SKKN giúp học sinh phát hiện và khắc phục sai lầm khi giải toán về căn bậc hai, căn bậc ba

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAMĐộc lập - Tự do - Hạnh phúc TÊN SÁNG KIẾN: GIÚP HỌC SINH PHÁT HIỆN VÀ KHẮC PHỤC SAI LẦM KHI GIẢI TOÁN VỀ CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA Quảng Bình, tháng 11

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

TÊN SÁNG KIẾN:

GIÚP HỌC SINH PHÁT HIỆN VÀ

KHẮC PHỤC SAI LẦM KHI GIẢI TOÁN VỀ

CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA

Quảng Bình, tháng 11 năm 2015

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

TÊN SÁNG KIẾN:

GIÚP HỌC SINH PHÁT HIỆN VÀ KHẮC PHỤC SAI LẦM KHI GIẢI TOÁN VỀ

CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA

Họ và tên: Nguyễn Thị Hà Trang

Chức vụ: Giáo viên

Đơn vị công tác: Trường THCS An Thủy

Quảng Bình, tháng 11 năm 2015

1 PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn sáng kiến :

Toán học là môn khoa học, toán học có vai trò rất quan trọng, là chìa khóa chocác ngành khoa học khác, toán học đa dạng và phong phú, mỗi nội dung toán họcđều có những đặc trưng và áp dụng của nó Cùng với sự phát triển của đất nước,thời kì công nghiệp hóa hiện đại hóa, phát triển và hội nhập thì việc tiếp thu khoahọc hiện đại của thế giới Do sự phát triển vượt bậc của khoa học kĩ thuật, kho tàngkiến thức của nhân loại tăng lên nhanh chóng, đòi hỏi ngay từ việc học của trò phảicó kiến thức vững vàng, những lập luận chặt chẽ Những người hướng dẫn các emtiếp thu kiến thức là những thầy, cô giáo đang trực tiếp giảng dạy các em, nhàtrường không thể luôn cung cấp cho học sinh những hiểu biết cập nhật được, điềuquan trọng là phải trang bị cho các em năng lực tự học để có thể tự mình tìm kiếmnhững kiến thức cần thiết cho bài học, để vận dụng vào làm bài tập

Qua nhiều năm là giáo viên giảng dạy trên lớp tôi thấy rằng việc truyền thụ kiếnthức cho các em mới chỉ là một chiều, là chỉ mới chỉ cho các em thấy cái đúng, lờigiải đúng, mà chưa chỉ cho các em tìm cái sai trong khi làm toán mà các em hay gặpđể các em suy nghĩ sâu sắc hơn cho học sinh, phát huy tính tích cực chủ động, sángtạo

Trong chương trình đại số lớp 9 THCS phần kiến thức về căn bậc hai, căn bậc

ba, tôi thấy học sinh còn mắc rất nhiều sai sót khi trình bày một bài toán, có nhữnglỗi sai mà lẽ ra các em không đáng mắc phải, nhưng vì sao như vậy đó là một câuhỏi của tôi, làm thế nào để các em trình bày một bài toán được tốt mà ít mắc sai lầm,

và ít bị bỏ quên các điều kiện như vậy

Trong quá trình giảng dạy thực tế trên lớp một số năm học tại trường THCS Tôiphát hiện ra rằng còn rất nhiều học sinh thực hành kỹ năng giải toán còn yếu, lờigiải toán còn thiếu nhiều và chưa chặt chẽ theo tư duy toán học do nhiều nguyênnhân như năng lực tư duy ngôn ngữ, khả năng chuyển thể từ ngôn ngữ văn họcthành các quan hệ toán học, chưa thực sự hiểu kỹ về căn bậc hai và trong khi thựchiện các phép toán về căn bậc hai, hay có sự nhầm lẫn, hiểu sai đầu bài, thực hiện

sai mục đích …Việc giúp học sinh nhận ra sự nhầm lẫn và giúp các em tránh đượcsự nhầm lẫn đó là cần thiết, giúp các em có một sự am hiểu vững chắc về lượngkiến thức khi học căn bậc hai, căn bậc ba, tạo nền móng để tiếp tục nghiên cứu cácdạng toán cao hơn sau này.

