tài liệu uy tín được biên soạn bởi giảng viên đại học Bách Khoa TPHCM, thuận lợi cho qua trình tự học, nghiên cứu bổ sung kiến thức môn toán cao cấp 1, toán cao cấp hai, tích phân vi phân ôn thi học sinh giỏi, luyện thi đại học, ôn thi vào lớp 10, ôn thi trường chuyên môn toán, sắc xuất thống kê, các môn học tài chính, kế toán, ngân hàng, toán cao cấp, Tài liệu được kiểm duyệt bởi giảng viên, phòng đào tạo trường đại học bách khoa, lưu hành nội bộ
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, mơn Tốn ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TP HCM — 2016 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT TP HCM — 2016 / 72 NỘI DUNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TÁCH BIẾN PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP MỘT PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẲNG CẤP CẤP MỘT PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TỒN PHẦN PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BERNOULI BÀI TẬP TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT TP HCM — 2016 / 72 Phương trình vi phân Giới thiệu Phương trình vi phân đóng vai trò quan trọng việc ứng dụng tốn học lĩnh vực khoa học khác nhiều trình thực tế mơ tả phương trình vi phân cách dễ dàng đầy đủ Tuy nhiên, để hiểu ứng dụng phương trình vi phân, cần nắm vững kiến thức khoa học tự nhiên (vật lý, hóa học, sinh học,v.v), kỹ thuật, v.v TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT TP HCM — 2016 / 72 Phương trình vi phân Nghiệm tổng quát phương trình vi phân cấp ĐỊNH NGHĨA 1.1 Nghiệm tổng quát phương trình vi phân cấp f (x, y, y ) = biểu thức tổng quát tập hợp vô hạn hàm, thỏa mãn phương trình vi phân Nó xác định dạng tường minh y = F(x, C) dạng ẩn Φ(x, y, C) = 0, C số tùy ý Nghiệm phương trình vi phân tương ứng với giá trị C cụ thể gọi nghiệm riêng Nghiệm phương trình vi phân không tương ứng với giá trị C cụ thể gọi nghiệm kỳ dị TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT TP HCM — 2016 / 72 Phương trình vi phân tách biến Bài tốn thực tế BÀI TỐN LÀM LẠNH VẬT THỂ VÍ DỤ 2.1 Nhiệt độ bánh mỳ lò giảm từ 100o C xuống 60o C vòng 20min Nhiệt độ mơi trường xung quanh 25oC Hỏi sau phút từ lúc lấy bánh mỳ ra, nhiệt độ bánh mỳ hạ xuống 30oC? TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT TP HCM — 2016 / 72 Phương trình vi phân tách biến TS Lê Xn Đại (BK TPHCM) Bài tốn thực tế PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT TP HCM — 2016 / 72 Phương trình vi phân tách biến Bài tốn thực tế Tốc độ làm lạnh vật thể giảm nhiệt độ T đơn vị thời gian τ biểu diễn đạo hàm dT dτ Theo định luật Newton, tốc độ làm lạnh vật thể tỉ lệ với hiệu số nhiệt độ vật thể T môi trường xung quanh t Phương trình vi phân trình làm lạnh bánh mỳ dT = k(T − t), dτ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) k-hệ số tỉ lệ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT TP HCM — 2016 / 72 Phương trình vi phân tách biến Bài tốn thực tế GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ⇒ dT dT = kdτ ⇔ = kdτ T −t T − 25 dT = k dτ ⇒ ln |T − 25| = kτ + ln C T − 25 ⇒ T − 25 = Cekτ Hằng số C tìm dựa vào điều kiện τ = 0min T = 100o C Khi 100 − 25 = Cek.0 ⇒ C = 75 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT TP HCM — 2016 / 72 Phương trình vi phân tách biến Bài tốn thực tế Hệ số tỉ lệ k tìm dựa vào điều kiện τ = 20min T = 60o C Khi 1đó 60 − 25 = 75e k.20 ⇒e = 15 τ k 20 20 Vậy T = 75 + 25 Do T = 30o C 15 τ 20 −20 ln 15 + 25 ⇒ τ = ≈ 71min 30 = 75 15 ln − ln 15 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT TP HCM — 2016 / 72 Phương trình vi phân tách biến Định nghĩa PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TÁCH BIẾN ĐỊNH NGHĨA 2.1 Phương trình vi phân có dạng (1) P(x)dx + Q(y)dy = gọi phương trình vi phân tách biến Nghiệm tổng quát phương trình P(x)dx + TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) Q(y)dy = C PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT TP HCM — 2016 10 / 72 Phương trình vi phân tồn phần Định nghĩa Chọn x0 = 0, y0 = ta x y (x + y − 1)dx + ey dy = C x y ⇒ x + xy − x + ey = C ⇒ x2 + xy − x + ey − = C ⇒ x2 + xy − x + ey = C + = C1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT TP HCM — 2016 58 / 72 Phương trình vi phân tồn phần Thừa số tích phân Khi phương trình (5) P(x, y)dx + Q(x, y)dy = khơng phương trình vi phân tồn phần, tồn hàm số m(x, y) cho nhân với phương trình (5) ta