tài liệu uy tín được biên soạn bởi giảng viên đại học Bách Khoa TPHCM, thuận lợi cho qua trình tự học, nghiên cứu bổ sung kiến thức môn toán cao cấp 1, toán cao cấp hai, tích phân vi phân ôn thi học sinh giỏi, luyện thi đại học, ôn thi vào lớp 10, ôn thi trường chuyên môn toán, sắc xuất thống kê, các môn học tài chính, kế toán, ngân hàng, toán cao cấp, Tài liệu được kiểm duyệt bởi giảng viên, phòng đào tạo trường đại học bách khoa, lưu hành nội bộ
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI VỚI HỆ SỐ HẰNG TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, môn Toán ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TP HCM — 2016 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI VỚI HỆ SỐ TP.HẰNG HCM — 2016 / 70 NỘI DUNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI VỚI HỆ SỐ HẰNG PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH CẤP HAI THUẦN NHẤT VỚI HỆ SỐ HẰNG PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH CẤP HAI KHƠNG THUẦN NHẤT BÀI TẬP TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI VỚI HỆ SỐ TP.HẰNG HCM — 2016 / 70 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai với hệ số Bài toán thực tế DAO ĐỘNG TỰ DO TS Lê Xn Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI VỚI HỆ SỐ TP.HẰNG HCM — 2016 / 70 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai với hệ số Bài toán thực tế DAO ĐỘNG TỰ DO Tại vị trí cân bằng, trọng lực nặng với lực đàn hồi lò xo Lực có xu hướng đẩy nặng vị trí cân tỉ lệ với ly độ, có nghĩa ky, với k hệ số đàn hồi lò xo Phản lực tỉ lệ với vận tốc chuyển động nặng, có nghĩa lực λ dy , với λ hệ số tỉ lệ dt TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI VỚI HỆ SỐ TP.HẰNG HCM — 2016 / 70 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai với hệ số Bài tốn thực tế Tổng lực tác động lên nặng ky + λ dy Theo định luật II Newton ta có dt dy d2y ky + λ = −m dt dt d2y dy ⇔ m + λ + ky = Đây phương dt dt trình vi phân cấp 2, nhất, với hệ số TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI VỚI HỆ SỐ TP.HẰNG HCM — 2016 / 70 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai với hệ số Bài toán thực tế DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC Trong trường hợp lực cản không tồn tại, nặng dao động theo ngoại lực có chu kỳ, theo quy luật sin ωt Trong trường hợp này, có lực có xu hướng đưa nặng vị trí cân k(y + sin ωt) Theo định luật II Newton, ta ky + k sin ωt = −m TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) d2 y d2 y ⇔ m + ky = −k sin ωt dt dt PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI VỚI HỆ SỐ TP.HẰNG HCM — 2016 / 70 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai với hệ số Định nghĩa ĐỊNH NGHĨA 1.1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp với hệ số có dạng Ay + By + Cy = 0, (A, B, C ∈ R, A = 0) (1) ĐỊNH NGHĨA 1.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp khơng với hệ số có dạng Ay + By + Cy = f (x), (A, B, C ∈ R, A = 0) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI VỚI HỆ SỐ TP.HẰNG HCM — 2016 (2) / 70 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai với hệ số Bài toán giá trị đầu toán biên Bài tốn giá trị đầu gồm phương trình vi phân (2) (1) điều kiện ban đầu y(x0) = α, y (x0) = β, với α, β = const số cho trước ứng với y y thời điểm ban đầu x0 Bài tốn biên gồm phương trình vi phân (2) or (1) điều kiện biên y(x0 ) = α, y(x1 ) = β, y (x0 ) = α, y (x1 ) = β, y(x0) = α, y (x1) = β, với α, β = const số cho trước ứng với y y thời điểm khác x0, x1 TS Lê