Phương Pháp Tính - Phương Trình Vi Phân Thường

Phương Pháp Tính - Phương Trình Vi Phân Thường 1. Bài toán Cauchy 2. Hệ phương trình vi phân 3. Bài toán biên tuyến tính cấp 2

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, mơn Tốn ứng dụng TP HCM — 2016 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG TP HCM — 2016 / 45 NỘI DUNG BÀI TOÁN CAUCHY TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG TP HCM — 2016 / 45 NỘI DUNG BÀI TỐN CAUCHY HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG TP HCM — 2016 / 45 NỘI DUNG BÀI TỐN CAUCHY HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BÀI TỐN BIÊN TUYẾN TÍNH CẤP TS Lê Xn Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG TP HCM — 2016 / 45 Bài toán Cauchy Đặt vấn đề Nhiều toán khoa học kỹ thuật dẫn đến việc giải phương trình vi phân Bài tốn đơn giản toán Cauchy TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG TP HCM — 2016 / 45 Bài toán Cauchy Đặt vấn đề Nhiều toán khoa học kỹ thuật dẫn đến việc giải phương trình vi phân Bài tốn đơn giản toán Cauchy y (x) = f (x, y(x)), y(a) = y0 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) a PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG x b, TP HCM — 2016 (1) / 45 Bài toán Cauchy Đặt vấn đề Nhiều toán khoa học kỹ thuật dẫn đến việc giải phương trình vi phân Bài tốn đơn giản toán Cauchy y (x) = f (x, y(x)), y(a) = y0 a x b, (1) với y = y(x) hàm cần tìm, khả vi đoạn [a, b], y0 giá trị ban đầu cho trước y(x) x = a TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG TP HCM — 2016 / 45 Bài toán Cauchy Đặt vấn đề Đối với tốn Cauchy (1) ta tìm nghiệm số phương trình đơn giản, trường hợp f (x, y) có dạng nói chung khơng có phương pháp giải TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG TP HCM — 2016 / 45 Bài toán Cauchy Đặt vấn đề Đối với toán Cauchy (1) ta tìm nghiệm số phương trình đơn giản, trường hợp f (x, y) có dạng nói chung khơng có phương pháp giải Ngồi ra, trường hợp tìm nghiệm tốn Cauchy (1) q phức tạp người ta dùng TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG TP HCM — 2016 / 45 Bài toán Cauchy Đặt vấn đề Đối với tốn Cauchy (1) ta tìm nghiệm số phương trình đơn giản, trường hợp f (x, y) có dạng nói chung khơng có phương pháp giải Ngồi ra, trường hợp tìm nghiệm tốn Cauchy (1) q phức tạp người ta dùng Vì vậy, việc tìm phương pháp giải gần tốn Cauchy có vai trò quan trọng thực tế TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG TP HCM — 2016 / 45 Hệ phương trình vi phân                                                            Công thức Runge-Kutta bậc bốn = h.yk−1 K1y = h(−2xk−1 + 2yk−1 + e sin tk−1 ) K1y K2x = h yk−1 + K1y h K1x K2y = hg tk−1 + , xk−1 + , yk−1 + 2 K2y h K2x K3x = hf tk−1 + , xk−1 + , yk−1 + 2 K2y h K2x K3y = hg tk−1 + , xk−1 + , yk−1 + 2 K4x = hf (tk−1 + h, xk−1 + K3x yk−1 + K3y ), K4y = hg(tk−1 + h, xk−1 + K3x , yk−1 + K3y ) x(tk ) ≈ xk = xk−1 + (K1x + 2K2x + 2K3x + K4x ) y(tk ) ≈ yk = yk−1 + (K1y + 2K2y + 2K3y + K4y ) k = 1, 2, , n TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) K1x 2tk−1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG TP HCM — 2016 32 / 45 Hệ phương trình vi phân tk 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 x(tk ) −0.4000 −0.4617 −0.5256 −0.5886 −0.6466 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) Công thức Runge-Kutta bậc bốn xk x (tk ) yk −0.4000 −0.60000 −0.6000 −0.4617 −0.6316 −0.6316 −0.5256 −0.6401 −0.6401 −0.5886 −0.6136 −0.6136 −0.6466 −0.5366 −0.5366 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG TP HCM — 2016 33 / 45 Bài tốn biên tuyến tính cấp Đặt vấn đề Các phương pháp tìm nghiệm gần phương trình vi phân thường đòi hỏi điều kiện cho thời điểm ban đầu Đối với phương trình vi phân bậc hai, ta cần giá trị y(x0) y (x0) Tuy nhiên, nhiều toán thực tế cho thấy điều kiện hàm cần tìm cho nhiều thời điểm khác Vấn đề dẫn tới việc tìm nghiệm gần toán biên TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG TP HCM — 2016 34 / 45 Bài tốn biên tuyến tính cấp Đặt vấn đề Trong phần xét tốn biên phương trình vi phân thường tuyến tính cấp hai với