Qua nghiên cứu tài liệu, thực tế giảng dạy và học hỏi đồng nghiệp tôi rút ra

sáng kiến kinh nghiệm " Giúp học sinh phát hiện và khắc phục sai lầm khi giải

toán về căn bậc hai, căn bậc ba" nhằm tránh những sai lầm đáng tiếc của học sinh.

1.2 Điểm mới của sáng kiến

Giúp học sinh phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo trong học tập là mộtviệc làm mà có lẽ rất nhiều giáo viên trong quá trình giảng dạy đã trăn trở nghiêncứu và áp dụng vào bài dạy của mình Hơn nữa vấn đề này cũng đã được đề cậptrong nhiều tài liệu nghiên cứu nhằm phát huy được tính tích cực của học sinh, gópphần đổi mới nội dung và phương pháp dạy học Tuy nhiên khi áp dụng vào thực tếbài dạy của mình không phải giáo viên nào cũng biết vận dụng một cách hiệu quả đểcó thể dễ dàng nâng cao chất lượng dạy và học bởi vì thực tế chưa có những biệnpháp cụ thể mang tính hệ thống áp dụng cho từng bài dạy do vậy ít nhiều giáo viêncòn có sự lúng túng

Là một giáo viên trực tiếp đứng lớp giảng dạy bộ môn Toán Trung học cơ sở,mỗi lần lên lớp, bản thân tôi luôn băn khoăn trước việc học của các em Một số emthường mắc phải những sai lầm đáng tiếc khi giải các bài toán Đặc biệt, trong cácbài toán về căn bậc hai, căn bậc ba các em thường gặp những thiếu sót trong lời giảihoặc thậm chí ngộ nhận trong việc tìm hướng giải các bài toán dẫn đến việc khôngtìm được lời giải đúng cho bài toán Vậy làm thế nào để học sinh có thể tự tìm ra sailầm của mình, để từ đó khắc phục sai lầm và lĩnh hội kiến thức một cách sâu sắc?

Từ những trăn trở đó, tôi đã nghiên cứu đề tài " Giúp học sinh phát hiện và khắc

phục sai lầm khi giải toán về căn bậc hai, căn bậc ba" Đề tài không đưa ra ngay lời

giải đúng cho các bài toán mà xuất phát từ những lời giải sai của học sinh, tôi phântích những sai lầm mắc phải, để từ đó các em có thể tự nhận ra sai lầm của mình vàtự giải quyết để khắc phục sai lầm đó Như vậy các em đã chủ động phát hiện ra

kiến thức và tự khắc sâu hơn kiến thức cho chính mình Đây chính là điểm mới củasáng kiến này

1.3 Phạm vi áp dụng sáng kiến :

Trong sáng kiến này tôi chỉ nêu ra một số “Nhóm sai lầm” mà học sinh thườngmắc phải trong quá trình làm bài tập về căn bậc hai trong chương I –Đại số 9 củahọc sinh khối 9

Phân tích sai lầm trong một số bài toán cụ thể để học sinh thấy được những lậpluận sai, hoặc thiếu chặt chẽ dẫn tới bài giải không chính xác Từ đó định hướng chohọc sinh phương pháp giải toán về căn bậc hai, căn bậc ba

2 PHẦN NỘI DUNG

2.1 Thực trạng của sáng kiến

Khi dạy học sinh về căn thức bậc hai, căn bậc ba tôi thấy học sinh còn lúng túng

khi trình bày bài toán về căn bậc hai, tôi rất băn khoăn làm thế nào để học sinh làmtốt được bài tập, không sai sót

Trước thời gian đó nhiều em học sinh đi thi về cho rằng mình làm tốt bài, song điểmchưa được cao, chưa tối đa, lỗi vì đâu

