TIỂU LUẬN môn học QUẢN TRỊ rủi RO tài CHÍNH INTEREST RATE RISK rủi RO lãi SUẤT

Chúng tôi cần mộtchức năng mô tả sự thay đổi của lãi suất với kỳ hạn.Điều này được gọi là cấu trúc kỳ hạn của lãi suất Ví dụ xem xét tình hình của một nhà kinhdoanh trái phiếu chính phủ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ TP HỒ CHÍ MINH

KHOA TÀI CHÍNH

TIỂU LUẬN MÔN HỌC QUẢN TRỊ RỦI RO TÀI CHÍNH

ĐỀ TÀI INTEREST RATE RISK

RỦI RO LÃI SUẤT

GIẢNG VIÊN: ThS NGUYỄN HOÀNG THỤY BÍCH TRÂM

NGUYỄN THỊ NHUẦN HOÀNG THỊ THẢO NGUYÊN NGUYỄN THỊ NƯƠNG

NGUYỄN TRẦN MI PHƯỢNG NHƯ QUỲNH

HUỲNH NGỌC QUYÊN NGUYỄN THỊ NGỌC SƯƠNG NGUYỄN THỊ KIM THOA

VŨ ĐÌNH THI

Interest rate risk is more difficult to manage than the

risk arising from market variables such as equity

prices, exchange rates, and commodity prices One

complication is that there are many different interest

rates in any given currency (Treasury rates, interbank

borrowing and lending rates, swap rates, mortgage

rates, deposit rates, prime borrowing rates, and so

on) Although these tend to move together, they are

not perfectly correlated Another complication is that

we need more than a single number to describe the

interest rate environment We need a function

describing the variation of the rate with maturity This

is known as the term structure of interest rates or the

yield curve.

Consider, for example, the situation of a U.S

government bond trader The trader’s portfolio is likely

to consist of many bonds with different maturities

There is an exposure to movements in the one-year

rate, the two-year rate, the three-year rate, and so on

The trader’s delta exposure is therefore more

complicated than that of the gold trader in Table 8.1

He or she must be concerned with all the different

ways in which the U.S Treasury yield +curve can

change its shape through time

This chapter starts with a description of traditional

approaches used by a financial institution to manage

interest rate risk It explains some of the interest rates

that are important to financial institutions It then

covers duration and convexity measures These can

be regarded as the interest rate equivalents of the

delta and gamma measures considered in the

previous chapter A number of different approaches to

managing the risks of nonparallel shifts are then

presented These include the use of partial durations,

the calculation of multiple deltas, and the use of

principal components analysis

Quản lý rủi ro lãi suất là khó khăn hơn so vớicác rủi ro tăng giá phát sinh từ biến đổi giá thị trườngnhư giá cổ phiếu, tỷ giá, và giá cả hàng hóa Một sựphức tạp là có rất nhiều lãi suất khác nhau trong bất

kỳ đồng tiền nhất định (Lãi suất chính phủ, lãi suấtvay và cho vay liên ngân hàng, lãi suất hoán đổi, lãisuất thế chấp, lãi suất huy động, lãi suất cơ bản,vv

…) Mặc dù chúng có xu hướng di chuyển cùngnhau, nhưng chúng tương quan không hoàn toàn.Vấn đề phức tạp khác là chúng ta cần nhiều hơn một

số lẻ để mô tả môi trường lãi suất Chúng tôi cần mộtchức năng mô tả sự thay đổi của lãi suất với kỳ hạn.Điều này được gọi là cấu trúc kỳ hạn của lãi suất

Ví dụ xem xét tình hình của một nhà kinhdoanh trái phiếu chính phủ Mỹ: danh mục đầu tư củanhà đầu tư có thể gồm nhiều trái phiếu với nhiều kỳhạn khác nhau Có tiếp xúc với các biến động lãi suấttrong 1 năm, lãi suất 2 năm, lãi suất 3 năm,… Tiếpxúc Delta của nhà giao dịch này là phức tạp hơn sovới nhà giao dịch vàng trong bảng 8.1 Họ phải lolắng tất cả với nhiều cách khác nhau về sự thay đổihình dáng của đường cong lợi suất của chính phủ Mỹ

có thể thay đổi qua thời giạn

Chương này bắt đầu với mô tả của phươngpháp truyền thống được sử dụng bởi một tổ chức tàichính để quản lý rủi ro lãi suất Nó giải thích một sốmức lãi suất quan trọng đối với các tổ chức tài chính.Sau đó gồm các biện pháp đo lường Duration và độlồi Đây có thể được coi là lãi suất tương đương củaviệc xem xét đo lường delta và gamma trong cácchương trước Một phương pháp tiếp cận khác đểquản lý rủi ro của thay đổi không song song đã đượctrình bày Chúng bao gồm việc sử dụng các Duration

1 phần, tính toán của nhiều delta, và việc sử dụngphân tích các thành phần chủ yếu

9.1 THE MANAGEMENT OF NET INTEREST

INCOME

A key risk management activity for a bank is the

management of net interest income As explained in

Section 2.2, the net interest income is the excess of

interest received over interest paid It is the role of the

asset-liability management function within the bank to

ensure that the net interest margin, which is net

interest income divided by income-producing assets,

remains roughly constant through time This section

considers how this is done

How can fluctuations in net interest margin occur?

Consider a simple situation where a bank offers

consumers a one-year and a five-year deposit rate as

well as a one-year and five-year mortgage rate The

rates are shown in Table 9.1

TABLE 9.1 Example of Rates

Offered by a Bank to Its Customers

Maturity, years Deposit

We make the simplifying assumption that the expected

one-year interest rate for future time periods equals

the one-year rate prevailing in the market today

Loosely speaking, this means that market participants

consider interest rate increases to be just as likely as

interest rate decreases As a result, the rates in Table

9.1 are fair in that they reflect the market’s

expectations Investing money for one year and

reinvesting for four further one-year periods leads to

an uncertain return But, given our assumptions, the

expected overall return is the same as a single

five-year investment Similarly, borrowing money for one

year and refinancing each year for the next four years

9.1 QUẢN LÝ THU NHẬP TỪ LÃI RÒNG

Chìa khóa quản lý rủi ro hoạt động của ngânhàng là quản lý thu nhập ròng lãi ròng Như đã giảithích trong Phần 2.2, thu nhập lãi ròng là số chênhlệch giữa lãi suất nhận được trên lãi suất phải trả Đó

là vai trò của tổ chức quản lý tài sản-nợ trong ngânhàng để đảm bảo rằng tỷ lệ lãi biên, được tính bằngthu nhập từ lãi ròng chia cho thu nập thu được từ tàisản, vẫn duy trì ổn định qua thời gian Phần này xemxét cách thực hiện nó

Làm thế nào biến động trong biên độ lãi ròng

có thể xảy ra? Hãy xem xét một tình huống đơn giảnkhi mà ngân hàng đề xuất cho khách hàng lãi suấttiền gửi trong một năm và năm năm tốt như lãi suấtthế chấp một năm và năm năm Các mức lãi suấtđược trình bày trong Bảng 9.1

