Thuyết trình quản trị rủi ro tài chính value at risk (var) and expected shortfall (ES)

VaR của danh mục đầu tư với thời gian 6 tháng với độ tin cậy 99% là 21,3 triệu USD. Trong đó, là phân phối chuẩn tích lũy nghịch đảo tại độ tin cậy X% có thể được tính toán bởi hàm NORM

PGS.TS Nguyễn Khắc Quốc Bảo

Huỳnh Thái Huy Lâm Bá Du

TP Hồ Chí Minh Tháng 12/2017

Value at Risk (VaR) and Expected Shortfall (ES)

Value at Risk (VaR) and Expected Shortfall (ES)

 Value at Risk (VaR) hay Giá trị có rủi ro, biểu diễn rủi ro dưới dạng một con số duy nhất; được định nghĩa là:

 Số tiền lớn nhất – V mà một danh mục có thể bị thua lỗ với xác suất – X và khoảng thời gian – T xác định

 Hoặc là số tiền nhỏ nhất – V mà một danh mục có thể bị thua lỗ với xác suất 1 – X và khoảng thời gian – T xác định

 Ví dụ: cho VaR = V = 10 triệu, độ tin cậy X = 95%, khoảng thời gian T = 1 ngày Ta phát biểu:

 Ta có xác suất 95%, chúng ta sẽ mất tối đa (hoặc không mất nhiều hơn) 10 triệu trong 1 ngày

 Ta có xác suất 5%, chúng ta sẽ mất tối thiểu (hoặc không mất ít hơn) 10 triệu trong 1 ngày.

Định nghĩa VaR

 Ví dụ 1: Giả sử rằng lợi nhuận từ danh mục đầu tư trong 6 tháng là tuân theo phân phối chuẩn với trung bình μ = 2 triệu USD và độ lệch chuẩn σ = 10 triệu USD Với tính chất của phân phối chuẩn, tại điểm 1% của phân phối là 2 – 2,326 x 10 = -21,3 triệu USD VaR của danh mục đầu tư với thời gian 6 tháng với độ tin cậy 99% là 21,3 triệu USD.

 Trong đó, là phân phối chuẩn tích lũy nghịch đảo tại độ tin cậy X% (có thể được tính toán bởi hàm NORMSINV trong Excel)

•  

Ví dụ VaR

 Ví dụ 2: Giả sử rằng doanh thu các dự án 1 năm của doanh nghiệp mang lại lợi nhuận từ lỗ 50 triệu đến lãi 50 triệu với xác suất xảy ra như nhau Trong trường hợp này, lỗ từ các dự án có phân phối đồng đều từ -50 triệu đến +50 triệu Có 1% xác suất doanh nghiệp sẽ lỗ hơn 49 triệu VaR của dự án 1 năm với độ tin cậy là 99% là 49 triệu.

 Ví dụ 3: Dự án 1 năm của doanh nghiệp có 98% cơ hội mang lại lợi nhuận là 2 triệu USD, 1,5% là lỗ 4 triệu USD, và 0,5% là lỗ 10 triệu USD Bảng phân phối lỗ tích lũy được thể hiện trong hình 12.3 Điểm trên phân phối tích lũy này

mà tương ứng với xác suất tích lũy của 99% là 4 triệu USD Do đó VaR với độ tin cậy 99% trong khoảng thời gian 1 năm là 4 triệu USD

Ví dụ VaR

 Ví dụ 4: Lặp lại ví du 3, giả sử rằng chúng ta tính toán VaR sử dụng độ tin cậy là 99.5% Trong trường hợp này, bảng 12.3 chỉ ra rằng mọi tổn thất có xác suất 99,5% không vượt quá khoảng 4 triệu đến 10 triệu Tương đương, có xác suất 0,5% xảy ra bất kỳ khoản lỗ nào vượt quá 4 triệu đến 10 triệu VaR do đó không còn là một con số cụ thể duy nhất Một quy ước trong dạng này để xác định VaR sẽ lấy điểm giữa của khoảng giá trị của VaR Điều đó có nghĩa, VaR sẽ là 7tr.

Ví dụ VaR

 VaR là một thước đo rủi ro khá hấp dẫn bởi vì nó dễ hiểu Về bản chất, nó là đáp án cho một câu hỏi rất bình thường của các nhà quản lý: “How bad can things get?”

