phương pháp tính nguyễn quốc lân c5 giai phương trình vi phân thuong sinhvienzone com

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK om - ne C PHƯƠNG PHÁP TÍNH – SV Zo CHƯƠNG nh Vi en GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG TS NGUYỄN QUỐC LÂN (5/2006) Si • SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn NỘI DUNG C – PHƯƠNG PHÁP EULER om A- BÀI TOÁN CÔSI (GIÁ TRỊ ĐẦU) ne – EULER CẢI TIẾN + RUNGE – KUTTA nh Vi en Zo – HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO Si B- BÀI TOÁN BIÊN 1- PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn BÀI TOÁN CÔSI y' f ( t , y ), a t b C điều kiện đầu om Tìm hàm y = y(t) thoả phương trình vi phân thường & ne y (a ) Zo Giải xấp xỉ: Chia [a, b] thành n đoạn nhau, độ daøi h nh Vi en = (b – a)/n, (n + 1) điểm chia t0 = a < t1 = a + h < … < tn = b y1 = ? Si y0 = h a a = t0 t1 Cần tính gần giá trò wk SinhVienZone.com b t2 b = tn yk = y(tk), k = https://fb.com/sinhvienzonevn n MINH HOẠ Ý TƯỞNG - 5y y (0 ) 5t 2t, t Với bước chia h = 0.5 om Bài toán Côsi: y' f ( x0 C & công thức xấp xỉ đạo hàm điểm: f '( x0 ) h) f ( x0 ) ne h Zo tính xấp xỉ nghiệm y t = 0.5, t = nh Vi en Từ xây dựng đa thức nội suy Lagrange (spline) ygđ vẽ Điểm chia: Si đồ thò so sánh với nghiệm xaùc g(t) = t0 e 5t t1 Kết tìm được: y 5 y 1 875 SinhVienZone.com t t2 y gñ.Lagrang y gñ e at 42 t 2 https://fb.com/sinhvienzonevn bt c 87 t 33 CÁC SƠ ĐỒ GIẢI XẤP XỈ PTRÌNH VPHÂN THƯỜNG f ( t , y ), t wi a n , ti a w0 Giả sử k1 hf ( t i , w i ), k n wi wi Sô ñoà Runge – k1 hf ( t i , w i ), k Kutta: w0 = k3 hf ( t i Giả sử biết wi SinhVienZone.com wi hf ( t i , w i ) S/đ Euler cải tiến (i = ih Si Tính wi, i = wi Zo b n đoạn nh Vi en h w i biết ne y (a ) Chia [a, b] Giả sử w0 a,b n – 1) C y' om Sơ đồ Euler (i = Btoán Côsi: Tìm y(t) wi h , wi (k1 2k2 n – 1) w i biết (k1 hf ( t i h, wi k1 ) k2) hf ( t i h , wi k 2 ), k 2k3 k1 ) hf ( t i k4) https://fb.com/sinhvienzonevn , wi k3) VÍ DỤ PHƯƠNG PHÁP EULER - y t y (0 ) 1, t C y' om Bằng p/pháp Euler, giải toán Côsi với n = đoạn chia: ne So sánh nghiệm xấp xỉ với nghiệm g(t) = (t+1)2 – 0.5et nh Vi en Zo Từ tính xấp xỉ tích phân c/t hình thang: I y ( t ) dt Giaûi: f(t,y) = y – t2 + t0 t1 , w t3 , w t2 , w Si h = (b–a)/n = 1/3 0, w0 Sơ đồ Euler: w0 wi SinhVienZone.com wi hf ( t i , w i ) wi ( w i https://fb.com/sinhvienzonevn ti 1) KẾT QUẢ PHƯƠNG PHÁP EULER 0 0.5 1/3 2/3 om wi gi = g(ti ) | gi - wi | 0.5 C ti Zo ne i nh Vi en Bảng kết quả: 1 y ( t ) dt Si Tính gần tích phân với công thức hình thang h y t0 y t1 y t2 y t3 h w0 w1 3528807 SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn 2w2 w3 VÍ DỤ EULER CẢI TIẾN - SĐ Euler cải tiến với h = 0.5: y t 1, h 0, nh Vi en Zo t0 k1 hf ( t i , w i ) , k ti hf ( t i h, wi k1 ) 1, 0 , w1 wi k1 0.0 0.5 0.75 0.5 1.375 1.0625 1.0 2.515625 