Phương pháp giải và sáng tạo các bài toán về dãy số thực

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG  NGUYỄN HẠ VY PHƢƠNG PHÁP GIẢI VÀ SÁNG TẠO CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ THỰC Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng – Năm 2016 Công trình hoàn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS PHẠM QUÝ MƢỜI Phản biện 1: TS Nguyễn Duy Thái Sơn Phản biện 2: TS Hoàng Quang Tuyến Luận văn bảo vệ Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Khoa học chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp Đại học Đà Nẵng vào ngày 13 tháng năm 2016 Tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Dãy số phần giải tích toán học, vấn đề dãy số bao gồm: khảo sát hội tụ, tìm giới hạn dãy, tính đơn điệu tính bị chặn dãy Một yêu cầu đề thi học sinh giỏi cấp câu hỏi đề thi phải mới, không lấy nguồn tài liệu Vì kỹ sáng tạo toán dãy số yêu cầu thiếu giáo viên Với mong muốn nâng cao kiến thức, kỹ giải sáng tạo toán dãy số, định chọn đề tài : “Phương pháp giải sáng tạo toán dãy số thực” cho luận văn thạc sĩ Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tổng hợp, xếp lại lý thuyết phương pháp giải toán dãy số Luận văn tập trung vào nghiên cứu số cách thức sáng tạo toán dãy số Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Nghiên cứu lý thuyết dãy số thực, phương pháp giải sáng tạo toán dãy số thực Phương pháp nghiên cứu Với đề tài: “Phương pháp giải sáng tạo toán dãy số thực” sử dụng phương pháp nghiên cứu sau : + Thu thập, phân tích, so sánh, đánh giá tổng hợp + Áp dụng phương pháp giải có toán dãy + Sáng tạo toán dựa toán gốc Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Đề tài có giá trị mặt lý thuyết thực tiễn Có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo cho sinh viên ngành toán, giáo viên giảng dạy toán đối tượng quan tâm đến toán dãy số Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia thành ba chương, đó: Chương 1: Trình bày sơ lược kiến thức bổ trợ dãy số, tính đơn diệu, tính bị chặn dãy số, hội tụ dãy số, khái niệm sai phân, phương trình sai phân Chương 2: Trình bày phương pháp giải toán tìm số hạng tổng quát dãy, toán tính đơn điệu, tính bị chặn dãy số, toán chứng minh hội tụ tìm giới hạn dãy số Chương 3: Trình bày số phương pháp sáng tạo toán như: phương pháp đặc biệt hóa, phương pháp tổng quát hóa, phương pháp đặt dãy số phụ, phương pháp khảo sát tính đơn điệu hàm số Cùng với hướng dẫn Thầy giáo TS Phạm Quý Mười, chọn đề tài "PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ SÁNG TẠO CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ THỰC" cho luận văn thạc sĩ CHƯƠNG TỔNG QUAN VỀ DÃY SỐ THỰC Trong chương này, trình bày khái niệm dãy số, dãy đơn điệu, dãy bị chặn, giới hạn dãy, tính chất liên quan đến giới hạn dãy số, số dãy đặc biệt sơ lược phương trình sai phân 1.1 DÃY SỐ, DÃY ĐƠN ĐIỆU, DÃY BỊ CHẶN Định lý 1.1 Cho f : I → I ánh xạ, xét dãy số un+1 = f (un ) , n ∈ N 1) Trường hợp f tăng I - Nếu u0 un n∈N u1 un n∈N dãy tăng, u0 u1 dãy tăng, u0 u2 dãy tăng, u1 u3 dãy giảm 2) Trường hợp f giảm I - Nếu u0 u2n n∈N n∈N dãy giảm - Nếu u1 u2n+1 u2 u2n n∈N u3 u2n+1 n∈N dãy giảm 1.2 GIỚI HẠN DÃY SỐ Định lý 1.2 Cho dãy số un n∈N Khi đó, 1) Nếu un n∈N hội tụ đến l1 hội tụ đến l2 l1 = l2 2) Nếu un n∈N hội tụ đến l dãy trích từ un n∈N hội tụ đến l 3) Dãy un hội tụ đến l n∈N hội tụ đến l u2n n∈N u2n+1 n∈N Định lý 1.3 (Định lý Weierstrass) 1) Một dãy số đơn điệu bị chặn hội tụ 2) Một dãy số tăng bị chặn hội tụ 3) Một dãy số giảm bị chặn hội tụ Nhận xét Cho dãy số un+1 = f (un ) , n ∈ N Nếu f liên tục I lim un = l f (l) = l n→+∞ 1.3 CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN 1.4 SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN 1.4.1 Sai phân 1.4.2 Phương trình sai phân tuyến tính 1.4.3 Phương trình sai phân tuyến tính bậc Định nghĩa 1.11 Phương trình sai phân tuyến tính bậc phương trình sai phân dạng: u1 = α, aun+1 + bun = f (n) , n ∈ N∗ , (1.4) α, a = 0, b = số f (n) biểu thức n cho trước 1.4.4 Phương trình sai phân tuyến tính bậc hai Định nghĩa 1.12 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai phương trình sai phân dạng: u1 = α, u2 = β, aun+2 + bun+1 + cun = f (n) , n ∈ N∗ , (1.5) a, b, c, λ, β số, a = 0, c = f (n) biểu thức n cho trước CHƯƠNG CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Trong chương trình bày số phương pháp giải toán dãy số: xét tính đơn điệu, tính bị chặn, chứng minh hội tụ tìm giới hạn dãy số 2.1 TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ 2.1.1 Dự đoán công thức số hạng tổng quát chứng minh phương pháp quy nạp Ví dụ 2.1.2 Tìm số hạng tổng quát dãy (un ), biết: u1 = , un = 2u2n−1 − 1, n ∈ N, n Ví dụ 2.1.6 Tìm số hạng tổng quát dãy (un ), biết: u1 = , un = 4u3n−1 + 3un−1 , n ∈ N, n 2.1.2 Sử dụng phương trình sai phân để tìm số hạng tổng quát Ví dụ 2.1.9 Tìm số hạng tổng quát dãy số (un ) biết: u1 = 1, un = un−1 − 2n + 5, n 2, n ∈ N (2.9) Ví dụ 2.1.11 Tìm số hạng tổng quát dãy số (un ) biết: u1 = −2, un = 3un−1 − 5.3n , n 2, n ∈ N (2.11) Ví dụ 2.1.16 Tìm số hạng tổng quát dãy số (un ) , biết: u0 = 8, u1 = 145, un − 11un−1 + 28un−2 = 6.7n , n ∈ N, n (2.16) 2.1.3 Sử dụng dãy số phụ để tìm số hạng tổng quát Ví dụ 2.1.19 Tìm số hạng tổng quát dãy (un ), biết: x0 = 2, xn+1 = 2xn + , n ∈ N xn + (2.19) 2.2 XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ BỊ CHẶN CỦA DÃY SỐ 2.2.1 Sử dụng phương pháp quy nạp để xét tính đơn điệu, tính bị chặn dãy số Ví dụ 2.2.2 Cho dãy số (an ) , biết: a1 = 1, a√2 = 2, √ an+1 = an−1 + an , n 2, n ∈ N Chứng minh (an ) bị chặn tăng ngặt 2.2.2 Dựa vào số hạng tổng quát để xét tính đơn điệu, tính bị chặn dãy số Ví dụ 2.2.6 Cho dãy số (xn ) , biết: x0 = xn+1 = 2xn + , n ∈ N xn + Chứng minh (xn ) giảm bị chặn (2.27) 2.2.3 Sử dụng phương pháp hàm số để xét tính đơn điệu, tính bị chặn dãy số Ví dụ 2.2.8 Cho dãy số (un ) biết: un = ln n , n ∈ N∗ n Chứng minh (un ) giảm Ví dụ 2.2.10 Cho dãy số (un ) , biết: u1 = un+1 = + un , n ∈ N∗ + un Chứng minh u2n−1 tăng, u2n giảm, (un ) bị chặn 2.3 CHỨNG MINH SỰ HỘI TỤ VÀ TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 2.3.1 Sử dụng định nghĩa giới hạn dãy số Ví dụ 2.3.2 (Đề thi học sinh giỏi quốc gia 1988) Cho (un ) dãy bị chặn, thỏa: 2un+2 un+1 + un , n ∈ N∗ Dãy (un ) có thiết hội tụ không ? 2.3.2 Xác định số hạng tổng quát tính giới hạn Ví dụ 2.3.7 (Đề thi học sinh giỏi tỉnh Hà Tĩnh 2013) Cho dãy số (an ), tìm lim an , biết: (n + 2)2 an = n2 an+1 − (n + 1) an an+1 , n ∈ N∗ a1 = 2.3.3 Sử dụng định lý Weierstrass để chứng minh dãy số có giới hạn Ví dụ 2.3.9 Cho (xn ) biết: x1 = √ xn = 3xn−1 − 2, n = 2, 3, (2.31) Chứng minh dãy (xn ) có giới hạn n → +∞, tìm giới hạn √ Giải Xét hàm số f (x) = 3x − 3 ; +∞ Ta có: f (x) = √ > 0, ∀x ∈ 2 3x − Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên ta có: f : (1; 2) → (1; 2) f (x) đồng biến (1; 2) Mà x1 = , x2 = ∈ (1; 2), x1 < x2 , nên dãy (xn ) tăng 2 Và x1 ∈ (1; 2) nên xn = f (xn−1 ) ∈ (1; 2), n = 2, 3, Vậy (xn ) bị chặn Suy (xn ) hội tụ Giả sử lim xn = L, cho n → +∞ biểu thức (2.31) ta có: √ L=1 L = 3L − Ta : L = Vì dãy (xn ) tăng nên L ∈ ; Vậy lim xn = 2 10 3.1.2 Đặc biệt hóa phương trình sai phân cấp hai Từ phương trình sai phân cấp hai: a.un+2 + b.un+1 + c.un = f (n) , n ∈ N∗ , ta cho u1 , u2 , a, b, c giá trị cụ thể, f (n) hàm số cụ thể ta toán khác Ví dụ 3.1.8 Cho u1 = 2, u2 = −1, a = 1, b = −2, c = −4, f (n) = ta toán sau: Cho dãy số (un ) biết: u1 = 2, u2 = −1 un − 2un−1 − 4un−2 = 0, n (3.8) 3, n ∈ N Tìm số hạng tổng quát dãy (un ) Ta thấy (un ) dãy số nguyên nên từ ví dụ 3.1.8 ta có toán sau: Ví dụ 3.1.9 Cho dãy số (xn ) biết: √ √ √ n 25 + 13 √ −25 + 13 xn = 1+ − 1− 40 40 n , n ∈ N∗ (3.9) Chứng minh dãy (xn ) dãy số nguyên 3.2 PHƯƠNG PHÁP TỔNG QUÁT HÓA Ví dụ 3.2.2 (Đề thi học sinh giỏi tỉnh Nghệ An 2015) Cho dãy số (un ) biết: u1 = un+1 = √ un + 4un + + , n ∈ N∗ (3.12) Tìm số hạng tổng quát dãy (un ) Trong trình giải ví dụ 3.2.2 ta biến đổi biểu thức truy hồi đề cho dạng: aun+1 + b = α aun + b + β , α > (3.13) 11 √ Biến đổi (3.13) ta un+1 = α1 un + α2 aun + b + α3 , 2αβ αb + αβ − b với α1 = α; α2 = ; α3 = a a Ta có toán tổng quát sau: Bài toán 3.2.2 Cho dãy số (un ) biết: u1 = c √ un+1 = α1 un + α2 aun + b + α3 , n ∈ N∗ Với α1 = α > 0; α2 = 2αβ αb + αβ − b ; α3 = , ac+b a a (3.14) 0, a, b, c, α, β số thực Tìm số hạng tổng quát dãy (un ) Ví dụ 3.2.3 (Đề thi học sinh giỏi thành phố Hà Nội 2015) Cho dãy số (un ) biết: u1 = un+1 = 2un + 3u2n + 1, n ∈ N∗ (3.15) a) Chứng minh un+2 = 4un+1 − un , n ∈ N∗ b) Chứng minh u2015 chia hết cho Trong trình giải ví dụ 3.2.3 ta thấy toán giải hệ số u2n Vậy ta có toán tổng quát sau: Bài toán 3.2.3 Cho dãy số (un ) biết: u1 = α un+1 = aun + với a > 1, a2 − b = 1, bα2 + c bu2n + c, n ∈ N∗ (3.17) 0, a, b, c, α số thực Tìm số hạng tổng quát dãy (un ) 12 Ví dụ 3.2.5 (Tạp chí Toán học tuổi trẻ T8/298) Cho dãy số (xn ) biết:    x0 = 1, x1 = xn+1 xn  , n ∈ N∗  xn+2 = 2002xn+1 + 2001xn + 2000xn+1 xn (3.19) Tìm số hạng tổng quát dãy (xn ) Từ ví dụ 3.2.5 ta thấy từ phương trình sai phân cấp đặt: un = , n ∈ N∗ xn Ta có: aun + bun−1 + cun−2 = f (n) b c a + + = f (n) ⇔ xn xn−1 xn−2 axn−1 xn−2 ⇔xn = ,n f (n) xn−1 xn−2 − bxn−2 − cxn−1 3, n ∈ N Ta có toán tổng quát sau: Bài toán 3.2.5 Cho dãy số (xn ) biết: x1 = α, x2 = β axn−1 xn−2 xn = ,n f (n) xn−1 xn−2 − bxn−2 − cxn−1 3, n ∈ N (3.20) Tìm số hạng tổng quát dãy (xn ) 3.3 PHƯƠNG PHÁP ĐẶT DÃY SỐ PHỤ 3.3.1 Từ cấp số nhân Cho (un ) cấp số nhân với u1 công bội q Ta có: un = qun−1 , n ∈ N∗ 13 Ta đặt un = + c, n ∈ N∗ ta dãy: = qvn−1 + p, n ∈ N∗ Nhưng dãy chưa mới, phương trình sai phân cấp ta có phương pháp giải Tiếp tục đặt = , n ∈ N∗ , ta được: xn xn = xn−1 , n ∈ N∗ pxn−1 + q (3.21) Ta có toán tổng quát sau: Bài toán 3.3.1 Cho dãy số (xn ) biết: x1 = α, α = xn−1 xn = ,n cxn−1 + d 2, n ∈ N (3.22) Tìm số hạng tổng quát dãy (xn ) Phương pháp giải Vì x1 = α, α = nên xn = 0, n ∈ N∗ xn−1 d Từ ta có: xn = ⇔ =c+ , n 2, n ∈ N cxn−1 + d xn xn−1 1 , n ∈ N∗ , ta được: = dvn−1 +c, n ∈ N∗ , với v1 = Đặt = xn α Dãy (vn ) có dạng phương trình sai phân cấp ta biết cách giải Tiếp tục đặt xn = yn + λ, n ∈ N∗ , ta có: xn = xn−1 yn−1 + λ ⇔ yn + λ = pxn−1 + q p (yn−1 + λ) + q yn−1 (1 − pλ) − λ2 p + λq + λ ⇔ yn = pyn−1 + λp + q Đặt a = − pλ, b = −λ2 p + λq + λ, c = p, d = λp + q , ta có: yn = ayn−1 + b , n ∈ N∗ cyn−1 + d (3.23) Như vấn đề đặt cho dãy số có công thức truy hồi dạng (3.23) để đưa dạng (3.21) Từ (3.21) ta đặt 14 xn = yn + λ, n ∈ N∗ ta (3.23) nên muốn từ (3.23) đưa (3.21) ta cần đặt ngược lại: yn = xn − λ = xn + α, n ∈ N∗ Đặt yn = xn + α, n ∈ N∗ thay vào (3.23) ta có: xn +α = a (xn + α) + b (a − αc) xn − cα2 + (a − d) α + b ⇔ xn = c (xn + α) + d c (xn + α) + d Muốn đưa (3.21), chọn α thỏa −cα2 + (a − d) α + b = Để phương trình có nghiệm (a − d)2 + 4bc ≥ Ta có toán tổng quát sau: Bài toán 3.3.2 Cho dãy số (yn ) biết: y1 = α ayn−1 + b yn = ,n cyn−1 + d 2, n ∈ N (3.24) Trong (a − d)2 + 4bc ≥ Tìm số hạng tổng quát dãy (yn ) Phương pháp giải Đặt yn = xn + α, n ∈ N∗ , với α nghiệm phương trình −cα2 + (a − d) α + b = Biến đổi thu gọn toán 3.3.1 3.3.2 Từ toán có công thức truy hồi cấp có dạng lượng giác Trước tiên ta xét dãy số có công thức truy hồi cấp có dạng công thức cos2a Cho dãy số (un ) biết: u1 = α un+1 = 2u2n − 1, n ∈ N∗ (3.26) Tìm số hạng tổng quát dãy (un ) Bài toán trình bày phương pháp giải ví dụ 2.1.2 15 2.1.3 Ở ta quan tâm đến việc biến đổi toán thành toán phức tạp Đặt un = kvn , n ∈ N∗ , ta được: vn+1 = 2kvn2 − , n ∈ N∗ k Đặt a = 2k, b = − , nên ab = −2 Ta có toán tổng quát sau: k Bài toán 3.3.3 Cho dãy số (vn ) biết: v1 = α vn+1 = avn2 + b, n ∈ N∗ (3.27) Trong ab = −2 b = Tìm số hạng tổng quát dãy (vn ) Phương pháp giải n Nếu b = thì: vn+1 = avn2 = a.a2 vn−1 = = a2 −1 α2n , n ∈ N∗ Nếu ab = −2 đặt = −bun , n ∈ N∗ Trong toán 3.3.3 tiếp tục đặt = xn + λ, n ∈ N∗ , ta có: vn+1 = a1 vn2 + b1 , n ∈ N∗ ⇔xn+1 + λ = a1 (xn + λ)2 + b1 , n ∈ N∗ ⇔xn+1 = a1 x2n + 2a1 λxn + a1 λ2 + b1 − λ, n ∈ N∗ Đặt a = a1 , b = 2a1 λ, c = a1 λ2 − λ + b1 , ta có: xn+1 = ax2n + bxn + c, n ∈ N∗ Tuy nhiên với a, b, c đưa toán 3.3.3, ta tìm mối quan hệ a, b, c Ta có a1 b1 = −2 b1 = Nên: 4a2 λ2 − 4a1 λ + 4a1 b1 b2 − 2b − c = a1 λ2 − λ + b1 = = ,a = 4a1 4a b2 − 2b c = , a = 4a Ta có toán tổng quát sau: 16 Bài toán 3.3.4 Cho dãy số (xn ) biết: x1 = α xn+1 = ax2n + bxn + c, n ∈ N∗ (3.30) b2 − 2b − b2 − 2b c = 4a 4a Tìm số hạng tổng quát dãy (xn ) Trong a = 0, c = Phương pháp giải Nhận xét từ toán 3.3.3 ta đặt = xn + λ, n ∈ N∗ , ta b đưa toán 3.3.4 mà theo biến đổi ta có λ = , để 2a b đưa toán 3.3.4 toán 3.3.3 ta đặt xn = − , n ∈ N∗ 2a ∗ Trong toán 3.3.4 tiếp tục đặt xn = , n ∈ N , ta có: yn yn+1 = a b yn2 + + c ⇔ y = , n ∈ N∗ n+1 yn2 yn cyn2 + byn + a Ta có toán tổng quát sau: Bài toán 3.3.5 Cho dãy số (yn ) biết:   y1 = α = yn2 , n ∈ N∗  yn+1 = cyn + byn + a (3.33) b2 − 2b − b2 − 2b c = 4a 4a Tìm số hạng tổng quát dãy (yn ) Trong a = 0, c = Phương pháp giải , n ∈ N∗ , biến đổi đưa toán 3.3.4 Đặt yn = xn Ta xét tiếp dãy số có công thức truy hồi cấp có dạng công thức cos3a Cho dãy số (un ) biết: u1 = α un+1 = 4u3n ± 3un , n ∈ N∗ (3.34) 17 Tìm số hạng tổng quát dãy (un ) Bài toán trình bày phương pháp giải ví dụ 2.1.4, 2.1.5, 2.1.6 Ở ta quan tâm đến việc biến đổi toán thành toán phức tạp Đặt un = kvn , n ∈ N∗ , ta được: vn+1 = 4k u3n ± 3un , n ∈ N∗ Đặt a = 4k Ta có toán tổng quát sau: Bài toán 3.3.6 Cho dãy số (vn ) biết: v1 = α vn+1 = avn3 ± 3vn , n ∈ N∗ , a > (3.35) Tìm số hạng tổng quát dãy (vn ) Phương pháp giải Đặt = √ un , n ∈ N∗ a Trong toán 3.3.6 tiếp tục đặt = xn + λ, n ∈ N∗ , ta có: xn+1 = ax3n + 3aλx2n + aλ2 ± xn + aλ3 ± 3λ − λ, n ∈ N∗ Đặt b = 3aλ, c = aλ2 ± , d = aλ3 ± 3λ − λ, ta có: xn+1 = ax3n + bx2n + cxn + d, n ∈ N∗ Tuy nhiên với a, b, c, d đưa toán 3.3.6, ta tìm mối quan hệ a, b, c, d b , a = Nên ta có: Ta có b = 3aλ ⇔ λ = 3a c=3 b2 b3 b b ± ,d = ± − 9a 27a2 a 3a Ta có toán tổng quát sau: Bài toán 3.3.7 Cho dãy số (xn ) biết: x1 = α xn+1 = ax3n + bx2n + cxn + d, n ∈ N∗ (3.37) 18 b2 b b3 b ± − , a = 0, b tùy ý ± ,d = 9a 27a a 3a Tìm số hạng tổng quát dãy (xn ) Trong c = Phương pháp giải Nhận xét từ toán 3.3.6 ta đặt = xn + λ, n ∈ N∗ , để b đưa toán 3.3.6 mà theo biến đổi ta có λ = , để 3a b đưa toán 3.3.7 toán 3.3.6 ta đặt xn = − , n ∈ N∗ 3a 3.3.3 Một số ví dụ khác Ví dụ 3.3.7 Từ ví dụ 3.1.1 ta đặt un = n , n ∈ N∗ ta n+1 có toán sau: Cho dãy số (vn ) biết:   v1 = (2n + 3) (n + 2) n (n + 2) , n ∈ N∗  vn+1 = + n+1 (n + 1) (3.39) a) Tìm số hạng tổng quát dãy (vn ) b) Tính lim n→+∞ n 3.4 PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ ax + b Trong phần khảo sát bốn hàm số f (x) = , cx + d √ f (x) = ax + b, f (x) = ax + bx + c, f (x) = ax + bx + cx + d để minh họa cho phương pháp 3.4.1 Từ hàm số f (x) = ax + b cx + d Với hàm số ta có toán tổng quát sau: 19 Bài toán 3.4.1 Cho dãy số (un ) biết: u1 = α un+1 = aun + b , n ∈ N∗ cun + d (3.42) Xét hội tụ dãy (un ) Chọn a, b, c, d cho hàm số f (x) đồng biến, ta có ví dụ sau: Ví dụ 3.4.1 Cho dãy số (un ) biết: u1 = α un+1 = 3un + , n ∈ N∗ un + Xét hội tụ dãy (un ) Giải Ta có: u1 = α, u2 = Suy ra: 3α + α+2 u2 − u1 > ⇔ α ∈ (−∞; −2) ∪ (−1; 2) u2 − u1 < ⇔ α ∈ (−2; −1) ∪ (2; +∞) 3x + , f (x) = > 0, ∀x = x+2 (x + 2)2 x = −1 Ta có: f (x) = x ⇔ x = Bảng biến