Thuyết trình quản trị rủi ro tài chính chương 13 mô phỏng lịch sử và lý thuyết giá trị cực trị

Chương 13: MÔ PHỎNG LỊCH SỬ VÀ LÝ THUYẾT GIÁ TRỊ CỰC TRỊ GVHD: PGS.TS Nguyễn Thị Ngọc Trang Lớp Tài Khóa 26 Lê Thị Ngoan Châu Thanh Hảo Dương Thị An NỘI DUNG Phương pháp luận Mở rộng cách tiếp cận mơ lịch sử Các vấn đề tính tốn Độ xác VaR Học thuyết giá trị cực trị Ứng dụng EVT GIỚI THIỆU Trong chương này, đề cập đến cách tiếp cận phổ biến để tính giá trị rủi ro (VaR) Thâm hụt kỳ vọng (ES) cho rủi ro thị trường Đó gọi mơ lịch sử Nó bao gồm việc sử dụng giá trị thay đổi hàng ngày biến thị trường quan sát khứ theo cách trực tiếp để ước lượng phân bố xác suất thay đổi giá trị danh mục ngày hôm ngày mai Phương pháp luận Khái niệm: Mô lịch sử liên quan đến việc sử dụng liệu khứ dự phóng cho xảy tương lai Ví dụ: Giả sử muốn tính VaR cho danh mục đầu tư sử dụng thời gian ngày, mức độ tin cậy 99%, 501 ngày liệu Bước xác định biến số thị trường ảnh hưởng đến danh mục đầu tư Đây thường tỷ giá hối đoái, lãi suất, số chứng khoán, v.v Dữ liệu sau thu thập biến động biến thị trường 501 ngày gần Điều cung cấp 500 kịch thay cho xảy ngày hôm ngày mai Công thức tính giá trị kịch ngày thứ i: 𝐯𝐢 Giá trị kịch thứ i = (13.1) 𝐯𝐢 −𝟏 Trong đó: vi giá trị biến thị trường vào ngày i giả sử ngày hôm ngày n Ví dụ: Để minh họa tính toán phương pháp tiếp cận, giả sử nhà đầu tư Hoa Kỳ chủ sở hữu, vào ngày 25/9/2008, danh mục trị giá 10 triệu USD bao gồm khoản đầu tư vào bốn số chứng khốn sau: Ví dụ: Vì xem xét nhà đầu tư Hoa Kỳ, nên giá trị FTSE 100, CAC 40 Nikkei 225 phải đo đô la Mỹ  Chẳng hạn, FTSE 100 đứng mức 5.823,40 vào ngày 10/8/2006, tỷ giá hối đối 1,8918 USD/GBP  Điều có nghĩa là, đo đô la Mỹ, mức 5.823,40 x 1,8918 = 11.016,71  Trích từ liệu với tất số đo đô la Mỹ thể Bảng 13.2: Ngày 25 tháng năm 2008, ngày thú vị để lựa chọn việc đánh giá đầu tư vốn cổ phần:  Sự hỗn loạn thị trường tín dụng, bắt đầu vào tháng 8/2007  Giá cổ phiếu giảm vài tháng Sự biến động tăng lên  Lehman Brothers bỏ trốn dẫn đến phá sản 10 ngày trước  Chương trình cứu trợ tài sản bị rắc rối trị giá 700 tỷ USD Thư ký Bộ Tài chưa Quốc hội Hoa Kỳ thông qua Kết quả: Giả sử F(v) hàm phân bố tích luỹ cho biến v (như thua lỗ danh mục đầu tư thời gian định) u giá trị v vế bên tay phải phân phối Xác suất nằm u u + y (y> 0) F(u + y) -F(u) Xác suất v lớn u 1-F(u) Xác định Fu (y) xác suất khoảng u u + y có điều kiện v> u Cơng thức:  𝑭𝒖 