Tiểu luận quản trị rủi ro tài chính chương 13 mô phỏng lịch sử và lý thuyết giá trị cực trị

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ TP.HỒ CHÍ MINH KHOA TÀI CHÍNH  - MƠN QUẢN TRỊ RỦI RO TÀI CHÍNH CHƯƠNG 13 MƠ PHỎNG LỊCH SỬ VÀ LÝ THUYẾT GIÁ TRỊ CỰC TRỊ GVHD: PGS.TS Nguyễn Thị Ngọc Trang Lớp Tài K26 Nhóm thực hiện: Lê Thị Ngoan Châu Thanh Hảo Dương Thị An Tháng 01/2018 CHƯƠNG 13 MÔ PHỎNG LỊCH SỬ VÀ LÝ THUYẾT GIÁ TRỊ CỰC TRỊ Trong chương này, đề cập đến cách tiếp cận phổ biến để tính giá trị rủi ro (VaR) Thâm hụt kỳ vọng (ES) cho rủi ro thị trường Đó gọi mơ lịch sử Nó bao gồm việc sử dụng giá trị thay đổi hàng ngày biến thị trường quan sát khứ theo cách trực tiếp để ước lượng phân bố xác suất thay đổi giá trị danh mục ngày hôm ngày mai Sau mô tả học cách tiếp cận mơ lịch sử, chương giải thích số phần mở rộng cải thiện độ xác Nó bao gồm VaR nhấn mạnh ES nhấn mạnh, nhà quản lý sử dụng (hoặc sử dụng sớm) để xác định vốn rủi ro thị trường Cuối cùng, bao gồm lý thuyết giá trị cực trị Đây công cụ sử dụng để cải thiện ước lượng VaR ES tăng mức độ tin tưởng cho ước tính Tất mơ hình trình bày chương minh họa danh mục đầu tư bao gồm đầu tư vào bốn số chứng khoán khác Dữ liệu lịch sử số tính tốn VaR tìm thấy www.2.rotman.utoronto.ca/~hull/RMFI/VaRExample 13.1 PHƯƠNG PHÁP LUẬN Mô lịch sử liên quan đến việc sử dụng liệu q khứ dự phóng cho xảy tương lai Giả sử muốn tính VaR cho danh mục đầu tư sử dụng thời gian ngày, mức độ tin cậy 99%, 501 ngày liệu (Khoảng thời gian mức độ tin cậy mức thường sử dụng cho tính VaR, rủi ro thị trường, sử dụng 501 ngày liệu vì, thấy, dẫn đến 500 kịch tạo ra.) Bước xác định biến số thị trường ảnh hưởng đến danh mục đầu tư Đây thường tỷ giá hối đoái, lãi suất, số chứng khoán, v.v Dữ liệu sau thu thập biến động biến thị trường 501 ngày gần Điều cung cấp 500 kịch thay cho xảy ngày hôm ngày mai Cho biết ngày mà chúng tơi có liệu Ngày 0, ngày thứ hai Ngày v.v Trường hợp nơi thay đổi phần trăm giá trị tất biến giống khoảng Ngày Ngày 1, trường hợp thời điểm tương tự Ngày Ngày 2, v.v Đối với kịch bản, tính la thay đổi giá trị danh mục đầu tư ngày hôm ngày mai Điều định nghĩa phân bố xác suất cho tổn thất hàng ngày (với lợi ích tính tổn thất âm) giá trị danh mục đầu tư Phân vị 99 phân phối ước lượng kết tồi tệ thứ nhất1 Ước tính VaR tổn thất điểm phân vị 99 Chúng chắn 99% khơng nhiều ước tính VaR biến động biến thị trường 500 ngày qua đại diện cho điều xảy ngày hôm ngày mai Để diễn đạt tiếp cận đại số, xác định vi giá trị biến thị trường vào Ngày i giả sử ngày hôm Ngày n Kịch thứ i cách tiếp cận mô lịch sử giả định giá trị biến thị trường vào ngày mai Giá trị Kịch = 𝒗𝒊 𝒗𝒊−𝟏 Hình minh họa Để minh họa tính tốn phương pháp tiếp cận, giả sử nhà đầu tư Hoa Kỳ chủ sở hữu, vào ngày 25/9/2008, danh mục trị giá 10 triệu USD bao gồm khoản đầu tư vào bốn số chứng khốn: Trung bình Cơng nghiệp Dow Jones (DJIA) Hoa Kỳ, FTSE 100 Anh (Chỉ số xem phong vũ biểu kinh tế Anh số cổ phiếu hàng đầu châu Âu Nó trì FTSE Group, cơng ty độc lập mà ban đầu kết liên doanh Financial Times LSE (FTSE viết tắt Financial Times Stock Exchange).), CAC 40 Pháp(Chỉ số thị trường chứng khoán tiêu chuẩn Pháp CAC 40 (FRA40) tên viết tắt Cotation Assistée en Continu, đại diện cho nhóm 40 cơng ty đứng đầu số 100 cơng ty có giá trị vốn hóa thị trường lớn giao dịch Sàn chứng khoán Euronext Paris Pháp), Nikkei 225 Nhật Bản Giá trị khoản đầu tư vào số vào ngày 25/9/2008 thể Bảng 13.1 Một bảng tính Excel chứa 501 ngày liệu lịch sử giá đóng cửa bốn số tính tốn VaR hồn chỉnh nằm trang web tác giả:2 Có lựa chọn thay Một trường