Dạy học giúp học sinh phát hiện và tránh sai lầm trong khi giải toán về sự tương giao giữa đường thẳng với đường thẳng,đường thẳng với parabol ở trường THCS điện quan

1 Đặt vấn đề Mơn tốn có vị trí đặc biệt quan trọng việc thực mục tiêu chung trường THCS, việc góp phần hình thành người có trình độ học vấn phổ thơng bản, người biết rèn luyện để có tính độc lập, có tư sáng tạo, phẩm chất đạo đức để đáp ứng yêu cầu công nghiệp hoá, đại hoá đất nước Để thực thành cơng nhiệm vụ đó, người giáo viên phải có phương pháp giảng dạy phù hợp, chắt lọc kiến thức với đối tượng học sinh, biết rèn cho học sinh phương pháp học tập mơn nói chung mơn tốn nói riêng Kiến thức mơn tốn rộng, em lĩnh hội nhiều kiến thức, kiến thức lại có mối liên hệ chặt chẽ với nhau, học, em cần nắm vững kiến thức bản, từ vận dụng linh hoạt vào giải loại toán, toán cụ thể Một kiến thức chương trình tốn THCS phần đồ thị, hàm số, mối tương giao đường thẳng với nhau, đường thẳng parabol Nhìn chung, phần này, học sinh có khả tư tưởng tượng chưa tốt nên giải loại toán vất vả, trình bày khơng chặt chẽ, rõ ràng dẫn đến điểm nên sợ khơng thích học phần đồ thị, hàm số Khi nghiên cứu việc học giải toán em học sinh THCS, trao đổi với đồng nghiệp dạy toán THCS mà đặc biệt giáo viên dạy tốn 9, tơi thấy loại toán tương giao đường thẳng đường thẳng, đường thẳng parabol thường đề cập tới đề thi vào THPT, mặt khác, loại toán mà em phải nắm vững để chuẩn bị cho mơn tốn thi vào lớp 10 Ở dạng tốn này, em thường gặp khó khăn: Do không vẽ đồ thị, chưa nắm nghiệm phương trình bậc hai ẩn, điểm chung (nếu có) hai đường thẳng (chính nghiệm hệ phương trình bậc hai ẩn, tìm toạ độ giao điểm), điểm chung đường thẳng parabol (chính nghiệm phương trình bậc hai ẩn tìm hồnh độ giao điểm) Vì vậy, u cầu dạng tốn tương giao đường thẳng đường thẳng, đường thẳng parabol học sinh phải nắm hình dạng, cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a 0) đồ thị hàm số y = ax2 (a 0), phải nắm vị trí tương đối hai đường thẳng, biết cách giải phương trình bậc ẩn, hệ phương trình bậc hai ẩn, phương trình bậc hai ẩn… học lớp lớp Để giúp em học phần có kết tốt, tơi mạnh dạn đưa sáng kiến “ Dạy học giúp học sinh phát tránh sai lầm giải toán tương giao đường thẳng với đường thẳng, đường thẳng với Parabol trường THCS Điện quan” giúp người giáo viên không nắm kiến thức phần mà cịn phải có phương pháp linh hoạt để truyền thụ kiến thức cách dễ hiểu tới em học sinh Giải vấn đề 2.1 Cơ sở lí luận vấn đề Quan điểm đổi phương pháp dạy học : Luật Giáo dục 2005 (Điều 5) quy định: "Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư sáng tạo người học; bồi dưỡng cho người học lực tự học, khả thực hành, lịng say mê học tập ý chí vươn lên" Với mục tiêu giáo dục phổ thông "giúp học sinh phát triển tồn diện đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ kỹ bản, phát triển lực cá nhân, tính động sáng tạo, hình thành nhân cách người Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên vào sống lao động, tham gia xây dựng bảo vệ Tổ quốc"; Chương trình giáo dục phổ thơng ban hành kèm theo Quyết định số 16/2006/QĐ-BGD ĐT ngày 5/5/2006 Bộ trưởng Bộ giáo dục Đào tạo nêu : "Phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, sáng tạo học sinh; phù hợp với đặc trưng môn học, đặc điểm đối tượng học sinh, điều kiện đối tượng học sinh, điều kiện lớp học; bồi dưỡng cho học sinh phương pháp tự học, khả hợp tác; rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú trách nhiệm học tập cho HS" Quan điểm dạy học : Là định hướng tổng thể cho hành động phương pháp, có kết hợp nguyên tắc dạy học làm tảng, sở lý thuyết lý luận dạy học, điều kiện dạy học tổ chức định hướng vai trị GV HS q trình dạy học Quan điểm dạy học định hướng mang tính chiến lược, cương lĩnh, mơ hình lý thuyết PPDH Những quan điểm dạy học : DH giải thích minh hoạ, DH gắn với kinh nghiệm, DH kế thừa, DH định hướng HS, DH định hướng hành động, giao tiếp, DH nghiên cứu, DH khám phá, DH mở Phương pháp dạy học tích cực: Việc thực đổi chương trình giáo dục phổ thơng địi hỏi phải đổi đồng từ mục tiêu, nội dung, phương pháp, PTDH đến cách thức đánh giá kết dạy học, khâu đột phá đổi PPDH Mục đích việc đổi PPDH trường phổ thông thay đổi lối dạy học truyền thụ chiều sang dạy học theo phương pháp dạy học tích cực (PPDHTC) nhằm giúp học sinh phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, sáng tạo, rèn luyện thói quen khả tự học, tinh thần hợp tác, kỹ vận dụng kiến thức vào tình khác học tập thực tiễn; tạo niềm tin, niềm vui, hứng thú học tập Làm cho "Học" trình kiến tạo; HS tìm tịi, khám phá, phát luyện tập khai thác sử lý thơng tin… HS tự hình thành hiểu biết, lực phẩm chất Tổ hoạt động nhận thức cho HS, dạy HS cách tìm chân lý Chú trọng hình thành lực (tự học, sáng tạo, hợp tác,…) dạy phương pháp kỹ thuật lao động khoa học, dạy cách học Học để đáp ứng yêu cầu sống tương lai Những điều học cần thiết, bổ ích cho thân HS cho phát triển xã hội PPDH tích cực dùng với nghĩa hoạt động, chủ động, trái với không hoạt động, thụ động PPDHTC hướng tới việc tích cực hố hoạt động nhận thức HS, nghĩa hướng vào phát huy tính tích cực, chủ động người học không hướng vào phát huy tính tích cực người dạy Muốn đổi cách học phải đổi cách dạy Cách dạy định cách học, nhiên, thói quen học tập thụ động HS ảnh hưởng đến cách dạy thầy Mặt khác, có trường hợp HS mong muốn học theo PPDHTC GV chưa đáp ứng Do vậy, GV cần phải bồi dưỡng, phải kiên trì cách dạy theo PPDHTC, tổ chức hoạt động nhận thức từ đơn giản đến phức tạp, từ thấp đến cao, hình thành thói quen cho HS Trong đổi phương pháp phải có hợp tác thầy trò, phối hợp hoạt động dạy với hoạt động học có kết PPDHTC hàm chứa phương pháp dạy phương pháp học * Đặc trưng phương pháp dạy học tích cực : a) Dạy học tăng cường phát huy tính tự tin, tính tích cực, chủ động, sáng tạo thơng qua tổ chức thực hoạt động học tập học sinh b) Dạy học trú