SKKN giúp học sinh phát hiện và khắc phục sai lầm khi giải toán về căn bậc hai, căn bậc ba

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc TÊN SÁNG KIẾN: GIÚP HỌC SINH PHÁT HIỆN VÀ KHẮC PHỤC SAI LẦM KHI GIẢI TOÁN VỀ CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA Quảng Bình, tháng 11 năm 2015 CỘNG HỊA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc TÊN SÁNG KIẾN: GIÚP HỌC SINH PHÁT HIỆN VÀ KHẮC PHỤC SAI LẦM KHI GIẢI TOÁN VỀ CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA Họ tên: Nguyễn Thị Hà Trang Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THCS An Thủy Quảng Bình, tháng 11 năm 2015 PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn sáng kiến: Tốn học mơn khoa học, tốn học có vai trò rất quan trọng, chìa khóa cho ngành khoa học khác, toán học đa dạng phong phú, mỡi nợi dung tốn học đều có những đặc trưng áp dụng của nó Cùng với sự phát triển của đất nước, thời kì công nghiệp hóa hiện đại hóa, phát triển hội nhập thì việc tiếp thu khoa học hiện đại của giới Do sự phát triển vượt bậc của khoa học kĩ thuật, kho tàng kiến thức của nhân loại tăng lên nhanh chóng, đòi hỏi từ việc học của trò phải có kiến thức vững vàng, những lập luận chặt chẽ Những người hướng dẫn em tiếp thu kiến thức những thầy, cô giáo trực tiếp giảng dạy em, nhà trường không thể cung cấp cho học sinh những hiểu biết cập nhật được, điều quan trọng phải trang bị cho em lực tự học để có thể tự mình tìm kiếm những kiến thức cần thiết cho học, để vận dụng vào làm tập Qua nhiều năm giáo viên giảng dạy lớp thấy rằng việc truyền thụ kiến thức cho em mới chỉ một chiều, chỉ mới chỉ cho em thấy đúng, lời giải đúng, mà chưa chỉ cho em tìm sai làm toán mà em hay gặp để em suy nghĩ sâu sắc cho học sinh, phát huy tính tích cực chủ đợng, sáng tạo Trong chương trình đại số lớp THCS phần kiến thức về bậc hai, bậc ba, thấy học sinh còn mắc rất nhiều sai sót trình bày mợt tốn, có những lỡi sai mà lẽ em không đáng mắc phải, vì vậy đó một câu hỏi của tôi, làm để em trình bày mợt tốn tớt mà mắc sai lầm, bị bỏ quên điều kiện vậy Trong trình giảng dạy thực tế lớp một số năm học tại trường THCS Tôi phát hiện rằng còn rất nhiều học sinh thực hành kỹ giải toán còn yếu, lời giải toán còn thiếu nhiều chưa chặt chẽ theo tư toán học nhiều nguyên nhân lực tư ngôn ngữ, khả chuyển thể từ ngơn ngữ văn học thành quan hệ tốn học, chưa thực sự hiểu kỹ về bậc hai thực hiện phép toán về bậc hai, hay có sự nhầm lẫn, hiểu sai đầu bài, thực hiện sai mục đích …Việc giúp học sinh nhận sự nhầm lẫn giúp em tránh sự nhầm lẫn đó cần thiết, giúp em có một sự am hiểu vững chắc về lượng kiến thức học bậc hai, bậc ba, tạo nền móng để tiếp tục nghiên cứu dạng toán cao sau Qua nghiên cứu tài liệu, thực tế giảng dạy học hỏi đồng nghiệp rút sáng kiến kinh nghiệm " Giúp học sinh phát khắc phục sai lầm giải toán về bậc hai, bậc ba" nhằm tránh những sai lầm đáng tiếc của