hợp thực để sử dụng thiệt hại tồi tệ thứ năm, mát tồi tệ thứ sáu, trung bình hai Trong hàm PERCENTILE Excel, có n quan sát k số nguyên, phân số k/(n - 1) quan sát xếp k + Các phần trăm khác tính cách sử dụng nội suy tuyến tính Để giữ cho ví dụ đơn giản tốt, ngày bốn số giao dịch bao gồm việc biên soạn liệu Đây lý 501 liệu liệu kéo dài từ ngày 7/8/2006 đến ngày 25/9/2008 Trong thực tế, có nỗ lực để lúng túng liệu ngày kỳ nghỉ Hoa Kỳ www-2.rotman.utoronto.ca/∼hull∕RMFI∕VaRExample Các tính tốn cho phần nằm bảng đến Vì chúng tơi xem xét nhà đầu tư Hoa Kỳ, nên giá trị FTSE 100, CAC 40 Nikkei 225 phải đo đô la Mỹ Chẳng hạn, FTSE 100 đứng mức 5.823,40 vào ngày 10/8/2006, tỷ giá hối đối 1,8918 USD/GBP Điều có nghĩa là, đo đô la Mỹ, mức 5.823,40 x 1,8918 = 11.016,71 Trích từ liệu với tất số đo đô la Mỹ thể Bảng 13.2 Ngày 25/9/2008, ngày thú vị để lựa chọn việc đánh giá đầu tư vốn cổ phần Sự hỗn loạn thị trường tín dụng, bắt đầu vào tháng 8/2007, năm Giá cổ phiếu giảm vài tháng Sự biến động tăng lên Lehman Brothers bỏ trốn để phá sản 10 ngày trước Chương trình cứu trợ tài sản bị rắc rối trị giá 700 tỷ USD Thư ký Bộ Tài chưa Quốc hội Hoa Kỳ thông qua Bảng 13.3 cho thấy giá trị số (đo đô la Mỹ) vào ngày 26/9/2008 cho kịch xem xét Kịch (hàng Bảng 13.3) cho thấy giá trị số vào ngày 26/9/2008, giả định tỷ lệ phần trăm thay đổi họ từ ngày 25/9 đến ngày 26/9/2008, giống thời điểm từ ngày 7/8 đến ngày 8/8/2006; Kịch (hàng thứ hai Bảng 13.3) cho thấy giá trị số vào ngày 26/9/2008, giả định thay đổi tỷ lệ phần trăm giống tháng ngày 9/8/2006; Nói chung, kịch i giả định tỷ lệ phần trăm thay đổi số từ ngày 25 tháng đến ngày 26 tháng giống ngày i – ngày i cho ≤ i ≤ 500 500 hàng Bảng 13.3 500 kịch xem xét DJIA 11.022,06 vào ngày 25/9/2008 Vào ngày 8/8/2006, 11.173,59, giảm từ 11.219,38 vào ngày 7/8/2006 Giá trị DJIA Kịch Tương tự, giá trị FTSE 100, CAC 40, Nikkei 225 (đo Đô la Mỹ) 9.569,23; 6.204,55 115.05 Giá trị danh mục đầu tư Kịch (trong $ 000): Do đó, danh mục đầu tư có mức tăng 14.334 la Kịch Tính tốn tương tự thực cho kịch khác Biểu đồ cho tổn thất (lợi ích tổn thất âm) thể hình 13.1 (Các biểu đồ đại diện cho tổn thất, 000 đô la, khoảng 450-550, 350 đến 450, 250 đến 350, v.v.) Sự thua lỗ cho 500 kịch khác sau xếp hạng Rút từ kết thể Bảng 13.4 Tình tồi tệ số 494 Giá trị rủi ro 99% ngày ước tính tổn thất tồi tệ thứ năm Đây $253.385 Như giải thích Phần 12.6, VaR 99% 10 ngày thường tính √10 lần so với VaR 99% ngày Trong trường hợp này, VaR 10 ngày là: √10 × 253.385 = 801.274 $ 801.274 Mỗi ngày, ước tính VaR ví dụ cập nhật cách sử dụng liệu gần 501 ngày Chẳng hạn, xem xét, điều xảy vào ngày 26/9/2008 (Ngày 501) Chúng ta đưa giá trị cho tất biến thị trường tính tốn giá trị cho danh mục đầu tư Sau trải qua quy trình mà vạch để tính tốn VaR Dữ liệu biến số thị trường từ ngày 8/8/2006 đến ngày 26/9/2008 (ngày đến ngày 501) sử dụng để tính tốn (Điều cho phép u cầu 500 quan sát thay đổi tỷ lệ phần trăm biến thị trường, ngày 07/8/2006, ngày 0, giá trị biến thị không sử dụng lâu) Tương tự vậy, vào ngày giao dịch tiếp theo, ngày 29/9/2008 (Ngày 502), liệu từ ngày 9/8/2006 đến ngày 29/9/2008 (Ngày đến Ngày 502) sử dụng để xác định VaR; tiếp tục Trên thực tế, danh mục đầu tư tổ chức tài quốc tế, dĩ nhiên, phức tạp nhiều so với danh mục xem xét Nó có khả bao gồm hàng ngàn hàng chục vị Thông thường số vị có hợp đồng chuyển tiếp, lựa chọn, dẫn xuất khác Ngoài ra, danh mục đầu tư tự thay đổi theo ngày Nếu hoạt động kinh doanh tổ chức tài dẫn đến danh mục đầu tư rủi ro hơn, mức rủi ro 99% 10 ngày tăng lên; dẫn đến danh mục đầu tư