trọng rèn luyện phương pháp phát huy lực tự học HS c) Dạy học phân hóa kết hợp với học tập hợp tác d) Kết hợp đánh giá thầy với đánh giá bạn, với tự đánh giá e) Tăng cường khả năng, kỹ vận dụng vào thực tế, phù hợp với điều kiện thực tế sở vật chất, đội ngũ GV Căn vào mục tiêu ngành giáo dục “Đào tạo người phát triển toàn diện” vào nhiệm vụ năm học 2012 - 2013, nội dung phương pháp giáo dục tất bậc học, cấp học, ngành học Xây dựng đội ngũ giáo viên, cán quản lý giáo dục có đủ phẩm chất giáo dục trị, đạo đức, đủ số lượng, đồng cấu, chuẩn hố trình độ đào tạo…Nhằm nâng cao chất lượng giáo dục 2.2 Thực trạng vấn đề: Qua nhiều năm giảng dạy mơn tốn tham khảo ý kiến đồng nghiệp nhiều năm kinh nghiệm, tơi nhận thấy: Đây dạng tốn khơng khó học sinh dễ kết luận sai lúng túng đặt điều kiện tốn Sự vận dụng lí thuyết học sinh vào việc giải tốn khơng linh hoạt Khi gặp tốn địi hỏi phải vận dụng có tư học sinh khơng xác định phương hướng để giải toán dẫn đến lời giải sai không làm Một vấn đề cần ý kỹ giải tốn tính tốn số học sinh yếu Để giúp học sinh làm tốt tập tương giao đường thẳng, đường thẳng parabol người thầy phải nắm rõ khuyết điểm học sinh thường mắc phải Từ có phương án giúp học sinh phát sai lầm làm toán sự tương giao đường thẳng, đường thẳng parabol 2.3 Các biện pháp tiến hành để giải vấn đề Vấn đề 1: Sự tương giao hai đường thẳng: Dạng 1: Tìm toạ độ giao điểm Ta cần nhớ lại kiến thức tương giao hai đường thẳng: Trước hết, đường thẳng phải đồ thị hàm số bậc nhất: Tức a Cho (d) đồ thị hàm số y = f(x) điểm A(xA;yA) ta có: A (d ) YA f (X A ) ;A (d ) YA f (X A ) Muốn tìm toạ độ điểm chung đồ thị hàm số y = f(x) y = g(x) ta tìm y = f(x ) nghiệm hệ phương trình: y = g (x ) Vì hoành độ giao điểm chung hai đồ thị nghiệm hệ phương trình Ví dụ: Cho hai hàm số y = x + (d) hàm số y = 2x + (d’) a)Vẽ đồ thị hai hàm số hệ trục toạ độ b)Tìm toạ độ giao điểm có hai đồ thị Nhận xét: Gặp dạng toán học sinh thường vẽ đồ thị hai hàm số tìm toạ độ giao điểm (x; y), nhiên gặp x y không số nguyên tìm toạ độ đồ thị khó tìm xác giá trị x; y Do vậy, GV hướng dẫn HS làm sau: a) Vẽ đồ thị hai hàm số học b) Toạ độ giao điểm nghiệm hệ phương trình: y x y 2x x 2x y y x y Vậy toạ độ giao điểm (d) (d’) (2; 5) Việc làm thuận lợi cho HS, tránh việc HS vẽ đồ thị hai hàm số từ giao điểm hai đồ thị, em gióng vng góc với hai trục toạ độ để tìm hồnh độ, tung độ kết luận toạ độ giao điểm, khơng cẩn thận, thiếu xác, sai toạ độ giao điểm Dạng 2: Bài tốn tìm điều kiện Ta cần nhớ lại vị trí tương đối hai đường thẳng: Cho hai đường thẳng y = ax + b (a ) (d), y = a x b (a 0) ( d ') Ta ý: Muốn hai đường thẳng thoả mãn vị trí tương đối cho trước hàm số đường thẳng phải hàm số bậc Do GV yêu cầu HS ghi nhớ công thức sau để làm HS tránh lỗi bỏ quên không kết hợp điều kiện a , a’ a (d) // (d’) a ' a b a (d’) (d) a a ' a ' a a ' b' b b' a (d’) (d) a ' a a ' (d’) (d) a ' a a ' Ví dụ: (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT năm 2010 – 2011 sở giáo dục đào tạo lào cai) Tìm giá trị a để hệ phương trình ax x y y có nghiệm Nhận xét: Đây tốn khơng khó để học sinh tư học sinh dễ giải hệ phương pháp cộng hệ phương trình mà em học Nhưng quy hai đường thẳng sử dụng tính chất hai đường thẳng cắt Giải: ax x y y y y ax+ x Qua ta cần điều kiện a a (Lời giải sai lầm: Khi đưa y y -1 hệ có nghiệm ax+ x học sinh rễ kết luận a -1 xong) Lưu ý cho học sinh nghiệm hệ phải thỏa mãn hai phương trình Ví dụ: (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT năm 2012 – 2013 sở giáo dục đào tạo Lào cai) Cho hai hàm số y = -x +2 y = (m+3)x + Tìm giá trị m để đồ thị hai hàm số cho là: a) Hai đường thẳng cắt b) Hai đường thẳng song song Giải: a) Giáo viên tránh cho học sinh quên điều kiện: m+3 Để hai đưởng thẳng cắt m + Vậy m -3; m -1 m -4 -4 hai đường thẳng cắt b) Để hai đường thẳng song song m + = -1 m hay m -3 m = -4 -3 m = -4 hai đường thẳng song song với (qua toán giáo viên nên ý cho học sinh phần kết luận học sinh dễ nhầm phần a cho m -4 mà quên m 3) Ví dụ: (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT năm 2004– 2005 sở giáo dục đào tạo Lào cai) Tìm giá trị a b để đồ thị hàm số y = ax + b qua điểm M(1;2) song song với đường thẳng y = 11x -5 Giải: Hàm số y = ax + b qua điểm M(1;2) song song với đường thẳng y = 11x -5 Nên ta có: x=1; y =2; a = 11; b -5 = 11.1 + b b = -9 (thỏa mãn) Vậy a = 11; b = -9 hàm số y = ax + b qua điểm M(1;2) song song với đường thẳng y = 11x -5 (Giáo viên cần lưu ý cho học sinh làm cần đặt điều kiện cho a 0.) Ví dụ: (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT năm 2007– 2008 sở giáo dục đào tạo Lào cai) Cho hàm số y=(1-m)x + có đồ thị đường thẳng (d1) hàm số y = 2x+1 có đồ thị đường thẳng (d2) Tìm giá trị m để hai đồ thị hàm số (d1) (d2) song song với nhau? (d1) (d2) vng góc với nhau? Giải: Điều kiện 1-m m a) Để d song song d2 1-m = Vậy m m=-1 m =-1 d song song d2 b) Để d vuông góc d2 (1-m).2 = -1 Vậy m = m 1-m = m= d vng góc d2 Ví dụ: (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT năm 2010– 2011 sở giáo dục đào tạo Lào cai) Cho hai đường thẳng d d’ có phương trình d: y = ax+a -1 d’: y = x+1 Tìm giá trị a để d//d’; d Giải: Điều kiện a d’ d//d’ ta có: a = a -1 Vậy để d // d’ ta có: a Để d a 0; a = 1; a d’ a = -1 a=-1 (Qua toán giáo viên cần ý cho học sinh trước làm tập cần đặt điều kiện cho đường thẳng d để học sinh đạt điểm tối đa) Ví dụ: (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT năm 2010– 2011 sở giáo dục đào tạo Lào cai) Với giá trị m đồ thị hàm số y =2x +m -4 cắt đồ thị hàm số y= x Giải: Ở này: Với giá trị m đồ thị hàm số y =2x +m -4 cắt đồ thị hàm số y = x Ví dụ: Cho đường thẳng có phương trình: y = (m-1)x + (d) y = (2 – m)x – n ( d ) Tìm tham số m để đường thẳng (d) đường thẳng ( d ) cắt Nhận xét: Theo cách phân tích trên, GV hướng dẫn HS trình bày sau để tránh quên kết hợp điều kiện a , a’ Giải: Đường thẳng (d) đường thẳng ( d ) cắt m m m m m m m Vậy m 1, m m đường thẳng (d) đường thẳng ( d ) cắt (Lời giải sai: toán học sinh rễ thực m – 2-m m kết luận m hai đường thẳng cắt nhau.) Vấn đề 2: Vị trí tương đối đường thẳng (D): y = f(x) = ax+ b (a parabol (P): y = g(x) = ax2 (a 0) 0) Ta cần nhớ lại hoành độ điểm chung (D) (P) nghiệm phương trình f(x)= g(x) (2) Phương trình (2) phương trình bậc hai Ta thấy: (D) (P) khơng có điểm chung (D) tiếp xúc (P) phương trình(2) vơ nghiệm phương trình (2) có nghiệm (D) cắt (P) hai điểm biệt 0 phương trình (2) có hai nghiệm phân Sau số toán cụ thể: Dạng 1: Xác định toạ độ tiếp điểm Ví dụ: Cho parabol (P): y = x2 - 2x - Tìm toạ độ giao điểm (P) đường thẳng (D): y = - 4x Nhận xét: Toạ độ giao điểm vừa phải thuộc (D), vừa phải thuộc (P) nên ta tìm hồnh độ giao điểm phương trình hồnh độ, sau thay hồnh độ vào hai phương trình (D) (P) để tìm tung độ giao điểm Từ tìm toạ độ giao điểm Giải: Hoành độ điểm chung (P) (D) nghiệm phương trình: x2 - 2x – = -4x Phương trình (2) có nghiệm Với Với x1 1, x2 y1 y2 x1 1, x x2 + 2x – = (2) Vậy toạ độ giao điểm thứ (1; -4) 12 Vậy toạ độ giao điểm thứ (-3; 12) Dạng 2: Bài tốn tìm điều kiện Ví dụ: Cho đường thẳng (D): y = x + 2m parabol (P): y = -x2 – x + 3m a) Với giá trị m (D) tiếp xúc với parabol (P) b) Với giá trị m (D) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt A B Nhận xét: Tương tự ví dụ ta xét có nghiệm phương trình bậc hai Nếu có nghiệm (D) (P) có điểm chung, có hai nghiệm (D) (P) có hai điểm chung cịn vơ nghiệm (D) (P) khơng có điểm chung Giải: a) Hồnh độ giao điểm (D) (P) nghiệm phương trình: -x2 – x + 3m = x + 2m -x2 - 2x + m = Đường thẳng (D) tiếp xúc với parabol (P) kép + 4m = m = -1 (3) phương trình (3) có nghiệm Vậy m = -1 (D) tiếp xúc với (P) b) Đường thẳng (D) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt phương trình (3) có nghiệm phân biệt + 4m > m > -1 Vậy m > -1 (D) cắt (P) hai điểm phân biệt Ví dụ: (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT năm 2011 – 2012 sở giáo dục đào tạo Lào cai) Cho hàm số y = ax2 (a 0) có đồ thị parabol (p) đường thẳng (d) có phương trình y=2x-1 Tìm a cho (d) tiếp xúc với (p) Giải: Để y=ax2 (a 0) tiếp xúc với y = 2x-1 phương trình tương giao ax2 – 2x + = phải có nghiệm kép Tức là: ' = 12 -1.a = a=1 Vậy a = hàm số y=ax2 (a 0) có đồ thị parabol (p) đường thẳng (d) có phương trình y=2x-1 tiếp xúc Dạng 3: Bài tốn chứng minh Ví dụ: Chứng minh rằng: Đường thẳng (D): y = 4x - tiếp xúc với parabol (P): y = 2x2 - 4(2m - 1)x + 8m2 - Nhận xét: Gặp dạng toán GV phải làm cho HS hiểu đường thẳng (D): y = 4x - tiếp xúc với parabol (P): y = 2x2 - 4(2m - 1)x + 8m2 - điểm điểm phải nghiệm hai phương trình, để chứng minh tốn phương trình hồnh độ giao điểm bắt buộc phải có nghiệm kép từ ta có cách giải sau: Giải: Đường thẳng (D): y = 4x - tiếp xúc với parabol (P): y = 2x2 - 4(2m - 1)x + 8m– phương trình 2x2 - 4(2m - 1)x + 8m2 – = 4x – 2x2 - 8mx + 8m2 = x2 + 4mx + 4m2 = có