 Giả sử rằng ngân hàng nói với nhà đầu tư rằng, 99% VaR của danh mục đầu tư một ngày phải bị giới hạn tới 10 triệu Người giao dịch có thể cấu trúc danh mục đầu tư tại mức mà có 99,1% cơ hội lỗ ít hơn 10 triệu và 0.9% là 500 triệu Người giao dịch hài lòng với giới hạn rủi ro được áp đặt bởi ngân hàng nhưng rõ ràng nhận lấy các rủi ro không thể chấp nhận Giả sử rằng VaR trong biểu đồ 12.4 giống với VaR trong hình 12.1 Danh mục đầu tư trong 12.4 rủi ro hơn danh mục đầu tư 12.1 bởi vì mức lỗ cao hơn

Mặt hạn chế của VaR

 Một các đo lường rủi ro khác tốt hơn VaR cho các nhà đầu tư là Expected short-fall (ES) Đôi khi nó cũng được gọi là Conditional VaR (CVaR), conditional tail expectation, hoặc expected tail loss

 ES, giống như VaR, là một hàm của 2 tham số: T (khoảng thời gian) và X (Độ tin cậy) Nó là khoản lỗ dự kiến trong khoảng thời gian T có điều kiện về khoản lỗ lớn hơn X phần trăm trong phân phối lỗ

 Ví dụ, giả sử rằng X = 99, T là 10 ngày và VaR là 64tr ES trung bình tổng các khoản lỗ vượt quá 64tr trong 10 ngày

 ES có tính chất tốt hơn VaR trong việc luôn thể hiện lợi ích của việc đa dạng hóa Một bất lợi là nó không đơn giản như VaR và kết quả của nó rất khó hiểu

Thâm hụt kỳ vọng (ES)

 Artzner và cộng sự (1999) cho rằng một phép đo đạc rủi ro ρ(.) có tính chất “coherent” nếu thỏa các điều kiện sau

(với X, Y là các tài sản tài chính)

 Monotonicity: ρ(X) ≤ ρ(Y) nếu X ≤ Y

(Nếu một danh mục đầu tư cho ra một kết quả tồi tệ hơn danh mục đầu tư khác Ước tính rủi ro của nó phải lớn hơn)

 Risk Free Condition: ρ(X+k) = ρ(X) – k với k là hằng số

(Nếu một số lượng tiền mặt K được cho vào danh mục đầu tư, độ rủi ro của nó phải giảm xuống K)

 Pos Homogeneity: ρ(λX) = λρ(X) với λ > 0

(Thay đổi quy mô của danh mục đầu tư bởi 1 hệ số Lamda, trong khi giữ lại tỷ lệ như cũ của các dạng tài sản và nợ trong danh mục đầu tư, độ đo rủi ro sẽ tăng lên Lamda lần)

 Subadditivity: ρ(X + Y) ≤ ρ(X) + ρ(Y)

(Độ đo rủi ro của 2 danh mục đầu tư sau khi chúng kết hợp không được lớn hơn tổng độ đo rủi ro của từng danh mục đầu tư)

* Tham khảo Danielsson et al (2005)

Tính chất “Coherent”

 Ví dụ 1: Giả sử từng dự án trong 2 dự án độc lập có xác suất 0.02 sẽ mất 10 triệu và 0.98 sẽ mất 1 triệu trong 1 năm Với độ tin cậy 97,5%, VaR cho mỗi dự án một năm là 1 triệu Khi cả 2 dự án được đặt chung vào một danh mục, sẽ có xác suất 0.02 x 0.02 = 0.0004 mất 20tr Xác suất 2 x 0.02 x 0.98 = 0.0392 xác suất mất 11tr và xác suất

0.98 x 0.98 = 0.9604 sẽ mất 2tr VaR với độ tin cậy 97,5% trong 1 năm của danh mục là 11tr Tổng VaR của các dự

án riêng biệt là 2 triệu VaR của danh mục do đó lớn hơn VaR của các dự án là 9 triệu  VaR trái với điều kiện

Subadditivity.

 Ví dụ 2: Xét ví dụ 1, tính ES hay CVaR, ES của mỗi dự án sẽ là 0.8 x 10 + 0.2 x 1 = 8.2; ES của danh mục sẽ là

0.04/2.5 x 20 + (2.46/2.5) x 11 = 11.144, từ đây suy ra ES của danh mục sẽ bé hơn tổng ES của mỗi dự án  ES thỏa mãn điều kiện Subadditivity.