Khi kiểm tra 15 phút của 38 em học sinh lớp 94 của trường THCS trong nội dungđầu năm học về căn thức bậc hai tôi thấy học sinh còn mắc khá nhiều lỗi sai mà lẽ racác em không mắc phải, khi điều tra và thống kê tôi thấy kết quả không như mongmuốn

Nội dung kiểm tra

Bài 1 Tìm các căn bậc hai của các số sau

Kết quả kiểm tra

Qua nhiều năm dạy học tôi thấy việc tiếp thu kiến thức theo hướng đưa bài tập,

học sinh làm thì việc tư duy, tìm tòi, khắc sâu kiến thức của học sinh không cao, cònkhi gặp bài toán ngược như tìm chỗ sai trong lời giải cho trước thì học sinh rất hứng thú bàn luận, cho ra nhiều hướng, nhiều kết quả ( có thể chưa đúng) song hiệu quả tốt hơn trong quá trình học tập của các em

Từ bài tập 16(SGK-t12 đại số lớp 9 tập 1) Đố Hãy tìm chỗ sai trong phép

chứng minh"Con muỗi nặng bằng con voi" dưới đây

Từ đó ta có 2m =2V, suy ra m=V Vậy con muỗi nặng bằng con voi (!)

Từ bài toán đó tôi thấy học sinh bàn luận hứng thú hơn và cũng từ đó tôi đãđưa các bài toán kiểu như vậy cho học sinh làm, nhằm gây hứng thú, đồng thời chỉ

ra một số sai lầm khi làm bài của học sinh

Trong quá trình giảng dạy tôi thấy học sinh học trong chương I đại số lớp 9 thườngmắc một số lỗi sau Sau đây tôi đưa ra một số nội dung lỗi mà học sinh hay mắcphải đồng thời đưa ra cách khắc phục cho học sinh

Dạng 1: Sai lầm trong tính toán

Khi làm bài tập học sinh hay sai trong việc tính toán, như nhầm dấu, nhânsai các nội dung này giáo viên khắc phục thường xuyên ở các lớp trước Trong nộidung này ta đề cập đến việc học sinh hay mắc phải lỗi sai khi sử dụng hằng đẳngthức A2 A

Bài toán 1.(SGK/tr10, ĐS 9) Rút gọn biểu thức:

a) 3  112 b)  2

3 a  2 với a <2

Lời giải sai.

a) 3  112 =3  11

b)3. a 22  3.(a 2)

Phân tích sai lầm Ở đây học sinh đã sử dụng hằng đẳng thức trên nhưng

không xét đến biểu thức A, và không vận dụng tốt hằng đẳng thức A2 A

Khắc phục sai lầm Chỉ ra sai cho học sinh và đồng thời lưu ý hằng đẳng

A  A nếu A 0( tức là A lấy giá trị âm)

Khi vận dụng cần chú ý tới biểu thức trong dấu căn để biến đổi

Lời giải sai:

a) Vì x 0 nên ta có x x 2, từ đó ta có

1 1

x x

1 1

1 1

x x

Phân tích sai lầm Việc biến đổi của các em cơ bản là tốt, nhưng khi sử dụng

hằng đẳng thức A2 A Thì các em vẫn hay mắc phải, ở bài toán trên, đối với câu

a) Học sinh sai ở bước  

2 2

1 1

1 1

x x

1 1

x x

1 1

1 1

x x

x





 b)Với y >0, ta có y 2 y  1  y 12

2 1 1





Dạng 2: Sai lầm trong giải phương trình.

Bai 1 Tìm x, biết:

Lời giải sai.