rủi ro, VaR thường giảm VaR vào ngày tính dựa giả định danh mục đầu tư không thay đổi ngày làm việc Các biến thị phải xem xét tính tốn VaR bao gồm tỷ giá hối đối, giá hàng hóa lãi suất Trong trường hợp lãi suất, tổ chức tài thường yêu cầu Kho bạc LIBOR / hoán đổi cấu lãi suất không coupon số loại tiền tệ khác để đánh giá danh mục đầu tư Các biến thị trường xem xét biến mà từ cấu trúc hạn tính tốn (xem Phụ lục B để tính tốn để có cấu trúc kỳ lãi suất zerocoupon) Có thể có tới 10 biến thị trường cho đường cong zero mà tổ chức tài nới lỏng THÂM HỤT KỲ VỌNG Để tính tốn thâm hụt kỳ vọng cách sử dụng mô lịch sử, tính trung bình quan sát phần phân bố tổn thất Trong ví dụ chúng ta, tổn thất tồi tệ ($000) từ kịch 494; 339; 349; 329 487 (xem Bảng 13.4) Trung bình tổn thất cho kịch $327,18 Đây dự báo thâm hụt dự kiến VaR tăng cường ES tăng cường (Stressed VaR and Stressed ES) Các tính tốn cho trước cho liệu gần sử dụng cho mô lịch sử vào ngày Ví dụ, tính VaR ES cho ví dụ số, tác giả sử dụng liệu từ 501 ngày liền trước Tuy nhiên, mơ lịch sử dựa liệu từ giai đoạn khứ Các chu kỳ biến động cao có xu hướng mang lại giá trị cao cho VaR ES, khoảng thời gian biến động thấp có xu hướng mang lại giá trị thấp Các nhà quản lý đưa biện pháp gọi VaR tăng cường ES tăng cường Để tính tốn biện pháp, tổ chức tài phải tìm kiếm khoảng thời gian 251 ngày VaR ES lớn Dữ liệu cho khoảng thời gian 251 ngày đóng vai trị tương tự khoảng thời gian 501 ngày ví dụ Sự thay đổi biến thị trường ngày ngày khoảng thời gian 251 ngày sử dụng để tạo kịch đầu tiên; biến đổi thị trường ngày ngày thời kỳ 251 ngày sử dụng để tạo kịch thứ hai; tiếp tục Tổng cộng có 250 kịch tạo Một ngày 99% VaR tăng cường tính mát mát kịch xấu thứ hai mát kịch xấu thứ ba ES 99% ngày tính 0.4c1 + 0.4c2 + 0.2c3 c1, c2 c3 ba tổn thất tồi tệ với c1> c2> c3 13.2 ĐỘ CHÍNH XÁC CỦA VAR Cách tiếp cận mơ lịch sử ước tính phân bố danh mục đầu tư thay đổi từ số lượng giới hạn quan sát Kết là, ước lượng phân vị phân phối bị sai số Kendall Stuart (1972) mơ tả cách tính khoảng tin cậy cho phần trăm phân bố xác suất chúng ước tính từ liệu mẫu Giả sử Phân vị thứ q phân phối ước tính x Sai số chuẩn ước tính là: n số quan sát f(x) ước tính hàm mật độ xác suất tổn thất đánh giá x Mật độ xác suất, f(x), ước tính cách lắp liệu thực nghiệm vào phân phối thích hợp có đặc tính biết trước VÍ DỤ 13.1 Giả sử quan tâm đến việc ước lượng phân vị thứ 99 phân bố tổn thất từ 500 quan sát cho n = 500 q = 0,99 Chúng ta ước tính f(x) cách xấp xỉ phân bố theo thực nghiệm với phân phối chuẩn mà thuộc tính biết đến Giả sử phân phối chuẩn chọn phân phối chuẩn trung bình tốt độ lệch chuẩn tương ứng 10 triệu Sử dụng Excel, phân vị thứ 99 NORMINV (0.99,0,10) 23,26 Giá trị f(x) NORMDIST (23.26,0,10, FALSE) 0,0027 Sai số chuẩn ước lượng thực là: Nếu ước lượng phân vị thứ 99 cách sử dụng mô lịch sử 25 triệu đô la, khoảng tin cậy 95% từ [25 - 1,96 x1,67] tới [25 + 1,96 x 1,67], tức từ 21,7 triệu đô la đến 28,3 triệu đô la Như ví dụ 13.1 minh họa, sai số chuẩn VaR ước tính cách sử dụng mơ lịch sử có xu hướng cao Nó giảm xuống mức độ tin cậy VaR giảm xuống Ví dụ, ví dụ 13.1, mức độ tin cậy VaR 95% thay 99%, sai số chuẩn 0,95 triệu $ thay 1,67 triệu $ Sai số chuẩn giảm xuống kích thước mẫu tăng lên - bậc hai kích thước mẫu Nếu tăng gấp bốn lần cỡ mẫu ví dụ 13.1 từ 500 lên 2.000 quan sát, sai số chuẩn giảm nửa từ 1,67 triệu USD xuống cịn khoảng 0,83 triệu USD Ngồi ra, nên nhớ mô lịch sử giả định phân bố chung biến thị trường hàng ngày ổn định qua thời gian Đây thật tạo thêm không chắn VaR Trong trường hợp liệu xem