Tính chất “Coherent”

 Ví dụ 3: Ngân hàng có hai khoản cho vay 1 năm, mỗi khoản 10 triệu, xác suất vỡ nợ như sau:

 Xét danh mục chứa hai khoản vay, chúng ta có 2.5% xác suất danh mục vỡ nợ với khoản lỗ sẽ từ 0 đến 10 triệu,

ta có 40% xác suất khoản lỗ lớn hơn 6; do đó VaR danh mục tại độ tin cậy 99% sẽ là 6 – 0.2 = 5.8 triệu

Tính chất “Coherent”

 Rõ ràng tổng VaR của hai khoản vay tại mức tin cậy 99% là 4 triệu, trong khi VaR của danh mục lại là 5.8 triệu 

VaR trái với điều kiện Subadditivity.

 Ví dụ 4: Xét ví dụ 3, tính ES hay CVaR, ES của mỗi khoản vay 1 năm với độ tin cậy 99% sẽ là điểm giữa của khoảng

2 và 10 triệu: 6 triệu (nhớ rằng khoản lỗ phân phối đều từ 0 đến 10 triệu)

 Thêm nữa, ES của danh mục chính là giá trị kỳ vọng của khoản lỗ lớn hơn VaR (5,8 triệu), và thu nhập phân phối đồng đều từ khoản lời 0.2 triệu đến khoản lỗ 9.8 triệu, do đó khoản lỗ kỳ vọng, phân phối từ 5.8 triệu đến 9.8 triệu,

sẽ là 7.8 triệu, rõ ràng bé hơn tổng ES của hai khoản vay  ES thỏa mãn điều kiện Subadditivity.

Tính chất “Coherent”

 Với VaR và ES, người sử dụng phải chọn 2 tham số: Thời gian và độ tin cậy Giả định thay đổi trong giá trị của danh mục trong khoảng thời gian đầu tư là phân phối chuẩn có trung bình μ và độ lệch chuẩn σ, khi đó công thức VaR và

 Khi mà tổn thất được giả định là phân phối chuẩn với trung bình là µ và độ lệch chuẩn là σ, ES với độ tin cậy là X được tính bằng.



Y=

 Ví dụ: Xem xét lại ví dụ trên, thay đổi trong giá trị của danh mục trong 10 ngày là một phân phối chuẩn với trung bình

là 0 và độ lệch chuẩn là 20tr Bởi vì 2.326 là điểm trên phân phối chuẩn tắc có 1% cơ hội vượt quá, nên ES với độ tin cậy 99% trong 10 ngày là:

•  

Lựa chọn tham số cho VaR và ES

 Impact of Autocorrelation (Ảnh hưởng của tự tương quan)

 Trong thực tế, những thay đổi trong giá trị của một danh mục đầu tư từ một ngày đến ngày tiếp theo không phải luôn luôn hoàn toàn độc lập.

 Giả định, thay đổi giá danh mục đầu tư hàng ngày đều có độ lệch chuẩn như nhau và không độc lập hoàn toàn Đặt ΔPi như là sự thay đổi trong giá trị của một danh mục đầu tư ở ngày i Một giả định đơn giản là tự tương quan bậc 1 giữa ΔPi

và ΔPi -1 là p với mọi i Do đó phương sai của ΔPi−1 + ΔPi là

 Suy ra công thức tổng quát cho độ lệch chuẩn của ∑Ti=1 ΔPi

 Giả định, thay đổi giá danh mục đầu tư hàng ngày độc lập nhau hoàn toàn, khi đó ρ = 0, ta có công thức tính nhanh sau

Lựa chọn tham số cho VaR và ES

The Time Horizon (Khoảng thời gian)

 Impact of Autocorrelation (Ảnh hưởng của tự tương quan)

Lựa chọn tham số cho VaR và ES

The Time Horizon (Khoảng thời gian)

 Impact of Autocorrelation (Ảnh hưởng của tự tương quan)

 Ví dụ: Giả sử rằng thay đổi hàng ngày trong một danh mục đầu tư của các giá trị thường được phân phối chuẩn với trung bình là 0 và độ lệch chuẩn là $3tr Tự tương quan bậc một của thay đổi hàng ngày là 0,1 Độ lệch chuẩn của sự thay đổi trong giá trị danh mục đầu tư qua 5 ngày là:

 VaR với độ tin cậy 95% của 5 ngày là 7.265x(0.95) = 11.95tr ES là:

•  

Lựa chọn tham số cho VaR và ES

The Time Horizon (Khoảng thời gian)