Biểu thức x2-2x+1 0 x

(1) x 12   3 x 1 3   x 4

Phân tích sai lầm Sai ở chỗ học sinh mới chỉ lấy một trường hợp, mà khi

giải loại bài tập này cần sử dụng 2

Bài 2: Giải phương trình :

Lời giải sai:

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x1=0; x2=-3

Phân tích sai lầm Sai ở chỗ với điều kiện x 4 thì vế phải chưa chắc đãkhông âm, vì vậy việc bình phương hai vế đã không đúng vì x2=-3 là bị loại

Khắc phục sai lầm Khi giải dạng toán A B cần lưu ý 2

So sánh điều kiện x=-3 (bị loại) , x=0 (TM)

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x=0

Bài 3: Giải phương trình.

Phương trình đã cho vô nghiệm trong khoảng x<0

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Phân tích sai lầm Sai ở đây là khi x=0 phương trình đã cho vẫn tồn tại, như

vậy học sinh đã vô tình chia cả hai vế cho biểu thức chứa ẩn và làm mất nghiệm củaphương trình

Khắc phục sai lầm.Không được chia hai vế phương trình cho một biểu thức

chứa ẩn khi chưa kiểm tra biểu thức đó bằng 0 có là nghiệm phương trình không.Cần lưu ý AB  A B. Khi A0 ;B0

Phương trình đã cho vô nghiệm trong khoảng x<0

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm là x=0

Bài 4 Giải phương trình x 1  5x 1  3x 2

Lời giải sai:

Điều kiện xác định của phương trình là x 1

So với điều kiện x 1thì x= 12

11là nghiệm phương trình

Phân tích sai lầm Sai ở chỗ các em đã bình phương hai vế phương trình mà

chưa chú ý đến điều kiện là hai vế phương trình phải cùng dấu việc sử dụng kiến

a b  a b ( khi a,b cùng dấu )

Khắc phục sai lầm Khi bình phương hai vế của một phương trình học sinh

cần chú ý đến hai vế phải cùng dấu nghĩa là a b  a2 b2( khi a,b cùng dấu )

Cách 1: Với điều kiện 2 7 0 2

7

    (2)

x  không thỏa mãn điều kiện (1), loại.

Giá trị x 2 2 không thỏa mãn điều kiện (2), loại

Vậy phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Phân tích sai lầm Tuy bài làm tưởng như là đúng, nhưng sai ở đây là học

sinh đã cho vào trong dấu căn biểu thức      

2

2 2 2

4 2 4

x x

Khắc phục sai lầm Khi đưa một thừa số vào trong dấu căn phải vận dụng

Ta có y2+4y+3=0 nên y1=-1, y2 =-3 Do y<0 nên từ (2) suy ra x<2

Với y=-1, thay vào (3) đượcx2-4=1 Do x<2 nên x= 5

Với y=-3, thay vào (3) đượcx2-4=9 Do x<2 nên x= 13

Vậy phương trình có hai nghiệm là  5;  13

Bài 6 Giải phương trình.

3 2x  1 3 x 1 (1)

Lời giải sai.

Lập phương hai vế, ta được 2x   1 x 33 x x(2  1).3 2x  1 3 x 1 (2)

Thay 3 2x  1 3 x  1 Vào (2) ta có 3x+1+33 x x  (2 1) 1 (3)

Phân tích sai lầm Các phương trình (1) và (2) tương đương, nhưng các

phương trình (2) và (3) không tương đương Từ (2) suy ra được (3), nhưng từ (3)không suy ra được (2)

Khắc phục sai lầm Khi tìm được nghiệm của phương trình (3) là 0 và -1,

phải thử lại các giá trị đó vào (1) để chọn ra nghiệm của (1)

Lời giải đúng.