TABLE 9.1 Ví dụ về lãi suất được ngân hàng đưa ra cho khách hàng

Kỳ hạn, năm Lãi suất

tiền gửi

Lãi suất thếchấp

Chúng tôi đưa ra giả định đơn giản là dự kiến lãi suấtmong đợi một năm cho khoảng thời gian trong tươnglai bằng với tỷ lệ một năm thịnh hành trên thị trườnghiện nay Nói một cách đơn giản, điều này có nghĩarằng những người tham gia thị trường xem xét tănglãi suất cũng như khả năng giảm lãi suất Kết quả là,lãi suất trong bảng 9.1 là công bằng ở chỗ chúngphản ánh kỳ vọng của thị trường Đầu tư tiền cho mộtnăm và tái đầu tư cho bốn thời kỳ một năm tiếp tụcdẫn đến một sự đổi lại sự không chắc chắn Nhưng,với giả định của chúng tôi, toàn bộ sự đổi lại mongđợi giống như một đầu tư năm năm duy nhất Tương

tự như vậy, vay tiền cho một năm và tái cấp vốn mỗinăm cho bốn năm tiếp theo dẫn đến chi phí tài chính

leads to the same expected financing costs as a single

five-year loan

Suppose you have money to deposit and agree

with the prevailing view that interest rate increases are

just as likely as interest rate decreases Would you

choose to deposit your money for one year at 3% per

annum or for five years at 3% per annum? The

chances are that you would choose one year because

this gives you more financial flexibility It ties up your

funds for a shorter period of time

Now suppose that you want a mortgage Again

you agree with the prevailing view that interest rate

increases are just as likely as interest rate decreases

Would you choose a one-year mortgage at 6% or a

five-year mortgage at 6%? The chances are that you

would choose a five-year mortgage because it fixes

your borrowing rate for the next five years and

subjects you to less refinancing risk

When the bank posts the rates shown in Table

9.1, it is likely to find that the majority of its depositors

opt for a one-year maturity and the majority of the

customers seeking mortgages opt for a five-year

maturity This creates an asset/liability mismatch for

the bank and subjects its net interest income to risks

The deposits that are financing the five-year 6%

mortgages are rolled over every year There is no

problem if interest rates fall After one year, the bank

will find itself financing the five-year 6% mortgages

with deposits that cost less than 3% and net interest

income will increase However, if interest rates rise,

the deposits that are financing the 6% mortgages will

cost more than 3% and net interest income will

decline Suppose that there is a 3% rise in interest

rates during the first two years This would reduce net

interest income for the third year to zero

It is the job of the asset-liability management

group to ensure that this type of interest rate risk is

dự kiến tương tự như một khoản vay năm năm duynhất

Giả sử bạn có tiền để gửi và đồng ý với quanđiểm phổ biến rằng tăng lãi suất cũng có khả năngnhư giảm lãi suất Bạn sẽ chọn gửi tiền trong mộtnăm ở mức 3% mỗi năm hay năm năm ở mức 3%mỗi năm? Có thể là bạn sẽ chọn một năm, vì điềunày sẽ cho bạn sự linh hoạt tài chính hơn Nó giữ tiềncủa bạn một khoảng thời gian ngắn

Bây giờ giả sử rằng bạn muốn có một thế chấp Mộtlần nữa bạn đồng ý với quan điểm phổ biến rằng tănglãi suất cũng có khả năng như giảm lãi suất Bạn sẽchọn thế chấp một năm ở mức 6% hoặc thế chấpnăm năm ở mức 6%? Có thể bạn sẽ chọn thế chấpnăm năm bởi vì nó cố định tỷ lệ vay của bạn cho nămnăm tiếp theo, bạn có rủi ro tái cấp vốn ít hơn

Khi ngân hàng đưa ra lãi suất trong Bảng 9.1, có thểthấy rằng phần lớn người gửi tiền lựa chọn cho kỳhạn một năm và đa số các khách hàng tìm kiếm cáckhoản thế chấp lựa chọn cho một kỳ hạn năm năm.Điều này tạo ra sự không phù hợp về tài sản / nợ đốivới các ngân hàng và thu nhập từ lãi ròng đến các rủi

ro Các khoản tiền gửi được tài trợ năm năm 6% tàisản thế chấp được gia hạn thanh toán qua mỗi năm.Không có vấn đề nếu lãi suất giảm Sau một năm,các ngân hàng sẽ nhận thấy chính nó tài trợ cho nămnăm 6% thế chấp với tiền gửi mà chi phí ít hơn 3% vàthu nhập từ lãi ròng sẽ tăng lên Tuy nhiên, nếu lãisuất tăng, các khoản tiền gửi được tài trợ thế chấp6% sẽ có giá hơn 3% và thu nhập lãi ròng sẽ giảm.Giả sử rằng có một sự gia tăng 3% lãi suất trong hainăm đầu tiên Điều này sẽ làm giảm thu nhập lãi ròngtrong năm thứ ba về không

Đó là công việc của các tập đoàn quản lý tài sản-nợ

để đảm bảo rằng loại rủi ro lãi suất được giảm thiểu.Một cách để làm điều này là đảm bảo rằng thời gian

minimized One way of doing this is to ensure that the

maturities of the assets on which interest is earned

and the maturities of the liabilities on which interest is

paid are matched In our example, the matching can

be achieved by increasing the five-year rate on both

deposits and mortgages For example, the bank could

move to the situation in Table 9.2 where the five-year

deposit rate is 4% and the five-year mortgage rate is

7% This would make five-year deposits relatively

more attractive and one-year mortgages relatively

more attractive Some customers who chose one-year

deposits when the rates were as in Table 9.1 will

choose five-year deposits when rates are as in Table

9.2

TABLE 9.2 Five-Year Rates Are

Increased in an Attempt to Match

Maturities of Assets and Liabilities

Some customers who chose five year mortgages

when the rates were as in Table 9.1 will choose

one-year mortgages This may lead to the maturities of

assets and liabilities being matched If there is still an

imbalance with depositors tending to choose a

one-year maturity and borrowers a one-year maturity,

five-year deposit and mortgage rates could be increased

even further Eventually the imbalance will disappear

The net result of all banks behaving in the way we

have just described is that long-term rates tend to be

higher than those predicted by expected future

shortterm rates This phenomenon is referred to as

liquidity preference theory It leads to long-term rates

being higher than short-term rates most of the time

Even when the market expects a small decline in

short-term rates, liquidity preference theory is likely to

cause long-term rates to be higher than short-term

đáo hạn của các tài sản có lãi thu được và thời gianđáo hạn của các khoản nợ có trả lãi được khớp nhau.Trong ví dụ của chúng ta, sự kết hợp có thể đạt đượcbằng cách tăng lãi suất năm năm về cả tiền gửi vàcác khoản thế chấp Ví dụ, các ngân hàng có thểhoạt động với tình hình trong Bảng 9.2, nơi tỷ lệ tiềngửi năm năm là 4% và tỷ lệ thế chấp năm năm là 7%.Điều này sẽ làm cho tiền gửi năm năm và thế chấpmột năm tương đối hấp dẫn hơn Một số khách hàng

đã lựa chọn gửi tiền một năm khi lãi thể hiện nhưtrong Bảng 9.1 và sẽ chọn tiền gửi năm năm khi lãisuất như trong Bảng 9.2

BẢNG 9.2 Lãi suất năm năm đang gia tăng để phù

hợp các kỳ hạn của tài sản và nợ phải trả

kỳ hạn năm năm, lãi suất huy động và thế chấp nămnăm có thể tăng thêm nữa Cuối cùng, sự mất cânbằng sẽ biến mất