Xn Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI VỚI HỆ SỐ TP.HẰNG HCM — 2016 / 70 Phương trình tuyến tính cấp hai với hệ số Sự độc lập tuyến tính định thức Wronski ĐỊNH LÝ 2.1 Nếu y1, y2 nghiệm phương trình vi phân tuyến tính (1) C1 y1 + C2 y2 nghiệm phương trình (1) với C1 , C2 số VÍ DỤ 2.1 Xét phương trình vi phân y + y = Ta thấy y1 (x) = sin x y2 (x) = cos x nghiệm Do đó, y(x) = C1 sin x + C2 cos x nghiệm ∀C1 , C2 ∈ R TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI VỚI HỆ SỐ TP.HẰNG HCM — 2016 / 70 Phương trình tuyến tính cấp hai với hệ số Sự độc lập tuyến tính định thức Wronski ĐỊNH NGHĨA 2.1 Hai hàm y1 , y2 phụ thuộc tuyến tính với a x b tồn số C1 , C2 , không đồng thời 0, cho C1 y1 + C2 y2 = với x thỏa a x b Hai hàm y1 , y2 độc lập tuyến tính với a x b C1 y1 + C2 y2 = với x thỏa a x b ta suy C1 = C2 = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI VỚI HỆTP SỐHCM HẰNG — 2016 10 / 70 Phương trình tuyến tính cấp hai không Phương pháp biến thiên số ⇒ [Ay1 (x) + By1 (x) + Cy1 (x)].C1 (x)+ +[Ay2 (x) + By2 (x) + Cy2 (x)].C2 (x)+ +A[C1 (x)y1 (x) + C2 (x)y2 (x)] + +A[C1 (x)y1 (x) + C2 (x)y2 (x)] + B[C1 (x)y1 (x) + C2 (x)y2 (x)] = A[C1 (x)y1 (x) + C2 (x)y2 (x)] + A[C1 (x)y1 (x) + C2 (x)y2 (x)]+ +B[C1 (x)y1 (x) + C2 (x)y2 (x)] = f (x) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI VỚI HỆTP SỐHCM HẰNG — 2016 57 / 70 Phương trình tuyến tính cấp hai khơng Phương pháp biến thiên số Từ đó, ta chọn hàm C1(x), C2(x) thỏa mãn hệ phương trình C1 (x)y1 (x) + C2 (x)y2 (x) = f (x) C1 (x)y1 (x) + C2 (x)y2 (x) = ,A = A Dùng quy tắc Cramer để giải ta C1 (x) = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) D2 D1 , C2 (x) = , W (x) W (x) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI VỚI HỆTP SỐHCM HẰNG — 2016 58 / 70 Phương trình tuyến tính cấp hai khơng W (x) = Phương pháp biến thiên số y1 (x) y2 (x) , y1 (x) y2 (x) y1 (x) 0 y2 (x) , D2 = D1 = f (x) f (x) , y2 (x) y1 (x) A A dC1 (x) −y2 (x)f (x) dC2 (x) y1 (x)f (x) = , = , dx AW (x) dx AW (x) ⇒ C1 (x) = − C2 (x) = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) y2 (x)f (x) dx + C1 , AW (x) y1 (x)f (x) dx + C2 AW (x) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI VỚI HỆTP SỐHCM HẰNG — 2016 59 / 70 Phương trình tuyến tính cấp hai khơng Phương pháp biến thiên số Như vậy, nghiệm phương trình vi phân không y = y1 − +y2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) y2 (x)f (x) dx + C1 + AW (x) y1 (x)f (x) dx + C2 AW (x) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI VỚI HỆTP SỐHCM HẰNG — 2016 60 / 70 Phương trình tuyến tính cấp hai khơng Phương pháp biến thiên số VÍ DỤ 3.5 Giải phương trình y + y = tan x với điều kiện y(0) = y π = Bước Giải phương trình y +y = Phương trình đặc trưng k2 + = có nghiệm phức liên hợp k1 = −i, k2 = i Bước Nghiệm phương trình ytn = C1 cos x + C2 sin x TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI VỚI HỆTP SỐHCM HẰNG — 2016 61 / 70 Phương trình tuyến tính cấp hai khơng Phương pháp biến thiên số Bước Tìm nghiệm riêng phương trình y + y = tan x Nghiệm có dạng y = C1 (x) cos x + C2 (x) sin x, C1 (x) C2 (x) xác định hệ phương trình C1 (x) cos x + C2 (x) sin x = C1 (x).