 VaR với độ tin cậy X* có thể được tính toán từ VaR với độ tin cậy X thấp hơn thông qua công thức sau:

 ES với độ tin cậy X* có thể được tính toán từ ES với độ tin cậy X thấp hơn thông qua công thức sau:

Lựa chọn tham số cho VaR và ES

Confidence Level (Độ tin cậy)

 

 

 Ví dụ: Giả sử rằng VaR 1-ngày với độ tin cậy 95% là 1.5 triệu $ và ES 1-ngày là 2 triệu $ Sử dụng giả định là phân phối của sự thay đổi trong giá trị danh mục có phân phối chuẩn với giá trị trung bình bằng 0, khi đó VaR 1-ngày 99% là:

 ES 1-ngày 99% là:

Lựa chọn tham số cho VaR và ES

Confidence Level (Độ tin cậy)

triệu 

 

 Xem xét một danh mục đầu tư bao gồm một số danh mục phụ Các nhà phân tích đôi khi tính toán giá trị đóng góp của mỗi danh mục phụ đến VaR hoặc ES Giả sử rằng số tiền đầu tư trong danh mục phụ thứ i là xi Các giá trị rủi ro biên cho danh mục phụ thứ i là độ nhạy của VaR với số tiền đã đầu tư trong danh mục phụ thứ i Nó là:

 Để tính Var biên, chúng ta có thể tăng xi đến xi+Δxi cho một Δxi nhỏ và ước tính lại VaR Nếu ΔVaR tăng trong VaR, ước tính VaR biên sẽ là ΔVaR/Δxi Trong một số trường hợp, VaR cận biên là âm cho thấy rằng việc tăng trọng số của một danh mục phụ đặc biệt làm giảm rủi ro của danh mục đầu tư

Ước lượng biên, gia tăng

và thành phần

 

 Giá trị rủi ro gia tăng cho danh mục phụ thứ i là hiệu ứng gia tăng của danh mục phụ thứ i trên VaR Đó là sự khác biệt giữa VaR với danh mục phụ và VaR không có danh mục phụ Những nhà giao dịch thường quan tâm đến các VaR gia tăng cho một giao dịch mới.

 Các thành phần giá trị của rủi ro cho danh mục phụ thứ i là

 Điều này có thể được ước tính như:

 Nó có thể được tính toán bằng cách làm cho một thay đổi phần trăm nhỏ yi = Δxi/xi trong số tiền đã đầu tư vào danh mục phụ thứ i và tính toán lại VaR Nếu ΔVaR là tăng, ước tính của thành phần VaR là ΔVaR/yi

Ước lượng biên, gia tăng

và thành phần

 

 

 Kết quả nghiên cứu của Leonhard Euler, nhiều năm về trước trở nên rất quan trọng khi thước đo rủi ro của toàn bộ danh mục đầu tư được phân bổ cho danh mục đầu tư phụ

Giả sử, cho V là thước đo rủi ro của danh mục đầu tư, xi là một thước đo kích thước của danh mục đầu tư phụ thứ i (1

≤ i ≤ M) Giả định rằng khi xi tiến tới λxi với mọi xi (kích thước của danh mục đầu tư được nhân λ), V tiến tới λV Điều này tương ứng với điều kiện thứ ba trong phần 12.5 và được gọi là đồng nhất tuyến tính Nó là đúng đối với hầu hết các thước đo rủi ro

 Định lý Euler chỉ ra rằng:

Định lý Euler

Kết quả này cung cấp cho ta cách để phân bổ V đến danh mục đầu tư có tổ chức.

Khi thước đo rủi ro là VaR, định lý Euler chỉ ra:

Với Ci, như trong phương trình (12.8), là thành phần VaR cho danh mục đầu tư phụ thứ i Điều này cho thấy tổng VaR cho một danh mục đầu tư là tổng hợp thành phần VaR của danh mục đầu tư phụ.

Khi mức độ rủi ro là ES, định lý Euler chỉ ra tổng ES là tổng của các ES thành phần:

12.8 ĐỊNH LÝ EULER Định lý Euler

12.9 SỰ KẾT HỢP CỦA VARS VÀ ESS

Trong đó VaRi là VaR đối với phân khúc thứ i, VaRtotal là tổng VaR và ρij là tương quan giữa lỗ từ phân khúc i và phân khúc j Điều này chính xác khi những thiệt hại (lợi ích) có phân phối chuẩn với trung bình là 0 và cung cấp phép tính xấp xỉ trong nhiều tình huống khác Điều này cũng đúng khi VaR được thay thế bởi ES trong phương trình (12.10).