Kết quả cuối cùng của tất cả các ngân hànghành xử theo cách mà chúng ta vừa mô tả là lãi suấtdài hạn có xu hướng cao hơn so với những dự đoáncủa lãi suất ngắn hạn về tương lai dự kiến Hiệntượng này được gọi là lý thuyết sở thích thanh khoản

Nó dẫn đến lãi suất dài hạn là cao hơn so với lãi suấtngắn hạn hầu hết thời gian Ngay cả khi thị trường kỳvọng một sự suy giảm nhỏ trong lãi suất ngắn hạn, lýthuyết sở thích thanh khoản có thể gây ra lãi suất dài

rates Only when a steep decline in interest rates is

expected will long-term rates be less than short-term

rates

Many banks now have sophisticated systems for

monitoring the decisions being made by customers so

that, when they detect small differences between the

maturities of the assets and liabilities being chosen,

they can fine-tune the rates they offer Often

derivatives such as interest rate swaps are used to

manage their exposures (see Example 5.1 in Section

5.6) The result of all this is that net interest margin is

usually stable This has not always been the case In

the 1980s in the United States, the failures of savings

and loans companies and Continental Illinois were

largely a result of their failure to match maturities for

assets and liabilities

Liquidity

In addition to eroding net interest margin, a mismatch

of assets and liabilities can lead to liquidity problems

A bank that funds long-term loans with short-term

deposits has to replace maturing deposits with new

deposits on a regular basis (This is sometimes

referred to as rolling over the deposits) If depositors

lose confidence in the bank, it might find it difficult to

do this A well-known example of a financial institution

that failed because of liquidity problems is Northern

Rock in the United Kingdom It chose to finance much

of its mortgage portfolio with wholesale deposits,

some lasting only three months Starting in September

2007, the depositors became nervous because of the

problems surfacing in the United States As a result,

Northern Rock was unable to finance its assets and

was taken over by the UK government in early 2008

(see Business Snapshot 24.1) In the United States,

Bear Stearns and Lehman Brothers experienced

similar problems in rolling over their wholesale

deposits

hạn cao hơn so với lãi suất ngắn hạn Chỉ khi giảmmạnh lãi suất được dự kiến sẽ làm cho lãi suất dàihạn thấp hơn lãi suất ngắn hạn

Nhiều ngân hàng có hệ thống phức tạp đểgiám sát các quyết định được thực hiện bởi kháchhàng, để khi họ phát hiện sự khác biệt nhỏ giữa các

kỳ hạn của tài sản và nợ phải trả được lựa chọn, họ

có thể điều chỉnh tinh vi các mức phí mà họ cung cấp.Thường các sản phẩm tài chính như hoán đổi lãi suấtđược sử dụng để quản lý rủi của họ (xem Ví dụ 5.1tại mục 5.6) Kết quả của bài này là tỷ lệ lãi biênthường là ổn định Điều này không phải luôn luônđúng trong các trường hợp Trong những năm 1980tại Hoa Kỳ, những thất bại của các công ty tiết kiệm

và cho vay và Continental Illinois phần lớn là kết quảthất bại của họ phù hợp với thời gian đáo hạn đối vớitài sản và nợ phải trả

TÍNH THANH KHOẢN

Ngoài việc làm giảm lợi nhuận lãi biên ròng,

sự không phù hợp của tài sản và nợ phải trả có thểdẫn đến các vấn đề thanh khoản Một ngân hàng tàitrợ cho các khoản vay dài hạn với các khoản tiền gửingắn hạn có để thay thế tiền gửi đáo hạn với tiền gửimới một cách thường xuyên (Điều này đôi khi đượcgọi là tái đầu tư tiền gửi) Nếu người gửi tiền mấtniềm tin vào các ngân hàng, có thể khó khăn khi làmđiều này Một ví dụ nổi tiếng của một tổ chức tàichính không thành công vì vấn đề thanh khoản làNorthern Rock ở Vương quốc Anh Nó chọn tài trợcho nhiều danh mục đầu tư thế chấp của mình vớitiền gửi bán buôn, một số chỉ kéo dài trong ba tháng.Bắt đầu từ tháng Chín năm 2007, người gửi tiền trởnên lo lắng vì những vấn đề nổi lên tại Hoa Kỳ Kếtquả là, Northern Rock đã không thể tài trợ cho tài sảncủa nó và đã được tiếp quản bởi chính phủ Anh vàođầu năm 2008 (xem kinh doanh Snapshot 24.1) TạiHoa Kỳ, Bear Stearns và Lehman Brothers gặp vấn

Many of the problems during the credit crisis that

started in 2007 were caused by a shortage of liquidity

As often happens during stressed market conditions,

there was a flight to quality where investors looked for

very safe investments and were not prepared to take

credit risks Bank regulators have now recognized the

need to set liquidity requirements, as well as capital

requirements, for banks Chapter 16 explains the

Basel III liquidity requirements and Chapter 24

discusses liquidity issues in more detail

đề tương tự trong việc tái đầu tư tiền gửi bán buôncủa họ

Nhiều vấn đề nảy sinh trong suốt cuộc khủnghoảng tín dụng bắt đầu từ năm 2007 có nguyên nhânbởi sự thiếu hụt thanh khoản Như thường xảy ratrong tình trạng thị trường căng thẳng, các nhà đầu tưtìm kiếm các khoản đầu tư rất an toàn và khôngchuẩn bị sẵn sàng để chấp nhận rủi ro tín dụng Cácnhà quản lý ngân hàng hiện nay đã nhận ra sự cầnthiết phải thiết lập yêu cầu thanh khoản, cũng nhưyêu cầu về vốn, cho các ngân hàng Chương 16 giảithích các yêu cầu thanh khoản Basel III và Chương

24 thảo luận về các vấn đề thanh khoản một cách chitiết hơn

9.2 TYPES OF RATES

In this section, we consider a number of interest rates

that are important to financial institutions The

compounding frequency with which interest rates are

measured is discussed in Appendix A at the end of the

book Bond yields, par yields, and the calculation of

zero-coupon interest rates are discussed in Appendix

B

Treasury Rates

Treasury rates are the rates an investor earns on

Treasury bills and Treasury bonds These are the

instruments used by a government to borrow in its

own currency Japanese Treasury rates are the rates

at which the Japanese government borrows in yen,

U.S Treasury rates are the rates at which the U.S

government borrows in U.S dollars, and so on It is

usually assumed that there is no chance that a

government will default on an obligation denominated

in its own currency.1Treasury rates are therefore

usually regarded as risk-free rates in the sense that an

investor who buys a Treasury bill or Treasury bond is

certain that interest and principal payments will be

made as promised

LIBOR and Swap Rates

LIBOR is short for London interbank offered rate It is

an unsecured short-term borrowing rate between

banks LIBOR rates have traditionally been calculated

each business day for 10 currencies and 15 borrowing

periods The borrowing periods range from one day to

one year LIBOR rates are used as reference rates for

hundreds of trillions of dollars of transactions

throughout the world One popular and important

derivatives transaction that uses LIBOR as a

reference interest rate is an interest rate swap (see

Chapter 5) LIBOR rates are published by the British

9 2 Phân loại lãi suất

Trong phần này, chúng ta hãy xem xét một sốmức lãi suất quan trọng đối với các tổ chức tài chính.Lãi kép của lãi suất được thảo luận trong Phụ lục A ởphần cuối của cuốn sách Lãi suất trái phiếu, lãi suấtdanh nghĩa, và tính toán lãi suất zero-coupon sẽ đượcthảo luận trong Phụ lục B