SinhVienZone.com t t1 wi Si i t C y y (0 ) ne f (t , y ) y' om Tính y(1.) bt Côsi sau ? t2 , w k1 wi k2 k2 1.0 1.21875 https://fb.com/sinhvienzonevn VÍ DỤ RUNGE – KUTTA - 4: k3 i ti 0.0 wi+1 wi wi Si wi 0.5 0.5 4251302 1.0 6396027 SinhVienZone.com hf ( t i ne Kutta h , wi k1 wi hf ( t i h , wi k2 2) , k4 Zo – hf ( t i , w i ) , k nh Vi en Runge k1 C om Tính y(1.) Runge – Kutta với h = 0.5 2k2 2k3 y' y y (0 ) k1 t ) hf ( t i h, wi k3) k4 k1 k2 75 90625 9451325 0976563 2032064 2331167 3286235 0875651 k3 https://fb.com/sinhvienzonevn k4 HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG - du f ( t , u , u ), dt t b f ( t , u , u ), t b đầu u (a ) Zo dt a kiện C & Điều u1 (a ) ne du a om Bài toán Côsi : Tìm hai hàm u1 = u1(t), u2 = u2(t) thoaû nh Vi en Chia [a, b] thành đoạn nhau: Phân hoạch & rời rạc hoá 0 w1 , w2 , u t1 , u t1 ? 2 w1 , w ? Si w1 , w a Ký hiệu: w 1i SinhVienZone.com t0 t1 i u ( t i ), w a u ( t i ), i h t2 a Bieát 2h w1 , w i tính w , w https://fb.com/sinhvienzonevn i ? MINH HOẠ Ý TƯỞNG - 2u u2' 4u1 u2 2t 2 t e 2t 2t , u1 C 3u1 e 2t ne u1 ' om Xeùt toán Côsi với hệ phương trình vi phân thường: , u2 Zo Với bước chia h = 0.5, tính xấp xỉ nghiệm u1, u2 t = 0.5; nh Vi en So sánh giá trò tính với giá trò nghiệm xác: u1 t t0 e t e 2t Si Điểm chia: e 5t t1 ; u2 t e 5t t2 t e t e 2t u1 u ? u1 ? u2 u ? u2 ? SinhVienZone.com t u1 u2 1 0.5 1.0 https://fb.com/sinhvienzonevn SƠ ĐỒ EULER - du f ( t , u , u ), dt b kieän C & Điều f ( t , u , u ), S/đồ Euler: a t nh Vi en w1 1, w2 i i w1 2 i i 2t i i w1 , w i i w2 i w2 hf f1 t , u , u u2' 2t 4u1 u2 t 2t e , u        f t ,u1 ,u SinhVienZone.com u (a ) Giaû sử biết 3u1 u 2t e , u1        VD: ñaàu b hf t i , w , w , Si w1 u1 (a ) ne dt u1 ' t Zo du a om Bài toán Côsi : Tìm hai hàm u1 = u1(t), u2 = u2(t) thoaû 1 w1 1 n i i ti , w1 , w 2 1 w1 w2 0 f ,1 ,1 w2 f ,1 ,1 https://fb.com/sinhvienzonevn 1 AÙP DỤNG : PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP - f t, y, y' , y a t a C y" om Bài toán Côsi cấp (Ph/trình vi phân cấp đkiện đầu): , y' a f1 t , u , u y'' f t, y, y' u2 nh Vi en u1 ' Zo ne Đưa toán Côsi cấp 1: Đổi biến u1(t)= y(t), u2(t)=y’(t) u2' Sơ đồ Euler: w1 w2 SinhVienZone.com u1 a y a u2 a y' a Si Điều kiện đầu: w1 w2 w1 0 w2 2 hf t , w , w hf f t, u1 , u h t0 , w1 , w 2 hf 2 a, https://fb.com/sinhvienzonevn , VÍ DUÏ - Với h = 0.1, tính xấp xỉ giá trò y(0.2), y’(0.2) nghiệm om toán sau phương pháp Euler: 2t C e sin t , t ne y" y ' y , y ' ( ) Zo y (0 ) u2' w1 w2 u2 f1 t , u , u 2t 2y y' e Si u1 ' nh Vi en Đổi biến đưa toán Côsi caáp 1: u1 = y(t), u2 = y’(t) SinhVienZone.com w1 w2 & sin t w1 w2 u1 2u1 , u 2u e hf t , w , w hf t0 , w1 , w 2t sin t f t, u1 , u f1 , , 6 f , , https://fb.com/sinhvienzonevn BÀI TOÁN BIÊN - om Baøi toán biên cấp 2: Tìm hàm y = y(x) thoả phương trình