Lập phương hai vế, ta được 2x   1 x 33 x x(2  1).3 2x  1 3 x 1 (2)

Thay 3 2x  1 3 x  1 Vào (2) ta có 3x+1+33 x x  (2 1) 1 (3)

        

Thử lại x1=0 thỏa mãn (1)

x2=-1 không thỏa mãn (1), loại

Phương trình (1) có một nghiệm duy nhất là x=0

Dạng 3: Sai lầm trong giải bất phương trình

Bài 1 Tìm x để biểu thức x 2 1 có nghĩa :

Lời giải sai.

x  có nghĩa khi x2    1 0 x2   1 x 1

Phân tích sai lầm Tuy học sinh đã vận dụng đúng kiến thức A có nghĩakhi A0, nhưng việc giải bất phương trình, kết hợp nghiệm của bất phương trìnhlại sai

Khắc phục sai lầm khi dạy nội dung này cần chú ý hướng dẫn cho học sinh

và phân tích kĩ nội dung giải bất phương trình và kết hợp nghiệm

Lời giải đúng.

x  có nghĩa khi x2    1 0 x2   1 x 1 hoặc x < -1

Cũng có thể làm như sau 2

 sau đó giải tiếp và tìm được x>1 hoặc x <-1

Bài 2 Tìm x để biểu thức sau x 1 x 3 có nghĩa

Lời giải sai.

biểu thức x 1 x 3 có nghĩa khi(x-1)(x+3) 0 1 0

1

3 0

x

x x

Phân tích sai lầm Trong trường hợp này học sinh khi làm bài đã chỉ nghĩ

đến trường hợp tích hai thừa số dương là một số dương, mà không nghĩ đến hai thừasố cùng âm thì tích cũng là một số dương

Khắc phục sai lầm Khi dạy nội dung này cần chú ý đến A.B0 khi và chỉkhi A;B cùng dấu, có hai trường hợp A;B cùng dương hoặc cùng âm

Lời giải đúng.

Biểu thức x 1 x 3 có nghĩa khi(x-1)(x+3) 0 1 0

1

3 0

x

x x

 



   

 

 Vậy biểu thức có nghĩa khi x 1 hoặc x -3

Đôi khi trong bài tập này còn có học sinh đã xét hai trường hợp như trên nhưng lạikết hợp nghiệm sai, vì vậy giáo viên phải lưu ý cho học sinh việc kết hợp nghiệm hệbất phương trình

Bài 3 Tìm x, biết.

Lời giải sai :

Điều kiện của bất phương trình là: 19

Vậy bất phương trình có nghiệm x>9

Phân tích sai lầm Cũng giống như bài 4 phần (sai lầm khi giải phương trình), học sinh sau khi đặt điều kiện cho bất phương trình sau đó bình phương hai

về, chưa xét xem hai vế không âm

Khắc phục sai lầm Khi đặt xong điều kiện cho bất phương trình có nghĩa,

trước khi bình phương cần xét đến hai vế của phương trình, khi hai vế không âm,sau đó bình phương hai vế không âm của bất phương trình

Dạng 4: Sai lầm thường gặp trong giải bài toán cực trị

Bài1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Phân tích sai lầm Tuy đáp số không sai nhưng lập luận sai khi khẳng định

(A có tử số không đổi nên có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất) mà chưa nhận xét tử

và mẫu là các số dương

Chẳng hạn, xét biểu thức B= 2

1 4

x  Với lập luận (phân thức B có tử không đổi nêncó giá trị nhỏ nhất khi mẫu lớn nhất), do mẫu nhỏ nhất bằng -4 khi x=0, ta sẽ đi đến

max B= 1

4

  x 0 Điều này không đúng vì 1

4 không phải là giá trị lớn nhất của B,

chẳng hạn với x=3 thì B=1 1

5  4.Mắc sai lầm trên là do không nắm vững tính chất của bất đẳng thức, đã máy móc ápdụng quy tắc so sánh hai phân số có tử và mẫu là số tự nhiên sang hai phân số có tử

và mẫu nguyên

Khắc phục sai lầm Khi giải loại toán này cần lưu ý đến phân thức cả tử và

mẫu phải là số dương

Lời giải đúng Bổ sung thêm nhận xét x2  6x 17  x 32  8 2 2 nên tử vàmẫu A là các số dương; hoặc từ nhận xét trên suy ra A>0 Ta xét biểu thức