Lãi suất trái phiếu chính phủ

Lãi suất trái phiếu chính phủ là lãi suất mộtnhà đầu tư kiếm được từ trái phiếu chính phủ ngắnhạn ( T Bills) và trái phiếu chính phủ dài hạn (T –Bonds) Đây là những công cụ được sử dụng bởi mộtchính phủ để vay bằng đồng tiền riêng của mình Lãisuất trái phiếu chính phủ Nhật Bản là lãi suất mà tại

đó chính phủ Nhật Bản vay bằng đồng yên, lãi suấttrái phiếu kho bạc Hoa Kỳ là lãi suất mà tại đó chínhphủ Hoa Kỳ vay bằng đô la Mỹ Nó thường được giảđịnh rằng không có cơ hội mà một chính phủ sẽ mặcđịnh về nghĩa vụ bằng tiền tệ của mình Lãi suất tráiphiếu chính phủ do đó thường được coi là lãi suất phirủi ro theo nghĩa là một nhà đầu tư nào mua một tráiphiếu chính phủ ngắn hạn hoặc dài hạn là chắc hắnrằng lãi suất và thanh toán vốn gốc sẽ được thực hiệnnhư đã cam kết

LIBOR và lãi suất hoán đổi

LIBOR là viết tắt của lãi suất trái phiếu liênngân hàng London Đây là một tỷ lệ vay ngắn hạnkhông có bảo đảm giữa các ngân hàng Lãi suấtLIBOR truyền thống được tính mỗi ngày làm việc đốivới 10 loại tiền tệ và 15 kỳ vay Các thời kỳ vay nằmtrong khoảng từ một ngày đến một năm Lãi suấtLIBOR được sử dụng làm giá tham chiếu cho hàngtrăm nghìn tỷ đô la của các giao dịch trên toàn thếgiới Một dẫn chứng phổ biến và quan trọng cho giaodịch phái sinh mà sử dụng LIBOR như một lãi suất

1 This is because a government controls the money supply in its own currency (i.e., it can print its own money) But governments are liable to default on debt in a foreign currency Also, countries in the European Union are liable to default on debt denominated in euros.

Bankers’ Association (BBA) at 11:30 a.m (UK time).

The BBA asks a number of different banks to provide

quotes estimating the rate of interest at which they

could borrow funds from other banks just prior to 11

a.m (UK time) for each currency and each borrowing

period The top quarter and bottom quarter of the

quotes for each currency/borrowing-period

combination are discarded and the remaining ones

are averaged to determine the LIBOR fixings for a

day Typically the banks submitting quotes have an

AA credit rating

In recent years there have been suggestions that

some banks may have manipulated their LIBOR

quotes Two reasons have been suggested for

manipulation One is to make the banks’ borrowing

costs seem lower than they actually are so that they

appear healthier Another is to make transactions such

as interest rate swaps, whose cash flows depend on

LIBOR fixings, more profitable The underlying

problem is that there is not enough interbank

borrowing for banks to make accurate estimates of

their borrowing rates for all the different

currency/borrowing-period combinations that are used

It seems likely that over time the large number of

LIBOR quotes that have been provided each day will

be replaced by a smaller number of quotes based on

actual transactions in a more liquid market

How can the LIBOR yield curve be extended

beyond one year? There are two possible approaches:

1 Create a yield curve to represent the rates at

which AA-rated companies can today borrow

funds for periods of time longer than one year

2 Create a yield curve to represent the future

short-term borrowing rates for AA rated companies

It is important to understand the difference Suppose

that the yield curve is 4% for all maturities If the yield

curve is created in the first way, this means that

tham chiếu là hoán đổi lãi suất (xem Chương 5) Lãisuất LIBOR được công bố bởi Hiệp hội Ngân hàngAnh (BBA) lúc 11:30 giờ sáng (giờ Anh) Các BBA hỏimột số ngân hàng khác nhau để cung cấp báo giáước tính tỷ lệ lãi suất mà tại đó họ có thể vay tiền từcác ngân hàng khác ngay trước khi đến 11 giờ sáng(giờ Anh) cho mỗi đồng tiền và mỗi thời gian vay Cácbáo giá quý đầu và quý cuối cho mỗi đồng tiền / kếthợp kỳ hạn vay sẽ bị loại bỏ và những người còn lạiđược tính trung bình để xác định LIBOR cố định chomột ngày Thông thường các ngân hàng gửi báo giá

có xếp hạng tín dụng AA

Trong những năm gần đây đã có những đềxuất rằng một số ngân hàng có thể đã chế tác giáLIBOR của họ Hai lý do đã được đề xuất cho việcnày Một là làm cho chi phí đi vay của các ngân hàngdường như thấp hơn trên thực tế để ngân hàng họkhỏe mạnh hơn Hai là làm cho các giao dịch nhưgiao dịch hoán đổi lãi suất, mà dòng tiền phụ thuộcvào LIBOR cố định có lợi hơn Vấn đề cơ bản làkhông có đủ giao dịch vay liên ngân hàng để cácngân hàng có những ước tính chính xác về lãi suấtvay của họ cho tất cả đồng tiền khác nhau/ kết hợp kỳhạn vay được sử dụng Dường như rằng qua thờigian số lượng lớn các báo giá LIBOR đã được cungcấp mỗi ngày sẽ được thay thế bởi một số lượng nhỏcác báo giá dựa trên giao dịch thực tế trong một thịtrường thanh khoản hơn

Làm thế nào đường cong lãi suất LIBOR cóthể được mở rộng hơn một năm? Có hai phươngpháp có thể:

1 Tạo một đường cong lãi suất để đại diện cho cácmức lãi suất mà công ty được xếp loại AA hiện nay cóthể vay tiền trong thời gian dài hơn một năm

2 Tạo một đường cong lãi suất để đại diện cho lãisuất vay ngắn hạn trong tương lai cho các công tyxếp hạng AA

Điều quan trọng là phải hiểu được sự khácbiệt Giả sử rằng đường cong lãi suất là 4% cho tất cả

companies rated AA today can lock in an interest rate

of 4% regardless of how long they want to borrow If

the yield curve is created in the second way, the

forward interest rate that the market assigns to the

short-term borrowing rates of companies that will be

rated AA at a future time is 4% (See Appendix B for

how forward rates are defined and calculated.) When

the yield curve is created in the first way, it gives the

forward short-term borrowing rate for a company that

is AA-rated today When it is created in the second

way, it gives the forward short-term borrowing rate for

a company that will be AA at the beginning of the

period covered by the forward contract

In practice, the LIBOR yield curve is extended

using the second approach Swap rates (see Table

5.5.) are used to extend the LIBOR yield curve, as

described in Appendix B.2The resulting yield curve is

sometimes called the LIBOR yield curve, sometimes

the swap yield curve, and sometimes the LIBOR/swap

yield curve To understand why swap rates can be

used to extend the LIBOR yield curve when the

second approach is used, note that a bank can

convert a series of short term LIBOR loans to a swap

rate using the swap market For example, it can

1 Lend a certain principal for six months to an AA

borrower and relend it for nine successive

six-month periods to (possibly different) borrowers

who are rated AA at the time of their loans; and

2 Enter into a swap to exchange the LIBOR for the

five-year swap rate

This means that the swap rate represents what the

bank can expect to earn from a series of short-term

loans to AA-rated borrowers at LIBOR It is sometimes

referred to as a continually refreshed rate.3

các kỳ hạn Nếu đường cong lãi suất được tạo ra theocách đầu tiên, điều này có nghĩa là các công ty đượcxếp loại AA hiện nay có thể ổn định trong lãi suất 4%bất kể bao lâu họ muốn vay Nếu đường cong lãi suấtđược tạo ra theo cách thứ hai, mong rằng thị trườngcho lãi suất vay ngắn hạn của công ty xếp loại AA tạimột thời điểm trong tương lai là 4% (Xem Phụ lục B