xét bảng 13.1 đến 13.4 tổn thất đo $000, trung bình 0,870 độ lệch chuẩn 93,698 Nếu giả định phân phối chuẩn, tính tương tự Ví dụ 13.1 cho f(x) 0,000284 sai số chuẩn ước tính (nghìn la) là: Ước tính VaR 253.385 đô la Điều cho thấy khoảng tin cậy 95% cho VaR khoảng $220.000 đến $280.000 Phân phối chuẩn giả thuyết đặc biệt tốt cho phân phối tổn thất, tổn thất có lớn phân phối bình thường (Độ dầy đuôi 4,2 cho liệu bảng 13.1 đến 13.4) Ước tính sai số chuẩn tốt đạt cách giả sử phân phối Pareto cho f (x), thảo luận Phần 13.6 13.3 MỞ RỘNG Giả thiết phương pháp tiếp cận mô lịch sử cho nonstressed VaR nonstressed ES lịch sử gần có ý nghĩa hướng dẫn tốt cho tương lai Chính xác hơn, phân bố xác suất thực nghiệm ước tính cho biến số thị trường vài năm qua hướng dẫn tốt cho hành vi biến thị trường ngày hôm sau Thật không may, hành vi biến thị trường không ngừng Đôi biến động biến thị trường cao; đơi thấp Trong phần này, đề cập đến mở rộng cách tiếp cận mô lịch sử Phần 13.1 thiết kế để điều chỉnh cho không ổn định Chúng cho thấy cách tiếp cận gọi phương pháp bootstrap sử dụng để xác định sai số chuẩn Trọng số quan sát Cách tiếp cận mô lịch sử giả định ngày khứ cho trọng số Thêm cách thức, quan sát thấy thay đổi ngày, số chúng cho trọng số 1/n Boudoukh, Richardson, Whitelaw (1998) cho thấy quan sát gần cần cân nhắc nhiều chúng phản ánh nhiều biến động điều kiện kinh tế vĩ mô Phương án trọng số tự nhiên để sử dụng nơi trọng lượng giảm theo cấp số nhân (Chúng sử dụng điều phát triển mơ hình trung bình động theo trọng số để theo dõi biến động Chương 10.) Trọng số gán cho Kịch (được tính từ liệu xa nhất) λ lần gán cho kịch Điều λ lần cho kịch 3, v.v Vì mà trọng số thêm lên đến 1, trọng số cho kịch i n số kịch Khi λ số lần tiếp cận 1, phương pháp tiếp cận phương pháp mô lịch sử bản, tất quan sát cho trọng số 1/n (Xem Vấn đề 13.2.) VaR tính cách xếp hạng quan sát từ kết tồi tệ Bắt đầu từ kết tồi tệ nhất, trọng số tổng hợp đạt đến phần trăm bắt buộc phân phối Ví dụ, tính VaR với mức độ tin cậy 99%, tiếp tục đếm trọng số tổng kết vượt 0,01 Chúng ta đạt đến mức VaR 99% Tham số λ lựa chọn cách thử giá trị khác Một bất lợi phương pháp trọng số mũ so với cách tiếp cận mô lịch sử kích thước mẫu hiệu giảm Tuy nhiên, bù đắp cho điều cách sử dụng giá trị lớn n Thật vậy, không cần thiết phải loại bỏ ngày cũ di chuyển phía trước theo thời gian, chúng có trọng số tương đối Bảng 13.5 cho thấy kết việc sử dụng phương pháp cho danh mục đầu tư xem xét Phần 13.1 với λ = 0,995 (Xem trang trang liệu trang web.) Giá trị VaR mức độ tin cậy 99% thua lỗ tồi tệ thứ ba, 282.204 đô la (không phải mức thua lỗ tồi tệ thứ năm 253.385 đô la) Lý cho kết quan sát gần cho trọng số lớn tổn thấn lớn xảy tương đối gần Tính tốn tiêu chuẩn Phần 13.1 cho tất quan sát với trọng số 1/500 = 0,002 Mức thất thoát cao xảy Kịch 494 kịch có trọng số là: Các đuôi 0,01 phân phối tổn thất bao gồm xác suất 0,00528 tổn thất $ 477.841, xác suất 0,00243 tổn thất $ 345.435, 0,01 - 0,00528 - 0,00243 = 0,00228 xác suất tổn thất 282.204 $ Do đó, thiếu hụt kỳ vọng tính sau Có tính đến biến động biến thị trường Hull White (1998) đề xuất cách kết hợp ước tính biến động vào cách tiếp cận mô lịch sử Xác định biến động hàng ngày biến thị trường cụ thể ước tính vào cuối ngày i-1 σi Điều coi ước tính biến động hàng ngày thời điểm kết thúc ngày i-1 kết thúc ngày i Giả sử ngày n để ước tính biến động biến thị trường (nghĩa độ biến động ngày hôm ngày mai) σn+1 Giả sử σn+1 hai lần σi biến thị trường cụ thể Điều có nghĩa ước lượng biến động hàng ngày biến thị trường tăng gấp đôi ngày