Giáo án Đại số 11 chương 3 bài 3: Cấp số cộng

MỤC TIÊU BÀI DẠY: 1.Về kiến thức: Biết được khái niệm cấp số cộng, công thức số hạng tổng quát, tính chất các số hạng và công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng 2.Về kỹ nă

TOÁN 11

TIẾT 41: §3 CẤP SỐ CỘNG (T1)

I MỤC TIÊU BÀI DẠY:

1.Về kiến thức:

Biết được khái niệm cấp số cộng, công thức số hạng tổng quát, tính chất các số hạng

và công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng

2.Về kỹ năng:

Biết sử dụng công thức và tính chất của cấp số cộng để giải quyết các bài toán : Tìm các yếu tố còn lại khi biết ba trong năm yếu tố u1, un, n ,d, Sn,

3.Về thái độ, tư duy:

Tự giác, tích cực học tập

Tư duy các vấn đề toán học một cách logic và hệ thống

II CHUẨN BỊ CỦA GV VÀ HS

1 Giáo viên: + SGK, TLHDGD, Giáo án

+ Một số câu hỏi, bài tập áp dụng

2 Học sinh: + SGK, vở ghi, đồ dùng học tập

+ Chuẩn bị bài ở nhà

III TIẾN TRÌNH BÀI GIẢNG:

1 Ổn định tổ chức: 1’

- Nắm tình làm bài, học bài của học sinh ở nhà.

2 Kiểm tra bài cũ (Lồng vào các hoạt động)

3 Dạy bài mới

Hoạt động 1: Định nghĩa (20’)

Hoạt động GV Hoạt động HS Trình chiếu - Ghi bảng

Cho học sinh thực

hiện hoạt động :

Biết bốn số hạng đầu

tiên của một dãy là:

-1, 3, 7, 11

Hãy chỉ ra quy luật

và viết tiếp 5 số hạng

của dãy ?

Phát biểu định

nghĩa ?

Viết hệ thức truy hồi

Số hạng đứng sau bằng số hạng đứng trước cộng thêm 4 đơn vị

-1, 3, 7, 11, 15, 19,

23, 27, 31

Học sinh phát biểu

n

u là cấp số cộng với công sai d, ta có hệ

I.Định nghĩa :

1, Định nghĩa

Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.

Nếu u nlà cấp số cộng với công sai d, ta có hệ thức truy hồi:

1

u u  d với n  * (1) Khi d=0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi

Ví dụ : chứng minh dãy số sau là một dãy số hữu hạn: 1, -3, -7, -11, -15

Giải : vì : - 3= 1+(-4); - 11=-7+(-4)

Xét ví dụ

thức truy hồi:

vu n1 u n d với

 *

n N

- 7= -3+( -4); - 15= -11+(-4) Nên theo định nghĩa dãy số đã cho là một cấp

số cộng với công sai d=- 4

Hoạt động 2: Số hạng tổng quát (20’)

Hoạt động GV Hoạt động HS Trình chiếu - Ghi bảng

Cho hs phát biểu

định lí

Hướng dẫn học sinh

chứng minh định lí

bằng phương pháp

quy nạp:

Bước 1:

Bước 2:

Kết luận

Xét ví dụ :

a, Tìm u15

b, Số 100 là số hạng

thứ bao nhiêu

hs phát biểu định lí

Khi n=2 thì

2 1

u u  d

Giả thiết công thức (2) đúng với n k 2

tức là :

1 ( 1)

k

u u  k dta phải chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1, tức là:

1 1

k

u u kd

Vậy : u n u1  (n 1)d

với n 2

a, Theo công thức cộng (2) ta có

b, theo công thức (2)

ta có :

II Số hạng tổng quát

Định lí:

Nếu cấp số cộng ( u n ) có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát u n được xác định bởi công thức:

1 ( 1)

n

u u  n dvới n 2 (2) Chứng minh: (chứng minh bằng phương

pháp quy nạp toán học) Khi n=2 thì u2 u1  d đúng Giả thiết công thức (2) đúng với n k 2tức

là : u k u1  (k 1)dta phải chứng minh mệnh

đề đúng với n=k+1, tức là: u k1 u1 kd Thật vậy theo gt quy nạp và công thức cộng

ta có:

1

( 1)

u k d

Vậy : u n u1  (n 1)d với n 2

Ví dụ: Cho cấp số cộng ( u n) biết u1    5,d 3

a, Tìm u15

b, Số 100 là số hạng thứ bao nhiêu

c, Biểu diễn các số hạng của dãy số trên trục

số Nhận xét vị trí của mỗi điểm :u u u2 , 3 , 4so với hai điểm kề bên

Giải

a, Theo công thức cộng (2) ta có :

b, theo công thức (2) ta có :

n

100   5 (n 1).3  n 36

c, năm số hạng đầu của cấp số cộng là:

-5, -2, 1, 4, 7 được biểu diễn bởi các điểm

c, Biểu diễn các số

hạng của dãy số trên

trục số

Nhận xét vị trí của

mỗi điểm :u u u2 , 3 , 4so

với hai điểm kề bên

n

100

n

u  nên :

100 5 ( 1).3

36

n n

   