để làm thế nào xác định và tính toán giá kỳ hạn.) Khiđường cong lãi suất được tạo ra theo cách đầu tiên,

nó sinh ra lãi suất vay ngắn hạn kỳ hạn cho một công

ty xếp loại AA hiện nay Khi nó được tạo ra theo cáchthứ hai, nó sinh ra lãi suất vay ngắn hạn kỳ hạn chomột công ty sẽ được xếp hạng AA ở thời điểm bắtđầu của giai đoạn đầu được bảo vệ bởi hợp đồng kỳhạn

Trong thực tế, đường cong lãi suất LIBORđược mở rộng bằng cách sử dụng phương pháp tiếpcận thứ hai Lãi suất hoán đổi (xem Bảng 5.5.) được

sử dụng để mở rộng đường cong lãi suất LIBOR, như

mô tả trong Phụ lục B Kết quả là đường cong lãi suấtđôi khi được gọi là đường cong lãi suất LIBOR, và đôikhi là đường cong lãi suất hoán đổi, và đôi khiLIBOR / đường cong lợi suất hoán đổi Để hiểu tạisao lãi suất hoán đổi có thể được sử dụng để mởrộng đường cong lãi suất LIBOR khi phương phápthứ hai được sử dụng, lưu ý rằng một ngân hàng cóthể chuyển đổi một loạt các khoản vay LIBOR ngắnhạn với tỷ lệ hoán đổi sử dụng cho các thị trường traođổi Ví dụ, nó có thể

1 Cho một khách hàng AA vay một vốn gốc trong sáutháng và vay lại nó trong khoảng thời gian chín thángliên tiếp cho khách hàng vay, người được đánh giá

AA tại thời điểm vay

2 Thực hiện một hoán đổi để trao đổi LIBOR cho tỷ lệhoán đổi năm năm

Điều này có nghĩa rằng tỷ lệ trao đổi đại diện

2 Eurodollar futures, which are contracts on the future value of LIBOR, can also be used to extend the LIBOR yield curve.

3See P Collin-Dufresne and B Solnik, “On the Term Structure of Default Premia in the Swap and Libor Market,” Journal of Finance 56,

no 3 (June 2001): 1095–1115.

LIBOR vs Treasury Rates

Risk-free rates are important in the pricing of financial

contracts Treasury rates might be thought to be

natural rates to use as risk-free rates, but in practice

they are regarded as artificially low because:

1 The amount of capital a bank is required to hold to

support an investment in Treasury bills and bonds

(typically zero) is substantially smaller than the

capital required to support a similar investment in

other very-low-risk instruments

2 In the United States, Treasury instruments are

given a favorable tax treatment compared with

most other fixed-income investments because

they are not taxed at the state level

Prior to the credit crisis that started in 2007, financial

institutions used LIBOR and swap rates as a proxies

for risk-free rates Since the crisis, they have switched

to using overnight indexed swap (OIS) rates for this

purpose We now explain how OIS rates are

determined

The OIS Rate

An overnight indexed swap (OIS) is a swap where a

fixed interest rate for a period (e.g., one month, three

months, one year, or two years) is exchanged for the

geometric average of overnight rates during the

period.4The relevant overnight rates are the rates in

the government-organized interbank market where

banks with excess reserves lend to banks that need to

borrow to meet their reserve requirements.5In the

United States, the overnight borrowing rate in this

cho những gì các ngân hàng có thể mong đợi để kiếmđược từ một loạt các khoản vay ngắn hạn để vay ởmức lãi LIBOR Nó đôi khi được gọi là một tỷ lệ làmmới liên tục (thay đổi liên tục)

LIBOR so với lãi suất trái phiếu chính phủ

Lãi suất phi rủi ro rất quan trọng trong việcđịnh giá các hợp đồng tài chính Lãi suất trái phiếuchính phủ có thể được coi là lãi suất tự nhiên để sửdụng như lãi suất phi rủi ro, nhưng trong thực tế nóđược coi là thấp, không thực tế, bởi vì:

1 Số vốn một ngân hàng được yêu cầu phải giữ để

hỗ trợ đầu tư vào các trái phiếu chính phủ ngắn hạn

và dài hạn là nhỏ hơn đáng kể so với lượng vốn cầnthiết để hỗ trợ một đầu tư tương tự trong như nhữngcông cụ rủi ro rất thấp khác

2 Tại Hoa Kỳ, trái phiếu chính phủ được hưởng một

ưu đãi về thuế so với hầu hết các khoản đầu tư có thunhập cố định khác bởi vì họ không bị đánh thuế ở cấptiểu bang

Trước cuộc khủng hoảng tín dụng bắt đầu từnăm 2007, các tổ chức tài chính sử dụng LIBOR vàlãi suất hoán đổi là một đại diện cho lãi suất phi rủi ro

Kể từ khi cuộc khủng hoảng, họ đã chuyển sang sửdụng lãi suất hoán đổi chỉ số qua đêm (OIS) cho mụcđích này Bây giờ chúng ta giải thích như thế nào vềcách xác định OIS

Lãi suất hoán đổi chỉ số qua đêm OIS

Một hoán đổi chỉ số qua đêm (OIS) là mộttrao đổi trong đó mức lãi suất cố định trong một thờigian (ví dụ, một tháng, ba tháng, một năm hoặc hainăm) được trao đổi với trung bình số học của lãi suấtqua đêm trong kỳ Lãi suất qua đêm liên quan là lãisuất trên thị trường liên ngân hàng các tổ chức chínhphủ nơi ngân hàng dự trữ dư thừa cho vay đối vớicác ngân hàng cần vay để đáp ứng nhu cầu dự trữcủa họ Tại Hoa Kỳ, lãi suất vay qua đêm trên thị

4 The term “geometric average of overnight rates” should here be interpreted as “geometric average of one plus the overnight rates minus one.”