thiên: Xét hàm số f (x) = (3.43) 20 • Trường hợp 1: u1 = α ∈ (2; +∞) Ta có: f : (2; +∞) → (2; 3) , (2; 3) ⊂ (2; +∞) Ta có: u1 ∈ (2; +∞) nên un ∈ (2; 3) , ∀n ∈ N∗ Vậy dãy (un ) bị chặn Mặt khác u1 , u2 ∈ (2; +∞), u1 > u2 mà hàm số f(x) đồng biến (2; +∞) nên (un ) dãy số giảm Vậy dãy (un ) hội tụ Giả sử lim un = l n→+∞ 3l + =l⇔ l+2 mà un ∈ (2; 3) , ∀n ∈ N∗ , nên lim un = Trong biểu thức (3.43) cho n → +∞ ta có: l = −1 l=2 n→+∞ • Trường hợp 2: u1 = Ta có: u2 = 2, quy nạp ta có: un = 2, ∀n ∈ N∗ Vậy lim un = n→+∞ • Trường hợp 3: u1 = α ∈ (−1; 2) Ta có: f : (−1; 2) → (−1; 2) Ta có: u1 ∈ (−1; 2) nên un ∈ (−1; 2) , ∀n ∈ N∗ Vậy dãy (un ) bị chặn Mặt khác u1 , u2 ∈ (−1; 2), nên u1 < u2 mà hàm số f(x) đồng biến (-1;2) nên (un ) dãy số tăng Vậy dãy (un ) hội tụ Giả sử lim un = l n→+∞ 3l + l = −1 =l⇔ l=2 l+2 Mà un ∈ (−1; 2) , ∀n ∈ N∗ , (un ) dãy tăng nên lim un = Trong biểu thức (3.43) cho n → +∞ ta có: n→+∞ • Trường hợp 4: u1 = −1 Ta có: u2 = −1, quy nạp ta có: un = −1, ∀n ∈ N∗ Vậy lim un = −1 n→+∞ 21 • Trường hợp 5: u1 = α ∈ (−∞; −2) ∪ −2; − 6 Nên u2 ∈ (−∞; −2), u3 ∈ (3; +∞) Ta có: u1 ∈ (−∞; −2) ∪ −2; − Suy ra: un ∈ (2; 3)∀n 4, n ∈ N, (un ) bị chặn Mặt khác u3 , u4 ∈ (2; +∞), nên u3 > u4 mà hàm số f(x) đồng biến (2; +∞) nên dãy (un ) giảm từ số hạng thứ trở Vậy dãy (un ) hội tụ Giả sử lim un = l n→+∞ 3l + =l⇔ l+2 4, n ∈ N, nên lim un = Trong biểu thức (3.43) cho n → +∞ ta có: mà un ∈ (2; 3) , ∀n l = −1 l=2 n→+∞ • Trường hợp 6: u1 = α ∈ − ; −1 6 − ; −1 , giả sử un ∈ − ; −1 , ∀n ∈ N∗ 5 Suy (un ) bị chặn Mặt khác u1 , u2 ∈ − ; −1 , u1 > u2 , f(x) đồng biến − ; −1 nên dãy (un ) giảm Vậy (un ) hội tụ Giả sử lim un = l Ta có: u1 = α ∈ n→+∞ Trong biểu thức (3.43) cho n → +∞ ta có: Vì (un ) giảm un ∈ Vậy phải ∃n0 , un0 ∈ Nếu un0 = − 3l + =l⇔ l+2 l = −1 (vô lý) l=2 − ; −1 , ∀n ∈ N∗ −2; − dãy (un ) không xác định từ n0 + trở 22 Nếu un0 ∈ −2; − ta có: un0 +1 ∈ (−∞; −2) , un0 +2 ∈ (3; +∞) , un0 +3 ∈ (2; 3) nên un ∈ (2; 3) , ∀n n0 + 3, n ∈ N Vậy dãy (un ) bị chặn Mặt khác un0 +2 , un0 +3 ∈ (2; +∞) nên un0 +2 > un0 +3 mà hàm số f (x) đồng biến (2; +∞) nên dãy (un ) giảm từ số hạng n0 + trở Vậy dãy (un ) hội tụ Giả sử lim un = l n→+∞ 3l + =l⇔ l+2 n0 + 3, n ∈ N, nên lim un = Trong biểu thức (3.43) cho n → +∞ ta có: mà un ∈ (2; 3) , ∀n l = −1 l=2 n→+∞ Như cho u1 giá trị khác nhau, ta có toán khác Cho a, b, c, d cho hàm số f(x) nghịch biến, ta có ví dụ sau: Ví dụ 3.4.2 Cho dãy số (un ) biết: u1 = un+1 = un + , n ∈ N∗ un + (3.44) a) Chứng minh dãy (un ) bị chặn b)Chứng minh (u2n ) dãy số tăng, (u2n+1 ) dãy số giảm c)Xét hội tụ dãy (un ) 3.4.2 Từ hàm số f (x) = √ ax + b Chọn a, b cho hàm số f(x) đồng biến, ta có ví dụ sau: Ví dụ 3.4.3 Cho dãy số (un ) biết: u1 = α √ un+1 = 2un + 3, n ∈ N∗ (3.45) 23 Xét hội tụ dãy (un ) Vậy cho u1 giá trị khác nhau, ta có toán khác Chọn a, b cho hàm số f(x) nghịch biến, u1 = giá trị cụ thể ta có ví dụ sau: Ví dụ 3.4.4 Cho dãy số (un ) biết: u1 = √ un+1 = − un , n ∈ N∗ (3.47) Xét hội tụ dãy (un ) 3.4.3 Từ hàm số f (x) = ax2 + bx + c Cho a, b, c giá trị cụ thể, ta có toán khác nhau, ví dụ cho a = 1, b = −2, c = ta có ví dụ sau: Ví dụ 3.4.5 Cho dãy số (un ) biết: u1 = α un+1 = u2n − 2un + 2, n ∈ N∗ (3.48) Xét hội tụ dãy (un ) Vậy cho u1 giá trị khác nhau, ta có toán khác 3.4.4 Từ hàm số f (x) = ax3 + bx2 + cx + d Cho a, b, c, d giá trị cụ thể, ta có toán khác nhau, ví dụ cho a = 2, b = −5, c = 4, d = ta có ví dụ sau: Ví dụ 3.4.6 Cho dãy số (un ) biết: u1 = α un+1 = 2u3n − 5u2n + 4un , n ∈ N∗ (3.49) Xét hội tụ dãy (un ) Vậy cho u1 giá trị khác nhau, ta có toán khác 24 KẾT LUẬN Sau thời gian tìm hiểu, học hỏi từ tài liệu Thầy giáo TS Phạm Quý Mười cung cấp, hoàn thành đề tài Luận văn Phương pháp giải sáng tạo toán dãy số thực giải vấn đề sau: Hệ thống phương pháp tìm số hạng tổng quát, xét tính đơn điệu, tính bị chặn, chứng minh hội tụ tìm giới hạn dãy số thực, giải số toán dãy số đề thi học sinh giỏi để minh họa cho phương pháp Trình bày phương pháp xây dựng toán mới: phương pháp đặc biệt hóa, tổng quát hóa, phương pháp đặt dãy số phụ, phương pháp hàm số Xây dựng số toán phương pháp giải tổng quát Với tìm hiểu được, hy vọng luận văn tài liệu tham khảo hữu ích cho thân công tác giảng dạy sau nguồn tư liệu tốt cho học sinh phổ thông quan tâm đến toán dãy số thực Mặc dù cố gắng, thời gian khả có hạn nên chắn luận văn có thiếu sót Vì thế, mong nhận nhiều ý kiến đóng góp quý thầy cô, bạn bè, đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện ... để minh họa cho phương pháp Trình bày phương pháp xây dựng toán mới: phương pháp đặc biệt hóa, tổng quát hóa, phương pháp đặt dãy số phụ, phương pháp hàm số Xây dựng số toán phương pháp giải... SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN 1.4.1 Sai phân 1.4.2 Phương trình sai phân tuyến tính 1.4.3 Phương trình sai phân tuyến tính bậc Định nghĩa 1.11 Phương trình sai phân tuyến tính bậc phương trình... giới hạn dãy số Chương 3: Trình bày số phương pháp sáng tạo toán như: phương pháp đặc biệt hóa, phương pháp tổng quát hóa, phương pháp đặt dãy số phụ, phương pháp khảo sát tính đơn điệu hàm số