Thỉnh thoảng một doanh nghiệp đã tính toán VaRs, với cùng mức độ tin cậy và phạm vi thời gian, cho các phân đoạn khác nhau trong hoạt động và tổng hợp chúng để tính toán tổng VaR Công thức để tính là:

Định lý Euler

Ví dụ: Giả dụ các ESs tính cho hai phân đoạn của một doanh nghiệp là 60 triệu $ và 100 triệu $ Sự tương quan giữa thiệt hại được ước

tính là 0,4 Ước tính tổng ES

12.9 SỰ KẾT HỢP CỦA VARS VÀ ESS Kết hợp VaR và ES

Kiểm định Back-testing

Giả sử chúng ta đã triển khai một phương pháp tính toán VaR thời gian 1 ngày với độ tin cậy là 99% Các ngày mà tổn thất thực tế vượt quá VaR được gọi là trường hợp ngoại lệ Nếu chúng xảy ra trong khoản 7% của những ngày đó, phương pháp luận là không đáng tin và có khả năng là VaR được đánh giá thấpTheo nguyên tắc, vốn được tính bằng cách sử dụng phương pháp ước lượng VaR hiện nay quá thấp Mặt khác, nếu trường hợp ngoại lệ xảy ra , 0,3% số ngày có khả năng là phương pháp hiện đang đánh giá quá cao VaR và vốn được tính là quá cao

Một vấn đề trong thử nghiệm một VaR trong một ngày là liệu chúng ta có nên xem xét những thay đổi trong danh mục đầu tư trong một ngày Có hai khả năng:

1 So sánh VaR với sự thay đổi giả thuyết trong giá trị danh mục đầu tư tính toán trên giả định rằng thành phần của danh mục đầu tư vẫn không thay đổi trong ngày.

2 So sánh VaR trong thay đổi thực tế về giá trị của danh mục đầu tư trong ngày

12.10 KIỂM NGHIỆM

Kiểm định Back-testing

Giả sử rằng mức độ tự cậy cho một VaR trong một ngày là X% Nếu mô hình VaR sử dụng chính xác, xác suất của VaR bị vượt quá trong bất kỳ ngày nào là p = 1-X/100 Giả sử rằng chúng ta nhìn vào tổng của n ngày và chúng ta nhận thấy rằng mức VaR được vượt trên m của ngày đó m / n> p Chúng ta có nên từ chối mô hình tính được giá trị VaR quá thấp? Chúng ta có thể xem xét hai giả thiết khác:

1. Xác suất của một trường hợp ngoại lệ trong bất kỳ ngày nào là p.

2 Xác suất của một trường hợp ngoại lệ trong bất kỳ ngày nào sẽ lớn hơn p.

Từ các tính chất của phân phối nhị thức, xác suất của các mức VaR vượt quá m hoặc nhiều ngày nữa là

12.10 KIỂM NGHIỆM

Kiểm định Back-testing

Điều này có thể được tính toán bằng cách sử dụng chức năng BINOMDIST trong Excel Nếu xác suất của mức VaR vượt quá m hoặc nhiều ngày ít hơn 5%, chúng ta bác bỏ giả thuyết đầu tiên là xác suất của một ngoại lệ là p Nếu xác suất của mức VaR được vượt quá m hoặc nhiều ngày lớn hơn 5%, các giả thuyết không bị từ chối

Ví dụ: Giả sử rằng chúng tôi kiểm nghiệm một mô hình VaR sử dụng 600 ngày của dữ liệu Mức độ tự tin VaR là 99% và chúng ta quan sát

9 trường hợp ngoại lệ Số lượng dự kiến của trường hợp ngoại lệ là 6 Chúng ta có nên bác bỏ mô hình? Xác suất của 9 hoặc nhiều trường hợp ngoại lệ có thể được tính toán trong Excel với phép tính( 1- BINOMDIST (8,600,0.01,TRUE)) Kết quả bằng 0,152 Ở một mức

ý nghĩa 5% chúng ta không nên bác bỏ mô hình Tuy nhiên, nếu số lượng các trường hợp ngoại lệ đã được 12 hoặc nhiều trường hợp ngoại lệ, là 0,019 và bác bỏ mô hình Mô hình này là bị bác bỏ khi số lượng các trường hợp ngoại lệ là 11 hoặc lớn hơn.

12.10 KIỂM NGHIỆM

Kiểm định Back-testing