điều kiện biên cho điểm có dạng    p(x)y (x) + q(x)y (x) + r(x)y(x) = f (x), a < x < b,   y(a) = α, y(b) = β với phương pháp sai phân hữu hạn TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG TP HCM — 2016 35 / 45 Bài toán biên tuyến tính cấp Phương pháp sai phân hữu hạn Chọn số tự nhiên n > Chia đoạn [a, b] thành n đoạn điểm chia x0 = a, xk = x0 + kh, k = 1, 2, , n − 1, b−a n Tại nút xk , k = 1, 2, , n − bên đoạn [a, b] sử dụng công thức sai phân xn = b với h = hướng tâm, ta có y (xk ) ≈ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) y(xk+1 ) − y(xk−1 ) yk+1 − yk−1 = 2h 2h PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG TP HCM — 2016 36 / 45 Bài tốn biên tuyến tính cấp y (xk ) ≈ Phương pháp sai phân hữu hạn y(xk+1 ) − 2y(xk ) + y(xk−1 ) = h2 yk+1 − 2yk + yk−1 = h2 Thay vào phương trình cho ta pk yk+1 − 2yk + yk−1 yk+1 − yk−1 + q + rk y k = f k , k h2 2h ∀k = 1, 2, , n − với pk = p(xk ), qk = q(xk ), rk = r(xk ) fk = f (xk ) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG TP HCM — 2016 37 / 45 Bài tốn biên tuyến tính cấp Phương pháp sai phân hữu hạn Từ điều kiện biên y0 = α, yn = β sau biến đổi ta thu hệ phương trình    p ( hk2 − y0 = α, yn = β q + 2hk )yk+1 = fk ∀k = 1, 2, , n − qk 2p p )y + (rk − h2k )yk + ( hk2 2h k−1   Đây hệ phương trình đại số tuyến tính cấp n − : AY = B với A ma trận    A=  2p p q r1 − h21 h12 + 2h1 q 2p p2 − 2h2 r2 − h22 h2 0 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) q p2 + 2h2 h2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG 2p rn−1 − hn−1 TP HCM — 2016      38 / 45 Bài tốn biên tuyến tính cấp Phương pháp sai phân hữu hạn Y = [y1 , y2 , , yn−1 ]T     B=    TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) p f1 − ( h12 q − 2h1 )α f2 fn−2 pn−1 qn−1 fn−1 − ( h2 + 2h )β PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG         TP HCM — 2016 39 / 45 Bài tốn biên tuyến tính cấp Ma trận đường chéo Ma trận A ma trận đường chéo Để giải hệ phương trình ta dùng phương pháp phân rã LU      A=     a11 a21 0 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) a12 0 a22 a23 0 a32 a33 0 0 an−1,n−1 an−1,n 0 an,n−1 ann PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG           TP HCM — 2016 40 / 45 Bài tốn biên tuyến tính cấp Ma trận đường chéo Khi phân rã Doolittle cho ta  1 0 32 0 0      21   L= ,       u11 u12  u  22 u23     u33  U =     0 unn TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG TP HCM — 2016 41 / 45 Bài toán biên tuyến tính cấp Ví dụ VÍ DỤ 3.1 Xét toán biên  π   y − y − 2y = cos x, < x < π   y(0) = −0.3, y = −0.1 có nghiệm xác y(x) = −0.1(sin x + cos x) Sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn xấp xỉ nghiệm gần so sánh với nghiệm xác π trường hợp h = · TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG TP HCM — 2016 42 / 45 Bài toán biên tuyến tính cấp Ví dụ Ta có hệ phương trình    h2 − −1 2h yk−1 + −2 − h2 yk +   ⇔          1 + 2h y0 + −2 − h22 h2 1 + 2h y1 + −2 − h22 h2 1 + 2h y2 + −2 − h22 h2 h2 y0 = −0.3, y4 = −0.1 + −1 yk+1 = cos(xk ) 2h ∀k = 1, 2, y0 = −0.3, y4 = −0.1 y1 + h12 − 2h y2 = cos π8 y2 + h12 − 2h y3 = cos π4 y3 + h12 − 2h y4 = cos 3π 1 −2 − h22 y1 + h12 − 2h y2 + 0y3 = cos π8 − h12 + 2h y0 1 1 π + 2h y1 + −2 − h2 y2 + h2 − 2h y3 = cos ⇔ h2   0y + + y + −2 − y = cos 3π − − y 2h 2h h2 h2 h2    TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG TP HCM — 2016 43 / 45 Bài tốn biên tuyến tính cấp Ví dụ Bấm máy π −Shift+STO+M Mode - eqn - anx+bny+cnz=dn TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG TP HCM — 2016 44 / 45 Bài tốn biên tuyến tính cấp Ví dụ Bấm máy π −Shift+STO+M Mode - eqn - anx+bny+cnz=dn k xk 0 π8 π4 3π π yk −0.30000 −0.31569 −0.28291 −0.20700 −0.10000 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) y(xk ) |y(xk ) − yk | −0.30000 0.00000 −0.31543 0.00025 −0.28284 0.00007 −0.20719 0.00019 −0.10000 0.00000 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG TP HCM — 2016 44 / 45 Bài tốn biên tuyến tính cấp Ví dụ CÁM ƠN CÁC EM ĐÃ CHÚ Ý LẮNG NGHE TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG TP HCM — 2016 45 / 45