học sinh 1.2 Điểm sáng kiến Giúp học sinh phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo học tập một việc làm mà có lẽ rất nhiều giáo viên trình giảng dạy trăn trở nghiên cứu áp dụng vào dạy của mình Hơn nữa vấn đề đề cập nhiều tài liệu nghiên cứu nhằm phát huy tính tích cực của học sinh, góp phần đổi mới nội dung phương pháp dạy học Tuy nhiên áp dụng vào thực tế dạy của mình không phải giáo viên biết vận dụng một cách hiệu quả để có thể dễ dàng nâng cao chất lượng dạy học vì thực tế chưa có những biện pháp cụ thể mang tính hệ thớng áp dụng cho từng dạy vậy nhiều giáo viên còn có sự lúng túng Là một giáo viên trực tiếp đứng lớp giảng dạy bợ mơn Tốn Trung học sở, mỗi lần lên lớp, bản thân băn khoăn trước việc học của em Một số em thường mắc phải những sai lầm đáng tiếc giải toán Đặc biệt, toán về bậc hai, bậc ba em thường gặp những thiếu sót lời giải hoặc thậm chí ngợ nhận việc tìm hướng giải toán dẫn đến việc khơng tìm lời giải đúng cho tốn Vậy làm để học sinh có thể tự tìm sai lầm của mình, để từ đó khắc phục sai lầm lĩnh hội kiến thức một cách sâu sắc? Từ những trăn trở đó, nghiên cứu đề tài " Giúp học sinh phát khắc phục sai lầm giải toán về bậc hai, bậc ba" Đề tài không đưa lời giải đúng cho toán mà xuất phát từ những lời giải sai của học sinh, phân tích những sai lầm mắc phải, để từ đó em có thể tự nhận sai lầm của mình tự giải để khắc phục sai lầm đó Như vậy em chủ động phát hiện kiến thức tự khắc sâu kiến thức cho mình Đây điểm mới của sáng kiến 1.3 Phạm vi áp dụng sáng kiến: Trong sáng kiến chỉ nêu một số “Nhóm sai lầm” mà học sinh thường mắc phải trình làm tập về bậc hai chương I –Đại sớ của học sinh khới Phân tích sai lầm mợt sớ tốn cụ thể để học sinh thấy những lập luận sai, hoặc thiếu chặt chẽ dẫn tới giải khơng xác Từ đó định hướng cho học sinh phương pháp giải toán về bậc hai, bậc ba PHẦN NỘI DUNG 2.1 Thực trạng sáng kiến Khi dạy học sinh về thức bậc hai, bậc ba thấy học sinh còn lúng túng trình bày tốn về bậc hai, tơi rất băn khoăn làm để học sinh làm tốt tập, không sai sót Trước thời gian đó nhiều em học sinh thi về cho rằng mình làm tốt bài, song điểm chưa cao, chưa tối đa, lỗi vì đâu Khi kiểm tra 15 phút của 38 em học sinh lớp của trường THCS nội dung đầu năm học về thức bậc hai thấy học sinh còn mắc nhiều lỗi sai mà lẽ em không mắc phải, điều tra thống kê thấy kết quả không mong muốn Nội dung kiểm tra Bài Tìm bậc hai của số sau a) 49 b) 64 Bài Tìm điều kiện để thức sau có nghĩa b) ( x − ) ( x + 1) a) x − Bài Tính a) ( −5 ) b) − Kết kiểm tra Bài Bài Bài 2(a) Bài 2(b) Bài (a) Bài (b) 2.2 Các giải pháp: Số học sinh làm SL % 32 84,2 25 65,8 22 57,9 20 52,6 17 44,7 2.2.1 Các biện pháp tiến hành để giải vấn đề Qua nhiều năm dạy học thấy việc tiếp thu kiến thức theo hướng đưa tập, học sinh làm thì việc tư duy, tìm tòi, khắc sâu kiến thức của học sinh không cao, còn gặp tốn ngược tìm chỡ sai lời