phương trình vi phân tồn phần m(x, y).P(x, y)dx + m(x, y).Q(x, y)dy = Hàm số m(x, y) gọi thừa số tích phân (5) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT TP HCM — 2016 59 / 72 Phương trình vi phân tồn phần Khi Thừa số tích phân ∂ ∂ (mP) = (mQ) ∂y ∂x ∂P ∂Q ∂m ∂m ⇒m − − P = Q ∂y ∂x ∂x ∂y TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT TP HCM — 2016 60 / 72 Phương trình vi phân tồn phần Trường hợp: Thừa số tích phân ∂P ∂Q − = f (x) Q ∂y ∂x m(x, y) = m(x) Khi dm = f (x)dx ⇒ m(x) = e m P Trường hợp: f (x)dx ∂P ∂Q − = g(y) ∂y ∂x m(x, y) = m(y) Khi dm = g(y)dy ⇒ m(y) = e m TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT g(y)dy TP HCM — 2016 61 / 72 Phương trình vi phân tồn phần Thừa số tích phân VÍ DỤ 5.3 Giải phương trình (x2 − sin2 y)dx + x sin 2ydy = P = x2 − sin2 y, Q = x sin 2y ⇒ ∂P ∂Q − =− Q ∂y ∂x x Do x2 2 (x − sin y)dx + x sin 2ydy = x2 x2 Khi m(x) = e − x2 dx = phương trình vi phân tồn phần Khi x2 + sin2 y = Cx TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT TP HCM — 2016 62 / 72 Phương trình vi phân Bernouli Bài tốn thực tế Tìm phương trình đường cong qua điểm y0 biết (0, y0) (1, 1) thỏa điều kiện xy = 2y giao điểm tiếp tuyến điểm (x, y) với trục Oy TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT TP HCM — 2016 63 / 72 Phương trình vi phân Bernouli Bài tốn thực tế Giải phương trình vi phân dy xy = ⇒ y − x dx 2y , y(1) = 1 dy − y = 2x− y dx x Nghiệm tổng quát x − y(x − C)2 = Với điều kiện y(1) = 1, ta C = ∨ C = Vậy phương trình đường cong cần tìm xy = x − y(x − 2)2 = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT TP HCM — 2016 64 / 72 Phương trình vi phân Bernouli Định nghĩa PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BERNOULI ĐỊNH NGHĨA 6.1 Phương trình vi phân có dạng y + P(x)y = Q(x)y α , α = 0, α = (6) gọi phương trình vi phân Bernouli Đặt z = yyα = y 1−α Phương trình (6) trở thành phương trình tuyến tính cấp z + (1 − α)P(x).z = (1 − α)Q(x) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT TP HCM — 2016 65 / 72 Phương trình vi phân Bernouli Định nghĩa VÍ DỤ 6.1 y x Giải phương trình y + = x2y Khi y = 0, đặt z = yy4 = y −3 Phương trình cho trở thành phương trình tuyến tính cấp 1 z − z = −3x2 x ⇒z=e x dx e − x3 dx (−3x2 )dx + C ⇒ z = x3 (−3 ln |x| + C) ⇒ y = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) x −3 ln |x| + C PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT TP HCM — 2016 66 / 72 Bài tập Phương trình vi phân tách biến GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TÁCH BIẾN x2 (y + 1)dx + (x3 − 1)(y − 1)dy = ĐS ln |x3 − 1| + y − ln |y + 1| = C (xy − x)dx + (xy + x − y − 1)dy = ĐS x + ln |x − 1| + y + ln |y − 1| = C TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT TP HCM — 2016 67 / 72 Bài tập Phương trình vi phân tuyến tính cấp GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP MỘT I y = y cot x + sin x ĐS y = sin x(x + C) x3 + 3x + C (x + 1)y + 4xy = ĐS (x2 + 1)2 (1 − x)(y + y) = e−x , y(2) = ĐS y = e−x [− ln |1 − x| + e2 ] 2x − y + y = , y(1) = ĐS y = x x x3 y 4x2 2y − = ĐS y = x(2x2 + C) x y TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT TP HCM — 2016 68 / 72 Bài tập Phương trình vi phân tuyến tính cấp GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP MỘT II 10 sin 5x + C y − 4y = (8x3 − 12x2 + 10x − 3)e4x ĐS y = e4x (2x4 − 4x3 + 5x2 − 3x + C) 3y + 2e2x x3 ĐS y = x3 (e2x + C) y = x 3y sin x −6 cos x + C y + = ĐS y = x x3 x3 2(x + y)dy + (3x + 3y − 1)dx = 0; y(0) = ĐS 3x + 2y + ln |1 − x − y| = y − 3y = 4e3x cos 5x ĐS y = e3x TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT TP HCM — 2016 69 / 72 Bài tập Phương trình vi phân tồn phần GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TOÀN PHẦN (x − 2y + 3)dy + (2x + y − 1)dx = ĐS x2 + xy − x + 3y − y = C (x − y + 4)dy + (x + y − 2)dx = ĐS x2 y2 + xy − 2x + 4y − = C 2 x (e + y + sin y)dx + (ey + x + x cos y)dy = ĐS ex + xy + x sin y + ey = C TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT TP HCM — 2016 70 / 72 Bài tập Phương trình vi phân Bernouli GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BERNOULI y 2xy = arctan x ĐS + x2 + x2 y = x2 + 1[(arctan x)2 + C] y − TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT TP HCM — 2016 71 / 72 Bài tập Phương trình vi phân Bernouli CÁM ƠN CÁC EM ĐÃ CHÚ Ý THEO DÕI TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT TP HCM — 2016 72 / 72