hôm ngày i-1 Những thay đổi mong đợi để thấy ngày hôm ngày mai gấp đôi so với thay đổi ngày i-1 ngày i Khi thực mô lịch sử tạo mẫu xảy ngày hơm ngày mai dựa xảy i-1 i, có ý nghĩa để nhân sau Nói chung, cách tiếp cận sử dụng, biểu thức phương trình (13.1) cho giá trị biến thị trường kịch lần thứ i trở thành biến thị trường xử lý theo cách Cách tiếp cận có tính đến thay đổi biến động cách tự nhiên, trực quan đưa ước tính VaR kết hợp nhiều thơng tin Các ước tính VaR lớn tổn thất lịch sử xảy cho danh mục đầu tư giai đoạn lịch sử xem xét Hull White tạo chứng sử dụng tỷ giá hối đoái số chứng khoán thấy cách tiếp cận áp dụng cho mô lịch sử truyền thống phương pháp trọng số mũ miêu tả trước Đối với liệu Bảng 13.2, ước tính biến động hàng ngày, tính phương pháp EWMA với thơng số λ 0,94 trình bày Bảng 13.6 Tỷ lệ dự báo ước tính vào ngày 26/9/2008 (bảng cuối bảng), với biến động ước tính vào ngày 8/8/2008 (hàng đầu bảng) 1,98; 2,26; 2,21 1,15 DJIA, FTSE 100, CAC 40 Nikkei 225 Các số sử dụng làm số nhân cho thay đổi thực tế số từ ngày 7/8 đến ngày 8/8/2006 Tương tự, tỷ lệ biến động ước tính vào ngày 26/9/2008 (cuối bảng) biến động ước tính vào ngày 9/8/2008 (hàng thứ hai bảng) 2.03, 2.33, 2.28 1.12 DJIA, FTSE 100, CAC 40 Nikkei 225 Các số liệu sử dụng làm số nhân cho thay đổi thực tế số từ ngày 8/8 đến ngày 9/8/2006 Số nhân cho 498 thay đổi hàng ngày khác tính theo cách tương tự Do biến động cao vào cuối giai đoạn lịch sử ví dụ chúng tôi, ảnh hưởng điều chỉnh biến động tạo thay đổi nhiều lợi ích thiệt hại cho 500 kịch Bảng 13.7 trích từ bảng xếp hạng thiệt hại từ cao đến thấp So sánh với bảng 13.4, thấy tổn thất lớn nhiều VaR 99% ngày 602.968 USD ES ngày 750.078 USD Gấp đơi so với ước tính đưa tính tốn tiêu chuẩn Trong trường hợp này, biến động số chứng khoán trì mức cao tháng cịn lại năm 2008, với thay đổi hàng ngày từ 5% đến 10% số Ước tính VaR ES sử dụng cách tiếp cận điều chỉnh tính biến động có hiệu so với cách tiếp cận chuẩn Một cách tiếp cận đơn giản để điều chỉnh cho thay đổi biến động Một biến thể cách tiếp cận mà vừa mô tả sử dụng EWMA để theo dõi mức độ sai lệch chuẩn tổn thất mô đưa kịch liên tiếp cách tiếp cận chuẩn Phần 13.1 Các thiệt hại tổn thất đưa cột cuối Bảng 13.3 (Xem bảng trang 10 trang web để tính tốn) Một lỗ hổng điều chỉnh cho kịch lần thứ i tính cách nhân thiệt hại đưa cách tiếp cận chuẩn theo tỷ lệ độ lệch chuẩn ước tính cho kịch cuối (500) độ lệch chuẩn ước tính cho kịch lần thứ i Thủ tục đơn giản nhiều so với việc kết hợp tính biến động sở biến đổi theo biến có lợi thay đổi tương quan thay đổi biến động xem xét ngầm Bảng 13.8 cho thấy việc tính sai lệch tiêu chuẩn danh mục đầu tư tổn thất điều chỉnh cho ví dụ (Tương tự trước, biến số ngày độ lệch mẫu tính tồn khoảng thời gian 500 ngày, tham số λ sử dụng tính tốn EWMA 0,94) Có thể thấy độ lệch tiêu chuẩn ước tính tổn thất cho kịch sau lớn nhiều so với kịch trước Các khoản lỗ cho kịch 1, 2, nhân với 2.203, 2.270, 2.335, Bảng 13.9 cho thấy khoản lỗ điều chỉnh theo xếp hạng Các kết tương tự Bảng 13.7 (nhưng dễ dàng để sản xuất) VaR 99% ngày 627.916 USD, thiếu hụt dự kiến ngày 747.619 USD Phương pháp bootstrap Phương pháp bootstrap biến thể cách tiếp cận mô lịch sử bản, nhằm tính tốn khoảng tin cậy cho VaR Nó liên quan đến việc tạo thay đổi giá trị danh mục đầu tư dựa biến động lịch sử biến thị trường theo cách thơng thường Sau lấy mẫu thay từ thay đổi để tạo nhiều liệu tương tự Chúng tơi tính tốn VaR cho liệu Khoảng tin cậy 95% VaR khoảng điểm 2,5% điểm phân bố VaRs 97,5% tính tốn từ liệu Giả sử, có 500 ngày liệu Chúng tơi lấy mẫu