chúng ta thấ y rằ ng xấ p xỉ không có nghiã đố i với nghiê ̣m thâ ̣t trở nên khó khăn n lớn Ví dụ 3.4.2 Ta lấ y la ̣i ví du ̣ 3.4.1 ở trên, phương triǹ h tích phân: e ts x(s)ds  y(t ),  t 1 et 1  t Với y(t )  thì nghiê ̣m của phương trình là x(t )  e t 1 Trang 37 Luận văn tố t nghiê ̣p SVTH: Huỳnh Thi ̣Ngọc Hân Áp du ̣ng phương pháp chỉnh hóa Tikhonov: P Ax  y P2  P x P2 đa ̣t cực tiể u A*  Ax  y   2 x    A* A  2 I  x  A* y 1 0  0  0 Với I  0  0 0  0 0  0,0625 0,0625  0,0625  0,0625 A  0,0625  0,0625 0,0625  0,0625 0,0625  0 0 0 0 0 0 0 0,125 0,127 0,129 0,131 0,133 0,135 0,137 0,139 0,142 0 0 0 0 0 0 0 0,125 0,129 0,133 0,137 0,142 0,146 0,151 0,156 0,161 0 0 0 0 0 0 0 0,125 0,131 0,137 0,144 0,151 0,158 0,166 0,174 0,182 0 0 0 0 0 0  0 0 ,  0 0  0 1 0,125 0,133 0,142 0,151 0,161 0,171 0,182 0,194 0,206 Trang 38 0,125 0,125 0,125 0,0625 0,135 0,137 0,139 0,071  0,146 0,151 0,156 0,080   0,158 0,166 0,174 0,091  0,171 0,182 0,194 0,103   0,185 0,200 0,216 0,117  0,200 0,219 0,241 0,132   0,216 0,241 0,269 0,150  0,234 0,265 0,300 0,170  Luận văn tố t nghiê ̣p SVTH: Huỳnh Thi ̣Ngọc Hân Khi ta có bảng sai số:    0,0003   0,0007   0,005   0,05 101 0,550 0,549 0,548 0,536 102 0,487 0,496 0,485 0,469 103 0,456 0,456 0,456 0,467 104 0,443 0,447 0,452 0,535 105 0,395 0,413 0,443 0,915 106 0,360 0,380 0,433 1,377 107 0,361 0,358 0,421 1,471 108 0,409 0,420 0,408 1,837 109 0,530 0,869 0,547 2,981 1010 0,859 1,172 0,599 3,775 Ở bảng này ta cho ̣n n  Ta thấ y rằ ng xấ p xỉ có nghiã đố i với nghiêm ̣ thâ ̣t Trang 39 Luận văn tố t nghiê ̣p SVTH: Huỳnh Thi ̣Ngọc Hân KẾT LUẬN Luâ ̣n văn đã đề câ ̣p và giải quyế t các vấ n đề sau:  Mô tả bài toán thuâ ̣n và bài toán ngươ ̣c, bài toán đă ̣t chỉnh và đă ̣t không chỉnh  Trình bày phương pháp chỉnh hóa Tikhonov để giải bài toán ngươ ̣c tuyế n tính  Chứng minh mô ̣t số kế t quả từ giải tích hàm và từ đó phát biể u điề u kiêṇ để áp du ̣ng phương pháp chỉnh hóa Tikhonov  Viế t chương trình giải số ( bằ ng Mathcad ) giải số minh ho ̣a phương pháp chin̉ h hóa Tikhonov Trang 40 Luận văn tố t nghiê ̣p SVTH: Huỳnh Thi ̣Ngọc Hân TÀ I LIỆU THAM KHẢO J Baumeister Stable Solutions of Inverse Problems.Vieweg, Braunschweig, 1987 J Cullum The effective choice of the smoothing norm in regularization Math Comput.,33:149–170, 1979 H Engl Necessary and sufficient conditions for convergence of regularization methods forsolving linear operator equations of the first kind Numer Funct Anal Optim., 3:201–222,1981 H Engl Regularization methods for the stable solution of inverse problems Surv Math Ind., 3:71–143, 1993 J Graves and P.M Prenter Numerical iterative filters applied to first kind Fredholm integralequations Numer Math., 30:281–299, 1978 C.W Groetsch The Theory of Tikhonov Regularization for Fredholm Equations