  Biểu diễn trên trục

số năm số hạng đầu của cấp số cộng là:

-5, -2, 1, 4, 7

1 , 2 , 3 , 4 , 5

u u u u u trên trục số:

Điểm u3 là trung điểm của đoạn u u2 , 4

* Củng cố(3’)

- Hướng dẫn làm một số bài tập SGK

4 Hướng dẫn học bài và làm bài tập ở nhà (1’)

- Xem lại lí thuyết

- Làm bài tập trong sách giáo khoa

* Rút kinh nghiệm:

1 0 2

3

u

2

7

GIÁO ÁN TOÁN 11

§3 CẤP SỐ CỘNG TIẾT 42: (T2)

1I MỤC TIÊU BÀI DẠY:

1.Về kiến thức:

Biết được khái niệm cấp số cộng, công thức số hạng tổng quát, tính chất các số hạng

và công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng

2.Về kỹ năng:

Biết sử dụng công thức và tính chất của cấp số cộng để giải quyết các bài toán : Tìm các yếu tố còn lại khi biết ba trong năm yếu tố u1, un, n ,d, Sn,

3.Về thái độ, tư duy:

Tự giác, tích cực học tập

Tư duy các vấn đề toán học một cách logic và hệ thống

II CHUẨN BỊ CỦA GV VÀ HS

1 Giáo viên: + SGK, TLHDGD, Giáo án

+ Một số câu hỏi, bài tập áp dụng

2 Học sinh: + SGK, vở ghi, đồ dùng học tập

+ Chuẩn bị bài ở nhà

III TIẾN TRÌNH BÀI GIẢNG:

1 Ổn định tổ chức: 1’

- Nắm tình làm bài, học bài của học sinh ở nhà.

2 Kiểm tra bài cũ (Lồng vào các hoạt động)

3 Dạy bài mới

Hoạt động 1: Tính chất các số hạng của cấp số cộng (15’)

Cho học sinh phát biểu

định lý 2

Hướng dẫn học sinh

chứng minh?

Phát biểu định lý 2

  

2

k

u với k 2 (3)

Giả sử (u n) là cấp số cộng với công sai d, áp dụng công thức 1 ta có:

III Tính chất các số hạng của cấp

số cộng Định lý 2:

Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số hạng cuối) đều là trung bình của hai số hạng đứng kề với nó nghĩa là

  

2

k

u với k 2 (3)

Chứng minh :

Giả sử (u n) là cấp số cộng Với công sai d, áp dụng công thức 1

ta có:

;

u u  d u u d suy ra

1 ; 1

u  u  d u  u d

suy ra

2



2



Hoạt động 2: Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng (25’) Hoạt động GV Hoạt động HS Trình chiếu - Ghi bảng

Cho hs phát biểu định lí

Nêu chú ý :

Xét ví dụ :

a, chứng minh ( u n ) là

cấp số cộng.Tìm u1 và d

b, tính tổng của 50 số

hạng đầu

c, Biết S  n 260 tìm n

Phát biểu định lí 3

Đặt S n u1 u2 u3 u n

1

2

n n

n u u

Vì u n u1  (n 1)dnên

1

2

n

n n

S nu   d

a, Vìu n  3n 1 nên u 1 2

với n 1, xét hiệu

u  u  n   n 

suy ra u n1 u n 3 vậy (

n

u ) là cấp số cộng với công sai d=3

b, u1  2,n 50 nên theo công thức (4’) ta có:

1

( 1) 50.49 50.2 3 3775

n

n n

S nu   d  

c, vì u1  2,n 50,  S n 260

nên theo công thức (4’)

ta có :

2

n n

2

3n  n 520  0

IV, Tổng n số hạng đầu tiên của cấp

số cộng

Định lí 3:

Cho cấp số cộng ( u n ).

Đặt S n u1 u2 u3 u n

Khi đó : ( 1 )

2

n n

n u u

S   (4)

Chú ý :

vì u n u1  (n 1)dnên công thức (4) có thể viết 1

2

n

n n

S nu   d (4’)

Ví dụ 3: cho dãy số ( u n ) với u n  3n 1

a, chứng minh ( u n ) là cấp số cộng.Tìm

1

u và d

b, tính tổng của 50 số hạng đầu.

c, Biết S  n 260 tìm n Giải :

a, Vìu n  3n 1 nên u 1 2

với n 1, xét hiệu

u  u  n   n  suy ra

u u  vậy (u n ) là cấp số cộng với công sai d=3

b, u1  2,n 50 nên theo công thức (4’)

ta có:

1

( 1) 50.49 50.2 3 3775

n

n n

S nu   d  

c, vì u1  2,n 50,  S n 260nên theo công

thức (4’) ta có :

2

n n

3n  n 520  0

giải phương trình trên ta tìm được n=13 thoả mãn

* Củng cố (1’)

- Nhắc lại tóm tắt kiến thức đã học trong tiết học

4 Hướng dẫn học bài và làm bài tập ở nhà (3’)

- Hướng dẫn học sinh làm bt sgk

- Xem lại lí thuyết

- Làm bài tập :1-3 trong sách giáo khoa

* Rút kinh nghiệm:

………

………

………

………

………