giải cho trước thì học sinh rất hứng thú bàn luận, cho nhiều hướng, nhiều kết quả ( có thể chưa đúng) song hiệu quả tốt trình học tập của em Từ tập 16(SGK-t12 đại số lớp tập 1) Đố Hãy tìm chỗ sai phép chứng minh"Con muỗi nặng bằng voi" dưới Lời giải Giả sử muỗi nặng m (gam), còn voi nặng V (gam) Ta có m2 +V2 =V2 +m2 Cộng cả hai vế với -2mV, ta có m2 -2mV +V2 =V2 -2mV +m2 (m-V)2 =(V-m)2 hay Lấy bậc hai mỗi vế của đẳng thức trên, ta ( m −V ) Do đó = ( V − m) m-V=V–m Từ đó ta có 2m =2V, suy m=V Vậy muỗi nặng bằng voi (!) Từ tốn đó tơi thấy học sinh bàn luận hứng thú từ đó đưa toán kiểu vậy cho học sinh làm, nhằm gây hứng thú, đồng thời chỉ một số sai lầm làm của học sinh Trong trình giảng dạy thấy học sinh học chương I đại số lớp thường mắc một số lỗi sau Sau đưa một số nội dung lỗi mà học sinh hay mắc phải đồng thời đưa cách khắc phục cho học sinh Dạng 1: Sai lầm tính toán Khi làm tập học sinh hay sai việc tính tốn, nhầm dấu, nhân sai nội dung giáo viên khắc phục thường xuyên lớp trước Trong nội dung ta đề cập đến việc học sinh hay mắc phải lỗi sai sử dụng hằng đẳng thức A2 = A Bài toán 1.(SGK/tr10, ĐS 9) Rút gọn biểu thức: a) ( 3− Lời giải sai 11 ) b) ( a − ) với a 0, ta có y − y + = ( y − 1) x −1 y − y +1 = x −1 y −1 ( x − 1) y −1 ( ) y −1 ( x − 1) = y −1 x −1 = x −1 y − ( x − 1) Phân tích sai lầm Việc biến đổi của em bản tốt, sử dụng A2 = A Thì em vẫn hay mắc phải, tốn trên, đới với câu hằng đẳng thức ( a) Học sinh sai bước x −1 ( x + 1) ) 2 x −1 x +1 = Đối với câu b) học sinh sai bước x − y −1 ( ) y −1 ( x − 1) = y −1 x −1 y − ( x − 1) Khắc phục sai lầm Phân tích sai sửa lại cho học sinh Lời giải a) Vì x ≥ nên ta có x = ( x ) , từ đó ta có x − x +1 = A= ( x − x +1 = x + x +1 ) x −1 ( ( ) x + 1) x −1 x + x + = ( x + 1) 2 = ( ) x −1 ( x + 1) Nếu x ≥ thì A = x −1 x +1 Nếu ≤ x < thì A = 1− x x+1 x −1 = x +1 b)Với y >0, ta có y − y + = ( y − 1) x −1 y − y + B= = x −1 y −1 x − ( ) y −1 Nếu y1 thì B = x −1 Dạng 2: Sai lầm giải phương trình Bai Tìm x, biết: x − x + = (1) Lời giải sai Biểu thức x2-2x+1 ≥ 0∀x (1) ⇔ ( x − 1) = ⇔ x − = ⇔ x = Phân tích sai lầm Sai chỗ học sinh mới chỉ lấy một trường hợp, mà giải loại tập cần sử dụng A2 = A Lời giải (1) ⇔ ( x − 1) = ⇔ x − = *Trường hợp 1: x-1=3 ⇔ x=4 *Trường hợp 2: x-1=-3 ⇔ x=-2 Bài 2: Giải phương trình : x+ = x+2 Lời giải sai: x + ≥  x ≥ −4  x ≥ −4 ⇔ ⇔   2  x( x + 3) = x + = x + 4x +  x + 3x = Ta có x + = x + ⇔   x ≥ −4 ⇔  x = 0; x = −3 Vậy phương trình cho có hai nghiệm x1=0; x2=-3 Phân tích sai lầm Sai chỗ với điều kiện x ≥ −4 thì vế phải chưa chắc không âm, vì vậy việc bình phương hai vế không đúng vì x2=-3 bị loại Khắc phục sai lầm Khi giải dạng toán A = B cần lưu ý B ≥ A=B⇔ A = B Lời giải x + ≥  x ≥ −2  x ≥ −2  x ≥ −2 ⇔ ⇔ ⇔ x+4 = x+2 ⇔   2  x( x + 3) =  x = 0; x = −3 x + = x + 4x +  x + 3x = So sánh điều kiện x=-3 (bị loại) , x=0 (TM) Vậy phương trình cho có một nghiệm x=0 Bài 