(− sin x) + C2 (x) cos x = tan x Vậy dC1 − sin x tan x dC2 cos x tan x = , = , dx 1.1 dx 1.1 sin2 x ⇒ C1 (x) = − , C (x) = sin x cos x TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI VỚI HỆTP SỐHCM HẰNG — 2016 62 / 70 Phương trình tuyến tính cấp hai khơng C1 (x) = − Phương pháp biến thiên số x π sin2 x dx = − ln tan + − sin x + C1 cos x C2 (x) = sin xdx = − cos x + C2 Bước Nghiệm tổng quát y = − ln tan x π + sin x + C1 cos x+ + +(− cos x + C2 ) sin x TS Lê Xn Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI VỚI HỆTP SỐHCM HẰNG — 2016 63 / 70 Phương trình tuyến tính cấp hai khơng Phương pháp biến thiên số Nghiệm phương trình thỏa điều kiện π = nên y(0) = y π − ln tan + C1 cos = π π π π + + + sin + C1 cos − ln tan 12 6 π π + − cos + C2 sin = 6 ⇒ C1 = 0, C2 = ln Vậy nghiệm toán y= x π ln sin x − cos x ln tan + 2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI VỚI HỆTP SỐHCM HẰNG — 2016 64 / 70 Bài tập GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I y − 5y + 6y = e−x ĐS ytq = C1e2x + C2e3x + −x e 12 y + 4y = x2 ĐS ytq = C1 cos 2x + C2 sin 2x + x2 − y + 2y = 3x 4 ĐS ytq = C1 + C2e−2x + x2 − x TS Lê Xn Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI VỚI HỆTP SỐHCM HẰNG — 2016 65 / 70 Bài tập GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP II y − 2y + y = 2ex ĐS ytq = C1ex + C2xex + x2ex y − 4y + 3y = sin 2x ĐS ytq = C1 ex + C2 e3x + cos 2x − sin 2x 65 65 y + y = cos x ĐS ytq = C1 cos x + C2 sin x + x sin x 2x y − 4y + 4y = x + e 1 ĐS ytq = C1e2x + C2xe2x + x + + x2e2x 4 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI VỚI HỆTP SỐHCM HẰNG — 2016 66 / 70 Bài tập GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP III 10 11 y − 5y + 6y = 22 cos 2x + sin 2x ĐS ytq = C1e2x + C2e3x + cos 2x − sin 2x y + 8y + 15y = −32e−x ĐS ytq = C1e−3x + C2e−5x − 4e−x y + y − 6y = 8e−2x ĐS ytq = C1e−3x + C2e2x − 2e−2x y + 6y + 9y = 12e3x (3x − 2) ĐS ytq = C1e−3x + C2xe−3x + (x − 1)e3x TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI VỚI HỆTP SỐHCM HẰNG — 2016 67 / 70 Bài tập GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP IV 12 13 y − 2y − 3y = −30 cos 3x ĐS ytq = C1e−x + C2e3x + cos 3x + sin 3x y + 2y − 3y = (6x + 1)e3x ĐS ytq = C1ex + C2e−3x + e3x 14 15 1 x− y − 4y + 4y = 8e2x ĐS ytq = C1e2x + C2xe2x + 4x2e2x y − 4y + 3y = 6ex ĐS ytq = C1ex + C2e3x − 3xex TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI VỚI HỆTP SỐHCM HẰNG — 2016 68 / 70 Bài tập GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP V 16 17 18 19 y − 4y + 5y = sin x + 16 cos x ĐS ytq = e2x (C1 cos x + C2 sin x) + cos x − sin x y − 7y + 6y = 6x2 − 20x + ĐS ytq = C1ex + C2e6x + x2 − x − y − 5y + 6y = cos 2x ĐS 25 ytq = C1 e2x + C2 e3x + cos 2x − sin 2x 52 52 2x y − 4y + 3y = 4xe ĐS ytq = C1ex + C2e3x − 4xe2x TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI VỚI HỆTP SỐHCM HẰNG — 2016 69 / 70 Bài tập GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP VI 20 y + 3y + 2y = 2x + + 6ex ĐS ytq = C1e−x + C2e−2x + x + ex TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI VỚI HỆTP SỐHCM HẰNG — 2016 70 / 70 Bài tập CÁM ƠN CÁC EM ĐÃ CHÚ Ý THEO DÕI TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI VỚI HỆTP SỐHCM HẰNG — 2016 71 / 70 ... PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI VỚI HỆTP SỐHCM HẰNG — 20 16 45 / 70 Phương trình tuyến tính cấp hai khơng Nghiệm tổng qt VÍ DỤ 3 .2 Giải phương trình y − 2y + 2y = x2 Bước Giải phương trình. .. nghiệm thực phân biệt k1 = k2, Ak 12 + Bk1 + C = Ak 22 + Bk2 + C = Do đó, y1 = ek1x , y2 = ek2x nghiệm (1), Ay1 + By1 + Cy1 = ek1 x (Ak 12 + Bk1 + C) = Ay2 + By2 + Cy2 = ek2 x (Ak 22 + Bk2 + C) = TS... PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI VỚI HỆTP SỐHCM HẰNG — 20 16 29 / 70 Phương trình tuyến tính cấp hai với hệ số Phương pháp hạ bậc VÍ DỤ 2. 7 Tìm nghiệm phương trình vi phân y − 6y + 9y = Phương