5 Central banks require commercial banks to keep a certain percentage of customer deposits as reserves that cannot be lent out The reserves can take the form of cash or deposits with the central bank.

market is known as the fed funds rate The effective

fed funds rate on a particular day is the weighted

average of the overnight rates paid by borrowing

banks to lending banks on that day This is what is

used in the OIS geometric average calculations Many

other countries have similar overnight markets For

example, the Eonia (Euro OverNight Index Average) is

the European equivalent of the effective fed funds

rate; the SONIA (Sterling OverNight Index Average) is

the British equivalent; and so on

If during a certain period a bank borrows at the

overnight rate (rolling the loan and interest forward

each day), it pays the geometric average of the

overnight interest rates for the period Similarly, if it

lends at the overnight rate every day, it receives the

geometric average of the overnight rates for the

period An OIS therefore allows overnight borrowing or

lending to be swapped for borrowing or lending at a

fixed rate for a period of time The fixed rate is referred

to as the OIS rate

A key indicator of stress in the banking system is the

LIBOR-OIS spread This is the amount by which the

three-month London Interbank Offered Rate (LIBOR)

exceeds the three-month overnight indexed swap

(OIS) rate As discussed, the former is the rate of

interest at which a bank will extend unsecured credit

to an AA-rated bank for a term of three months The

latter is the rate of interest at which funds can be

borrowed by a bank for three months by using

overnight borrowings at the fed funds rate of interest

in conjunction with a swap which converts the

overnight borrowing to three-month borrowing Banks

can in theory borrow at the three-month OIS rate and

lend the funds to an AA-rated bank at the three-month

LIBOR rate of interest The LIBOR-OIS spread is

therefore a credit spread that compensates lenders for

the possibility that an AA-rated bank might default

during a three-month period In normal market

conditions, the LIBOR-OIS spread is less than 10

trường này được gọi là (fed funds rate – Lãi suất quỹfed) tỷ lệ lãi suất cho vay nhằm đáp ứng yêu cầu dựtrữ bắt buộc Lãi suất này có hiệu quả vào một ngày

cụ thể là bình quân gia quyền của lãi suất qua đêm trảtiền bằng cách đi vay ngân hàng để ngân hàng chovay vào ngày hôm đó Đây là những gì được sử dụngtrong các tính toán trung bình OIS Nhiều quốc giakhác có thị trường qua đêm tương tự

Ví dụ, các Eonia (Chỉ số qua đêm trung bình đồngEuro) là đối với châu Âu về tỷ lệ lãi suất cho vaynhằm đáp ứng yêu cầu dự trữ bắt buộc; các Sonia(Sterling Overnight Index trung bình) là đối với Anh

Nếu trong một thời gian nhất định một ngânhàng vay ở mức lãi suất qua đêm (cán và lãi tiền vaymỗi ngày ở tương lai) nó trả khoảng tiền là trung bìnhcủa lãi suất qua đêm cho giai đoạn này Tương tựnhư vậy, nếu nó vay ở lãi suất qua đêm mỗi ngày, nónhận được trung bình của lãi suất qua đêm cho giaiđoạn này Vì thế OIS cho phép vay qua đêm hoặc chovay để được hoán đổi với lãi suất cố định cho mộtkhoảng thời gian Lãi suất cố định được gọi là tỷ lệOIS

Một chỉ số quan trọng trong hệ thống ngânhàng là chênh lệch LIBOR-OIS Đây là số tiền lãi suấtliên ngân hàng London (LIBOR) trong ba tháng vượtquá lãi suất hoán đổi chỉ số qua đêm được lập (OIS)trong ba tháng Như đã thảo luận, trước đây là lãisuất mà ngân hàng sẽ mở rộng tín dụng có bảo đảmcho một ngân hàng được đánh giá loại AA trong thờihạn ba tháng Sau đó là lãi suất mà tại đó các quỹ cóthể được vay của một ngân hàng trong ba tháng bằngcách sử dụng các khoản vay qua đêm ở quỹ fed có lãisuất kết hợp với một hoán đổi mà chuyển đổi cáckhoản vay qua đêm để vay ba tháng Về mặt lý thuyếtcác ngân hàng có thể vay với lãi suất OIS ba tháng vàcho quỹ vay tiền được đánh giá AA ở ba tháng lãisuất LIBOR Do đó, chênh lệch lãi suất LIBOR-OIS làmột chênh lệch tín dụng cho vay bù đắp cho khả năngrằng một ngân hàng AA- có thể mặc định trong một

basis points (annualized) The larger the LIBOR-OIS

spread, the greater the reluctance of banks to lend to

each other

FIGURE 9.1 The Three-Month LIBOR-OIS

Spread, January 2002 to August 2014 in Basis

Points

Figure 9.1 shows the LIBOR-OIS spread between

January 2002 and August 2014 Prior to August 2007,

the LIBOR-OIS spread was less than 10 basis points

In August 2007, as problems in the U.S housing

market became apparent and banks became

increasingly reluctant to lend to each other, it started

to increase It reached a peak of 364 basis points in

early October 2008 By a year later, it had returned to

more normal levels Later it rose again as a result of

concerns about the financial health of Greece and a

few other European countries

Repo Rates

Unlike LIBOR and federal funds rates, repo rates are

secured borrowing rates In a repo (or repurchase

agreement), a financial institution that owns securities

agrees to sell the securities for a certain price and to

khoảng thời gian ba tháng Trong điều kiện thị trườngbình thường, chênh lệch LIBOR-OIS là ít hơn 10 điểm

cơ bản (tính theo năm) Chênh lệch LIBOR-OIS cànglớn làm tăng sự miễn cưỡng của các ngân hàng chovay lẫn nhau

Hình 9.1 Chênh lệch trong điểm cơ bản 3 tháng LIBOR-OIS, từ tháng 1/2002 đến tháng 8/2014

Hình 9.1 cho thấy sự chênh lệch LIBOR-OIS từ tháng

1 năm 2002 đến tháng 8 năm 2014 Trước khi đếntháng 8 năm 2007, chênh lệch lãi suất LIBOR-OIS là

ít hơn 10 điểm cơ bản Vào tháng 8 năm 2007, cácvấn đề trong thị trường nhà đất ở Mỹ trở nên rõ ràng

và các ngân hàng ngày càng trở nên không muốn chovay với nhau thì nó bắt đầu tăng Nó đạt đến một đỉnhcao của 364 điểm cơ bản vào đầu tháng 10 năm

2008 Một năm sau đó, nó đã trở về mức bình thườnghơn Sau đó nó đã quay trở lại sau kết quả từ những

lo ngại về sức khỏe tài chính của nền Hy Lạp và một

số nước châu Âu

Lãi suất mua lại

Không giống như LIBOR và lãi suất quỹ liênbang, lãi suất repo được đảm bảo lãi vay Trong một

10 0

15 0

20 0

25 0

30 0

35 0 40 0

buy them back at a later time for a slightly higher

price The financial institution is obtaining a loan, and

the interest it pays is the difference between the price

at which the securities are sold and the price at which

they are repurchased The interest rate is referred to

as the repo rate

If structured carefully, a repo involves very little

credit risk If the borrower does not honor the

agreement, the lending company simply keeps the

securities If the lending company does not keep to its

side of the agreement, the original owner of the

securities keeps the cash provided by the lending

company The most common type of repo is an

overnight repo, which may be rolled over day to day

However, longer-term arrangements, known as term

repos, are sometimes used Because they are

secured rates, a repo rate is generally a few basis

points below the corresponding LIBOR or fed funds

rate

repo - một khoản vay có bảo đảm (hoặc thỏa thuậnmua lại), một tổ chức tài chính sở hữu chứng khoánđồng ý bán chứng khoán với một mức giá nhất định

và để mua lại vào một thời gian sau đó với một mứcgiá cao hơn một chút Các tổ chức tài chính có đượcmột khoản vay, và sự quan tâm là sự khác biệt giữagiá mà tại đó các chứng khoán được bán và giá mà

họ đang mua lại Lãi suất này được gọi là lãi suất mualại (Repo rate)