với số lần thay 500.000 lần từ liệu để có 1.000 liệu khác 500 ngày Chúng ta tính tốn VaR cho Sau xếp hạng VaRs Giả sử VaR lớn thứ 25 5,3 triệu USD VaR lớn thứ 975 8,9 triệu USD Khoảng tin cậy 95% cho VaR 5,3 triệu USD đến 8,9 triệu USD Thông thường, chiều rộng khoảng tin cậy tính cho VaR cách sử dụng phương pháp khởi động so với tính tốn sử dụng thủ tục Phần 13.2 13.4 CÁC VẤN ĐỀ VỀ TÍNH TỐN Mơ lịch sử liên quan đến việc định giá toàn danh mục đầu tư tổ chức tài nhiều lần (500 lần ví dụ chúng tơi) Điều tính tốn tốn thời gian Điều đặc biệt số công cụ danh mục đầu tư đánh giá mơ Monte Carlo, có mơ mà lần thử nghiệm mô lịch sử liên quan đến mô Monte Carlo Để giảm thời gian tính tốn, tổ chức tài đơi sử dụng phép tính xấp xỉ delta-gamma Điều giải thích Chương Xem xét cơng cụ mà giá nó, P, phụ thuộc vào biến thị trường nhất, S Một ước tính gần thay đổi, ΔP, P phát sinh từ thay đổi, ΔS, S là: ΔP = δΔS + γ(ΔS)2 (13.3) δ γ đồng gamma P so với S Các ký tự tiếng Hy Lạp δ γ ln biết chúng tính công cụ đánh dấu vào thị trường ngày Do đó, phương trình sử dụng cách gần để tính thay đổi giá trị giao dịch cho thay đổi giá trị S xem xét theo mô lịch sử Khi công cụ phụ thuộc vào số biến thị trường, Si (1 ≤ i ≤ n), phương trình (13.3) trở thành: (13.4) δi γij định nghĩa là: 13.5 HỌC THUYẾT GIÁ TRỊ CỰC TRỊ Phần 10.4 đưa luật giải thích sử dụng để ước tính phần đuôi loạt phân phối Bây cung cấp tảng lý thuyết cho luật quy trình ước tính phức tạp quy tắc sử dụng Phần 10.4 Lý thuyết giá trị cực trị (EVT) thuật ngữ sử dụng để mô tả khoa học ước tính phân bố EVT sử dụng để cải thiện ước tính VaR giúp đỡ tình mà nhà phân tích ước tính VaR với mức độ tự tin cao Nó cách để làm mịn ngoại suy đuôi phân bố thực nghiệm Kết Kết quan trọng EVT chứng minh Gnedenko (1943).3 Nó cho thấy loạt phân phối xác suất khác chia sẻ đặc tính chung Giả sử F(v) hàm phân bố tích luỹ cho biến v (như thua lỗ danh mục đầu tư thời gian định) u giá trị v vế bên tay phải phân phối Xác suất nằm u u + y (y> 0) F (u + y) -F (u) Xác suất v lớn u 1-F (u) Xác định Fu (y) xác suất khoảng u u + y có điều kiện v> u Cơng thức: 𝑭𝒖 (𝒚) = 𝑭(𝒖+𝒚) − 𝑭(𝒖) 𝟏 − 𝑭(𝒖) Biến 𝑭𝒖 (𝒚) xác định đuôi bên phải phân bố xác suất Đây phân bố xác suất tích lũy cho số tiền mà v vượt u cho khơng vượt q u Kết Gnedenko cho rằng, lớp phân phối rộng rãi F(v), phân bố 𝑭𝒖 (𝒚) hội tụ đến phân bố Pareto tổng quát ngưỡng u tăng lên Sự phân bố Pareto tổng quát (tích luỹ) là: 𝒚 −𝟏/𝝃 𝑮𝝃,𝜷 (𝒚) = 1- [𝟏 + 𝝃 ] 𝜷 (13.5) Phân phối có hai tham số cần ước tính từ liệu Đây ξ β Tham số ξ tham số hình dạng xác định độ nặng phần đuôi Tham số β tham số quy mô Xem D V Gnedenko, "Hạn ngạch phân phối nhà xuất bản," Annals of Mathematics44 (1943): 423-453 Khi biến v có phân phối chuẩn, ξ = 0.4 Khi đuôi phân bố trở nên nặng hơn, giá trị ξ tăng lên Đối với hầu hết liệu tài chính, ξ dương khoảng từ 0,1 đến 0,4.5 Ước tính ξ β Các thơng số ξ 𝛽 ước lượng phương pháp tối đa (xem Phần 10.9 để thảo luận phương pháp tối đa) Hàm mật độ xác suất, 𝑔𝜉,𝛽 (𝑦), phép phân phối tích lũy phương trình (13.5) tính cách phân biệt 𝐺𝜉,𝛽 (𝑦) với trọng tâm y Đó là: 𝒈𝝃,𝜷 (𝒚) = 𝟏 𝜷 (𝟏 + 𝝃𝒚 −𝟏/𝝃−𝟏 ) 𝜷 (13.6) Đầu tiên chọn giá trị cho u (Một giá trị gần điểm phân vị thứ 95 phân phối thực nghiệm thường hoạt động tốt) Sau xếp hạng quan sát v từ cao tới thấp tập trung ý vào quan sát mà v> u Giả sử có 𝑛𝑢 quan sát 𝑣𝑖 (1≤ i ≤ 𝑛𝑢 ) Chức xác suất (giả định ξ ≠ 0) là: 𝒏𝒖 𝟏 𝝃 ( 𝒗𝒊 − 𝒖) −𝟏/𝝃−𝟏 ∏ (𝟏 + ) 𝜷 𝜷 𝒊=𝟏 Tối đa hoá chức giống tối đa hoá logarit nó: 𝟏 𝒖 ∑𝒏𝒊=𝟏 ln [ (𝟏 + 𝜷 𝝃 ( 𝒗𝒊 −𝒖) −𝟏/𝝃−𝟏 𝜷 ) ] (13.7) Các thủ tục số chuẩn sử dụng để tìm giá trị ξ β để