𝒚 = 𝑭 𝒖+𝒚 −𝑭(𝒖) 𝟏−𝑭(𝒖) 𝑭 𝒖+𝒚 −𝑭(𝒖) 𝟏−𝑭(𝒖)  𝑭𝒖 𝒚 =  Biến 𝑭𝒖 𝒚 xác định đuôi bên phải phân bố xác suất Đây phân bố xác suất tích lũy cho số tiền mà v vượt q u cho khơng vượt u  Đối với lớp phân phối rộng rãi F(v), phân bố 𝑭𝒖 𝒚 hội tụ đến phân bố Pareto tổng quát ngưỡng u tăng lên Sự phân bố Pareto tổng quát (tích luỹ)  𝑮𝝃,𝜷 (𝒚) = 1- 𝟏 + 𝒚 −𝟏/𝝃 𝝃 𝜷 (13.5) 𝒚 −𝟏/𝝃 𝝃 𝜷  𝑮𝝃,𝜷 (𝒚) = 1- 𝟏 +  Phân phối có hai tham số cần ước tính từ liệu Đây ξ β Tham số ξ tham số hình dạng xác định độ nặng phần Tham số β tham số quy mô  Khi biến v có phân phối chuẩn, ξ = Khi đuôi phân bố trở nên nặng hơn, giá trị ξ tăng lên Đối với hầu hết liệu tài chính, ξ dương khoảng từ 0,1 đến 0,4 Ước tính ξ β Hàm mật độ xác suất, 𝑔𝜉,𝛽 (𝑦), phép phân phối tích lũy phương trình (13.5) tính cách phân biệt 𝐺𝜉,𝛽 (𝑦) với 𝒈𝝃,𝜷 𝒚 = trọng tâm y 𝟏 𝜷 (𝟏 + 𝝃𝒚 −𝟏/𝝃−𝟏 ) 𝜷 Đầu tiên chọn giá trị cho u (Một giá trị gần điểm phân vị thứ 95 phân phối thực nghiệm) Sau đó, xếp hạng quan sát v từ cao tới thấp tập trung vào quan sát mà v> u Giả sử có 𝑛𝑢 quan sát 𝑣𝑖 (1≤ i ≤ 𝑛𝑢 ) Chức xác suất (giả định ξ ≠ 0)   𝒏𝒖 𝟏 𝒊=𝟏 𝜷 𝟏+ 𝝃 ( 𝒗𝒊 −𝒖) −𝟏/𝝃−𝟏 𝜷 Tối đa hóa logarit 𝟏 𝒏𝒖 ln 𝒊=𝟏 𝜷 𝟏+ 𝝃 ( 𝒗𝒊 −𝒖) −𝟏/𝝃−𝟏 𝜷 (13.7) Ước tính phần phân phối - Xác suất v>u + y với điều kiện v > u 1-𝐺𝜉,𝛽 (𝑦) - Xác suất v> u 1-𝐹(𝑢) - Xác suất không điều kiện v > x (khi x> u) 𝟏 − 𝑭(𝒖) 𝟏 − 𝑮𝝃,𝜷 (𝒙 − 𝒖) Nếu n tổng số quan sát, ước tính 1-𝐹(𝑢) , tính từ liệu thực nghiệm, 𝑛𝑢 /n Do đó, xác suất khơng điều kiện v > x là: Prob (v > x) = (13.8) 𝒏𝒖 𝒏 𝟏 − 𝑮𝝃,𝜷 (𝒙 − 𝒖) = 𝒏𝒖 𝒏 𝟏+ 𝒙−𝒖 −𝟏/𝝃 𝝃 𝜷 Tính tương đương Phân phối quy tắc lũy thừa Nếu đặt u = β /ξ, phương trình (13.8): Prob (v > x) =   Khi K= 𝒏𝒖 𝝃𝒙 −𝟏/𝝃 𝒏 𝜷 K𝒙−𝜶 𝒏𝒖 𝝃 −𝟏/𝝃 𝒏 𝜷 α = 1/ξ => Điều cho thấy phương trình (13.8) phù hợp với phân phối quy tắc lũy thừa Vế bên trái phương trình Nếu quan tâm đến vế trái phân bố xác suất, xem xét với -v thay v Ví dụ, cơng ty dầu mỏ thu thập liệu tỷ lệ phần trăm tăng hàng ngày giá dầu muốn ước tính VaR suy giảm tỷ lệ phần trăm ngày giá dầu có xác suất khơng vượt q 99,9% Đây số liệu thống kê tính từ vế trái phân bố xác suất việc tăng giá dầu Công ty dầu lửa thay đổi dấu hiệu mục liệu (dữ liệu đo lường giảm giá dầu tăng) Ước tính VaR ES  Để tính VaR với mức độ tin cậy q, cần phải giải phương trình F(VaR) = q  Vì F (x) = 1-Prob (v> x), phương trình (13.8) cho biết q=1- đó:  𝒏𝒖 𝒏 𝟏+ 𝑽𝒂𝑹−𝒖 −𝟏/𝝃 𝝃 𝜷 VaR = u + 𝜷 𝝃 𝒏𝒖 (𝟏 𝒏 − 𝒒) −𝝃 −𝟏 (13.9) Sự thiếu hụt dự kiến đưa ES = 𝑽𝒂𝑹+ 𝜷− 𝝃𝒖 𝟏− 𝝃 (13.10) Ứng dụng EVT Khi u = 160, nu = 22 (có nghĩa là, có 22 kịch mà tổn thất lớn 160) Bảng 13.10 Tính tốn lý thuyết giá trị gia tăng cho Bảng 13.4 (tham số u 160 giá trị thử nghiệm cho β ξ 40 0.3) Dùng Excel để tìm kiếm giá trị β ξ mà tối đa hoá chức hàm log-likelihood: β = 32,532 ξ = 0,436 giá trị cực đại hàm log-likelihood -108,21 Giả sử ước tính xác suất lỗ danh mục 25/9 26/9/2008 300.000 USD (hoặc 3% giá trị nó) Từ (13.8) Xác suất lỗ danh mục vượt $500.000 (hoặc 5% giá trị nó) tương tự 0,00086  Từ phương trình (13.9), giá trị VaR với giới hạn độ tin cậy 99% là: Hoặc 227.800$ Khi mức độ tin cậy tăng lên 99,9%, VaR trở thành: Hoặc 474.000$ Khi độ tin cậy tăng đến 99,97%, VaR trở thành: Hoặc 742.500$ Cơng thức phương trình (13.10) cải thiện ước tính ES cho phép mức độ tin cậy sử dụng cho ước tính ES tăng lên Khi mức độ tin cậy 99%, ES ước tính là: 227,8+32,532−0,436×160 1−0,436 = 337,9 337.900$ Khi mức độ tin cậy 99,9%, ES ước tính là: 474,0+32,532−0,436×160 1−0,436 = 774,8 Hoặc 774.800$ Sự lựa chọn u  Các giá trị ξ β phụ thuộc vào u, ước tính F(x) trì khoảng giống  Giá trị u đủ cao để kiểm tra hình dạng phân phối giá trị u đủ thấp để số lượng mục liệu có tính tốn giá trị tối đa likelihood thấp  Một nguyên tắc chung u nên xấp xỉ phân vị thứ 95 phân phối thực nghiệm Trong việc tìm kiếm giá trị tối ưu ξ β, hai biến nên số dương Nếu thiết lập ξ âm, dấu hiệu cho thấy đuôi phân phối không nặng phân phối bình thường giá trị khơng phù hợp u chọn Tóm lược Mơ lịch sử cách tiếp cận phổ biến để ước lượng VaR ES Nó bao gồm việc tạo sở liệu bao gồm chuyển động hàng ngày tất biến thị trường khoảng thời gian Lý thuyết giá trị cực trị cách làm mịn đuôi phân bố xác suất thay đổi hàng ngày danh mục đầu tư tính cách sử dụng mô lịch sử Lý thuyết giá trị cực trị sử dụng để ước lượng VaR ES mức độ tin cậy cao ... ≤ i ≤ n), phương trình (13. 3) trở thành: Trong đó: Học thuyết giá trị cực trị Học thuyết giá trị cực trị Lý thuyết giá trị cực trị (EVT-EXTREME VALUE THEORY) thuật ngữ sử dụng để mơ tả khoa học... cách tiếp cận mô lịch sử Các vấn đề tính tốn Độ xác VaR Học thuyết giá trị cực trị Ứng dụng EVT GIỚI THIỆU Trong chương này, đề cập đến cách tiếp cận phổ biến để tính giá trị rủi ro (VaR) Thâm... phá sản 10 ngày trước  Chương trình cứu trợ tài sản bị rắc rối trị giá 700 tỷ USD Thư ký Bộ Tài chưa Quốc hội Hoa Kỳ thông qua Bảng 13. 3 Cho thấy giá trị số (đo đô la Mỹ) vào ngày 26/9/2008 cho