Nếu cơ cấu một cách cẩn thận, một repo liênquan đến rủi ro tín dụng rất ít Nếu người vay khôngtôn trọng thỏa thuận, các công ty cho vay chỉ đơn giản

là giữ các chứng khoán Nếu công ty cho vay khônggiữ cho họ một số thỏa thuận, chủ sở hữu ban đầucủa chứng khoán giữ tiền mặt được cung cấp bởi cáccông ty cho vay Các loại phổ biến nhất của repo làrepo qua đêm, trong đó có thể được tái tiếp tục ngàynày sang ngày khác Tuy nhiên, thỏa thuận dài hạn,được gọi là Repo kì hạn, đôi khi được sử dụng Bởi vì

nó là tỷ lệ bảo đảm, lãi suất repo nói chung là một vàiđiểm cơ bản dưới LIBOR hoặc fed funds rate

9.3 DURATION

Duration is a widely used measure of a portfolio’s

exposure to yield curve movements Suppose y is a

bond’s yield and B is its market price The duration D

of the bond is defined as

ΔB is the corresponding change in its price Duration

measures the sensitivity of percentage changes in

the bond’s price to changes in its yield Using

calculus notation, we can write

…, c n at times t1, t2,…, t n (The cash flows consist of

the coupon and principal payments on the bond.) The

bond yield, y, is defined as the discount rate that

equates the bond’s theoretical price to its market

price We denote the present value of the cash flow

c i , discounted from time t i to today at rate y, by v i so

that the price of the bond is

9.3 Duration-Thời gian đáo hạn bình quân

Duration là một thuật ngữ được sử dụng rộng rãidùng để đo lường về độ nhạy cảm của 1 trái phiếu với

những thay đổi trong lợi suất trái phiếu.( Là thời gian

đáo hạn bình quân gia quyền của các khoản thu nhập bằng tiền từ trái phiếu, với quyền số là hiện giá của chúng Dùng để đo biến động giá trái phiếu khi lãi suất thị trường thay đổi)

Giả sử gọi y là lợi suất của trái phiếu và B giá trị thịtrường của trái phiếu đó Lúc này Duration được xácđịnh theo công thức:

D = −1

B

Δ B

Trong đó Δy là sự thay đổi nhỏ trong lợi suất trái

phiếu và ΔB sẽ thay đổi tương ứng theo giá Duration

đo lường độ nhạy cảm của phần trăm sự thay đổitrong giá trái phiếu sẽ dẫn đến sự thay đổi của lợisuất của trái phiếu đó Có thể viết theo công thức:

và thanh toán chính trên trái phiếu) Lợi tức trái phiếu

y được định nghĩa là tỷ lệ chiết khấu tương đương giá

lý thuyết của trái phiếu theo giá thị trường của nó.Chúng ta biểu thị các giá trị hiện tại của dòng tiền là

ci, chiết khấu từ thời điểm ti đến ngày hôm nay là ythay bằng Vi vì thế ta có giá chiết khấu là:

The term in parentheses in equation (9.3) is the

ratio of the present value of the cash flow at time t i to

the bond price Equation (9.3) therefore defines

duration as a weighted average of the times when

payments are made, with the weight applied to time t i

being equal to the proportion of the bond’s total

present value provided by the cash flow at time t i

(The sum of the weights is 1.0.) This definition

explains where the term duration comes from

Duration is a measure of how long the bondholder

has to wait for cash flows

TABLE 9.3 Calculation of Duration

A zero-coupon bond that lasts n years has a duration

of n years However, a coupon-bearing bond lasting

n years has a duration of less than n years, because

the holder receives some of the cash payments prior

to year n.

If the bond’s yield, y, in equation (9.1) is

measured with continuous compounding it turns out

that the definitions of duration in equations (9.1) and

(9.3) are the same (See Problem 9.15.)

Consider a three-year 10% coupon bond with a

face value of $100 Suppose that the yield on the

bond is 12% per annum with continuous

compounding This means that y = 0.12 Coupon

payments of $5 are made every six months Table

9.3 shows the calculations necessary to determine

the bond’s duration.The present values of the bond’s

cash flows, using the yield as the discount rate, are

B là tỷ số giữa giá trị hiện tại của

dòng tiền ở thời điểm ti chia cho giá trái phiếu.Phương trình (9.3) định nghĩa Duration như là tỷtrọng trung bình của số lần được thanh toán, vớikhối lượng được áp dụng cho thời gian ti (Tổngcủa tỉ trọng là 1) Định nghĩa này giải thích cho kỳhạn đáo hạn bình quân đến từ đâu Duration làthước đo thời gian bao nhiêu lâu trái chủ nhậnđược dòng tiền

Bảng 9.3 Tính toán Duration

Thời gian (Năm)

Dòng tiền ($)

Giá trị hiện tại

n năm, bởi vì người giữ nhận được các khoản thanhtoán bằng tiền trước năm n

Nếu lợi suất của trái phiếu y trong phương trình (9,1)được đo bằng lãi kép liên tục nó chỉ ra rằng định

shown in column 3 (For example, the present value

of the first cash flow is 5e −0.12×0.5 = 4.709.) The sum of

the numbers in column 3 is the bond’s market price,

94.213 The weights are calculated by dividing the

numbers in column 3 by 94.213 The sum of the

numbers in column 5 gives the duration as 2.653

years

Small changes in interest rates are often

measured in basis points A basis point is 0.01% per

annum The following example shows that equation

(9.1) is correct when duration is defined as in

equation (9.3) and yields are measured with

continuous compounding

EXAMPLE 9.1

For the bond in Table 9.3, the bond price, B, is

94.213 and the duration, D, is 2.653 so that equation

(9.1) gives

ΔB =−94.213 × 2.653Δy

Or ΔB =−249.95Δy

When the yield on the bond increases by 10 basis

points (= 0.1%), Δy =+0.001 The duration

relationship predicts that ΔB =−249.95 × 0.001

=−0.250 so that the bond price goes down to 94.213

− 0.250 = 93.963 How accurate is this? When the

bond yield increases by 10 basis points to 12.1%, the

bond price is

which is (to three decimal places) the same as that

predicted by the duration relationship

Modified Duration

The definition of duration in equation (9.3) was

suggested by Frederick Macaulay in

nghĩa Duration trong phương trình (9.1) và (9.3) lànhư nhau.(xem problem 9.15)

Xem xét một trái phiếu có thời gian đáo hạn 3 năm, lãisuất coupon 10% có mệnh giá $100 Giả sử rằng lãisuất trái phiếu là 12% mỗi năm với lãi kép liên tục

Điều này có nghĩa rằng y =12% Thanh toán lãi suấtcoupon là $5 được thực hiện mỗi 6 tháng Bảng 9.3cho thấy các tính toán cần thiết để xác định Duration

Giá trị hiện tại dòng tiền của trái phiếu, sử dụng lãisuất chiết khấu như là lợi suất của trái phiếu, đượchiển thị trong cột 3.(Ví dụ: giá trị hiện tại của dòng tiềnđầu tiên là 5 e−0.12 ×0.5= 4.709.) Tổng các số trong cột

