Chứng minh tính chất hình học bằng phương pháp tọa độ

LUYỆN ĐỀ HÀNG TUẦN Chứng minh tính chất hình học phương pháp tọa độ TÀI LIỆU GỬI TẶNG CÁC BẠN HỌC SINH THÂN YÊU USER Huế, tháng 3, 2016 Bài tốn 1: Cho hình chữ nhật ABCD có AB=2AD, M, G trung điểm AB ED Gọi E điểm đối MF EF xứng với D qua A Chứng minh EG  GB tính tỉ số ; FA FG Chọn hệ trục tọa độ Dxy hình vẽ Đặt AD   AB  1 1 Khi D(0; 0), A(0;1), E(0; 2), B(2;1) M trung điểm AB  M(1;1)  G  ;  2 2   3       Ta có: EG   ;  ; GB   ;   EG.GB   EG  GB 2  2 2 Kẻ AI//DM, GK//AD  AB : y  1   F  ;1  Tọa độ F nghiệm hệ:  3  EG : 3x  y        2  MF 2 Do đó: AF   ;  , MF   ;   AF 3         1  EF 2 Tương tự, EF   ; 1  , FG   ;   FG 3  6    450 Gọi K điểm nằm cạnh BC cho tam giác Bài tốn Cho tam giác ABC khơng cân, có góc ACB ABK cân A, N điểm đối xứng với K qua cạnh AC, M trung điểm BC Chứng minh tính chất sau đây: 1) AM  BN 2) Tam giác ABN vuông cân A 3) Tam giác AKN cân A Chọn hệ trục tọa độ Hxy hình vẽ Gọi F trung điểm KN 3  Đặt BC = 4a  Khi H(0; 0), A(0; 3a), B( a; 0), C(3a; 0), M  a;  2  Phương trình đường thẳng AC : x  y  3a  , phương trình đường thẳng qua K vng góc với AC d :x  y  a   x  y  3a  F(2a; a) N điểm đối xứng với M qua AC, suy N(3a; 2a) Tọa độ điểm F:  x  y  a       Ta có AM   a; 3a  ; BN  (4a; 2a)  AM.BN   AM  BN 2      Lại có AB   a; 3a  ; AN  (3a; a)  AB.AN   AB  AN , AB  AN  a 10 Suy tam giác ABN vuông cân A   Mặt khác AK  (a; 3a), AN  (3a; a)  AK  AN  a 10 , suy tam giác AKN cân A Bài toán Cho hình vng ABCD tâm I, tia đối tia CB lấy điểm M, tia đối tia DC lấy điểm N cho BM = CN BD cắt MN K Đường thẳng song song với AN kẻ từ M đường thẳng song song với AM kẻ từ N cắt F Chứng minh rằng: 1) Tam giác AMN vuông cân A 2) K trung điểm MN 3) FC  AC, AMPN hình vng Chọn hệ trục tọa độ Axy hình vẽ, đặt cạnh AD = 1, BM = a >0 Khi đó: A(0; 0), M(a;1), N(1; a), B(0;1), D(1; 0) Ta có kết sau:     AN  (1; a), AM  (a;1)  AN.AM  0, AM  AN nên tam giác AMN vuông cân A  1 a 1 a  ; Giả sử O trung điểm MN  O  mà O lại thuộc BD: x  y   nên O giao điểm   MN BD O  K  K trung điểm MN  Đường thẳng MF qua M nhận AM  (a;1) làm VTPT có phương trình: ax  y  a2    Đường thẳng NF qua N nhận AN  (1; a) làm VTPT có phương trình: x  ay  a2   F giao điểm MF NF  F(a  1; a  1) mà F lại đối xứng với A qua K nên K trung điểm AF Vậy tứ giác AMFN hình vng     AF  (a  1; a  1); AC  (1;1)  AF.AC   AF  AC Bài tốn Cho hình thang vng ABCD A B, gọi E trung điểm AB, H K chân đường cao kẻ từ A B đến ED EC, đường thẳng AH cắt BK F Gọi G giao điểm EF DC Chứng minh: EG  DC Chọn hệ tọa độ Bxy hình vẽ Đặt AB  2, BC  b  0, AD  a   B(0; 0), A(0; 2), D(a; 2), C(b; 0), E(0;1)  Phương trình đường thẳng BK nhận EC  (b; 1) làm VTPT  BK : bx  y   Phương trình đường thẳng AH nhận ED  ( a;1) làm VTPT  AH : ax  y   BK : bx  y   2b   F ; Tọa độ F nghiệm hệ   ab ab  AH : ax  y -    b  a   ; CD  (a  b; 2) T Suy EF    ab ab   2( a  b) 2(b  a) Ta có: CD.EF     CD  EF ab ab Bài tốn Cho hình chữ nhật ABCD Gọi E điểm cạnh BD, F điểm đối xứng với C qua E Hình chiếu vng góc F cạnh AB AD N M Chứng minh M, N, E thẳng hàng Chọn hệ trục tọa độ Avu hình vẽ (Av tương ứng với trục Ox, Au tương ứng với trục Oy) Khi A(0;0), B(2;0),C(2;1), D(0;1) Phương trình BD: x  y   , mà E thuộc BD nên E(2  2e; e)  F(2  4e; 2e  1) Phương trình AB: y  Phương trình AC: x  M N hình chiếu F lên AB, AC nên M(0; 2e  1), N(2  4e;0) Phương trình MN: (2e  1)x  (2  4e)y  (2  4e)(2e  1)  Giả sử H giao điểm MN BD  H(2  2e; e)  E Vậy M,N,E thẳng hàng Gọi F  EF ẩn  Trung điểm O AF thuộc MN  F M N giao điểm MN đường tròn tâm O, bán kính AF Viết phương trình đường tròn qua điểm M,A,E hệ ba ẩn Bài toán Cho hình bình hành ABCD có diện tích 40 AD=2AB Gọi M trung điểm AB, E hình chiếu vng góc C đường thẳng AB Giả sử C(5;2), M(1;4) đường phân giác góc CME có phương trình x-1=0, tìm tọa độ đỉnh hình bình hành, biết điểm A có tung độ nhỏ