nghiệm kép Ta có: 16m 16m với giá trị m nên đường thẳng (D): y = 4x - tiếp xúc với parabol (P): y = 2x2 - 4(2m - 1)x + 8m2 – Tương tự, toán yêu cầu chứng minh đường thẳng cắt parabol hai điểm phân biệt, ta cho phương trình hồnh độ có hai nghiệm phân biệt yêu cầu chứng minh đường thẳng parabol khơng có điểm chung, ta cho phương trình hồnh độ vơ nghiệm 2.4 Hiệu sáng kiến: Với việc làm nêu trên, thân tự nghiên cứu áp dụng, qua khảo sát chuyên đề em HS lớp 9B, ban đầu, thấy kết sau: Điểm Kết 9,10 5,6,7,8 Điểm trung bình 15 18 Sau thực chuyên đề thấy kết nâng lên rõ rệt: Điểm Kết 9,10 5,6,7,8 Điểm trung bình 19 Ngồi kết mà em đạt qua khảo sát thu số kết quan trọng nhiều là: Phần lớn học sinh say mê làm dạng tốn Các em khơng cịn lúng túng gặp dạng toán tương giao đồ thị Các em có niềm tin say mê, hứng thú học tốn, từ tạo cho em tính độc lập suy nghĩ Phát triển tư lơgíc, óc quan sát, suy luận tốn học Trong q trình giải tập giúp em có khả phân tích suy ngẫm khái quát vấn đề cách chặt chẽ khơng ngại khó mà tự tin vào khả học tập Tuy nhiên bên cạnh kết đạt mong muốn cịn số học sinh yếu, lười học chưa có khả tự giải toán Đối với em yếu việc khó khăn Một phần khả học tốn em cịn nhiều hạn chế, mặt khác dạng tốn khó, đòi hỏi tư nhiều em 10 Những điều mà thân thực chưa đạt kết mĩ mãn mong muốn, tơi nghĩ góp phần vào việc đổi phương pháp dạy học mà ngành thực KẾT LUẬN Trên kinh nghiệm nhỏ rút từ thực tế sau nhiều năm giảng dạy thân Phần tương giao đường thẳng với đường thẳng, đường thẳng parabol cịn nhiều tốn nhiều dạng với khả yêu cầu học sinh đại trà THCS đề cập đến số dạng toán mà em thường gặp phải kỳ thi kì thi tuyển sinh THPT Quá trình xây dựng nội dung sáng kiến kinh khơng tránh khỏi thiếu sót, mong đồng nghiệp tham gia, góp ý, để sáng kiến hồn thiện vận dụng rộng rãi trình dạy học Xin chân thành cảm ơn! Điện Quan, ngày 22 tháng năm 2013 Người viết Nguyễn Mạnh Hiền 11 TÀI LIỆU THAM KHẢO Đề thi vào THPT năm 2004 - 2005 sở giáo dục đào tạo Lào cai Đề thi vào THPT năm 2007 – 2008 sở giáo dục đào tạo Lào cai Đề thi vào THPT năm 2010 – 2011 sở giáo dục đào tạo Lào cai Đề thi vào THPT năm 2011 – 2012 sở giáo dục đào tạo Lào cai Đề thi vào THPT năm 2012 – 2013 sở giáo dục đào tạo Lào cai Một số vấn đề đổi phương pháp dạy học mơn tốn trường THCS Sách giáo khoa toán Toán nâng cao chuyên đề đại số 12 ... học sinh cịn yếu Để giúp học sinh làm tốt tập tương giao đường thẳng, đường thẳng parabol người thầy phải nắm rõ khuyết điểm học sinh thường mắc phải Từ có phương án giúp học sinh phát sai lầm. .. toán sự tương giao đường thẳng, đường thẳng parabol 2.3 Các biện pháp tiến hành để giải vấn đề Vấn đề 1: Sự tương giao hai đường thẳng: Dạng 1: Tìm toạ độ giao điểm Ta cần nhớ lại kiến thức tương. .. m đường thẳng (d) đường thẳng ( d ) cắt (Lời giải sai: toán học sinh rễ thực m – 2-m m kết luận m hai đường thẳng cắt nhau.) Vấn đề 2: Vị trí tương đối đường thẳng (D): y = f(x) = ax+ b (a parabol