3: Giải phương trình x( x − 1) + x( x − 2) = x( x − 3) (1) Lời giải sai: + Khi x ≥ Ta có (1) ⇔ x x − + x x − = x x − ⇔ x − + x − = x − Với điều kiện x ≥ đó ta có  x − > x −   x − > x − ⇒ x −1 + x − > x − Phương trình cho vô nghiệm khoảng x ≥ + Khi x x − ⇒ x −1 + x − > x − Phương trình cho vô nghiệm khoảng x>0 + Khi x hoặc  ⇔ x ≤ −2 x − > x − < Điều kiện:  Đặt: ( x − ) x+2 = y (2) x−2 Thì y2=(x-2)(x+2) (3) Ta có y2+4y+3=0 nên y1=-1, y2 =-3 Do y1 hoặc x ( x − 13) ( 3x − 19 ) ⇔ x − > 21x − 133x − 39 x + 247 ⇔ 25 x − 50 x + 25 > 4(21x − 172 x + 247) ⇔ 25 x − 50 x + 25 > 81x − 688 x + 988 ⇔ 59 ( x − ) ( x − 1,8 ) >  19  19 x ≥ x ≥   ⇔ x − > ⇔ x > ⇔ x >  x − 1,8 >  x > 1,8     Hoặc 19 19   x ≥ x ≥   x − < ⇔ x <  x − 1,8 <  x < 1,8     bị loại Vậy bất phương trình có nghiệm x>9 Phân tích sai lầm Cũng giống phần (sai lầm giải phương trình), học sinh sau đặt điều kiện cho bất phương trình sau đó bình phương hai về, chưa xét xem hai vế không âm Khắc phục sai lầm Khi đặt xong điều kiện cho bất phương trình có nghĩa, trước bình phương cần xét đến hai vế của phương trình, hai vế không âm, sau đó bình phương hai vế không âm của bất phương trình Lời giải Điều kiện của bất phương trình là: x ≥ 19 (1) ⇔ x − 13 > 3x − 19 + x − 27 Bình phương hai vế không âm ta 33 − x > ( 3x − 19 ) ( x − 27 ) 33 − x >  Bất phương trình có nghiệm (3x − 19)(5 x − 27) ≥  ( 33 − x ) > 4(3 x − 19)(5 x − 27) Giải hệ bất phương trình ta 19 ≤ x0 Ta xét biểu thức B= = x + x + 17 A Ta có : B = x + x + 17 = ( x − 3) +8 ≥ 2 B= 2 x=3 Vậy max A = 2 = ⇔ x=3 Bài Tìm giá trị nhỏ nhất của : A= x+ x Lời giải sai 1  1 1  A = x + x =  x + x + ÷− =  x + ÷ − ≥ − 4  2 4  Vậy A= − 4 Phân tích sai lầm Sau chứng minh f(x) ≥ − , chưa chỉ trường hợp xảy f(x)= − Xảy chỉ x = − , vơ lí x phải có x ≥ Do đó A = x + x ≥ Lời giải Để tồn tại minA=0 chỉ x=0 Bài Tìm giá trị nhỏ nhất P = x − xy + y − x + Lời giải sai Điều kiện: x ≥ ; xy ≥ P = x − xy + y − x + = = ( ( x− y ) 1 x − y −1 + y − y + − = 2 ) ( +1− ( ) x − y − y + 2y ) x − y −1 + Từ đó đánh giá p= − ⇔ y = ( ) 1 y −1 − 2 ;x = 4 Phân tích sai lầm Sai từ đặt điều kiện nên tập xác định mở rộng dẫn đến kết quả sai Thật vậy x=0 thì y tùy ý đó P=3y+1 không đạt giá trị nhỏ nhất vì y nhỏ tùy ý suy P nhỏ tùy ý Do đặt sai điều kiện nên lời giải tốn thiếu mợt trường hợp Lời giải Điều kiện: x ≥ ; xy ≥ Xét hai trường hợp Trường hợp 1: Điều kiện: x > ; y ≥ P = x − xy + y − x + = = ( ( x− y ) 1 x − y −1 + y − y + − = 2 ( ) +1− ( ) x − y − y + 2y ) x − y −1 + Từ đó đánh giá p= − ⇔ y = ( ) 1 y −1 − 2 ;x = 4 Trường hợp 2: x=0 ;y tùy ý suy P =3y+1 không có giá trị nhỏ nhất vì y nhỏ tùy ý suy P nhỏ tùy ý Kết luận chung : Biểu thức P khơng đạt giá trị nhỏ nhất MỢT SỚ BÀI TẬP CÙNG LOẠI Sau áp dụng chuyên đề cho một số tập cùng loại cho học sinh làm kiểm tra một số đó Bài Tính giá trị biểu thức 2  5+2   5−2  a)A=  ÷ ÷ ÷ −  ÷  3+ 2  3− 2 b) B = ( 7−2 + 7+2 ) c) C = 40 − 57 − 40 + 57 Bài 2.Rút gọn biểu thức a) A = x2 + − 4x + x2 ( Với x > 2 ) x −1 b) B = x − 8x + 16 + 25 − 10 x + x (với 40 1 Bài Cho x y hai số dương Chứng minh rằng x + y ≥ x + y 1 Bài Cho x < y < Chứng minh rằng : − x + − y ≥ − xy Bài Tìm giá trị nhỏ nhất a) A = + − x2 b) B = x + x − 2012 c) C = x − x − + x + x − d) M = a + − a − + a + 15 − a − * Tìm điều kiện của a để M xác định * Tìm giá trị nhỏ nhất của M giá trị của a tương ứng 2.2.2 Kết nghiên cứu Thống kê chất lượng học tập mơn tốn học sinh sau thực đề tài SKKN : Sau bồi dưỡng học sinh lớp tại trường theo chuyên đề đồng thời kiểm tra 38 em với nội dung thì thu kết quả Bài Số học sinh làm SL % 37 97,4 30 78,9 28 73,7 26 68,4 Bài 1(b) Bài 2(a) Bài 4(b) Bài (a) Đánh giá chung: Sau áp dụng nội dung kinh nghiệm " Giúp học sinh phát khắc phục sai lầm giải toán về bậc hai, bậc ba", học sinh biết cách làm trình bày tớt hơn, bị sai sót nhầm lẫn mà trước đó học sinh không làm hoặc làm không điểm tối đa của Mặt khác thơng qua loại tốn em còn có kĩ làm tập nội dung khác, thậm chí mơn học khác, em có nhìn đầy đủ hơn, hoàn thiện PHẦN KẾT LUẬN 3.1 Ý nghĩa sáng kiến Sáng kiến " Giúp học sinh phát khắc phục sai lầm giải toán về bậc hai, bậc ba" thực hiện phạm vi học sinh khối đạt hiệu quả tương đối cao mà thể hiện rõ phần thống kê Sau áp dụng sáng kiến kinh nhgiệm vào dạy học thấy với cách chủ động phát hiện vấn đề giải vấn đề có sự giúp đỡ của giáo viên làm cho học sinh có hứng thú học giúp cho học sinh có thói quen" suy nghĩ ", giải toán nhiều góc độ khác để tìm lời giải tốn mợt cách xác, từ đó em học sinh hình thành tư của mình biết tự phát triển tư học mơn tốn Đề tài giúp học sinh giải mợt tốn chắc chắn xác hơn, sáng tạo 3.2 Những kiến nghị, đề xuất Để sáng kiến kinh nghiệm áp dụng có hiệu quả xin đề nghị nhà trường tạo điều kiện cho học sinh lớp học bồi dưỡng nhiều hơn, có thể chỉ đạo dạy tiết tự chọn về chuyên đề để em nắm chắc nội dung học làm nhiều tập lớp, giáo viên phát hiện lỗi em hay mắc phải từ đó sửa chữa cho học sinh có hiệu quả Kinh nghiệm có khả áp dụng cho nội dung học tiếp theo, với lòng say mê nghề, viết sáng kiến kinh nghiệm mong muốn học hỏi đồng nghiệp Tôi rất mong nhận sự góp ý, chỉ bảo của đờng chí, đờng nghiệp, của đờng chí lãnh đạo, cấp quản lý giáo dục để những kinh nghiệm hoàn thiện áp dụng có hiệu quả  ... kinh nghiệm " Giúp học sinh phát khắc phục sai lầm giải toán về bậc hai, bậc ba" nhằm tránh những sai lầm đáng tiếc của học sinh 1.2 Điểm sáng kiến Giúp học sinh phát huy tính tích... cứu đề tài " Giúp học sinh phát khắc phục sai lầm giải toán về bậc hai, bậc ba" Đề tài không đưa lời giải đúng cho toán mà xuất phát từ những lời giải sai của học sinh, tơi phân... kinh nghiệm " Giúp học sinh phát khắc phục sai lầm giải toán về bậc hai, bậc ba" , học sinh biết cách làm trình bày tốt hơn, bị sai sót nhầm lẫn mà trước đó học sinh không làm