tối đa hóa biểu thức Excel Solver cho kết tốt Ước tính phần phân phối Khi ξ = 0, phân bố Pareto tổng quát trở thành 𝒚 𝑮𝝃,𝜷 (𝒚) = – exp (− ) 𝜷 Một thuộc tính phân bố phương trình (13.5) khoảng thời gian ngắn k lần v, 𝐸(𝑉 𝑘 ) , vô hạn k ≥ 1/ξ Đối với phân bố bình thường, tất khoảnh khắc có giới hạn Khi ξ = 0,25, có ba khoảnh khắc hữu hạn; ξ = 0.5, có thời điểm hữu hạn; tiếp diến Xác suất v>u + y với điều kiện v > u 1-𝐺𝜉,𝛽 (𝑦) Xác suất mà v> u 1-𝐹(𝑢) Xác suất không điều kiện v > x (khi x> u) [𝟏 − 𝑭(𝒖) ][𝟏 − 𝑮𝝃,𝜷 (𝒙 − 𝒖)] Nếu n tổng số quan sát, ước tính 1-𝐹(𝑢) , tính từ liệu thực nghiệm, 𝑛𝑢 /n Do đó, xác suất khơng điều kiện v> x Prob (v > x) = 𝒏𝒖 𝒏 [𝟏 − 𝑮𝝃,𝜷 (𝒙 − 𝒖) ] = 𝒏𝒖 𝒏 [𝟏 + 𝝃 𝒙−𝒖 −𝟏/𝝃 𝜷 ] (13.8) Tính tương đương Phân phối quy tắc lũy thừa Nếu đặt u = β /ξ, phương trình (13.8) giảm xuống: Prob (v > x) = 𝒏𝒖 𝝃𝒙 −𝟏/𝝃 𝒏 [ ] 𝜷 Đó là: K𝒙−𝜶 Khi K= 𝒏𝒖 𝝃 −𝟏/𝝃 𝒏 [ ] 𝜷 α = 1/ξ Điều cho thấy phương trình (13.8) phù hợp với phân phối quy tắc lũy thừa đưa phần 10.4 Vế bên trái phương trình Phân tích giả định quan tâm đến đuôi bên phải phân bố xác suất biến v Nếu quan tâm đến vế trái phân bố xác suất, làm việc với -v thay v Ví dụ, công ty dầu mỏ thu thập liệu tỷ lệ phần trăm tăng hàng ngày giá dầu muốn ước tính VaR suy giảm tỷ lệ phần trăm ngày giá dầu có xác suất khơng vượt q 99,9% Đây số liệu thống kê tính từ vế trái phân bố xác suất việc tăng giá dầu Công ty dầu lửa thay đổi dấu hiệu mục liệu (dữ liệu đo lường giảm giá dầu khơng phải tăng) sau sử dụng phương pháp trình bày Ước tính VaR ES Để tính VaR với mức độ tin cậy q, cần phải giải phương trình F(VaR)=q Bởi F(x) = 1-Prob (v> x), phương trình (13.8) cho ta: q=1- 𝒏𝒖 𝒏 [𝟏 + 𝝃 𝑽𝒂𝑹−𝒖 −𝟏/𝝃 𝜷 ] đó: 𝜷 𝒏𝒖 𝝃 𝒏 VaR = u + {[ (𝟏 − 𝒒)] −𝝃 − 𝟏} (13.9) Sự thiếu hụt dự kiến đưa ES = 𝑽𝒂𝑹+ 𝜷− 𝝃𝒖 𝟏− 𝝃 (13.10) 13.6 ỨNG DỤNG CỦA EVT Xem lại liệu bảng 13.1 đến 13.4 Khi u = 160, nu = 22 (có nghĩa là, có 22 kịch mà tổn thất $000s lớn 160) Bảng 13.10 cho thấy: Bảng 13.10 Tính tốn lý thuyết giá trị gia tăng cho Bảng 13.4 (tham số u 160 giá trị thử nghiệm cho β ξ 40 0,3) Tính tốn cho giá trị thử nghiệm β = 40 ξ = 0,3 Giá trị hàm log-likelihood phương trình (13.7) -108,37 Khi Solver Excel sử dụng để tìm kiếm giá trị β ξ mà tối đa hoá chức hàm log-likelihood (xem bảng 11 tập tin trang web), cho: β = 32.532 ξ = 0.436 giá trị cực đại hàm log-likelihood -108,21 Giả sử ước tính xác suất lỗ danh mục 25/9 26/9/2008 300.000 USD (hoặc 3% giá trị nó) Từ phương trình (13.8) Điều xác đếm quan sát Xác suất lỗ danh mục vượt $500.000 (hoặc 5% giá trị nó) tương tự 0,00086 Từ phương trình (13.9), giá trị VaR với giới hạn độ tin cậy 99% là: 227.800$ (Trong trường hợp này, ước lượng VaR thấp khoảng 25.000$ so với tổn thất tồi tệ thứ năm) Khi mức độ tin cậy tăng lên 99,9%, VaR trở thành: 474.000$ Khi độ tin cậy tăng đến 99,97%, VaR trở thành: Hoặc 742.500$ Công thức phương trình (13.10) cải thiện ước tính ES cho phép mức độ tin cậy sử dụng cho ước tính ES tăng lên Trong ví dụ chúng tơi, mức độ tin cậy 99%, ES ước tính là: 227,8 + 32,532 − 0,436 × 160 = 337,9 − 0,436 337.900$ Khi mức độ tin cậy 99,9%, ES ước tính là: 474,0 + 32,532 − 0,436 × 160 = 774,8 − 0,436 Hoặc 774.800$ EVT sử dụng cách đơn giản kết hợp với thủ tục biến đổi không ổn định Phần 13.3 (xem Vấn đề 13.11) Nó sử dụng kết hợp với phương pháp trọng số quan sát Phần 13.3 Trong trường hợp này, thuật ngữ tổng kết phương trình (13.7) phải nhân với trọng số áp dụng cho quan sát Cần tính tốn lại để tinh chỉnh khoảng tin cậy cho ước tính VaR 99% Phần 13.2 Hàm mật độ xác suất đánh giá mức VaR để phân bố xác suất tổn thất, dựa lớn 160, cho hàm