f ( x , y , y ' ), a x b r ( x ), a C y'' , y b ne y (a ) nh Vi en Zo Hay gặp: Bài toán biên tuyến tính cấp y" , y b Si y a p(x) y' q(x) y SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn x b MINH HOAÏ - x y y' y 1, y 1 x e x ,0 x C y'' om Tính giá trò nghiệm y toán biên tuyến tính cấp ne điểm chia cách [0, 1] với bước chia h = nh Vi en Zo 1/3 xấp xỉ đạo hàm y’, y’’ công thức hướng tâm Ñieåm chia: y 0 Si x0 y0 SinhVienZone.com x1 y 3 y1 x2 ? y x3 y2 ? https://fb.com/sinhvienzonevn y 1 y3 PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN p(x) y' q(x) y , y b x b * C y a r ( x ), a om BT biên tuyến tính y" ne Chia [a, b] thành đoạn nhỏ Thay x = xk vaøo y x2 y ' x1 y " ( x1 ) y x0 2h Si h a= x0 nh Vi en Zo (*) Xấp xỉ y’(xk) , y’’(xk): công thức đạo hàm hướng tâm y x2 SinhVienZone.com x1 y x1 h y ' x2 x2 y x0 y" ( x2 ) y x3 y x1 2h x3 y x3 b= xn+1 y x2 h https://fb.com/sinhvienzonevn y x1 CÔNG THỨC LẮP GHÉP (a, b) – ứng n giá trò yk chưa biết A  p2 2   p1  h q2 h nh Vi en h   0  SinhVienZone.com pn h r1 h p1 h r2  h h 2 p2    y= [y1, … yn]T: Ay = b ne h q1 Si h n Zo k C Ký hiệu pk = p(xk) … yk = y(xk), Ma trận cấp n om n mốc xk h r3 b  pn h qn h rn h rn https://fb.com/sinhvienzonevn 1 h pn LẬP BẢNG LẮP GHÉP p(x) y' q(x) y y a , y b r ( x ), a x b * om BT biên tuyến tính y" ne C  Chia [a, b] thành đoạn nhỏ độ dài h n điểm chia xk pk = p(xk), qk = q(xk), rk = r(xk) nh Vi en  Lập bảng cột xk n ẩn số yk Zo (không kể đầu) – ứng với yk chưa biết (đ/chéo chính), ak,k+1 (chéo trên), ak-1,k (dưới), bk i xk pk Si  Đ/chéo akk: k = qk n; ak,k+1: k = rk akk ak,k+1 Nghieäm yk (n – 1), ak-1,k: k = ak-1,k bk SinhVienZone.com akk https://fb.com/sinhvienzonevn n yk VÍ DUÏ hữu hạn với bước chia h = 0.2 C y" om Giải toán biên cấp sau phương pháp sai phân điểm chia Zo n=5 nh Vi en h = 0.2 2x , y (1 ) ne y (0 ) y' y Hệ phương trình ẩn ri aii Si Ma trận cấp 4: Chéo akk – phần tử; Chéo ak, k+1: i xi pi 4 08 3 08 152 2 08 168 08 116 SinhVienZone.com qi ai,i+1 ai-1,i bi 264 https://fb.com/sinhvienzonevn KẾT QUẢ 08 08 Ab SinhVienZone.com 0 642 08 Zo 625 Si 0 nh Vi en ne Ab C om Giải hệ phép khử Gauss (làm tròn chữ số lẻ): 264 0 152 168 08 116 0 608 006 0 273 636 08 y 08 168 116 https://fb.com/sinhvienzonevn 593 736 ... – PHƯƠNG PHÁP EULER om A- BÀI TOÁN CÔSI (GIÁ TRỊ ĐẦU) ne – EULER CẢI TIẾN + RUNGE – KUTTA nh Vi en Zo – HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO Si B- BÀI TOÁN BIÊN 1- PHƯƠNG... https://fb.com/sinhvienzonevn 1 ÁP DỤNG : PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP - f t, y, y' , y a t a C y" om Bài toán Côsi cấp (Ph /trình vi phân cấp... 2t ne u1 ' om Xét toán Côsi với hệ phương trình vi phân thường: , u2 Zo Với bước chia h = 0.5, tính xấp xỉ nghiệm u1, u2 t = 0.5; nh Vi en So sánh giá trò tính với giá trò nghiệm xác: u1 t t0