of the FirstKind Pitman, Boston, 1984 C.W Groetsch Inverse Problems in the Mathematical Sciences Vieweg, Braunschweig Wiesbaden, 1993 J Hadamard Lectures on the Cauchy Problem in Linear Partial Differential Equations YaleUniversity Press, New Haven, 1923 M Hanke Regularization with differential operators An iterative approach Numer Funct Anal Optim., 13:523–540, 1992 10 J.W Hilgers On the equivalence of regularization and certain reproducing kernel Hilbert space approaches for solving first kind problems SIAM J Numer Anal., 13:172–184, 1976 11 J Locker and P.M Prenter Regularization with differential operators I: General theory J Math Anal Appl., 74:504–529, 1980 Trang 41 Luận văn tố t nghiê ̣p SVTH: Huỳnh Thi ̣Ngọc Hân 12 A.K Louis Inverse und schlecht gestellte Probleme Teubner–Verlag, Stuttgart, 1989 13 F Natterer Error bounds for Tikhonov regularization in Hilbert scales Appl Anal., 18:29–37, 1984 14 D.L Phillips A technique for the numerical solution of certain integral equations of the first kind J Assoc Comput Mach., 9:84–97, 1962 15 A.N Tikhonov Regularization of incorrectly posed problems Sov Doklady, 4:1624–1627, 1963 16 A.N Tikhonov Solution of incorrectly formulated problems and the regularization method Soviet Doklady, 4:1035–1038, 1963 17 S Twomey The application of numerical filtering to the solution of integral equations encountered in indirect sensing measurements J Franklin Inst., 279:95–109, 1965 18 J.M Varah Pitfalls in the numerical solution of linear ill-posed problems SIAM J Sci Stat Comput., 4:164–176, 1983 Trang 42 Luận văn tố t nghiê ̣p SVTH: Huỳnh Thi ̣Ngọc Hân MỤC LỤC BẢNG KÝ HIỆU LỜI CẢM ƠN MỞ ĐẦU Chương BÀ I TOÁN NGƯỢC VÀ BÀ I TOÁN ĐẶT KHÔNG CHỈ NH 1.1 Mô ̣t số kiế n thức về giải tích hàm 1.2 Bài toán đă ̣t không chỉnh 1.3 Bài toán thuâ ̣n và bài toán ngươ ̣c 11 1.4 Mô ̣t số ví du ̣ về bài toán ngươ ̣c 11 Chương 16 TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG PHÁP CHỈ NH HÓA 16 2.1 Đinh ̣ nghiã toán tử chin ̉ h hóa, phương pháp chin ̉ h hóa 16 2.2 Các đinh ̣ lý và tính chấ t 18 Chương 28 PHƯƠNG PHÁP CHỈ NH HÓA TIKHONOV 28 3.1 Phương pháp chỉnh hóa Tikhonov 28 3.2 Tính đă ̣t chin ̉ h 31 3.3 Tố c đô ̣ hô ̣i tu ̣ 32 3.4 Ví du ̣ nghiệm số 36 KẾT LUẬN 40 TÀ I LIỆU THAM KHẢO 41 ... quan về phương pháp chỉnh hóa Phát biể u đinh ̣ nghiã toán tử chỉnh hóa, phương pháp chỉnh hóa Nêu lên các đinh ̣ lý và tính chấ t liên quan đế n phương pháp chỉnh hóa Chương...  Mô tả bài toán thuâ ̣n và bài toán ngươ ̣c, bài toán đă ̣t chỉnh và đă ̣t không chỉnh  Trình bày phương pháp chỉnh hóa Tikhonov để giải bài toán ngươ ̣c tuyế n tính ... ng các lươ ̣c đồ chiń h quy hóa cho bài toán (2.1) bài toán đươ ̣c cho là đă ̣t không chỉnh 2.1 Đinh ̣ nghiã toán tử chỉnh hóa, phương pháp chỉnh hóa Để đơn giản, chúng ta