gξ, β phương trình (13.6) Đó là: Hàm mật độ xác suất không điều kiện đánh giá mức VaR nu/n = 22/500 lần 0,00016 Không đáng ngạc nhiên, điều thấp 0,000284 ước tính Phần 13.2 dẫn đến khoảng tin cậy rộng cho VaR Sự lựa chọn u Một câu hỏi tự nhiên là: "Các kết phụ thuộc vào lựa chọn u nào?" Người ta thường thấy giá trị ξ β phụ thuộc vào u, ước tính F(x) trì khoảng giống (Vấn đề 13.10 xem xét điều xảy u đổi từ 160 thành 150 ví dụ mà xem xét) Chúng ta muốn giá trị u đủ cao để thực kiểm tra hình dạng phân phối giá trị u đủ thấp để số lượng mục liệu có tính tốn giá trị tối đa likelihood thấp Nhiều liệu dẫn đến độ xác việc đánh giá hình dạng Chúng tơi áp dụng cơng thức với 500 mục liệu Lý tưởng hơn, nhiều liệu sử dụng Một nguyên tắc chung u nên xấp xỉ phân vị thứ 95 phân phối thực nghiệm (Trong trường hợp liệu tìm kiếm, phân vị thứ 95 phân phối thực nghiệm 156,5) Trong việc tìm kiếm giá trị tối ưu ξ β, hai biến nên áp đặt dương Nếu người lạc quan cố gắng thiết lập ξ âm, dấu hiệu cho thấy (a) phân phối khơng nặng phân phối bình thường (b) giá trị không phù hợp u chọn TĨM LƯỢC Mơ lịch sử cách tiếp cận phổ biến để ước lượng VaR ES Nó bao gồm việc tạo sở liệu bao gồm chuyển động hàng ngày tất biến thị trường khoảng thời gian Thử nghiệm mô giả định thay đổi tỷ lệ phần trăm biến thị trường giống ngày bảo vệ sở liệu, thử nghiệm mô thứ hai giả định tỷ lệ phần trăm thay đổi giống ngày thứ hai, v.v Sự thay đổi giá trị danh mục đầu tư tính cho thử nghiệm mơ phỏng, VaR tính phần trăm thích hợp phân bố xác suất thay đổi Sai số chuẩn VaR ước tính cách sử dụng mơ lịch sử có xu hướng cao Mức yêu cầu VaR cao, lỗi chuẩn cao Trong phần mở rộng cách tiếp cận mô lịch sử bản, trọng lượng cho quan sát giảm theo cấp số nhân quan sát trở nên già hơn; một, điều chỉnh thực với liệu lịch sử để thay đổi thay đổi biến động Lý thuyết giá trị cực trị cách làm mịn đuôi phân bố xác suất thay đổi hàng ngày danh mục đầu tư tính cách sử dụng mơ lịch sử Nó dẫn đến ước tính VaR ES thể tồn hình dạng đuôi phân bố, không vị trí vài tổn thất Lý thuyết giá trị cực trị sử dụng để ước lượng VaR ES mức độ tin cậy cao Ví dụ, có 500 ngày liệu, sử dụng để ước tính VaR ES cho mức độ tin cậy 99,9% ĐỌC THÊM Boudoukh, J., M Richardson, and R Whitelaw “The Best of Both Worlds.” Risk (May 1998): 64–67 Embrechts, P., C Kluppelberg, and T Mikosch Modeling Extremal Events for Insurance and Finance (New York: Springer, 1997) Hendricks, D “Evaluation of Value-at-Risk Models Using Historical Data,”EconomiPolicy Review, Federal Reserve Bank of New York, vol (April 1996): 39–69 Hull, J C., and A White “Incorporating Volatility Updating into the Historical Simulation Method for Value at Risk,” Journal of Risk 1, no (1998): 5–19 McNeil, A J “Extreme Value Theory for Risk Managers.” In Internal Modeling and CAD II (London: Risk Books, 1999) See also www.macs.hw.ac.uk/∼mcneil/ftp/cad.pdf Neftci, S N “Value at Risk Calculations, Extreme Events and Tail Estimation.” Journal of Derivatives 7, no (Spring 2000): 23–38  ...CHƯƠNG 13 MÔ PHỎNG LỊCH SỬ VÀ LÝ THUYẾT GIÁ TRỊ CỰC TRỊ Trong chương này, đề cập đến cách tiếp cận phổ biến để tính giá trị rủi ro (VaR) Thâm hụt kỳ vọng (ES) cho rủi ro thị trường... 160) Bảng 13. 10 cho thấy: Bảng 13. 10 Tính tốn lý thuyết giá trị gia tăng cho Bảng 13. 4 (tham số u 160 giá trị thử nghiệm cho β ξ 40 0,3) Tính tốn cho giá trị thử nghiệm β = 40 ξ = 0,3 Giá trị hàm... cận đại số, xác định vi giá trị biến thị trường vào Ngày i giả sử ngày hôm Ngày n Kịch thứ i cách tiếp cận mô lịch sử giả định giá trị biến thị trường vào ngày mai Giá trị Kịch =