3 là giá thị trường của trái phiếu, bằng 94,213 Cáctrọng số được tính bằng cách chia các số trong cột 3cho 94,213 Tổng các số ở cột 5 cho Duration là2,653 năm

Những thay đổi nhỏ trong tỷ lệ lãi suất thường được

đo bằng điểm cơ bản Một điểm cơ bản là 0.01% mỗinăm Ví dụ sau đây cho thấy phương trình (9.1) làchính xác khi Duration được định nghĩa như trongphương trình (9.3) và lợi suất được đo bằng lãi képliên tục

Ví dụ 9.1

Đối với trái phiếu trong Bảng 9.3, giá trái phiếu, B là94,213 và Duration D là 2,653 để có được phươngtrình (9.1)

ΔB =−94.213 × 2.653Δy

Hoặc: ΔB =−249.95Δy

Khi lãi suất trái phiếu tăng 10 điểm cơ bản (= 0.1%),

Δy =+0.001 Duration liên hệ bởi dự đoán ΔB

=−249.95 × 0.001 =−0.250 do đó giá trái phiếu đi

1938 It is referred to as Macaulay’s duration As

mentioned, when the yield y on the bond is

measured with continuous compounding, it is

equivalent to the definition in equation (9.1) When

duration is defined using equations (9.1) and other

compounding frequencies are used for y, a small

adjustment is necessary to Macaulay’s duration

When y is measured with annual compounding, it

can be shown that the expression for D in equation

(9.3) must be divided by 1 + y More generally, when

y is expressed with a compounding frequency of m

times per year, it must be divided by 1 + y∕m (See

Problem 9.15.) Duration defined with these

adjustments to equation (9.3) is referred to as

modified duration.

EXAMPLE 9.2

The bond in Table 9.3 has a price of 94.213 and a

duration of 2.653 The yield, expressed with

semiannual compounding is 12.3673% (See

Appendix A.) The (modified) duration appropriate for

calculating sensitivity to the yield when it is

expressed with semiannual compounding is

From equation (9.1),

ΔB =−94.213 × 2.4985Δy

Or ΔB =−235.39Δy

When the yield (semiannually compounded)

increases by 10 basis points (= 0.1%), Δy =+0.001.

The duration relationship predicts that we expect ΔB

to be −235.39 ×

0.001 =−0.235 so that the bond price goes down to

94.213 − 0.235 = 93.978 How accurate is this?

When the bond yield (semiannually compounded)

increases by 10 basis points to 12.4673% (or to

Đó là (ba số thập phân) giống như dự đoán của cácmối quan hệ Duration

Modified Duration – Duration điều chỉnh

Định nghĩa của Duration trong phương trình (9.3) đãđược đề xuất bởi Frederick Macaulay năm 1938 Nóđược gọi là Macaulay Duration Như đã đề cập, khi lợisuất y của trái phiếu được đo bằng lãi kép liên tục, nótương đương với định nghĩa trong phương trình (9.1).Khi Duration được xác định bằng phương trình (9.1)

và tần số kép khác được sử dụng cho y, một điềuchỉnh nhỏ là cần thiết cho Macaulay Duration Khi yđược đo bằng lãi kép hàng năm, có thể thấy rằng cácbiểu thức D trong phương trình (9.3) phải được chiacho 1 + y Tổng quát hơn, khi y được thể hiện với mộttần số kép của m lần mỗi năm, nó phải được chia cho

1 + y / m (Xem Problem 9.15.) Duration xác định vớinhững điều chỉnh cho phương trình (9.3) được gọi làDuration điều chỉnh

Ví dụ 9.2

Các trái phiếu trong bảng 9.3 có giá 94,213 vàDuration là 2,653 năm Lợi suất diễn tả với lãi képnửa năm là 12,3673% (Xem Phụ lục A) Duration điềuchỉnh thích hợp để tính độ nhạy cảm với lợi suất khi

nó đi với lãi kép nửa năm là

2.653 1+ 0.123673/2 =2.4985

Từ phương trình (9.1),

ΔB =−94.213 × 2.4985ΔyHoặc

12.0941% with continuous compounding), an exact

calculation similar to that in the previous example

shows that the bond price becomes 93.978 This

shows that the modified duration is accurate for small

yield changes

Dollar Duration

The dollar duration of a bond is defined as the

product of its duration and its price If D$ is dollar

duration, it follows from equation (9.1) that

Whereas duration relates proportional changes in

a bond’s price to its yield, dollar duration relates

actual changes in the bond’s price to its yield Dollar

duration is similar to the delta measure discussed in

Chapter 8

10 điểm cơ bản đến 12,4673% (hoặc đến 12,0941%với lãi kép liên tục), một tính toán chính xác tương tựnhư trong ví dụ trên cho thấy rằng giá trái phiếu trởthành 93,978 Điều này cho thấy rằng Duration điềuchỉnh là chính xác những thay đổi lợi suất nhỏ

Dollar Duration

Dollar Duration của một trái phiếu được xác định làsản phẩm của Duuration và giá cả của nó Nếu D$ làDollar Duration, nó được xác định từ phương trình(9.1) là

ΔB =−D$ Δy

D$= -dB dY

Trong khi đó, Duration liên quan thay đổi tỷ lệ thuậnvới giá của trái phiếu đến lợi suất của nó, DollarDuration liên quan thay đổi thực tế giá của trái phiếuđến năng suất của nó Dollar Duration tương tự nhưcác biện pháp đồng thảo luận trong Chương 8

9.4 CONVEXITY

The duration relationship measures exposure to

small changes in yields This is illustrated in Figure

9.2, which shows the relationship between the

percentage change in value and change in yield for

two bonds with the same duration The gradients of

the two curves are the same at the origin This

means that both portfolios change in value by the

same percentage for small yield changes, as

predicted by equation

IGURE 9.2Two Bonds with the Same Duration and

Different Convexities

(9.1) For large yield changes, the bonds behave

differently Bond X has more curvature in its

relationship with yields than bond Y A factor known

as convexity measures this curvature and can be

used to improve the relationship between bond

prices and yields

The convexity for a bond is

9.4 Độ lồi của trái phiếu :

Duration liên quan đến đo lường những thay đổi nhỏtrong lợi suất Điều này được minh họa trong đồ thị9.2, cho thấy mối quan hệ giữa sự thay đổi phần trămtrong giá và lợi suất của 2 trái phiếu có cùng Duration

Độ dốc của cả 2 đường cong là giống nhau ở điểmgốc Điều đó có nghĩa là ở cả hai danh mục đều cóphần trăm thay đổi giá bằng với thay đổi nhỏ trong lợisuất, như đã được dự đoán bằng công thức

FIGURE 9.2 Hai trái phiếu với cùng chu kỳ và độ lồikhác nhau

(9.1) Đối với sự thay đổi lớn trong lợi suất, trái phiếu

sẽ phản ứng khác đi Trái phiếu X “ cong hơn “ so vớilợi suất hơn trái phiếu Y Một nhân tố được biết tớinhư là “ độ lồi “ đo lường độ cong này và có thể dùng

để cải thiện quan hệ giữa giá và lợi suất của giá tráiphiếu

Độ lồi của một trái phiếu là

Y